intTypePromotion=3

Tích Phân - Ứng dụng tích phân - Tính diện tích hình phẳng - Tính thể tích

Chia sẻ: Starr Emily | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:18

0
68
lượt xem
6
download

Tích Phân - Ứng dụng tích phân - Tính diện tích hình phẳng - Tính thể tích

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Tích Phân, ứng dụng tích phân, tính diện tích hình phẳng, tính thể tích tổng hợp các bài tập và cách giải chi tiết sẽ giúp các bạn ôn tập dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tích Phân - Ứng dụng tích phân - Tính diện tích hình phẳng - Tính thể tích

  1. Tích Phân ­ Ứng dụng tích phân ­ Tính diện tích hình phẳng ­  Tính thể tích Tích Phân ­ Ứng dụng tích phân ­ Tính diện tích hình phẳng ­ Tính thể tích Bài toán tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong  chương trình Giải Tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản, thực tế và quen  thuộc. Tuy nhiên các em học sinh thường chưa có sự phân tích và tư duy thực  tế  dẫn tới  mắc sai lầm và đưa ra những lời giải sai, chưa chính xác. Việc hệ  thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một số sai lầm khi giải toán sẽ cho phép  nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhất quán từ đó giúp các em học sinh  có thể thấy được thuật toán chung cũng như tránh được những sai lầm khi giải  các bài toán có liên quan.  Khắc phục được khó khăn và sửa chữa được các sai lầm đó là rất cần thiết,  giúp cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao. Đồng  thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng  như các môn học khác. Xuất phát từ thực tế trên, tôi mạnh dạn đề xuất một ý  kiến nhỏ “Phân loại các bài tập ứng dụng tích phân – Chương III­ Giải tích 12  nâng cao” I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong: Nếu hàm số liên tục trên đoạn  thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ  thị hàm số  , trục hoành và hai đường thẳng  là    (1) Để khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f(x) ta thường thực hiện:
  2. Cách 1: Sử dụng “định lí về dấu của nhị thức bật nhất”và “định lí về dấu của  tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f (x).       ( Chú ý: Nếu f (x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có:  ) Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn   để suy ra dấu của  f (x)  trên đoạn đó . Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía dưới  trục hoành thì Nếu trên đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành  thì  Nếu phương trình  f(x) = 0 có  k nghiệm phân biệt  x1 , x2 , …, xk  thuộc (a ; b)  thì trên mỗi khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không  đổi .       Khi đó để tính tích phân   ta có thể tính như sau :
  3. Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  , đường  thẳng x=3, trục tung và trục hoành. Giải: Đặt  . Ta thấy   trên  và   trên  . Theo công  thức (1), diện tích S của hình đang xét là: Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  , trục  hoành, đường thẳng x =­3 và đường thẳng x= 4. Giải: Đồ thị hàm số   cắt trục hoành tại 3 điểm x = ­2, x = 0, x= 2. Cách 1: Lập bảng xét dấu ta có:  trên   và  trên  Khi đó diện tích S của hình đang xét là:
  4. Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số: Vẽ đồ thị hàm số:  . Dựa vào đồ thị ta có: Cách 3: Đồ thị hàm số   cắt trục hoành tại 3 điểm x = ­2, x = 0, x= 2. Khi đó diện tích cần tìm:
  5. Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  y = xlnx  ,  trục hoành , trục tung và đường thẳng  x = e . Hình 16 Hình 16 Giải Trục tung có phương trình x = 0 Diện tích S cần tìm là  Đặt   
  6. Do đó    (đvdt) Nhận xét: Trong ví dụ 1, 2 là hai bài toán vận dụng ở dạng đơn giản, nhớ công  thức nhưng ở bài toán ví dụ 3 nhiều học sinh rất dễ nhầm lẫn ở việc xác định  cận lấy tích phân. Do đó cách vẽ đồ thị của hàm số để xác định hình cần tính là  rất quan trọng. Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm  số   , trục hoành, trục tung và đường thẳng  x = 3 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường  thẳng  . Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số  liên  tục trên đoạn  và hai đường thẳng  , ta có công thức sau:
  7.                            Trong công thức trên: Trường hợp hình 1.  ta có công thức khai triển của S:  nếu  Trường hợp hình 2. ta có công thức khai triển của S:  nếu 
  8. Trường hợp hình 3. ta có công thức khai triển của S: ( trong đó c là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số  ) Một cách thức chung người ta thường thực hiện các bước sau:                    Bước1: Nếu hai đường   đề bài cho thiếu một hoặc cả hai  thì giải phương trình   để tìm.                    Bước 2: Áp dụng công thức (2).                    Bước 3: Rút gọn biểu thức  , sau đó xét dấu của hiệu này.                    Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa giá trị  tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàn  số   và hai đường thẳng x =­1, x= 3. Giải: Trước hết ta tìm hoành độ giao điểm các đồ thị của hai hàm số đã cho. Ta  có phương trình hoành độ giao điểm:  . Khi đó ta có :
  9. Ví dụ  2:  Tính diện  tích hình phẳng giới hạn bởi  . Giải: Phương trình hoành độ giao điểm Bảng xét dấu x 0            1            3        –     0     +
  10. . Vậy   (đvdt). Ví dụ 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  . Giải Ta có, phương trình hoành độ giao điểm:  . Vậy diện tích cần tìm   (đvdt). Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị các hàm  số:  Giải: Trước hết ta vẽ các đồ thị hai hàm số trên một hệ trục:   
  11.      Từ hình vẽ ta suy ra hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương  trình:  Khi  đó  :    (đvdt) Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:  Giải: Ta có:  . Do đó đồ thị là nửa phía trên của  Elip  . Từ đó ta có đồ thị hai hàm số trên hệ trục:
  12. Hoành độ của hai giao điểm A, B là nghiệm phương  trình:  Khi đó, diện tích cần tính:   Chú ý: ở các bài tập này học sinh có thể gặp lúng túng khi xác định các  cận lấy tích phân. Lưu ý học sinh khi các bài toán có thể vẽ được đồ thị, không  quá rắc rối và khó khăn (có thể vẽ phác họa) thì việc vẽ hình sẽ giúp nhận diện   được hình cần tính một cách dễ dàng. Trong trường hợp việc vẽ hình khó thực hiện, chưa xác định được dấu của biểu   thức  thì nên sử dụng công thức tính bằng cách khử dấu giá trị tuyệt  đối.
  13. Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong    và    Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số: Khi đó diện tích cần tìm: Khi 0
  14. Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới  hạn bởi các đường  y = x2 – 2x, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục hoành Ox. Giải: Theo công thức (2), ta có:    (đvtt) Ví dụ 2: Tính thể tích hình cầu do hình tròn   quay quanh Ox. Giải: Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là  . Phương trình 
  15. Theo công thức tính thể tích, ta có . Vậy thể tích cần tim   (đvtt). Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới  hạn bởi các đường  Giải: Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số   ( do x>0) Khi đó thể tích vật thể cầm tìm:   Đặt 
  16. Ta có :  Vậy thể tích cần tìm  (đvtt) Ví dụ 4: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới  hạn bởi bốn đường sau quanh trục hoành Ox. , y = 0  , x = 1  , x = e. Giải: Theo công thức tính thể tích, ta có:     (đvtt) Đặt   Do đó    Đặt  
  17. Vậy Thể tich cần tìm  = p(e – 2)    (đvtt) Chú ý: Trong trường hợp hình phẳng được giới hạn hai đường  cong  khi đó thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức   sau: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường  ,   và   quay quanh trục  Ox là  . Ví   dụ   1:   Tính   thể   tích   hình   khối   do   hình   phẳng   giới   hạn   bởi   các  đường   quay quanh Ox. Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hai hàm số: Thể tích cần tìm:
  18. Vậy V=  ( đvtt) Ví dụ  2: Tính thể  tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường  ,   quay quanh Ox. Giải: Hoành độ giao điểm  . . Vậy thể tích cần tìm   (đvtt).

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản