Bài tập tích phân tổng hợp

Chia sẻ: Phung Tuyet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

326
lượt xem 83
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập tích phân tổng hợp', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập tích phân tổng hợp

Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1 x 3 3x 2 1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) =   ln x  C x 3 2 2x4  3 2x3 3 2. f(x) = ĐS. F(x) =  C x2 3 x x 1 1 . f(x) = 2 ĐS. F(x) = lnx + + C x x ( x 2  1) 2 x 3 1 4. f(x) = ĐS. F(x) =  2x   C x2 3 x 3 4 5 2 3 4 2x 3x 4x 5. f(x) = x 3 x 4 x ĐS. F(x) =   C 3 4 5 1 2 6. f(x) = 3 ĐS. F(x) = 2 x  33 x 2  C x x ( x  1) 2 7. f(x) = ĐS. F(x) = x  4 x  ln x  C x 5 2 x 1 8. f(x) = 3 ĐS. F(x) = x 3  x 3  C x x 9. f(x) = 2 sin 2 ĐS. F(x) = x – sinx + C 2 10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 1 1 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = x  sin 2 x  C 2 4 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 1 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C sin x. cos 2 x 2 cos 2 x 14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C sin x. cos 2 x 2 1 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =  cos 3x  C 3 1 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =  cos 5x  cos x  C 5 1 2x 17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) = e  e x  C 2 ex 18. f(x) = ex(2 + ) ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C cos 2 x 2a x 3 x 19. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) =  C ln a ln 3 1 20. f(x) = e3x+1 ĐS. F(x) = e 3 x 1  C 3 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3 www.Maths.edu.vn 1
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt 2 x3 2. f’(x) = 2 – x và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 2 x   1 3 8 x x x 2 40 3. f’(x) = 4 x  x và f(4) = 0 ĐS. f(x) =   3 2 3 1 x2 1 3 4. f’(x) = x -  2 và f(1) = 2 ĐS. f(x) =   2x  x2 2 x 2 5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x 4 – x3 + 2x + 3 b x2 1 5 6. f’(x) = ax + , f ' (1)  0, f (1)  4, f ( 1)  2 ĐS. f(x) =   x2 2 x 2 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I =  f [u ( x)].u' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x)  dt  u ' ( x)dx I =  f [u ( x)].u ' ( x)dx   f (t )dt BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx 1.  (5 x  1)dx 2.  (3  2 x) 5 3.  5  2 x dx 4.  2x 1 2 x 5.  (2 x  1) 7 xdx 6.  (x 3  5) 4 x 2 dx 7.  x 2  1.xdx 8.  2 dx x 5 3x 2 dx ln 3 x x 2 1 9.  dx 10.  2 11.  x dx 12.  x.e dx 3 5  2x x (1  x ) sin x tgxdx 13.  sin 4 x cos xdx 14.  5 dx 15.  cot gxdx 16.  cos 2 cos x x x dx dx e 17.  18.  19.  tgxdx 20.  dx sin x cos x x x e dx e tgx dx 21.  22.  2 dx 23.  1  x 2 .dx 24.  ex  3 cos x 4  x2 2 2 dx x 2 dx dx 25.  x 1  x .dx 26. 1 x2 27.  28.  2 1 x2 x  x 1 3 dx 29.  cos x sin 2 xdx 30. x x  1.dx 31.  x 32. x 3 x 2  1.dx e 1 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I  u ( x).v' ( x)dx  u ( x).v( x)   v( x).u' ( x)dx Hay  udv  uv   vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 1.  x.sin xdx 2.  x cos xdx 3.  (x  5) sin xdx 4  ( x 2  2 x  3) cos xdx www.Maths.edu.vn 2
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt x 5.  x sin 2 xdx 6.  x cos 2 xdx 7.  x.e dx 8.  ln xdx 2 ln xdx x 9.  x ln xdx 10.  ln xdx 11.  12.  e dx x x 2 2 13.  cos 2 dx 14.  xtg xdx 15.  sin x dx 16.  ln( x  1)dx x x2 17.  e x . cos xdx 18. x e 3 dx 19.  x ln(1  x )dx 2 20. 2 x xdx ln(1  x) 2 21.  x lg xdx 22.  2 x ln(1  x)dx 23.  dx 2 24. x cos 2 xdx x TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 e 1 1 1.  ( x3  x  1)dx 2.  ( x    x 2 )dx 0 1 x x2 3 2 2.  x  2 dx 3.  x  1dx 1 1  2 1 4.  (2sin x  3cosx  x) dx 5.  (e x  x)dx  0 3 1 2 6.  ( x3  x x )dx 7.  ( x  1)( x  x  1)dx 0 1  2 1 1 8.  (3sin x  2cosx  ) dx 9.  (e x  x 2  1)dx  x 0 3 2 2 10.  ( x 2  x x  3 x )dx 11.  ( x  1)( x  x  1)dx 1 1 3 2 3 x.dx 12.  ( x  1).dx 13. x 2 1 -1 2 2 e 5 7x  2 x  5 dx 14.  1 x dx 15.  2 x2  x2  2 2 ( x  1).dx cos3 x.dx 16.  2 17.  3 1 x  x ln x  sin x 6  1 4 tgx .dx ex  ex 18.  0 cos 2 x 19.  x 0 e  e x dx 1 2 ex .dx dx 20.  0 ex  e x 21.  1 4x 2  8x www.Maths.edu.vn 3
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt  ln 3 2 .dx dx 22.  0 e  e x x 22.  1  sin x 0 1 2 2 24.  (2 x 2  x  1)dx 25.  (2 x 3  x  )dx 1 0 3 2 4 26.  x( x  3)dx 27.  ( x 2  4)dx 2 3 2 2 1 1  x 2  2x 28.    2  3 dx 29.  x 3 dx 1 x x  1 1 e 16 dx 30.  31.  x .dx 1 x 1 e e2 8 2 x  5  7x  1  32.  dx 33.   4 x   dx  1 x 1  33 x 2  II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:   2 2 1.  sin 3 xcos 2 xdx 2.  sin 2 xcos 3 xdx   3 3   2 4 sin x 3.  1  3cosx dx 3.  tan xdx 0 0   4 6 4.  cot gxdx 5.  1  4sin xcosxdx  0 6 1 1 2 6.  x x  1dx 7. x 1  x 2 dx 0 0 1 1 3 2 x2 8.  x x  1dx 9.  dx 0 0 x3  1 1 2 3 2 1 10.  x 1  x dx 0 11. x x3  1 1 dx 1 1 1 1 12.  1 x 2 dx 13.  2 dx 0 1 x  2x  2 1 1 1 1 14.  dx 15.  (1  3x ) 2 2 dx 0 x2  1 0   2 2 sin x cosx 16. e cosxdx 17. e sin xdx   4 4 www.Maths.edu.vn 4
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt  1 2 2 2 18.  e x xdx 19.  sin 3 xcos 2 xdx 0  3   2 2 sin x cosx 20. e cosxdx 21. e sin xdx   4 4  1 2 2 2 22.  e x xdx 23.  sin 3 xcos 2 xdx 0  3   2 2 sin x 24.  sin 2 xcos 3 xdx 25.  1  3cosx dx  0 3   4 4 26.  tgxdx 27.  cot gxdx 0  6  6 1 28.  1  4sin xcosxdx 29. x x 2  1dx 0 0 1 1 30. x 1  x 2 dx 31. x 3 x 2  1dx 0 0 1 2 1 x 3 32.  dx 33. x 1  x 2 dx 3 0 x 1 0 2 e 1 1  ln x 34. x dx 35.  dx 1 x 1 3 1 x e e sin(ln x) 1  3ln x ln x 36.  dx 37.  dx 1 x 1 x e e2 e 2ln x 1 1  ln 2 x 38.  dx 39.  x ln x dx 1 x e 2 e 2 1 x 40.  cos 2 (1  ln x) dx e 41.  1 1 x 1 dx 1 1 x 42.  dx 43. x x  1dx 0 2x 1 0 1 1 1 1 44.  dx 45.  dx 0 x 1  x 0 x 1  x 3 e x 1 1  ln x 46.  dx 46.  dx 1 x 1 x e e sin(ln x) 1  3ln x ln x 47.  dx 48.  dx 1 x 1 x www.Maths.edu.vn 5
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt e e2 e2ln x 1 1  ln 2 x 49.  dx 50.  x ln x dx 1 x e 1 e2 1 51.  e 2 cos (1  ln x) dx 52.  0 x 2 x 3  5dx  2 4  sin x  1 cos xdx  4 53. 54. 4  x 2 dx 0 0 4 1 dx   2 55. 4  x dx 56. 0 0 1  x2 0 1 57.  e 2 x  3 dx 58.  e  x dx 1 0 1 1 x x 59.  (2x  1) dx 3 60.  dx 0 0 2x  1 1 1 4x  11 61.  x 1  xdx 62. x 2 dx 0 0  5x  6 1 3 2x  5 x3 63.  x 2  4x  4dx 64.  x 2  2x  1dx 0 0   6 2 4sin3 x 65.  (sin6 x  cos6 x)dx 66.  dx 0 0 1  cosx   4 2 1  sin2x 67.  dx 68.  cos4 2xdx 0 cos2 x 0  2 1 1  sin 2x  cos2x 1 69.  sin x  cosx dx 70.  dx .x  0 e 1 6   4 4 cos 2 x 71.  (cos 4 x  sin 4 x)dx 72.  dx 0 0 1  2 sin 2 x   2 sin 3 x 2 cos x 73.  dx 74.  dx 0 2 cos 3 x  1 0 5  2 sin x 0 2x  2 1 dx 75.  2 dx 76.  2 2 x  2x  3 1 x  2x  5   2 2 77.  cos3 x sin2 xdx 78.  cos xdx 5 0 0 www.Maths.edu.vn 6
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt  4 1 sin 4x 79.  dx 80.  x3 1  x2 dx 0 1  cos2 x 0   2 4 1 81.  sin2x(1  sin2 x)3dx 82.  cos 4 dx 0 0 x  e 4 1  ln x 1 83.  dx 84.  cosxdx 1 x 0 e 2 1 1  ln x 85.  dx 86.  x5 (1  x 3 )6dx 1 x 0  3 6 cosx tg4 x 87.  dx 88.  dx 0 6  5sin x  sin2 x 0 cos2x   4 cos x  sin x 2 sin 2 x 89.  dx 90.  dx 0 3  sin 2x 0 cos x  4 sin 2 x 2  ln 5 dx 2 sin 2 x 91.  x x 92.  2 dx ln 3 e  2e 3 0 ( 2  sin x )   ln(tgx) 3 4 93.  dx 94.  (1  tg 8 x)dx  sin 2 x 0 4   2 sin x  cos x 2 sin 2 x  sin x 95.  dx 96.  dx  1  sin 2 x 0 1  3 cos x 4   sin 2 x cos x 2 2 97.  dx 98.  (e sin x  cos x) cos xdx 0 1  cos x 0 2 x e 1  3 ln x ln x 99.  dx 100.  dx 11 x 1 1 x  1 41  2 sin 2 x 101.  dx 102.  1  x 2 dx 0 1  sin 2 x 0 1 1 1 1 103.  dx 104.  dx 0 1 x 2 4  x2 0 1 1 1 x 105. x 2 dx 106.  4 2 dx 0  x 1 0 x  x 1  2 2 12 x2 107.  dx 108.  dx 0 1 cos x  sin x 0 1 x2 2 2 3 1 109.  x 2 4  x 2 dx 110. x dx 1 2 x2  1 www.Maths.edu.vn 7
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt 3 1 9  3x 2 1 x 101.  dx 112.  dx 1 x2 0 (1  x)5  2 2 1 cos x 113.  dx 114.  dx 2 x x2  1 0 7  cos2x 3 1  1  x4 cos x 115.  1 x6 dx 116.  dx 0 0 1  cos2 x 0 dx 1 dx 117.  2 118.  1 x  2x  2 0 1  1  3x 8 x x 1 2 1 119.  dx 120.  dx 1 x5 x x2  1 3 7 3 x3 5 121.  dx 122. x 1  x2 dx 3 2 0 1 x 0 7 ln2 3 1 x 1 123.  x dx 124.  3 dx 0 e 2 0 3x  1 2 2 3 dx 125.  x2 x3  1dx 126.  0 5 x x2  4 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b Công thức tích phân từng phần :  u( x)v'(x)dx  u ( x)v( x ) b   v( x)u '( x)dx a a a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv sin ax     @ Dạng 1  f ( x) cosax dx  eax    u  f ( x)  du  f '( x)dx    sin ax   sin ax         dv  cos ax  dx v    cosax  dx  e ax    eax         @ Dạng 2:  f ( x) ln(ax)dx   dx u  ln(ax)  du  x Đặt    dv  f ( x )dx v  f ( x)dx    sin ax  @ Dạng 3:  eax .  dx  cosax  www.Maths.edu.vn 8
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt Ví dụ 1: tính các tích phân sau 1 u  x 2 e x 3 u  x5 x 2e x  x8 dx  a/  2 dx đặt  dx b/  4 3 đặt  x 3 dx 0 ( x  1)  dv  2 ( x  1)  dv  4  ( x  1) 2  ( x  1) 3 1 1 1 1 dx 1  x2  x2 dx x 2 dx c/   dx     I1  I 2 0 (1  x 2 ) 2 0 (1  x 2 )2 0 1  x 2 0 (1  x 2 ) 2 1 dx Tính I1   bằng phương pháp đổi biến số 0 1  x2 1 u  x x 2 dx  Tính I2 =  bằng phương pháp từng phần : đặt  x 0 (1  x 2 ) 2  dv  (1  x 2 )2 dx  Bài tập e 3 e ln x 1.  dx 2.  x ln xdx 1 x3 1 1 e 2 2 3.  x ln( x  1)dx 4. x ln xdx 0 1 e e ln 3 x 5.  3 dx 6.  x ln xdx 1 x 1 1 e 2 2 7.  x ln( x  1)dx 8. x ln xdx 0 1  2 e 1 9.  ( x  cosx) s inxdx 10.  ( x  x ) ln xdx 0 1  2 3 2 2 11.  ln( x  x )dx 12.  x tan  xdx 1 4  2 2 ln x 13.  1 x5 dx 14. 0  x cos xdx  1 2 15.  0 xe x dx 16.  0 e x cos xdx Tính các tích phân sau    1 2 6 2 1)  x.e 3 x dx 2)  ( x  1) cos xdx 3)  (2  x) sin 3xdx 4)  x. sin 2 xdx 0 0 0 0 www.Maths.edu.vn 9
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt e e 3 1 2 2 5)  x ln xdx 6)  (1  x ). ln x.dx 7)  4 x. ln x.dx 8)  x. ln(3  x ).dx 1 1 1 0   2  2 2 2 2 2 9)  (x  1).e x .dx 10)  x. cos x.dx 11) x . cos x.dx 12)  (x  2 x). sin x.dx 1 0 0 0  2 2 1 2 ln x 2 x 13)  5 dx 14)  x cos xdx 15)  e sin xdx 16)  sin xdx 17) 1 x 0 0 0   e 3  4 2 x  sin x  x ln xdx 18)  dx 19)  x sin x cos2 xdx 20)  x(2cos2 x  1)dx 21) 1 0 cos2 x 0 0  2 1 e 2 ln(1  x)  x2 dx 22)  (x  1)2 e2x dx 23)  (x ln x)2 dx 24)  cosx.ln(1  cosx)dx 1 0 1 0 e 1 ln x 1 1 25)  ( x  1)2 dx 26)  xtg2 xdx 27)  ( x  2)e 2 x dx 28)  x ln(1  x 2 )dx 1 0 0 0 e  e ln x 2 2 3 29)  dx 30)  ( x  cos 3 x) sin xdx 31)  (2 x  7) ln( x  1)dx 32)  ln( x 2  x)dx 1 x 0 0 2 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 5 b 2x  1 1 1.  x 2  3x  2 dx 2.  ( x  a)( x  b) dx 3 a 1 3 1 x  x 1 x3  x  1 3.  x  1 dx 4.  x 2  1 dx 0 0 1 1 x2 1 5.  (3x  1) 3 dx 6.  ( x  2) 2 dx 0 0 ( x  3) 2 2 2008 0 1 x 2 x3  6 x 2  9x  9 7.  x(1  x 2008 ) dx 8.  x 2  3x  2 dx 1 1 3 1 x4 x 2 n 3 9.  ( x 2  1) 2 dx 10.  (1  x 2 ) n dx 2 0 2 2 x2  3 1 11.  x( x 4  3x 2  2) dx 12.  x(1  x 4 dx 1 1 ) 2 1 1 x 13.  4 x 2 dx 14.  1 x 4 dx 0 0 2 1 1 x 15.  2 dx 16.  (1  x 2 3 dx 0 x  2x  2 0 ) 4 3 1 3x 2  3x  3 17.  x 3  2 x 2  x dx 18.  x 3  3x  2 dx 2 2 2 1 1  x2 1 19.  1  x 4 dx 20.  1 x 3 dx 1 0 www.Maths.edu.vn 10
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt 1 1 x6  x5  x 4  2 2  x4 21.  dx 22.  1  x 2 dx 0 x6 1 0 1 1 1 x4 4 x  11 23.  0 1 x 6 dx 24. 0 x2  5x  6 dx 1 dx 3 x2 25.  0 x2  x  1 26.  x  1 dx 2 1 0 2x  2 x2 27.      3 dx 28.      2 x  1dx 0  x 1  1  2x  1  2 1 2 3x  1 x  2x  3 29.      x  1dx 30.  dx 0  x2  0 x3 0 2 1  x  x 1   2x 2  x  2  31.     2 x  1dx  32.     x  1dx  1  x 1  0 x 1  1 dx 33. x 2 0  4x  3 IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:   2 2 1.  sin 2 x cos 4 xdx 2.  sin 2 x cos 3 xdx 0 0   2 2 3.  sin 4 x cos 5 xdx 4.  (sin 3 x  cos 3 )dx 0 0   2 2 5.  cos 2 x (sin 4 x  cos 4 x)dx 6.  (2 sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x)dx 0 0   2 2 1 7.  dx 8.  (sin 10 x  cos10 x  cos 4 x sin 4 x)dx  sin x 0 3   2 2 dx 1 9.  2  cos x 10.  2  sin x dx 0 0   2 sin 3 x 3 dx 11.  1  cos 2 x dx 12.  4 0  sin x. cos x 6   4 2 dx cos x 13.  sin 2 14.  1  cos x dx 0 x  2 sin x cos x  cos 2 x 0 www.Maths.edu.vn 11
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt   2 2 cos x sin x 15.  2  cos x dx 16.  2  sin x dx 0 0   2 cos 3 x 2 1 17.  1  cos x dx 18.  sin x  cos x  1 dx 0 0   2 2 cos xdx sin x  cos x  1 19.  2 20.  sin x  2 cos x  3 dx  (1  cos x )  3 2   4 4 21.  tg 3 xdx 22.  cot g 3 xdx 0  6   3 4 1 23.  tg 4 xdx 24.  1  tgx dx  0 4   4 2 dx sin x  7 cos x  6 25.  26.  4 sin x  5 cos x  5 dx 0 cos x cos( x   ) 0 4  2 4 dx 27.  1  sin x dx 28.  2 sin x  3 cos x  0 0 13   4 4 sin 3 x 2 1  cos 2 x  sin 2 x 29.  1  cos 4 x dx 30.  dx 0 0 sin x  cos x   2 2 sin 3 x dx 31.  dx 32.  0 1  cos x  sin 2 x  sin x 4   4 sin 3 x 2 33.  cos 2 x dx 34.  sin 2 x(1  sin 2 x) 3 dx 0 0   3 3 sin 3 x  sin x 35.  cos x sin x dx 36.  dx 0  sin 3 xtgx 4   2 2 dx dx 37.  1  sin x  cos x 38.  2 sin x  1 0 0   2 4 3 sin 4 xdx 39.  cos x sin 5 xdx 40.  1  cos 2  0 x 4 www.Maths.edu.vn 12
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt   2 6 dx dx 41.  5 sin x  3 2.  4 0  sin x cos x 6   3 3 dx dx 43.  4.      sin x sin( x  ) sin x cos( x  ) 6 6 4 4   3 2 3 sin xdx  45.  46.  tgxtg ( x  )dx  cos 6 x  6 4 6  3 0 4 sin xdx sin 2 x 47.  (sin x  cos x) 3 48.  (2  sin x) 2 0  2   2 2 2 49.  sin 3 x dx 50. x cos xdx 0 0   2 2 1  sin x 51.  sin 2 x.e 2 x 1dx 52.  1  cos x e x dx 0 0   4 2 sin 3 x sin 4 x sin 2 xdx 53.  dx 54.  sin 2  tgx  cot g 2 x 0 x  5 sin x  6 6  2 3 ln(sin x) 55.  cos(ln x)dx 56.  dx 1  cos 2 x 6  2  2 2 57.  (2 x  1) cos xdx 0 58.  x sin x cos 0 xdx  4  2 59.  xtg xdx 60.  e 2 x sin 2 xdx 0 0   2 4 sin 2 x 61. e sin x cos 3 xdx 62.  ln(1  tgx)dx 0 0   4 2 dx (1  sin x) cos x 63.  (sin x  2 cos x) 2 64.  (1  sin x)(2  cos 2 dx 0 0 x)   2 2 65.    sin 2 x sin 7 xdx 66.  0 cos x(sin 4 x  cos 4 x) dx 2 www.Maths.edu.vn 13
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt  2  4sin 3 x 2 67.  0 1  cos x dx 68.  cos 5 x. cos 3xdx  2   2 4 x 69. sin 7 x. sin 2 xdx 70.  sin cos xdx 0 2  2  4 71.  sin 2 xdx 0 V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b  R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: a ax  +) R(x, ) §Æt x = a cos2t, t  [0; ] ax 2 +) R(x, a 2  x 2 ) §Æt x = a sin t hoÆc x = a cos t ax  b ax  b +) R(x, n ) §Æt t = n cx  d cx  d 1 +) R(x, f(x)) = 2 Víi ( x 2  x   )’ = k(ax+b) (ax  b) x  x   1 Khi ®ã ®Æt t = x 2  x   , hoÆc ®Æt t = ax  b   +) R(x, a 2  x 2 ) §Æt x = a tgt , t  [ ; ] 2 2 a  +) R(x, x 2  a 2 ) §Æt x = , t  [0;  ] \ { } cos x 2 +) R  n1 n2 ni  x ; x ;...; x Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) k §Æt x = t 2 3 2 dx dx 1.  2.  5 2 x x 4 2 x x2 1 3 1 2 2 dx dx 3.  (2 x  3) 4. x  1 4 x 2  12 x  5 1 x3 1 2 2 2 dx 5.  x 2  2008dx 6.  1 1 x 2  2008 1 1 7.  x 2 1  x 2 dx 8.  (1  x 2 ) 3 dx 0 0 www.Maths.edu.vn 14
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt 2 3 x2 1 2 1 x 9. x dx 10.  dx 1 2 x2 1 0 1 x 2 1 2 dx dx 11.  2 3 12.  0 (1  x ) 0 (1  x 2 ) 3 2 1 2 x 2 dx 13.  1  x 2 dx 14.  0 0 1  x2   2 2 cos xdx 15.  16.  sin x cos x  cos 2 x dx 0 7  cos 2 x 0   2 2 cos xdx sin 2 x  sin x 17.  18.  dx 0 2  cos 2 x 0 1  3 cos x 7 3 x 3 dx 19.  20.  x 3 10  x 2 dx 0 3 1  x2 0 1 1 xdx x 3 dx 21.  22.  x 0 2x  1 0 x2 1 7 1 dx 23.  24.  x15 1  3x 8 dx 2 2x  1  1 0  2 ln 3 6 dx 25.  1  cos 3 x sin x cos 5 xdx 26.  0 0 ex 1 1 ln 2 dx e 2 x dx 27. 1 x  28.  1 x2 1 0 ex 1 1 e 1  3 ln x ln x 29.  12 x  4 x 2  8dx 30.  dx 5 1 x 4 3 4 x5  x 3 31.  dx 32.  x 3  2 x 2  x dx 2 0 1 x 0 0 ln 3 ln 2 x 33.  x(e 2 x  3 x  1)dx 34.  dx 1 ln 2 x ln x  1  cos 2 x  2 3tgx ln 2 3 cos 2 x e x dx 35.  dx 36.  0 cos 2 x 0 (e x  1) 3   3 2 cos xdx cos xdx 37.  38.  0 2  cos 2 x 0 1  cos 2 x 7 2a x2 39.  3 dx 40.  x 2  a 2 dx 0 x3 0 www.Maths.edu.vn 15
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: a a Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã:  f ( x) dx   [ f ( x)  f (  x)]dx a 0 3 3 VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [- ; ] tháa m·n f(x) + f(-x) = 2  2 cos 2 x , 2 2 3 2 TÝnh:  f ( x)dx 3  2 1 x 4  sin x +) TÝnh  2 dx 1 1  x a Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã:  f ( x)dx = 0. a  1 2 VÝ dô: TÝnh:  ln( x  1  x 2 )dx  cos x ln( x  1  x 2 )dx 1  2 a a Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:  f ( x) dx = 2  f ( x) dx a 0  2 1 x dx x  cos x VÝ dô: TÝnh x 1 4  x2 1    4  sin 2 x dx 2 a a f ( x) Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: a1  b x dx   f ( x)dx  0 (1  b>0,  a)  3 2 x2 1 sin x sin 3 x cos 5 x VÝ dô: TÝnh:  dx  dx 3 1  2 x 1 ex  2   2 2  Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th×  f (sin x)   f (cos x)dx 2 0 0   2 sin 2009 x 2 sin x VÝ dô: TÝnh  sin 2009 x  cos 2009 x dx  dx 0 0 sin x  cos x   Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã:  xf (sin x)dx  f (sin x) dx 0 2 0   x x sin x VÝ dô: TÝnh  1  sin x dx  2  cos x dx 0 0 b b b b Bµi to¸n 6:  f (a  b  x)dx   f ( x) dx   f (b  x) dx   f ( x) dx a a 0 0 www.Maths.edu.vn 16
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt   4 x sin x VÝ dô: TÝnh  1  cos 2 dx  sin 4 x ln(1  tgx)dx 0 x 0 Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: a T T nT T  f ( x)dx   f ( x) dx   f ( x) dx  n  f ( x) dx a 0 0 0 2008 VÝ dô: TÝnh  1  cos 2 x dx 0 C¸c bµi tËp ¸p dông:  1 4 1 x2 x 7  x 5  x3  x  1 1.  dx 2.  dx 1 1 2x cos 4 x  4  1 2 dx x  cos x 3.  (1  e x 4.  4  sin 2 dx 1 )(1  x 2 ) x  2 1 2 2 1 x 5.  cos 2 x ln( )dx 6.  sin(sin x  nx)dx 1 1 x 0  2  tga cot ga 2 sin 5 x xdx dx 7.  dx 8.  1 x2    1 (tga>0)   1  cos x 1 1 x(1  x 2 ) 2 e e VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3 2 1.  x 2  1dx 2. x 2  4 x  3 dx 3 0  1 2 3.  x x  m dx 4.  sin x dx 0  2   3 5.  1  sin x dx 6.  tg 2 x  cot g 2 x  2dx   6 3 4 2 7.  sin 2 x dx 8.  1  cos x dx  0 4 5 3 9.  ( x  2  x  2 )dx 10.  2 x  4 dx 2 0  3 4 3 2 11.  cos x cos x  cos x dx 12. 2) x  3x  2dx  1  2 www.Maths.edu.vn 17
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt 5 2 1 13.  ( x  2  x  2 )dx 14.  x2   2dx 3 1 x2 2 3  x 15. 2  4dx 16.  1  cos2xdx 0 0 2 2 17.  1  sin xdx 18.  x 2  x dx 0 0 VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2  Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2  Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt Bµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa díi 0x b»ng nhau x  x 3  Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y  o  x  1 y  0  Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn  x 2  2ax  3a 2  y  1 a4 Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi  2 T×m a ®Ó diÖn tÝch  y  a  ax   1 a4 lín nhÊt Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:  3x  1  x2 y  4  y  x  1  y  x 2  4x  3  1) (H1):   2 4 2) (H2) :   3) (H3):  y  0 y  x y  x  3  x  0   4 2   y  x 2 y  x y2  x  5  0 4) (H4):   2 5) (H5):   2 6) (H6):   x  y  y  2  x  x  y  3  0 www.Maths.edu.vn 18
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt  lnx y  2 x 3 3   2  y  x 2  2x y  x  x  7) (H 7):  y  0  8) (H8) :   2 9) (H 9):  2 2 x  e  y  x  4x  y  x   x  1  2 (C ) : y  x (C ) : y  e x  y  2y  x  0   10) (H 10):  11) (d ) : y  2  x 12) (d ) : y  2 x  y  0 (Ox) () : x  1   y  x  y 2  2x  1 y   4  x2  13)  14)  2  15)  x  y  2  0 y  x 1 x  3y  0  y  0   x2 y  2  y  ln x, y  0  y 2  2x 16  17  18)  1  y  1  y  x, y  0, y  3 x  e , x  e    1 x 2  1 1  y  sin 2 x ; y  cos 2 x 19.   20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)  x  ; x     6 3 y  x 2  y  x  4x  5  y  x 2  6x  5  1   2  y  21)  y  2 x  4 22)  y   x  4 x  3 23)  x  y  4 x  11  y  3 x  15 y  0    x  e  3  y  / x2 1/ y  x  y  3 x 2  / x /  2 24)  25)  2  26)  y  / x / 5 y  x  y  0  y  x 2  2x  2 2 y  x2  2   y  / x 1/ 27)  28)  y  x 2  4 x  5 29)   2 y  4  x y  1  y  x  7    y  x3  y  sin x  2 cos x  2  y  x  3  30)  y  0 31)  y  3  32)  x  x  2; x  1  x  0; x   y  0     y  2x 2  2x 2  y  x  2x   y  / x 2  5x  6 / 33)  34)  y  x 2  3x  6 35)  y  x  2  x  0; x  4 y  6   y  2x 2   y  / x 2  3x  2 / 36)  y  x 2  2 x  1 37)  y  2 y  2  www.Maths.edu.vn 19
Nguyễn Đức Chức Trung tâm LT & BDVH Star – 47 BTX – Đà Lạt  y  / x 2  5x  6 /  y  / x 2  3x  2 /  y  / x 2  4x  3 / 38)  39)   40)  y  x 1  y  x2  y  3 y  eÏ  x2  y   y  sin/ x / 41)  y  e  x 42)  x2  x6 43)  x  1  x  0; x  1  y  / x /     y  2x 2  y 2  2x    y 2  x 2 (a 2  x 2 ) 44)  y  x 2  4 x  4 45) 2 x  2 y  1  0 46)  y  8 y  0 a  0   2 2 2  x  ( y  1) 2  y  ( x  1)  y  / x 1/ x  / y  1/  47)  48)  49)  32)  y  sin x 33)  x  sin y x  2 x  2 x  0      x  0; 2 x  y  4  4  1  2 34)  x  y  x  2   4 2  x y  ;y  0  1 x4  y  x2  x2 y  5   y  / log x /   2  y  6x x2  2  y  (4  x) 3  35)  y  0 36)  2 37)  y   38)  2 39)  y  0  x  0; y  3  x  x  y 2  16   27  y  4x    1  27  x  , x  10 y   x  10 y  x ax  y 2   y 2  2x 40)   (a>0) 41)  y  sin 2 x  x 42)  2  43) x2/25+y2/9 = 1 vµ hai tiÕp ay  x 2  0  x   27 y  8( x  1)  2  tuyÕn ®i qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 vµ ®iÓm A(2;5) ®êng th¼ng (d) ®i qua A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt  y  x3  2x 2  4x  3 45)  y  0 TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức: y y x b xa (C ) : y  f ( x) b y b x0 (C ) : x  f ( y) a ya x O a y0 b x O www.Maths.edu.vn 20