BÁO CÁO BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI TRÊN MẠNG

Chia sẻ: Nguyen Truong An | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

89
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mạng vận tải là một đồ thị có hướng, không có khuyên và có trọng số G=(V,E) với V={v0, v1, ...,vn}thoả mãn: Mỗi cung e Î E có trọng số m(e) là một số nguyên không âm và được gọi là khả năng thông qua của cung e. Có một và chỉ một đỉnh v0 không có cung đi vào, tức là degt(v0)=0. Đỉnh v0 được gọi là lối vào hay đỉnh phát của mạng. Có một và chỉ một đỉnh vn không có cung đi ra, tức là dego(vn)=0. Đỉnh vn được gọi là lối ra hay đỉnh thu của mạng....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: BÁO CÁO BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI TRÊN MẠNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY ĐÔ KHOA: KỸ THUẬT-CÔNG NGHỆ LỚP: CAO ĐẲNG TIN HỌC 4 NHÓM: 14 Thành Viên: 1. Nguyễn Trường An 2. Nguyễn Nhật Minh 3. Nguyễn Hoàng Đăng 4. Cái Văn Nam 5. Võ Trường Giang BÁO CÁO BÀI TOÁN LUỒNG CỰC ĐẠI TRÊN MẠNG Nội Dung Chính Gồm 2 Phần: Phần 1: TRÊN PƯƠNG DIỆN CỦA MÔN TOÁN RỜI RẠC 1. Luồng vận tải: 1.1. Định nghĩa: Mạng vận tải là một đồ thị có hướng, không có khuyên và có trọng số G=(V,E) với V={v 0, v1, ...,vn}thoảmãn: 1) Mỗi cung e ∈ E có trọng số m(e) là một số nguyên không âm và được gọi là khả năng thông qua của cung e. 2) Có một và chỉ một đỉnh v0 không có cung đi vào, tức là degt(v0)=0. Đỉnh v0 được gọi là lối vào hay đỉnh phát của mạng. 3) Có một và chỉ một đỉnh vn không có cung đi ra, tức là dego(vn)=0. Đỉnh vn được gọi là lối ra hay đỉnh thu của mạng. 1.2. Định nghĩa: Để định lượng khai thác, tức là xác định lượng vật chất chuyển qua mạng vận tải G=(V,E), người ta đưa ra khái niệm luồng vận tải và nó được định nghĩa như sau. 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY ĐÔ KHOA: KỸ THUẬT-CÔNG NGHỆ LỚP: CAO ĐẲNG TIN HỌC 4 NHÓM: 14 Thành Viên: 1. Nguyễn Trường An 2. Nguyễn Nhật Minh 3. Nguyễn Hoàng Đăng 4. Cái Văn Nam 5. Võ Trường Giang 2
Hàm ϕ xác định trên tập cung E và nhận giá trị nguyên được gọi là luồng vận tải của mạng vận tải G nếu ϕ thoả mãn: 1) ϕ (e) ≥ 0, ∀ e ∈ E. ∑ ϕ (e) = ∑ ϕ (e) , ∀ v ∈ V, v≠ v0, v≠ vn. Ở đây, Γ − (v)={e∈ E | 2) e∈Γ + ( v ) e∈Γ − (v ) e có đỉnh cuối là v}, Γ + (v)={e∈ E | e có đỉnh đầu là v}. 3) ϕ (e) ≤ m(e), ∀ e ∈ E. Ta xem ϕ (e) như là lượng hàng chuyển trên cung e=(u,v) từ đỉnh u đến đỉnh v và không vượt quá khả năng thông qua của cung này. Ngoài ra, từ điều kiện 2) ta thấy rằng nếu v không phải là lối vào v0 hay lối ra vn, thì lượng hàng chuyển tới v bằng lượng hàng chuyển khỏi v. Từ quan hệ 2) suy ra: ∑ ϕ (e) = ∑ ϕ (e) =: ϕ v 4) . e∈Γ − (vn ) e∈Γ + ( v0 ) n Đại lượng ϕ vn (ta còn ký hiệu là ϕ n ) được gọi là luồng qua mạng, hay cường độ luồng tại điểm vn hay giá trị của luồng ϕ . Bài toán đặt ra ở đây là tìm ϕ để ϕ vn đạt giá trị lớn nhất, tức là tìm giá trị lớn nhất của luồng. 1.3. Định nghĩa: Cho mạng vận tải G=(V,E) và A ⊂ V. Ký hiệu Γ − (A)={(u,v)∈ E | v∈ A, u∉ A}, Γ + (A)={(u,v) ∈ E | u∈ A, v∉ A}. Đối với tập cung M tuỳ ý, đại lượng ϕ (M)= e∑ ϕ (e) được ∈M gọi là luồng của tập cung M. Từ điều kiện 2) dễ dàng suy ra hệ quả sau. 1.4. Hệ quả: Cho ϕ là luồng của mạng vận tải G=(V,E) và A ⊂ V \{v0,vn}. Khi đó: ϕ ( Γ − (A))=ϕ ( Γ + (A)). 2. Bài toán luồng cực đại: Cho mạng vận tải G=(V,E). Hãy tìm luồng ϕ để đạt ϕ vn max trên mạng G. Nguyên lý của các thuật toán giải bài toán tìm luồng cực đại là như sau. 3
2.1. Định nghĩa: Cho A ⊂ V là tập con tuỳ ý không chứa lối vào v0 và chứa lối ra vn. Tập Γ − (A) được gọi là một thiết diện của mạng vận tải G. ∑ m( e) Đại lượng m( Γ − (A))= e∈Γ− ( A) được gọi là khả năng thông qua của thiết diện Γ − (A). Từ định nghĩa thiết diện và khả năng thông qua của nó ta nhận thấy rằng: mỗi đơn vị hàng hoá được chuyển từ v0 đến vn ít nhất cũng phải một lần qua một cung nào đó của thiết diện Γ − (A). Vì vậy, dù luồng ϕ và thiết diện Γ − (A) như thế nào đi nữa cũng vẫn thoả mãn quan hệ: ϕ n ≤ m( Γ − (A)). Do đó, nếu đối với luồng ϕ và thiết diện W mà có: ϕ n = m(W) thì chắc chắn rằng luồng ϕ đạt giá trị lớn nhất và thiết diện W có khả năng thông qua nhỏ nhất. 2.2. Định nghĩa: Cung e trong mạng vận tải G với luồng vận tải ϕ được goi là cung bão hoà nếu ϕ (e)=m(e). Luồng ϕ của mạng vận tải G được gọi là luồng đầy nếu mỗi đường đi từ v0 đến vn đều chứa ít nhất một cung bão hoà. Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, nếu luồng ϕ trong mạng vận tải G chưa đầy thì nhất định tìm được đường đi α từ lối vào v0 đến lối ra vn không chứa cung bão hoà. Khi đó ta nâng luồng ϕ thành ϕ ’ như sau: ϕ (e) + 1 khi e∈α , ϕ ' (e ) =  ϕ (e) khi e∉α . Khi đó ϕ ’ cũng là một luồng, mà giá trị của nó là: ϕ ’n = ϕ n +1 > ϕ n. Như vậy, đối với mỗi luồng không đầy ta có thể nâng giá trị của nó và nâng cho tới khi nhận được một luồng đầy. Tuy vậy, thực tế cho thấy rằng có thể có một luồng đầy, nhưng vẫn chưa đạt tới giá trị cực đại. Bởi vậy, cần 4
phải dùng thuật toán Ford-Fulkerson để tìm giá trị cực đại của luồng. 2.3. Thuật toán Ford-Fulkerson: Để tìm luồng cực đại của mạng vận tải G, ta xuất phát từ luồng tuỳ ý ϕ của G, rồi nâng luồng lên đầy, sau đó áp dụng thuật toán Ford-Fulkerson hoặc ta có thể áp dụng thuật toán Ford-Fulkerson trực tiếp đối với luồng ϕ . Thuật toán gồm 3 bước: Bước 1 (đánh dấu ở đỉnh của mạng): Lối vào v0 được đánh dấu bằng 0. 1) Nếu đỉnh vi đã được đánh dấu thì ta dùng chỉ số +i để đánh dấu cho mọi đỉnh y chưa được đánh dấu mà (vi,y)∈ E và cung này chưa bão hoà (ϕ (vi,y)0). Nếu với phương pháp này ta đánh dấu được tới lối ra vn thì trong G tồn tại giữa v0 và vn một xích α , mọi đỉnh đều khác nhau và được đánh dấu theo chỉ số của đỉnh liền trước nó (chỉ sai khác nhau về dấu). Khi đó chắc chắn ta nâng được giá trị của luồng. Bước 2 (nâng giá trị của luồng): Để nâng giá trị của luồng ϕ , ta đặt: ϕ ’(e) = ϕ (e), nếu e∉α , ϕ ’(e) = ϕ (e)+1, nếu e∈α được định hướng theo chiều của xích α đi từ vo đến vn, ϕ ’(e) = ϕ (e)−1, nếu e∈α được định hướng ngược với chiều của xích α đi từ vo đến vn. +i y vj -j e z vi 5 0 v0 vn
ϕ ’ thoả mãn các điều kiện về luồng, nên ϕ ’ là một luồng và ta có: ϕ ’n = ϕ n+1. Như vậy, ta đã nâng được luồng lên một đơn vị. Sau đó lặp lại một vòng mới. Vì khả năng thông qua của các cung đều hữu hạn, nên quá trình phải dừng lại sau một số hữu hạn bước. Bước 3: Nếu với luồng ϕ 0 bằng phương pháp trên ta không thể nâng giá trị của luồng lên nữa, nghĩa là ta không thể đánh dấu được đỉnh vn, thì ta nói rằng quá trình nâng luồng kết thúc và ϕ 0 đã đạt giá trị cực đại, đồng thời gọi ϕ 0 là luồng kết thúc. Khi mạng vận tải G=(V,E) đạt tới luồng ϕ 0, thì bước tiếp theo ta không thể đánh dấu được tới lối ra vn. Trên cơ sở hiện trạng được đánh dấu tại bước này, ta sẽ chứng minh rằng luồng ϕ 0 đã đạt được giá trị cực đại. 2.4. Bổ đề: Cho luồng ϕ của mạng vận tải G=(V,E) và A ⊂ V, chứa lối ra vn và không chứa lối vào v0. Khi đó: ϕ vn = ϕ (Γ − ( A)) − ϕ (Γ + ( A)) . Chứng minh: Đặt A1=A \{vn}. Theo Hệ quả 1.4, ta có: ϕ (Γ − ( A1 )) = ϕ (Γ + ( A1 )) (1). Đặt C1={(a,vn)∈ E | a∉ A}. Khi đó Γ − ( A) = Γ − ( A1 ) ∪ C1 và Γ − ( A1 ) ∩ C1 = ∅ , nên 6
ϕ (Γ − ( A)) = ϕ (Γ − ( A1 )) + ϕ (C1) (2). Đặt C2={(b,vn)∈ E | b∈ A1}. Khi đó C2={(b,vn)∈ E | b∈ A}, Γ + ( A1 ) = Γ + ( A) ∪ C2 và Γ + ( A) ∩ C2 = ∅ , nên ϕ (Γ + ( A)) = ϕ (Γ + ( A1 )) − ϕ (C2) (3). Ngoài ra, Γ − (v n ) = C1∪ C2 và C1∩ C2 = ∅ , nên ϕ vn = ϕ (Γ − (v n )) = ϕ (C1)+ ϕ (C2) (4). Từ (1), (2), (3) và (4), ta có: ϕ vn = ϕ (Γ − ( A)) − ϕ (Γ + ( A)) . 2.5. Định lý (Ford-Fulkerson): Trong mạng vận tải G=(V,E), giá trị lớn nhất của luồng bằng khả năng thông qua nhỏ nhất của thiết diện, nghĩa là m(Γ − ( A)) . max ϕ vn = min ϕ A⊂V ,v0∉A,vn∈A Chứng minh: Giả sử trong mạng vận tải G, ϕ 0 là luồng cuối cùng, mà sau đó bằng phương pháp đánh dấu của thuật toán Ford-Fulkerson không đạt tới lối ra vn. Trên cơ sở hiện trạng được đánh dấu lần cuối cùng này, ta dùng B để ký hiệu tập gồm các đỉnh của G không được đánh dấu. Khi đó v0∉ B, vn∈ B. Do đó Γ − (B) là một thiết diện của mạng vận tải G và theo Bổ đề 2.4, ta có: ϕ v = ϕ 0 (Γ − ( B)) − ϕ 0 (Γ + ( B )) (1). 0 n Đối với mỗi cung e=(u,v)∈ Γ − (B) thì u∉ B và v∈ B, tức là u được đánh dấu và v không được đánh dấu, nên theo nguyên tắc đánh dấu thứ nhất, e đã là cung bão hoà: ϕ 0(e) = m(e). ∑ ϕ 0 (e) = ∑ m(e) = m(Γ − ( B)) ϕ 0 (Γ − ( B )) = Do đó, (2). e∈Γ − ( B ) e∈Γ − ( B ) Đối với mỗi cung e=(s,t)∈ Γ + (B) thì s∈ B và t∉ B, tức là s không được đánh dấu và t được đánh dấu, nên theo nguyên tắc đánh dấu thứ hai: ϕ 0(e) = 0. ∑ ϕ 0 (e) = 0 ϕ 0 (Γ + ( B)) = Do đó, (3). e∈Γ + ( B ) 7
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: ϕ v = m(Γ − ( B)) . 0 n 0 ϕv Vì vậy, là giá trị lớn nhất của luồng đạt được, còn n m( Γ − (B)) là giá trị nhỏ nhất trong các khả năng thông qua của các thiết diện thuộc mạng vận tải G. Thí dụ 3: Cho mạng vận tải như hình dưới đây với khả năng thông qua được đặt trong khuyên tròn, luồng được ghi trên các cung. Tìm luồng cực đại của mạng này. Luồng ϕ có đường đi (v0,v4), (v4,v6), (v6,v8) gồm các cung chưa bão hoà nên nó chưa đầy. Do đó có thể nâng luồng của các cung này lên một đơn vị, để được ϕ 1. Do mỗi đường xuất phát từ v0 đến v8 đều chứa ít nhất một cung bão hoà, nên luồng ϕ 1 là luồng đầy. Song nó chưa phải là luồng cực đại. Áp dụng thuật toán Ford-Fulkerson để nâng luồng ϕ 1. 4 3 v1 v5 4 4 6 3 6 4 7 8 4 2 v2 55 12 11 v0 v6 v8 5 5 3 4 8 v3 42 6 6 9 2 4 4 4 v4 v7 ϕ 8
4 3 v1 v5 4 4 6 3 6 4 7 8 4 2 v2 55 12 12 v0 v6 v8 5 5 3 −6 4 +4 +7 8 v3 42 6 7 9 4 4 4 v4 v7 +0 ϕ1 +3 Xét xích α =(v0, v4, v6, v3, v7, v8). Quá trình đánh dấu từ v0 đến v8 để có thể nâng luồng ϕ 1 lên một đơn vị bằng cách biến đổi luồng tại các cung thuộc xích α được đánh dấu. Sau đó ta có luồng ϕ 2. −6 +4 3−1 v6 v3 2+1 3+1 +0 +3 v4 v7 6+1 7+1 0 v0 v8 +7 xích α Xét xích β =(v0, v1, v5, v2, v6, v3, v7, v8). Quá trình đánh dấu từ v0 đến v8 để có thể nâng luồng ϕ 2 lên một đơn vị bằng cách biến đổi luồng tại các cung thuộc xích β được đánh dấu. Sau đó ta có luồng ϕ 3. 9
+0 +1 4 3 v1 v5 4 4 6 3 6 4 7 −5 8 4 2 v2 55 +2 12 12 v0 v6 v8 5 5 2 −6 4 0 +7 8 v3 43 7 8 9 4 4 4 4 v4 v7 ϕ 2 +3 −5 2+1 +2 3−1 v2 v6 +1 2−1 −6 v5 v3 3+1 3+1 +0 v1 +3 v7 7+1 7+1 xích β 0 v0 v8 +7 4 4 v1 v5 4 4 6 2 6 4 8 8 4 3 v2 55 12 12 v0 v6 v8 5 5 1 4 8 v3 44 8 8 9 4 4 4 4 v4 v7 ϕ 3 Tiếp theo ta chỉ có thể đánh dấu được đỉnh v0 nên quá trình nâng luồng kết thúc và ta được giá trị của luồng cực đại là: 3 ϕ v = 6+12+8 = 26. 8 10
Mặt khác, thiết diện nhỏ nhất Γ − (B) với B={v1, v2, ..., v8} là Γ − (B)={(v 0,v1), (v0,v2), (v0,v3), (v0,v4)}. Phần 2: TRÊN PHƯƠNG DIỆN CỦA MÔN CẤU TRÚC DỮ LIỆU 1. Đặt vấn đề Bài toán luồng cực đại trên mạng là một trong số những bài toán tối ưu trên đồ thị tìm được những ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng như những ứng dụng thú vị trong lý thuyết tổ hợp. Bài toán được đề xuất và giải quyết bởi hai nhà toán học Mỹ Ford và Fulkerson vào đầu những năm 1950 và ngày càng được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Hiện nay, mô hình xử lý song song đã và đang phát triển mạnh mẽ giải quyết những vấn đề bế tắc mà mô hình xử lý tuần tự gặp phải như vấn đề thời gian thực hiện chương trình, tốc độ xử lý, khả năng lưu trữ của bộ nhớ, xử lý dữ liệu với quy mô lớn.... Trong bối cảnh đó, thuật toán tìm luồng cực đại cần được phát triển theo hướng song song nhằm phát huy sức mạnh của bài toán. 2. Bài toán tìm luồng cực đại trên mạng Cho mạng G(V,E,C), nguồn a, đích z. Trong số các luồng trên mạng G, hãy tìm luồng có giá trị lớn nhất. 3. Ý tưởng thuật toán Dựa trên thuật toán truyền thống và thuật toán hoán chuyển nguồn đích, xây dựng thuật toán song song tìm luồng cực đại. Ý tưởng của phương pháp này là thay vì trong thuật toán truyền thống dùng một bộ vi xử lý thực hiện công việc tuần tự từ đỉnh nguồn đến đỉnh đích. Trong thuật toán song song sử dụng hai bộ vi xử lý thực hiện công việc song song, vi xử lý 1 xuất phát từ đỉnh nguồn, vi xử lý 2 xuất phát từ đỉnh đích. Hai vi xử lý trong quá trình tìm đường tăng luồng sẽ gặp nhau ở đỉnh trung gian t nào đó, công việc 11
tiếp theo vi xử lý 1 xử lý công việc từ đỉnh t đến nút nguồn, vi xử lý 2 xử lý công việc từ đỉnh t đến nút đích. 4. Xây dựng thuật toán song song  Đầu vào: Mạng G = (V , E ) với nguồn a, đích z, khả năng thông qua: C = ( cij ) , ( i, j ) ∈ G . Các đỉnh trong G được sắp xếp theo thứ tự nào đó.  Đầu ra: Luồng cực đại F = ( f ij ), ( i, j ) ∈ G .  Các bước Bước1: Khởi tạo P1: Luồng xuất phát: For i:= 1 to (n div 2) do For j:= 1 to n do if cij>0 then fij=0 Đặt nhãn tiến (↑) cho đỉnh nguồn: a( ↑, φ , ∞ ) Tạo lập tập S gồm các đỉnh đã có nhãn tiến nhưng chưa được dùng để sinh nhãn tiến: S := { a} ; khởi gán điều kiện kết thúc Stop:= False; P2: Luồng xuất phát: For i:= (n div 2)+1 to n do For j:= 1 to n do if cij>0 then fij=0 Đặt nhãn lùi (↓) cho đỉnh đích: z (↓, φ , ∞ ) Tạo lập tập T gồm các đỉnh đã có nhãn lùi nhưng chưa được dùng để sinh nhãn lùi: T := { z} ; khởi gán điều kiện tăng luồng: inc_flow:= False; Bước 2: Sinh nhãn P1 Sinh nhãn tiến Trường hợp Stop=True; thì xuất luồng cực đại, kết thúc. Trường hợp inc_flow=True; chuyển sang thực hiện bước 3 2.1. Chọn đỉnh sinh nhãn tiến * Trường hợp S ≠ φ : Chọn đỉnh u ∈ S nhỏ nhất (theo thứ tự). Loại u khỏi S, S := S \ { u} . Ký hiệu nhãn tiến của u là (↑, p, α ) và A là tập các đỉnh chưa có nhãn tiến kề với đỉnh u, Sang bước 2.2. 12
* Trường hợp S = φ , thì gán Stop:=True; thông báo hệ thống biết đã gặp điều kiện dừng, xuất luồng cực đại, kết thúc. 2.2. Gán nhãn tiến cho đỉnh chưa có nhãn tiến và kề đỉnh sinh nhãn tiến u. Trường hợp Stop=True; thì xuất luồng cực đại, kết thúc. Trường hợp inc_flow=True; chuyển sang thực hiện bước 3 * Trường hợp A = φ : Quay lại bước 2. * Trường hợp A ≠ φ : Chọn t ∈ A nhỏ nhất (theo thứ tự). Loại t khỏi A, A := A \ { t} . Gán nhãn tiến cho t như sau: Nếu ( u, t ) ∈ E và f ut < cut , đặt nhãn tiến đỉnh t là (↑, u, min{α , cu , t − f u , t } ) . Nếu ( t , u ) ∈ E và f tu > 0 , đặt nhãn tiến đỉnh t là ( ↑, u, minα, f tu } ) . { Nếu t không được gán nhãn tiến, thì quay lại bước 2.2. Nếu t được gán nhãn tiến và t có nhãn lùi, thì gán inc_flow:= True; thông báo cho hệ thống biết đã tìm được đường đi tăng luồng, sang bước 3, hiệu chỉnh tăng luồng, xóa nhãn. Nếu t được gán nhãn tiến và t không gán nhãn lùi, thì bổ sung t vào S, S : = S ∪ { t} và quay ngược lại bước 2.2. P2: Sinh nhãn lùi Trường hợp Stop=True; thì kết thúc. Trường hợp inc_flow=True; chuyển sang thực hiện bước 3 2.3. Chọn đỉnh sinh nhãn lùi * Trường hợp T ≠ φ : Chọn đỉnh v ∈ T nhỏ nhất (theo thứ tự). Loại v khỏi T, T := T \ { v} . Ký hiệu nhãn lùi của v là (↓, q, β ) và B là tập các đỉnh chưa có nhãn lùi kề đỉnh sinh nhãn lùi v. Sang bước 2.4. * Trường hợp T = φ , thì Stop =True; thông báo hệ thống biết P2 đã gặp điều kiện dừng, kết thúc. 2.4. Gán nhãn lùi cho đỉnh chưa có nhãn lùi và kề đỉnh sinh nhãn lùi v. Trường hợp Stop=True; thì kết thúc. Trường hợp inc_flow=True; chuyển sang thực hiện bước 3 * Trường hợp B = φ : Quay lại bước 2. 13
*Trường hợp B ≠ φ : Chọn t ∈ B nhỏ nhất (theo thứ tự). Loại t khỏi B. B := B \ { t} gán nhãn lùi cho t như sau: Nếu ( t , v ) ∈ E và f tv < ctv , đặt nhãn lùi đỉnh t là (↓, v, min{ β , ctv − f tv } ) . Nếu ( v, t ) ∈ E và f vt > 0 , đặt nhãn lùi đỉnh t là (↓, v, min{ β , f vt } ) . Nếu t không được gán nhãn lùi, thì quay lại bước 2.4. Nếu t được gán nhãn lùi và t có nhãn tiến thì gán inc_flow:= True; thông báo cho hệ thống biết P2 đã tìm được đường đi tăng luồng, sang bước 3, hiệu chỉnh tăng luồng, xóa nhãn. Nếu t được gán nhãn lùi và t không có nhãn tiến, thì bổ sung t vào T, T := T ∪ { t} và quay lại bước 2.4. Bước 3: Hiệu chỉnh tăng luồng, xóa nhãn Ta có t là đỉnh được gán nhãn tiến ở bước 2.2 hoặc nhãn lùi ở bước 2.4 để thuật toán dẫn đến bước 3. Đỉnh t có nhãn tiến (↑, p, α ) và nhãn lùi (↓, q, β ) . Đặt δ = min{α , β } . Ta hiệu chỉnh luồng f và xóa nhãn như sau. P1 3.1. Hiệu chỉnh ngược từ t về a theo nhãn tiến 3.1.1. Khởi tạo j := t , i := p 3.1.2. Hiệu chỉnh Nếu cung ( i, j ) ∈ G , thì hiệu chỉnh f ij = f ij + δ . Nếu cung ( j, i ) ∈ G , thì hiệu chỉnh f ij = f ij − δ . 3.1.3. Tịnh tiến Nếu i = a , thì xóa tất cả các nhãn tiến trên mạng trừ đỉnh nguồn a và đỉnh đích z, thông báo hệ thông biết P1 đã thực hiện việc tăng luồng, xoá nhãn tiến xong, đợi P2 xoá nhãn xong, quay lại bước 2. Nếu i ≠ a , thì đặt j := i và i := h , với h là thành phần thứ hai của nhãn tiến đỉnh j. Sau đó quay lại bước 3.1.2. P2 3.2. Hiệu chỉnh từ t đến z theo nhãn lùi 3.2.1. Khởi tạo i := t , j := q 3.2.2. Hiệu chỉnh Nếu cung ( i, j ) ∈ G , thì hiệu chỉnh f ij = f ij + δ . 14
Nếu cung ( j, i ) ∈ G , thì hiệu chỉnh f ij = f ij − δ . 3.2.3. Tịnh tiến Nếu i = z , thì xóa tất cả các nhãn lùi trên mạng trừ đỉnh nguồn a và đỉnh đích z, thông báo hệ thống biết P2 đã thực hiện việc tăng luồng, xoá nhãn lùi xong, đợi P1 xoá nhãn xong, quay lại bước 2. Nếu i ≠ z , thì đặt i := j và j := k , với k là thành phần thứ hai của nhãn lùi đỉnh i. Sau đó quay lại bước 3.2.2. Sơ đồ mô tả thuật toán cho ở hình 1. P1 P2 START Khoi tao: For i:=1 to ( ndiv 2) Khoi tao: For i:=( ndiv 2 +1) to n For:=1 to n if cij>0 then fij =0; j For:=1 to n if cij>0 then fij =0; j Dat nhan tien dinh nguon : a(↑ ,Þ,∞) Dat nhan lui dinh dich: z(↓ ,Þ,∞) Tao lap tap S gom cac dinh da co nhan tien chua Tao lap tap T gom cac dinh da co nhan lui dung sinh nhan tien S :={ a}; Stop := F; c hua dung sinh nhan lui T :={z }; I nc_ flow:=F; getData getData T T Display Stop END Stop Maxflow F F T T Inc_flow Inc _flow Inc_flow ↓ Inc_flow ↑ F F Del_Label ↓ Del_Label ↑ Stop=T Stop=T Doi P1 xoa Doi P2 xoa nhan xong nhan xong T T T =Þ S=Þ F F u
VÍ DỤ THUẬT TOÁN Ví dụ sau đây cho thấy những bước ban đầu của thuật toán Ford-Fulkerson trong một mạng vận tải gồm 4 nút, nguồn A và thoát D. Các đường đi tăng được tìm bằng phương pháp tìm kiếm theo chiều sâu, trong đó các đỉnh lân cận được duyệt theo thứ tự bảng chữ cái. Ví dụ này cho thấy biểu hiện của trường hợp xấu nhất của thuật toán. Mỗi bước chỉ gửi thêm được một luồng giá trị 1 qua mạng. Nếu sử dụng phép tìm theo chiều rộng thay vì theo chiều sâu, ta sẽ chỉ cần hai bước Đường Khả năng thông qua Mạng đạt được đi Mạng vận tải ban đầu min(cf(A,B),cf(B,C),cf(C,D)) = min(c(A,B) − f(A,B),c(B,C) − A,B,C,D f(B,C),c(C,D) − f(C,D)) = min(1000 − 0,1 − 0,1000 − 0) = 1 min(cf(A,C),cf(C,B),cf(B,D)) = min(c(A,C) − f(A,C),c(C,B) − A,C,B,D f(C,B),c(B,D) − f(B,D)) = min(1000 − 0,0 − ( − 1),1000 − 0) = 1 Mạng vận tải cuối cùng 16
VÍ DỤ CHỨNG MINH KHI TA CÀI ĐẶT TRÊN MÁY: #include #include #define nm 1001 using namespace std; typedef struct node *ptr; struct node{int data,cost;ptr pnext;}; void chen(ptr &f,int v,int c) { ptr p=new node; p->data=v; p->cost=c; p->pnext=f; f=p; } ptr a[nm]; int c[nm][nm]; int f[nm][nm]; int trace[nm]; int n,m,t,s,k; int u,v; int res=0; dequeq; bool findpath() { q.clear(); memset(trace,0,sizeof(trace)); q.push_back(s); trace[s]=n+1; while (q.size()) { int u=q.front();q.pop_front(); ptr p=a[u]; 17
while (p) { int v=p->data; if (!trace[v]&&c[u][v]>f[u][v]) { trace[v]=u; if (v==t)return true; q.push_back(v); } p=p->pnext; } } return false; } void incflow() { int u,v,delta=1000000000; v=t; while (v!=s) { u=trace[v]; delta=min(delta,c[u][v]-f[u][v]); v=u; } v=t; while (v!=s) { u=trace[v]; f[u][v]+=delta; f[v][u]-=delta; v=u; } } int main() { 18
scanf ("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t); for (int i=1;i
khả năng thông qua của các cung tương ứng với tiết diện các ống. Cần phải tìm luồng dầu lớn nhất có thể bơm dầu từ tàu chở dầu vào bể chứa. Định lý: Các mệnh đề dưới đây là tương đương: (i) f là luồng cực đại trong mạng. (ii) Không tìm được đường tăng luồng f. (iii) Val(f)=c(X,X*) với một lát cắt (X,X*) nào đó. (Ta gọi lát cắt (X,X*) là một cách phân hoạch tập đỉnh V của mạng ra thành hai tập X và X*=V\X, trong đó s ∈ X và t ∈ X*.). Định lý trên là cơ sở để xây dựng thuật toán lặp sau đây để tìm luồng cực đại trong mạng: Bắt đầu từ luồng trên tất cả các cung bằng 0 (ta sẽ gọi luồng như vậy là luồng không), và lặp lại bước lặp sau đây cho đến khi thu được luồng mà đối với nó không còn đường tăng: Bước lặp tăng luồng (Ford – Fulkerson): Tìm đường tăng P đối với luồng hiện có, tăng luồng dọc theo đường P. Khi đã có luồng cực đại, lát cắt hẹp nhất có thể tìm theo thủ tục mô tả trong việc chứng minh định lý trên. Thuật toán Ford-Fulkerson được mô tả trong thủ tục sau đây: Procedure Luongcucdai; Begin Stop := false; While not Stop do If < Tìm đường tăng luồng P> then < Tăng luồng dọc theo P> Else Stop := true; End; Để tìm đường tăng luồng trong G(f) có thể sử dụng thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng (hay tìm kiếm theo chiều sâu), bắt đầu từ đỉnh s trong đó không cần xây dựng tường minh đồ thị G(f). Ford-Fulkerson đề nghị thuật toán gán nhãn chi tiết sau đây để giải bài toán luồng cực đại trong mạng. Thuật toán bắt đầu từ 20