intTypePromotion=3

Bài tập Tích phân mặt - Nguyễn Thị Xuân Anh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:13

0
803
lượt xem
145
download

Bài tập Tích phân mặt - Nguyễn Thị Xuân Anh

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập Tích phân mặt trình bày các bài tập về tích phân mặt và lời giải của chúng, giúp học viên áp dụng kiến thức lý thuyết được học, nắm vững bài học tốt hơn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài tập Tích phân mặt - Nguyễn Thị Xuân Anh

  1. Bài tập tích phân mặt Bài 1: Tính các tp sau I1 = � xdydz + ydzdx + zdxdy S là phía trên nửa mặt � S cầu x2+y2+z2=4, z≥0 I2 = � zdxdy + y 2dxdz S là phía ngoài vật thể gh bởi � S 0 ≤z ≤1-x2-y2 I3 = � y 2dzdx + x 2dydz - zdxdy S là phía dưới nửa � S mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 I4 = � ( y - z )dydz + ( z - x )dzdx + ( x - y )dxdy � S S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 x 2 I5 = � zdxdy + ( + )dydz + ( y 2 + z )dxdz S là phía � S 2 x dưới phần mặt z=1-x2 với z≥0 bị chặn bởi -1≤y≤1
  2. Bài tập tích phân mặt I1 = � xdydz + ydzdx + zdxdy S là phía trên nửa mặt � S cầu x2+y2+z2=4, z≥0 Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt S Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-4=0, z≥0, suy ra: �F = (2 x,2y ,2z ) S là phía trên tức là pháp vecto của S cùng hướng với nửa dương trục Oz nên γ≤π/2 → cosγ≥0 Suy ra, dấu ta lấy cho pháp vecto đơn vị là “+” u r 1 n = + ( x, y , z ), z ᄈ 0 2 Tiếp theo, ta có thể chọn 1 trong 2 cách: Tính trực tiếp hoặc chuyển về tp mặt loại 1
  3. Bài tập tích phân mặt Với tp này, ta sẽ chuyển về tp mặtr loại 1 bằng cách u dùng CT , với pháp vecto đơn vị n = (cos a,cos b,cos g) � Rdxdy + Qdxdz + Pdzdy � S = �( P cos a + Q cos b + R cos g) ds � S u r 1 Từ I1 = � xdydz + ydzdx + zdxdy , n = + ( x, y , z ), z ᄈ 0 � S 2 1 2 Suy ra: I1 = � ( x + y + z ) ds 2 2 � S 2 Với tp mặt loại 1 này, ta đang có : x2+y2+z2=4 (pt mặt) 2dxdy Hình chiếu Dxy: x +y ≤4 Vi phân ds = 2 2 2 2 4- x - y
  4. Bài tập tích phân mặt 1 2dxdy Vậy: I1 = � 4.� 2 Dxy 4 - x2 - y 2 x=rcosφ 2p 2 dr 4� j � d r =16π y=rsinφ 0 2 0 4- r
  5. Bài tập tích phân mặt I2 = � zdxdy + y 2dxdz S là phía ngoài vật thể gh bởi � S 0≤z≤1-x2-y2 Mặt S gồm 2 mặt: S1 là phía dưới mp z=1, S2 là phía trên mặt paraboloid z=1-x2-y2 Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt S1: ur n1 = - (0,0,1) Và pháp vecto đơn vị của mặt S2: uu r 1 n2 = + (2 x,2y ,1) 2 2 4 x + 4y + 1
  6. Bài tập tích phân mặt Ta tính tp trên mặt S1 bằng cách chuyển về tp mặt ur loại 1 vì S1 là mặt phẳng có n1 = - (0,0,1) I21 = � zdxdy + y 2dxdz = � ( (- 1)z ) ds = 0 � � S1 ( z=0) Còn tp trên mặt S2 thì ta sẽ tính trực tiếp I22 = � zdxdy + y 2dxdz � S2 Tp theo dxdy với: pt mặt z=1-x2-y2, h/c Dxy: x2+y2≤1 uu r 1 Pháp vecto: n2 = + (2 x,2y ,1) → cosγ>0 4 x 2 + 4y 2 + 1 2 2 p Suy ra: I221 = + � (1- x - y )dxdy ↔ I221 = 2 � Dxy
  7. Bài tập tích phân mặt Tp theo dxdz: I222 = � y 2dxdz � Pt mặt: y2=z+x2-1 S2 uur 1 Pháp vecto: n2 = + (2 x,2y ,1) Suy ra: 2 2 4 x + 4y + 1 cosβ cùng dấu với y, tức là ta phải chia S2 thành 2 nửa ứng với y dương và y âm. Tuy nhiên, pt mặt paraboloid S2 chẵn với y nên 2 nửa này đối xứng nhau qua mp y=0, hình chiếu xuống mp y=0 của 2 nửa này như nhau Do đó, tp I222 chia thành 2 tp mà sau khi chuyển về tp kép thì là tổng của 2 tp kép trái dấu nhau. Tức là: I222=0 Vậy: I2 = I21 + I221 + I222 = p 2
  8. Bài tập tích phân mặt I2 = � zdxdy + y 2dxdz S là phía ngoài vật thể gh bởi � S 0≤z≤1-x2-y2 S là mặt cong kín phía ngoài nên ta sẽ áp dụng CT Gauss để tính I2 nhanh hơn CT Gauss: � Pdydz + Qdzdx + Rdxdy � S = ᄈ � (Pxᄈ + Qy + Rz )dxdydz �� ᄈ ᄈ V Ta có: I2 = +� (0 + 2y + 1)dxdydz �� V
  9. Bài tập tích phân mặt I2 = +� (0 + 2y + 1)dxdydz �� V 1- x 2 - y 2 I2 = � dxdy � � (2y + 1)dz x 2 +y 2 ᄈ 1 0 2p 1 I2 = � j � (2r sin j + 1)(1- r 2 )dr d r 0 0 p I2 = 2
  10. Bài tập tích phân mặt I3 = � y 2dzdx + x 2dydz - zdxdy S là phía dưới nửa � S mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 Nhận xét: Pt mặt S chẵn với 2 biến x, y nên khi tính tp theo dydz, dzdx ta sẽ chia S thành 2 nửa đối xứng có 2 pháp vecto tương ứng ngược dấu nhau. Vậy mỗi tp đó trở thành tổng 2 tp kép có miền lấy tp như nhau, hàm dưới dấu tp như nhau nhưng trái dấu nhau.
  11. Bài tập tích phân mặt Từ đó ta được: I31 = � y 2dxdz = 0 � S I32 = � x 2dydz = 0 � S Còn lại tp thứ ba: I33 = - � zdydx � S Pt mặt S (z dương): z = 4 - x 2 - y 2 Hình chiếu Dxy: x2+y2≤4 S là phía dưới tức là pháp vecto quay xuống dưới so với nửa dương trục Oz nên γ≥π/2 → cosγ≤0 Vậy: I = I = - 3 31 �� - 4 - x 2 - y 2dxdy = 16p x 2 +y 2 ᄈ 4 3
  12. Bài tập tích phân mặt I4 = � ( y - z )dydz + ( z - x )dzdx + ( x - y )dxdy � S S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 Ta viết lại pt mặt S: F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 - z(= 0) � x y � ᄈ ᄈ �F = ᄈ ᄈ 2 , ,- 1ᄈ ᄈ ᄈ x + y 2 x2 + y 2 ᄈ ᄈ � � S là phía ngoài nón tức là pháp vecto quay xuống dưới, cosγ≤0 nên u r 1 � x ᄈ y � ᄈ n=+ ᄈ ᄈ 2 , ,- 1ᄈ ᄈ 2ᄈ x + y 2 2 x +y 2 ᄈ ᄈ � �
  13. Bài tập tích phân mặt Đưa tp I4 về tp mặt loại 1 với ur 1 ᄈ� x y � ᄈ n=+ ᄈ ᄈ 2 , ,- 1ᄈ ᄈ 2 ᄈ x + y 2 x2 + y 2 ᄈ ᄈ � � I4 = � ( y - z )dydz + ( z - x )dzdx + ( x - y )dxdy � S 1 � x y � I4 = � � - z) 2 �( y + (z - x ) + (- 1)( x - y )� 2 S � � x +y 2 2 x +y 2 � � � � 1 �xz + yz - � I4 = � + (- 1)( x - y )� ds �� 2 � � 2 S �x + y 2 � � � 1 I4 = � 2( y - x ) 2dxdy = 0 � 2 x 2 +y 2 ᄈ 1

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản