Tích Phân: Ứng Dụng Tích Phân Tính Diện Tích Hình Phẳng và Thể Tích

ụ

ệ

ẳ

Ứ Tích Phân ng d ng tích phân Tính di n tích hình ph ng Tính th tíchể

Ứ ụ ệ ể ẳ Tích Phân ng d ng tích phân Tính di n tích hình ph ng Tính th tích

ậ ẳ ể ệ

ộ ạ ữ ể ơ ả và quen Bài toán tính di n tích hình ph ng và th tích v t th tròn xoay trong ng trình Gi

ọ ự ng ch a có s phân tích và t

ả ắ ư ườ ữ i ẫ ớ m c sai l m và đ a ra nh ng l ự ế ự ư duy th c ệ ệ i sai, ch a chính xác. Vi c h

ỉ ố ươ ẽ ả

i Tích 12 là m t trong nh ng d ng toán c b n, th c t ư ờ i gi ộ ố i, ch ra m t s sai l m khi gi ấ

ể ấ ượ ừ ượ ư ữ ậ ư ầ ả ng pháp gi ộ ệ ố c thu t toán chung cũng nh tránh đ i toán s cho phép ọ đó giúp các em h c sinh ả ầ i c nh ng sai l m khi gi

ế ắ ầ c khó khăn và s a ch a đ

c các sai l m đó là r t c n thi ạ t, ồ ả

ử ữ ượ ượ ễ i toán đ c d dàng, thu n l ự ạ ủ ọ ấ ầ ả ậ ợ i và đ t hi u qu cao. Đ ng duy, năng l c sáng t o c a h c sinh khi h c t p môn toán cũng

ấ

ừ ự ế th c t ụ ờ ư ế ươ ạ ệ ọ ậ ấ ạ ộ ề trên, tôi m nh d n đ xu t m t ý ả i tích 12 ng III Gi

ả ươ ch ộ thu c. Tuy nhiên các em h c sinh th tế d n t ầ th ng hoá các ph ậ nhìn nh n các bài toán theo m t h th ng nh t quán t có th th y đ các bài toán có liên quan. ụ ượ Kh c ph c đ giúp cho quá trình gi ể ư th i phát tri n t ạ ọ nh các môn h c khác. Xu t phát t ậ ứ ỏ ki n nh “Phân lo i các bài t p ng d ng tích phân – Ch nâng cao”

Ẳ Ệ I. TÍNH DI N TÍCH HÌNH PH NG:

ệ ẳ ớ ạ ộ ườ 1. Di n tích hình ph ng gi ở i h n b i m t đ ng cong:

ế ủ ụ ệ ẳ ớ ạ N u hàm s ố liên t c trên đo n ạ thì di n tích S c a hình ph ng gi ở ồ i h n b i đ

ị ụ ườ th hàm s ố , tr c hoành và hai đ ẳ ng th ng là

(1)

ể ử ấ ứ ể ị ườ ệ ệ ố ủ Đ kh d u giá tr tuy t đ i c a bi u th c f(x) ta th ự ng th c hi n:

ử ụ ề ấ ủ ấ ị

ề ấ ủ ấ ứ ậ ị ể ể ị ứ ậ Cách 1: S d ng “đ nh lí v d u c a nh th c b t nh t”và “đ nh lí v d u c a ứ tam th c b c hai” đ xét d u các bi u th c f (x).

ổ ấ ế ( Chú ý: N u f (x) không đ i d u trên [a ; b] thì ta có: )

ồ ị ủ ự ố ấ ủ ể ạ Cách 2: D a vào đ th c a hàm s y =f(x) trên đo n đ suy ra d u c a

f (x)

ạ trên đo n đó .

ồ ị ế ạ ằ ố ụ N u trên đo n [a; b] đ th hàm s y = f (x) n m phía d ướ tr c hoành thì i

ồ ị ụ ế ạ ằ ố N u trên đo n [a; b] đ th hàm s y = f(x) n m phía trên tr c hoành

thì

ế ệ ộ f(x) = 0 có k nghi m phân bi t

ng trình ả ứ ấ ệ x1 , x2 , …, xk thu c (a ; b) ể 1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) bi u th c f(x) có d u không

ươ N u ph ỗ thì trên m i kho ng (a ; x đ i .ổ

ư ể ể Khi đó đ tính tích phân ta có th tính nh sau :

ụ ệ ẳ ớ ạ ườ ở ồ ị i h n b i đ th hàm s ố , đ ng

ụ ụ ẳ Ví d 1: Tìm di n tích hình ph ng gi th ng x=3, tr c tung và tr c hoành.

ặ i: Đ t trên và trên . Theo công

. Ta th yấ ủ ệ ả Gi ứ th c (1), di n tích S c a hình đang xét là:

ố , tr c ụ

ẳ ườ ệ ẳ ườ ụ Ví d 2: Tính di n tích hình ph ng gi hoành, đ ng th ng x =3 và đ ớ ạ ở ồ ị i h n b i đ th hàm s ẳ ng th ng x= 4.

ả ồ ị ắ ụ ạ ể Gi i: Đ th hàm s ố c t tr c hoành t i 3 đi m x = 2, x = 0, x= 2.

ấ ậ ả Cách 1: L p b ng xét d u ta có:

trên và trên

ệ ủ Khi đó di n tích S c a hình đang xét là:

ồ ị ự ố Cách 2: D a vào đ th hàm s :

ẽ ồ ị ố V đ th hàm s : .

ồ ị ự D a vào đ th ta có:

ồ ị ắ ụ ạ ể Cách 3: Đ th hàm s ố c t tr c hoành t i 3 đi m x = 2, x = 0, x= 2.

ệ ầ Khi đó di n tích c n tìm:

ụ ệ ở ồ ị i h n b i đ th hàm s ố y = xlnx ,

ườ ụ ụ ủ Ví d 3: Tính di n tích c a hình ph ng gi tr c hoành , tr c tung và đ ớ ạ ẳ ẳ x = e . Hình 16 ng th ng

Hình 16

Gi iả

ụ ươ Tr c tung có ph ng trình x = 0

ệ ầ Di n tích S c n tìm là

Đ tặ

Do đó (đvdt)

ụ ớ

ư ở ụ ề ị

ơ ả d ng đ n gi n, nh công ẫ ở ệ ọ bài toán ví d 3 nhi u h c sinh r t d nh m l n vi c xác đ nh ầ ị ẽ ồ ị ủ ố ể

ọ ậ ụ ở ạ ậ Nh n xét: Trong ví d 1, 2 là hai bài toán v n d ng ầ ấ ễ ứ th c nh ng ậ ấ c n l y tích phân. Do đó cách v đ th c a hàm s đ xác đ nh hình c n tính là ấ r t quan tr ng.

ụ ủ ệ ẳ ớ ạ Ví d 4: Tính di n tích c a hình ph ng gi ở ồ ị i h n b i đ th hàm

ụ ụ ườ số , tr c hoành, tr c tung và đ ng th ng ẳ x = 3

ệ ẳ ớ ạ ườ ườ 2. Di n tích hình ph ng gi ở i h n b i hai đ ng cong và hai đ ng

th ngẳ .

ủ ệ ẳ ớ ạ ở ồ ị Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ th các hàm s ố liên

ườ ứ ạ ụ t c trên đo n và hai đ ẳ ng th ng , ta có công th c sau:

ứ Trong công th c trên:

ườ ợ ể ủ ứ Tr ng h p hình 1. ta có công th c khai tri n c a S:

n uế

ườ ể ủ ứ ợ Tr ng h p hình 2. ta có công th c khai tri n c a S:

n uế

ườ ể ủ ứ ợ Tr ng h p hình 3. ta có công th c khai tri n c a S:

ồ ị ủ ể ộ ( trong đó c là hoành đ giao đi m c a hai đ th hai hàm s ố )

ộ ườ ườ ự ệ ướ ứ M t cách th c chung ng i ta th ng th c hi n các b c sau:

ế ề ặ ả ộ ướ B c1: N u hai đ ườ ng đ bài cho thi uế m t ho c c hai

ả ươ ể thì gi i ph ng trình đ tìm.

ướ ứ ụ B c 2: Áp d ng công th c (2).

ướ ể ọ ệ ứ B c 3: Rút g n bi u th c ấ ủ , sau đó xét d u c a hi u này.

ướ ụ ị ị

ệ ố ể ử ấ ệ ố ị ạ B c 4: Dùng phép phân đo n tích phân và áp d ng đ nh nghĩa giá tr tuy t đ i đ kh d u giá tr tuy t đ i.

ụ ệ ẳ ớ ạ Ví d 1: Tính di n tích hình ph ng gi ở ồ ị i h n b i đ th các hàn

ườ ẳ số và hai đ ng th ng x =1, x= 3.

ả ướ ế ồ ị ủ ể ộ ố Gi i: Tr c h t ta tìm hoành đ giao đi m các đ th c a hai hàm s đã cho. Ta

ươ ộ có ph ể ng trình hoành đ giao đi m: .

Khi đó ta có :

Ví d 2:ụ Tính di nệ

ẳ ớ ạ tích hình ph ng gi ở i h n b i .

Gi i:ả

ươ ể ộ Ph ng trình hoành đ giao đi m

ấ ả B ng xét d u

x 0 1 3

– 0 +

V yậ (đvdt).

ụ ệ ẳ ớ ạ Ví d 3 : Tính di n tích hình ph ng gi ở i h n b i .

Gi iả

ươ ộ Ta có, ph ể ng trình hoành đ giao đi m:

ệ ầ ậ V y di n tích c n tìm (đvdt).

ụ ệ ẳ ớ ạ ồ ị ớ Ví d 4: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đ th các hàm

s :ố

ả ướ ế ồ ị ẽ ố Gi i: Tr c h t ta v các đ th hai hàm s trên m t h tr c: ộ ệ ụ

ủ ừ ể ệ ẽ ộ ươ T hình v ta suy ra hoành đ giao đi m A, B là nghi m c a ph ng

trình:

Khi đó

: (đvdt)

ụ ệ ẳ ớ ạ ườ Ví d 5: Tính di n tích hình ph ng gi ở i h n b i các đ ng:

ả ồ ị ủ ử Gi i: Ta có: . Do đó đ th là n a phía trên c a

ệ ụ ồ ị ừ ố Elip . T đó ta có đ th hai hàm s trên h tr c:

ộ ủ ể ệ ươ Hoành đ c a hai giao đi m A, B là nghi m ph ng

trình:

ệ ầ Khi đó, di n tích c n tính:

ở ậ ọ Chú ý: ể ặ các bài t p này h c sinh có th g p lúng túng khi xác đ nh các

ư ọ

ệ ẽ ọ ị ể ẽ ượ ồ ị ẽ

ể ẽ ễ ầ ậ ấ c đ th , không c n l y tích phân. L u ý h c sinh khi các bài toán có th v đ ệ ậ quá r c r i và khó khăn (có th v phác h a) thì vi c v hình s giúp nh n di n ượ đ ắ ố ộ c hình c n tính m t cách d dàng.

ườ ệ ẽ ự ư ệ ợ ị ượ ấ ủ Trong tr ng h p vi c v hình khó th c hi n, ch a xác đ nh đ ể c d u c a bi u

ử ụ ử ấ ứ ệ ằ ị thì nên s d ng công th c tính b ng cách kh d u giá tr tuy t

th cứ đ i.ố

ụ ệ ẳ ớ ạ ườ Ví d : Tính di n tích hình ph ng gi ở i h n b i hai đ ng cong

và

Gi i:ả

ươ ồ ị ủ ể ộ Ph ố ng trình hoành đ giao đi m c a hai đ th hai hàm s :

ệ ầ Khi đó di n tích c n tìm:

Khi 0

ệ ầ ậ V y di n tích c n tìm: S = (đvdt)

ể ể ậ II. Th tích v t th tròn xoay:

ớ ạ ẳ ụ ố i h n b i đ th hàm s y = f(x) , tr c hoành và hai

ả ử ườ Gi đ s (H ) là hình ph ng gi ng th ng ở ồ ị ẳ x = a , x = b , trong đó ( a < b) .

ụ ẳ ượ ộ ậ Quay hình ph ng (H) quanh tr c hoành ta đ ể c m t v t th tròn xoay .

ể ể ượ ứ ủ ậ Th tích c a v t th này đ c tính theo công th c :

ụ ủ ậ ể ạ ở ớ i

ụ Ví d 1: Tính th tích c a v t th tròn xoay t o b i khi quay hình ph ng gi ở ạ h n b i các đ ẳ ườ y = x2 – 2x, y = 0, x = 0, x = 1 quanh tr c hoành Ox. ể ng

ả ứ Gi i: Theo công th c (2), ta có:

(đvtt)

ụ ể ầ Ví d 2: Tính th tích hình c u do hình tròn quay quanh Ox.

Gi i:ả

ủ ộ ể Hoành đ giao đi m c a (C) và Ox là .

ươ Ph ng trình

ứ ể Theo công th c tính th tích, ta có

ể ầ ậ V y th tích c n tim (đvtt).

ụ ụ ể ẳ ố ớ Ví d 3: Tính th tích kh i tròn xoay khi quay quanh tr c Ox hình ph ng gi i

ở ạ h n b i các đ ườ ng

Gi i:ả

ươ ủ ồ ị ộ Ta có ph ể ng trình hoành đ giao đi m c a đ th hai hàm s ố