BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017

Bài 1. Cho các ma trận:

Hãy thực hiện các phép tính sau: , , , , .

ĐS: , ,

Bài 2. Cho hai ma trận: và .

1) Hãy tính các tích và . Từ đó hãy cho biết ma trận có khả nghịch không? chỉ ra ma

.

trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận ĐS: là ma trận đơn vị cấp 3.

, 2) Tìm ma trận .

ĐS: , trong đó (nếu có) thỏa mãn:

Bài 3. Thực hiện các phép tính :

1) ; 2) ĐS: ; .

Bài 4. Cho ma trận : . Tính , , .

ĐS: ; ; .

Bài 5. Tính định thức của các ma trận sau:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

ĐS: 1) ; 2) 0 ; 3) ; 4) 0 ; 5) -45

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 1

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017

Bài 6. Tìm hạng của các ma trận sau:

; ; .

ĐS: ; ;

Bài 7. Cho ma trận:

để ma trận A khả nghịch.

1) Tìm 2) Với , hãy tìm ma trận nghịch đảo của A bằng ba cách (cách 1: sử dụng ma trận phụ

hợp; cách 2: sử dụng hệ phương trình tuyến tính, cách 3: sử dụng biến đổi sơ cấp).

ĐS: 1) ; 2)

Bài 8. Cho ma trận:

1) Với giá trị nào của thì hạng của ma trận bằng 3? Với các giá trị vừa tìm được thì ma

có khả nghịch không?

trận 2) Với , hãy tìm ma trận nghịch đảo của bằng hai cách (cách 1: sử dụng ma trận phụ

hợp; cách 2: sử dụng hệ phương trình tuyến tính).

ĐS: 1) Hạng của mt vuông bằng cấp của mt khi và chỉ khi . ĐS:

2)

Bài 9. Hãy tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của các ma trận sau bằng hai cách (cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp; cách 2: sử dụng ma trận phụ hợp):

1) 2) ; 3) ĐS:

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 2

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017

Bài 10. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau

1) ; 2) ;

ĐS: 1) ; 2) .

Bài 11.

1) Với giá trị nào của thì các hệ phương trình sau có nghiệm:

a) ; b) .

HD: Biến đổi ma trận bổ sung của hệ pttt về dạng bậc thang.

Hệ pttt có nghiệm khi và chỉ khi

ĐS: a) ; b)

2) Với giá trị nào của thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất? Có vô số nghiệm?

HD: với là ma trận hệ số của hệ pttt.

Hệ vuông thuần nhất có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi .

Hệ vuông thuần nhất có vô số nghiệm khi và chỉ khi

Bài 12. Tìm tất cả các ma trận (nếu có) thỏa mãn:

1) ; 2) .

ĐS: 1) Các ma trận thỏa mãn pt có dạng: ;

2)

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 3

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017

Bài 13. Trong không gian véctơ

cho tập hợp:

a) Véctơ có thuộc không? Chỉ ra một véctơ (khác véc tơ không) thuộc .

là một không gian véctơ con của .

b) Chứng minh rằng c) Tìm một cơ sở, số chiều của không gian .

d) Chứng minh véctơ thuộc và tìm tọa độ của trong cơ sở của tìm được ở

câu hỏi trên.

ĐS: a) không; VD:

c) Một cơ sở ;

d) .

Bài 14. Trong không gian véctơ cho tập hợp: .

a) Véctơ có thuộc không?

là một không gian véc tơ con của .

b) Chứng minh rằng c) Tìm một cơ sở và tính số chiều của không gian .

ĐS: a) Không; c) Một cơ sở ; .

Bài 15. Trong không gian véctơ cho tập hợp: .

là một không gian véctơ con của .

a) Chứng minh b) Tìm một cơ sở, số chiều của không gian .

c) Chứng minh véctơ thuộc và tìm tọa độ của u trong cơ sở tìm được ở trên.

ĐS: b) Một cơ sở ; .

c)

Bài 16. Các tập hợp sau có là không gian véctơ con của các không gian tương ứng không?

trong . a)

trong . b)

trong . c)

ĐS: a) không; b) không; c) không.

Bài 17. Trong không gian véctơ cho tập hợp: .

a) Chứng minh rằng là không gian véctơ con của .

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 4

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017

b) Tìm một cơ sở và tính số chiều của không gian .

c) Chứng minh rằng véctơ thuộc và tìm tọa độ của trong cơ sở tìm được ở trên.

ĐS: b) Một cơ sở ; ; c)

Bài 18. Họ các véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính:

trong . a)

trong . b)

trong . c)

ĐS: a) ĐLTT b) PTTT c) PTTT. Bài 19.

1) Chứng minh họ vectơ sau là một cơ sở của không gian vectơ :

2) Họ vectơ sau đây có phải là một cơ sở của không gian vectơ không?

ĐS: 2) không

Bài 20. Với giá trị nào của m thì họ vectơ sau đây độc lập tuyến tính? Phụ thuộc tuyến tính?

a) trong .

b) trong .

c) trong .

ĐS: a) PTTT khi ; ĐLTT khi

b) PTTT khi hoặc m=3; ĐLTT khi và

c) PTTT khi hoặc m=0; ĐLTT khi và

, véctơ sau đây có phải là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại không? Tại sao?

Bài 21. Trong Với .

ĐS: Có vì .

trong sau đây là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại

Bài 22. Tìm điều kiện của m để véctơ với .

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 5

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017

ĐS: Là THTT khi và chỉ khi

Bài 23. Trong không gian véctơ cho hai tập hợp:

và

và .

a) Chứng minh rằng b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ là hai cơ sở của sang sang . .

d) Tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở .

e) Tìm vectơ trong có tọa độ trong cơ sở là .

f) Biết tọa độ của vectơ trong cơ sở là , hãy tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở

.

ĐS: b) ; c) ; d) ; e) ; f)

Bài 24. Trong không gian vectơ cho hai tập hợp: và

.

và .

a) Chứng minh b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ là hai cơ sở của sang sang . .

d) Tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở .

e) Tìm vectơ trong có tọa độ trong cơ sở là .

f) Biết tọa độ của vectơ trong cơ sở là , hãy tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở

.

ĐS: b) ; c) ;

d) ; e) ; f)

Bài 25. Tìm hạng của họ các véc tơ sau:

a) trong không gian vectơ .

b) trong không gian vectơ .

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 6

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017

c) trong không gian vectơ .

ĐS: a) 2; b) 3; c) 3.

Bài 26. Trong không gian véc tơ hãy tìm hạng của họ các véc tơ sau tùy theo :

ĐS: thì hạng của họ vectơ là 2; với thì hạng của họ vectơ là 3.

Bài 27. Cho ánh xạ xác định bởi:

1. Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính.

2. Tìm và tính hạng của .

3. Tìm ma trận của trong cơ sở của và cơ sở

của .

ĐS: ; ; ;

Bài 28. Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi:

1. Tìm và chỉ ra cho mỗi không gian này một cơ sở.

2. Tìm hạng của ánh xạ .

3. Tìm ma trận của ánh xạ trong cơ sở của .

ĐS: ;

; ;

Bài 29. Cho ánh xạ tuyến tính có ma trận là trong cơ sở chính tắc

của .

1. Tìm công thức xác định ánh xạ tuyến tính .

2. Tìm ma trận của ánh xạ trong cơ sở của .

3. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận . Ma trận có chéo hóa được không ?

nếu có hãy viết ma trận làm chéo hóa .

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 7

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017

HD&ĐS: 1. Giả sử có suy ra

do là axtt. ĐS:

2.

3. Mt có hai giá trị riêng là (bội 1) và (bội 2).

Vectơ riêng ứng với gt riêng có dạng .

Vectơ riêng ứng với gt riêng có dạng .

Ma trận làm chéo hóa và .

Bài 30. Cho ánh xạ tuyến tính có ma trận là trong hai cơ sở

của và cơ sở của .

1. Tính

2. Tìm công thức xác định ánh xạ tuyến tính .

3. Tìm hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính và chỉ ra cho mỗi không gian con này một cơ sở.

ĐS: 1. . ĐS:

2.Với có

CT xác định là: .

3. một cơ sở:

Dùng định lý: suy ra , có 1 cơ sở là .

. Bài 31. Cho là ánh xạ xác định bởi:

1. Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính.

2. Tìm và tính hạng của .

3. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong trong cơ sở của .

4. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận . Ma trận có chéo hóa được không ?

nếu có hãy viết ma trận làm chéo hóa .

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 8

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017

HD&ĐS: 2. ; 3. ;

4. có 2 giá trị riêng là và .

Vectơ riêng ứng với gt riêng có dạng

Vectơ riêng ứng với gt riêng có dạng

Ma trận làm chéo hóa và .

Bài 32. Cho ánh xạ xác định bởi: .

1. Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính.

2. Tìm và tính hạng của . Chỉ ra cho mỗi không gian con một cơ sở.

3. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong trong cơ sở chính tắc

của .

4. Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận . Ma trận có chéo hóa được không ?

nếu có hãy viết ma trận làm chéo hóa .

HD&ĐS: 2. ; ;

3.

4. có 3 giá trị riêng là , và .

Vectơ riêng ứng với gt riêng có dạng

Vectơ riêng ứng với gt riêng có dạng

Vectơ riêng ứng với gt riêng có dạng

Ma trận làm chéo hóa và .

Bài 33. Cho ma trận và . Hỏi có phải là những vectơ riêng

của ma trận không ? vì sao ?

HD: ;

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 9

BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ I NĂM HỌC 2016-2017

Bài 34. Ma trận sau có chéo hóa được không ? nếu được hãy đưa ma trận đó về dạng chéo :

HD: Ma trận có hai giá trị riêng là (bội 1) và (bội 2).

K/g riêng ứng với giá trị riêng (bội 1) là không gian 1 chiều sinh bởi

K/g riêng ứng với giá trị riêng (bội 2) là không gian 1 chiều sinh bởi

vuông cấp 3 không có đủ 3 vectơ riêng độc lập tuyến tính, do đó ma trận không thể

nên mt chéo hóa được.

-------------------------------------------- HẾT --------------------------------------------

BỘ MÔN TOÁN-KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 10