Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đánh giá tính ổn định và chỉnh hóa nghiệm của phương trình truyền nhiệt ngược thời gian"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 2. Nguyễn Văn Đức, Phan Thị Quỳnh Như, Đánh giá tính ổn định và chỉnh hóa nghiệm của phương trình truyền nhiệt ngược thời gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đánh giá tính ổn định và chỉnh hóa nghiệm của phương trình truyền nhiệt ngược thời gian"

®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh vµ chØnh hãa nghiÖm cña ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian NguyÔn V¨n §øc (a) , Phan ThÞ Quúnh Nh (b) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®a ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh d¹ng Holder vµ chØnh ¨ hãa nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian d¹ng  ∂2u  ∂u = a 2 (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1), ∂t ∂x  u(·, 1) − ϕ(·) ε, víi rµng buéc u(·, 0) E , trong ®ã ϕ(·) ∈ L2 (R) vµ c¸c h»ng sè E > ε > 0, H s (R) s 0, a > 0 ®· biÕt. 1. më ®Çu Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®a ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh d¹ng Holder vµ chØnh hãa ¨ cho nghiÖm cña bµi to¸n Cauchy cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian  ∂2u  ∂u = a 2 (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1), (1.1) ∂t ∂x  u(·, 1) − ϕ(·) ε, víi rµng buéc u(·, 0) E, (1.2) H s (R) trong ®ã lµ chuÈn trªn kh«ng gian L2 (R) vµ trªn kh«ng gian Sobolev ·,· H s (R) H s (R)(s 0) t¬ng øng. Chóng t«i gi¶ thiÕt r»ng nghiÖm cña bµi to¸n (1.1) thuéc kh«ng gian L2 (R) theo biÕn x, nghÜa lµ, nÕu u(x, t), (x, t) ∈ (−∞; +∞) × [0; 1] lµ nghiÖm cña bµi to¸n (1.1) th× u(x, t) ∈ L2 (R) víi mäi t ∈ [0, 1]. Bµi to¸n (1.1)−(1.2) thêng xuyªn gÆp trong nhiÒu øng dông (xem [1], [2]) vµ nã thuéc líp bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. Do ®ã c¸c vÊn ®Ò ®¸nh gi¸ æn ®Þnh vµ chØnh hãa nghiÖm cña bµi to¸n (1.1)−(1.2) cÇn ®îc quan t©m nghiªn cøu. §¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian tõ tríc tíi nay thêng chØ ®¹t ®îc cho trêng hîp s = 0 (khi s = 0 th× H s (R) = H 0 (R) = L2 (R)). Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®a ra c¸c ®¸nh gi¸ æn ®Þnh nghiÖm cho bµi to¸n Cauchy víi mäi gi¸ trÞ cña s tháa m·n s 0. NhËn bµi ngµy 11/12/2009. Söa ch÷a xong 25/02/2010. 1
Trong viÖc chØnh hãa, chóng t«i sö dông nghiÖm v(x, t) ∈ L2 (R) víi mäi t ∈ [0; 1 + β ] cña bµi to¸n gi¸ trÞ biªn kh«ng ®Þa ph¬ng ®Æt chØnh  ∂2v  ∂v = a 2 (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1 + β ), (1.3) ∂t ∂x αv (x, 0) + v (x, 1 + β ) = ϕ(x), x ∈ (−∞; +∞), α > 0, β > 0 ®Ó lµm nghiÖm xÊp xØ cho bµi to¸n (1.1)−(1.2). C¸c ph¬ng ph¸p chän tham sè tiªn nghiÖm vµ hËu nghiÖm ®îc ®Ò xuÊt nh»m nhËn ®îc c¸c ®¸nh gi¸ sai sè d¹ng Holder ¨ cho nghiÖm cña bµi to¸n víi mäi t ∈ (0, 1] vµ mét sù phô thuéc liªn tôc d¹ng logarithm cña nã t¹i t = 0 khi ®iÒu kiÖn (1.2) ®îc tháa m·n víi s > 0. 2. KÕt qu¶ bæ trî Tríc hÕt, chóng t«i nªu ra c¸c kÕt qu¶ bæ trî sau Bæ ®Ò 2.1 (BÊt ®¼ng thøc Holder [4]). Gi¶ sö p > 1, q > 1 lµ c¸c sè thùc tháa m·n ¨ 11 + = 1. NÕu f ∈ Lp (R), g ∈ Lq (R) th× f g ∈ L1 (R) vµ f g 1 f g q. p pq §Þnh nghÜa 2.1 (§Þnh nghÜa biÕn ®æi Fourier trong L1 (R) [4]). BiÕn ®æi Fourier cña f ∈ L1 (R) lµ +∞ 1 e−ix.ξ f (x)dx f (ξ ) := √ (y ∈ R) 2π −∞ vµ biÕn ®æi Fourier ngîc cña f lµ +∞ 1 f ∨ (ξ ) := √ eix.ξ f (x)dx (y ∈ R). 2π −∞ Bæ ®Ò 2.2 (§¼ng thøc Parseval [4]). NÕu f th× f , f ∨ vµ ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) ∈ L2 (R) . f = f = f∨ §Þnh nghÜa 2.2 (§Þnh nghÜa biÕn ®æi Fourier trong L2 (R) [4]). Ta ®Þnh nghÜa biÕn ®æi Fourier f cña f ∈ L2 (R) nh sau Cho mét d·y {fk }∞ ⊂ L1 (R) ∩ L2 (R) víi fk → f trong L2 (R). Theo Bæ ®Ò 2.2, k=1 fk − fj = fk − fj = fk − fj vµ v× thÕ {fk }∞ lµ mét d·y Cauchy trong L2 (R). Do k=1 ®ã fk → f trong L2 (R), ta gäi f lµ biÕn ®æi Fourier cña f trong L2 (R). T¬ng tù, ta còng cã ®Þnh nghÜa f ∨ .
§Þnh nghÜa 2.3 ([4]). TÝch chËp cña c¸c hµm f, g kÝ hiÖu lµ: f ∗ g vµ ®îc ®Þnh nghÜa +∞ (f ∗ g )(x) = f (y )g (x − y )dy. −∞ Bæ ®Ò 2.3 ([4]). Gi¶ thiÕt f, g ∈ L2 (R). Khi ®ã +∞ +∞ i) f gdx = fˆgdξ , ¯ ˆ −∞ −∞ ii) Dα f = (iξ )αf víi mçi chØ sè α nguyªn d¬ng sao cho Dαf ∈ L2 (R), √ iii) f ∗ g = 2πf g, iv) f = (f )∨ . §Þnh nghÜa 2.4. Víi f ∈ H s (R), chuÈn cña f lµ 1/2 +∞ 2 2s f := |f (ξ )| (1 + ξ ) dξ < +∞. (2.1) H s (R) −∞ Hµm sè H (η) ®îc ®Þnh nghÜa bëi η η (1 − η )1−η , η ∈ (0, 1), H (η ) = 1, η = 0 vµ 1. (2.2) Ta nhËn thÊy r»ng H (η) ≤ 1. Hµm sè C (x, y) víi 1 > x 0, y > 0 ®îc ®Þnh nghÜa bëi y y e1−x−y . C (x, y ) = (2.3) 1−x Bæ ®Ò 2.4. NÕu x, y lµ c¸c sè kh«ng ©m vµ z lµ mét sè d¬ng, th× (z + 1)x1/(z +1) y z/(z +1) . x + zy Bæ ®Ò 2.5. NÕu 0 q < ∞, q = 0 vµ α > 0, th× p αe−p p p H αq . α + e− q q Chøng minh. Kh¼ng ®Þnh cña bæ ®Ò lµ hiÓn nhiªn nÕu p = 0 hoÆc p = q. B©y giê, ta xÐt trêng hîp 0 < p < q < ∞. Sö dông Bæ ®Ò 2.4 víi p q − p −q x = α, z = , y= e, q−p p
ta thu ®îc α + e−q = x + zy (z + 1)x1/(z +1) y z/(z +1) , 1 1− p α q e−p . = p 1− p p 1− p q q q q Tõ ®©y ta suy ra ®îc kh¼ng ®Þnh trong bæ ®Ò. Bæ ®Ò 2.6. Gi¶ sö u(x, t) ∈ L2 (R) víi mäi t ∈ [0; 1] lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ∂2u ∂u = a 2 , (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1). (2.4) ∂t ∂x Khi ®ã, chóng ta cã ®¸nh gi¸ víi mäi t ∈ [0; 1]. t 1−t , u(·, t) u(·, 1) u(·, 0) Chøng minh. Gi¶ sö u(x, t) lµ mét nghiÖm cña (2.4). BiÕn ®æi Fourier hai vÕ cña ®¼ng 2 thøc ∂u = a ∂ u theo x vµ sö dông Bæ ®Ò 2.3 ii) ta cã ∂x2 ∂t ∂u (ξ, t) = −ξ 2 au(ξ, t). (2.5) ∂t Gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n (2.5), chóng ta thu ®îc 2 u(ξ, t) = ea(1−t)ξ u(ξ, 1), (ξ, t) ∈ R × [0, 1]. (2.6) Do u(·, t) ∈ L2 (R), t ∈ [0, 1], nªn ta cã ˆ 2 |u(ξ, t)|t = eat(1−t)ξ |u(ξ, 1)|t , (ξ, t) ∈ R × [0, 1]. (2.7) MÆt kh¸c, ë (2.6) thay t = 0 ta cã 2 u(ξ, 0) = eaξ u(ξ, 1), ξ ∈ R, (2.8) hay lµ 2 u(ξ, 1) = e−aξ u(ξ, 0), ξ ∈ R. (2.9) Thay (2.9) vµo (2.6) ta nhËn ®îc 2 u(ξ, t) = e−atξ u(ξ, 0), (ξ, t) ∈ R × [0, 1]. (2.10) Tõ ®ã, ta suy ra 2 |u(ξ, t)|(1−t) = e−at(1−t)ξ |u(ξ, 0)|(1−t) , (ξ, t) ∈ R × [0, 1]. (2.11)
Nh©n (2.6) víi (2.11) theo vÕ ®Ó ®¹t ®îc |u(ξ, t)| = |u(ξ, 1)|t |u(ξ, 0)|(1−t) , ξ ∈ R. Râ rµng kh¼ng ®Þnh cña Bæ ®Ò 2.6 ®óng víi t = 0 vµ t = 1. Do ®ã, ta chØ cÇn chøng minh cho trêng hîp t ∈ (0, 1). Trong trêng hîp nµy, ta ¸p dông Bæ ®Ò 2.1 víi 1 1 f (ξ ) = |u(ξ, 1)|2t ∈ Lp (R), g (ξ ) = |u(ξ, 0)|2(1−t) ∈ Lq (R) p= , q= , t 1−t vµ ¸p dông Bæ ®Ò 2.3 i) ta nhËn ®îc +∞ 2 2 |u(ξ, 1)|2t |u(ξ, 0)|2(1−t) dξ u(·, t) = u(·, t) = −∞ +∞ +∞ = f (ξ )g (ξ )dξ = |f (ξ )g (ξ )|dξ = f g 1 −∞ −∞ f g p q t (1−t) +∞ +∞ |f (ξ )|p dξ |g (ξ )|q dξ = . −∞ −∞ t (1−t) +∞ +∞ 2 2 = u (ξ, 1)dξ . u (ξ, 0)dξ −∞ −∞ 2t 2(1−t) = u(·, 1) . u(·, 0) 2t 2(1−t) = u(·, 1) . u(·, 0) VËy bæ ®Ò ®· ®îc chøng minh. 3. KÕt qu¶ chÝnh §Þnh lý 3.1. NÕu u1 (x, t) vµ u2 (x, t) lµ hai nghiÖm cña bµi to¸n (1.1)−(1.2), th× bÊt ®¼ng thøc sau ®©y ®óng víi mäi t ∈ [0, 1] s − 2 (1−t) E khi t 1−t ε → 0+ , u1 (·, t) − u2 (·, t) 2C1 (t, a, s, β )ε E ln (1 + o(1)), ε trong ®ã s C1 (t, a, s, β ) = 1 + C (a, β, s)a 2  eaβ nÕu s = 0, C (a, β, s) = s/2 nÕu s max 1, eaβ s > 0. 2aeβ §Þnh lý 3.2. Bµi to¸n (1.3) ®Æt chØnh.
§Þnh lý 3.3. Gi¶ sö u(x, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n (1.1)−(1.2) vµ vα(x, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n (1.3). Khi ®ã ta cã ®¸nh gi¸ s/2 a(1 + β ) t+β t −1 u(·, t) − vα (·, t + β ) C (a, β, s)α E + α 1+β ε, ∀t ∈ [0, 1], ∀α ∈ (0, 1). 1+β 1 ln α B»ng c¸ch chän 1+β s ε E 2 α= ln , E ε th× ®¸nh gi¸ sau ®©y ®óng víi mäi t ∈ [0; 1] s − 2 (1−t) E khi t 1−t ε → 0+ . u(·, t) − vα (·, t + β ) C1 (t, a, s, β )ε E ln (1 + o(1)), ε NhËn xÐt 3.1. Trong §Þnh lý 3.3 ta cã ®¸nh gi¸ t¹i t = 0 s −2 E khi ε → 0+ . u(·, 0) − vα (·, β ) C1 (0, a, s, β )E ln (1 + o(1)), ε Râ rµng víi s > 0 th× ®¸nh gi¸ sai sè nµy cã d¹ng logarithm. §Þnh lý 3.4. Gi¶ sö ε < ϕ(·) . Chän τ sao cho τ ε < . Khi ®ã, tån t¹i duy >1 ϕ(·) nhÊt αε > 0 tháa m·n ®¼ng thøc vαε (·, 1 + β ) − ϕ(·) = τ ε. (3.1) Gi¶ sö u(x, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n (1.1) vµ vα(x, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n (1.3) víi α = αε . NÕu cã thªm ®iÒu kiÖn (1.2) th× ®¸nh gi¸ sau ®©y ®óng víi mäi t ∈ [0, 1] −s(1−t)/2 E C (τ, a, β, s)εt E 1−t ln (1 + o(1)) khi ε → 0+ u(·, t) − vαε (·, t + β ) ε trong ®ã C (τ, a, β, s) lµ mét h»ng sè d¬ng chØ phô thuéc τ, a, β, vµ s. NhËn xÐt 3.2. C¸ch chän tham sè hãa nghiÖm trong §Þnh lý 3.4 kh«ng phô thuéc s vµ E . H¬n n÷a, t¹i t = 0 ta cã ®¸nh gi¸ −s/2 E (1 + o(1)) khi ε → 0+ . u(·, 0) − vαε (·, β ) C (τ, a, β, s)E ln ε §¸nh gi¸ sai sè nµy cã d¹ng logarithm víi s > 0.
4. Chøng minh c¸c kÕt qu¶ chÝnh Chøng minh §Þnh lý 3.2. LÊy biÕn ®æi Fourier cña nghiÖm v cña bµi to¸n (1.3) theo biÕn kh«ng gian x ∈ R, ta cã   dv = −aξ 2 v , 0 < t < 1 + β, (4.1) dt αv (ξ, 0) + v (ξ, 1 + β ) = ϕ(ξ ), ξ ∈ (−∞; +∞), α > 0, β > 0. Tõ ph¬ng tr×nh ®Çu cña hÖ ta nhËn ®îc 2 v (ξ, t) = e−atξ v (ξ, 0), ∀t ∈ [0, 1 + β ]. (4.2) Thay t = 1 + β vµo (4.2) ta cã v(ξ, 1 + β ) = e−a(1+β)ξ vµ do ®ã ϕ(ξ ) = αv(ξ, 0) + 2 v (ξ, 0), v (ξ, 1 + β ) = (α + e−a(1+β )ξ )v (ξ, 0). Tõ ®©y suy ra 2 ϕ(ξ ) v (ξ, 0) = . (4.3) α + e−a(1+β )ξ2 2 −atξ Thay (4.3) vµo (4.2) ta ®îc v(ξ, t) = α + e−a(1+β)ξ2 ϕ(ξ ) víi mäi t ∈ [0, 1 + β ], suy ra e 2 e−atξ ∨ v (x, t) = ϕ(ξ ) , ∀t ∈ [0, 1 + β ]. (4.4) α + e−a(1+β )ξ2 Theo ®Þnh nghÜa cña tÝch chËp ta cã F ∗ϕ v= √ (4.5) 2π víi F lµ hµm sè sao cho 2 e−atξ F= . (4.6) α + e−a(1+β )ξ2 Sö dông Bæ ®Ò 2.5 ta nhËn ®îc 2 e−atξ t t −1 |F | = F = H α 1+β , ∀t ∈ [0, 1 + β ]. (4.7) α + e−a(1+β )ξ2 1+β TiÕp theo sö dông ®¼ng thøc Parseval, ta cã t t ∨ t t −1 −1 v (·, t) = Fϕ = Fϕ H α 1+β ϕ =H α 1+β ϕ 1+β 1+β Tãm l¹i, ta cã ®¸nh gi¸ t t −1 v (·, t) H α 1+β ϕ , ∀t ∈ [0, 1 + β ]. (4.8) 1+β Tõ (4.4), (4.5), (4.6) vµ (4.8) ta kh¼ng ®Þnh ®îc bµi to¸n (1.3) ®Æt chØnh.
Chøng minh §Þnh lý 3.3. Sö dông ®¼ng thøc Parseval ta cã u(·, t) − vα (·, t + β ) = u(·, t) − vα (·, t + β ) 2 e−a(t+β )ξ 2 = ea(1−t)ξ u(ξ, 1) − ϕ(ξ ) α + e−a(1+β )ξ2 2 2 e−a(t+β )ξ e−a(t+β )ξ 2 = ea(1−t)ξ u(ξ, 1) − 2 u(ξ, 1) + (u(ξ, 1) − ϕ(ξ )) α + e−a(1+β )ξ2 α + e−a(1+β )ξ 2 2 e−a(t+β )ξ e−a(t+β )ξ a(1−t)ξ 2 e − u(ξ, 1) + (u(ξ, 1) − ϕ(ξ )) α + e−a(1+β )ξ2 α + e−a(1+β )ξ2 2 2 αea(1−t)ξ e−a(t+β )ξ u(ξ, 1) + sup u(ξ, 1) − ϕ(ξ ) α + e−a(1+β )ξ2 −a(1+β )ξ 2 ξ ∈R α + e 2 2 αe−atξ e−a(t+β )ξ = u(ξ, 0) + sup u(ξ, 1) − ϕ(ξ ) α + e−a(1+β )ξ2 −a(1+β )ξ 2 ξ ∈R α + e 2 αe−atξ (1 + ξ 2 )−s/2 t+β t+β −1 (1 + ξ 2 )s/2 u(ξ, 0) + H α 1+β ε α + e−a(1+β )ξ2 1+β 2 αe−atξ (1 + ξ 2 )−s/2 t+β t+β −1 sup u(ξ, 0) +H α 1+β ε Hs α + e−a(1+β )ξ2 1+β ξ ∈R 2 αe−atξ (1 + ξ 2 )−s/2 t+β −1 sup E + α 1+β ε. (4.9) −a(1+β )ξ 2 α+e ξ ∈R 2 αe−atξ (1 + ξ 2 )−s/2 B©y giê ta sÏ ®¸nh gi¸ ®¹i lîng §Æt e−a(1+β)ξ = αz , dÔ 2 A = sup . α + e−a(1+β )ξ2 ξ ∈R 1 thÊy 0 < z . Ta cã α −s/2 ln(αz ) t α(αz ) 1− 1+β 2 αe−atξ (1 + ξ 2 )−s/2 a(1 + β ) = α + e−a(1+β )ξ2 α(1 + z ) t −s/2 z 1+β ln(αz ) t =α 1− 1+β (1 + z ) a(1 + β ) s/2 t s/2 a(1 + β ) z 1+β − ln α t =α 1+β 1 (1 + z ) − ln(αz ) + a(1 + β ) ln α s/2 t s/2 a(1 + β ) z 1+β − ln α t =α 1+β 1 (1 + z ) − ln α − ln z + a(1 + β ) ln α
TiÕp theo, ta chøng minh ®¹i lîng t s/2 z 1+β − ln α B= (1 + z ) − ln α − ln z + a(1 + β ) bÞ chÆn bëi mét h»ng sè d¬ng C (a, β, s). ThËt vËy, nÕu 0 < z 1 th× víi 0 < α < 1 ta cã 0 − ln α < − ln α − ln z + a(1 + β ) nªn t t s/2 z − ln α z 1+β 1+β B= < < 1. (1 + z ) − ln α − ln z + a(1 + β ) (1 + z ) Cßn nÕu z > 1 th× ta cã ®¸nh gi¸ − ln α ln z 0< 1. Do ®ã, (4.10) ®îc chøng minh. V× vËy, trong trêng hîp z > 1 ta cã ®¸nh gi¸ t t s/2 s/2 z 1+β − ln α z 1+β ln z B= < 1+ (1 + z ) − ln α − ln z + a(1 + β ) (1 + z ) a(1 + β ) s/2 s/2 1 1 s/2 ln(ea(1+β ) z ) ln(ea(1+β ) z ) z 1+β ln z z 1+β −β 1+ < =z 1+β (1 + z ) a(1 + β ) z a(1 + β ) a(1 + β ) s/2 s/2 1 1 s/2 −β −β y 1+β (ln y )s/2 = eaβ (ea(1+β ) z ) 1+β ln(ea(1+β ) z ) = eaβ a(1 + β ) a(1 + β ) s/2 1 aβ =e g (y ), a(1 + β ) trong ®ã g(y) = y (ln y )s/2 , y = ea(1+β ) z > ea(1+β ) > 1. B©y giê ta kh¶o s¸t hµm sè −β 1+β g (y ) víi y > 1. Ta cã −β 1+β −1 −β s 1 − s y β (ln y )s/2 + y 1+β (ln y ) 2 −1 g (y ) = 1+β 2 y s β −β s −1 = y 1+β (ln y ) 2 −1 − ln y , 2 1+β s(1+β ) g (y ) = 0 ⇔ y = e . 2β s/2 Tõ ®ã ta suy ra sup g(y) = 1 nÕu s = 0 vµ sup g(y) = g nÕu s > 0. s(1+β ) s(1+β ) e = 2β 2eβ y>1 y>1
Tãm l¹i, ta ®· chøng minh ®îc nÕu max 1, eaβ = eaβ B s = 0, s/2 s nÕu max 1, eaβ B s > 0. 2aeβ s/2 a(1 + β ) Do ®ã A E. Tõ ®¸nh gi¸ nµy vµ (4.9) ta kÕt luËn r»ng t C (a, β, s)α 1+β 1 ln α s/2 a(1 + β ) t+β t −1 u(·, t) − vα (·, t + β ) C (a, β, s)α E + α 1+β ε, ∀t ∈ [0, 1], ∀α ∈ (0, 1). 1+β 1 ln α 1+β s ε E B©y giê, thay α = ta sÏ cã 2 ln E ε   s s − 2 (1−t) ln E 2 E s 1 + C (a, β, s)a  εt E 1−t ε u(·, t) − vα (·, t + β ) ln 2 ln E − 2 ln ln E s ε ε ε s − 2 (1−t) E khi s t 1−t ε → 0+ εE ln 1 + C (a, β, s)a 2 (1 + o(1)) ε v× s ln E 2 ε lim = 1. ln E − 2 ln ln E s →0+ ε ε Chøng minh §Þnh lý 3.1. KÕt qu¶ nµy ®¹t ®îc b»ng c¸ch sö dông §Þnh lý 3.3 vµ bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c. Chøng minh §Þnh lý 3.4. §Æt ρ(α) = . NÕu 0 < ε < , th× vα (·, 1 + β ) − ϕ ϕ a) ρ lµ mét hµm liªn tôc, b) αlim ρ(α) = 0, + →0 c) α→+∞ ρ(α) = ϕ , lim d) ρ lµ hµm t¨ng ngÆt.
ThËt vËy, sö dông ®¼ng thøc Parseval ta cã ρ(α) = vα (·, 1 + β ) − ϕ = vα (ξ, 1 + β ) − ϕ(ξ ) 2 e−a(1+β )ξ α = ϕ(ξ ) − ϕ(ξ ) = − ϕ(ξ ) −a(1+β )ξ 2 −a(1+β )ξ 2 α+e α+e 1 2 +∞ 2 α α |ϕ(ξ )|2 dξ = ϕ(ξ ) = . (4.12) α + e−a(1+β )ξ2 α + e−a(1+β )ξ2 −∞ Tríc hÕt ta chøng minh kh¼ng ®Þnh b). Gi¶ sö δ lµ mét sè d¬ng bÐ tuú ý, v× ϕ 2 = δ2 ϕ 2 = −∞ |ϕ(ξ )|2 dξ nªn tån t¹i sè nguyªn d¬ng nδ sao cho |ξ|>n |ϕ(ξ )|2 dξ < . +∞ 2 δ Tõ (4.12) ta cã ®¸nh gi¸ víi mäi α tháa m·n δ 2 e−a(1+β )nδ 0nδ 2 α |ϕ(ξ )|2 dξ + |ϕ(ξ )|2 dξ −a(1+β )n2 α+e |ξ | nδ |ξ |>nδ δ ∞ δ2 δ2 2 2 α2 e2a(1+β )nδ |ϕ(ξ )|2 dξ + α2 e2a(1+β )nδ |ϕ(ξ )|2 dξ + 2 2 |ξ | nδ −∞ δ2 2 = α2 e2a(1+β )nδ ϕ 2 < δ2. + 2 Tõ ®¸nh gi¸ trªn, ta suy ra ®îc αlim ρ(α) = 0. TiÕp theo ta chøng minh kh¼ng ®Þnh + →0 c). Tõ (4.12) ta nhËn thÊy 2 +∞ +∞ α ρ2 (α) = |ϕ(ξ )|2 dξ |ϕ(ξ )|2 dξ = ϕ 2 (4.13) α + e−a(1+β )ξ2 −∞ −∞ 2 2 +∞ +∞ α α ρ2 (α) = |ϕ(ξ )|2 dξ |ϕ(ξ )|2 dξ α + e−a(1+β )ξ2 α+1 −∞ −∞ 2 α ϕ 2. = (4.14) α+1 Tõ (4.13), (4.14) vµ tÝnh kh«ng ©m cña ρ(α) ta cã α α 1 ϕ ρ(α) ϕ . V× α→+∞ α α 1 ϕ lim = + + ϕ nªn theo nguyªn lý kÑp ta cã lim ρ(α) = ϕ . TiÕp theo, ta chøng minh kh¼ng α→+∞
®Þnh d). Gi¶ sö 0 < α1 < α2 . Ta sÏ chøng minh ρ(α1 ) < ρ(α2 ). ThËt vËy, ta thÊy α1 α2 0< < , ∀ξ ∈ R. (4.15) −a(1+β )ξ 2 −a(1+β )ξ 2 α1 + e α2 + e Ngoµi ra, v× mµ nªn tån t¹i sè nguyªn d¬ng n0 +∞ 2 2 ϕ = ϕ >0 ϕ = −∞ |ϕ(ξ )| dξ sao cho +n0 |ϕ(ξ )|2 dξ > 0. (4.16) −n0 Tõ (4.12), (4.15) vµ (4.16) ta kÕt luËn ®îc ρ(α1 ) < ρ(α2 ). Cuèi cïng, ta chøng minh kh¼ng ®Þnh a). Gi¶ sö α0 lµ mét sè d¬ng bÊt kú. Ta chøng minh ρ liªn tôc t¹i α0 . V× α0 > 0 vµ ϕ > 0 nªn tõ (4.12) ta thÊy ρ2 (α0 ) > 0 hay ρ(α0 ) > 0 (Do ρ(α0 ) lµ ®¹i lîng kh«ng ©m). Víi α lµ sè d¬ng bÊt kú ta cã ®¸nh gi¸ sau (ρ(α) + ρ(α0 ))|ρ(α) − ρ(α0 )| = |ρ2 (α) − ρ2 (α0 )| ρ(α0 )|ρ(α) − ρ(α0 )| 2 2 +∞ α α0 |ϕ(ξ )|2 dξ. − (4.17) α + e−a(1+β )ξ2 α0 + e−a(1+β )ξ2 −∞ MÆt kh¸c, ta cã 2 2 α α0 − α + e−a(1+β )ξ2 α0 + e−a(1+β )ξ2 α α0 α α0 = − + e−a(1+β )ξ2 −a(1+β )ξ 2 e−a(1+β )ξ2 −a(1+β )ξ 2 α+ α0 + e α+ α0 + e 2 (α − α0 )e−a(1+β )ξ α α0 2 − =2 α + e−a(1+β )ξ2 α0 + e−a(1+β )ξ2 (α + e−a(1+β )ξ2 )(α0 + e−a(1+β )ξ2 ) |α − α0 | , ∀n ∈ N∗ . 2 (4.18) αα0 Tõ (4.17) vµ (4.18) ta cã +∞ |α − α0 | |α − α0 | |ϕ(ξ )|2 dξ = 2 ϕ 2. ρ(α0 )|ρ(α) − ρ(α0 )| 2 αα0 αα0 −∞ Tõ ®ã, ta cã |α − α0 | ϕ 2. 0 |ρ(α) − ρ(α0 )| 2 αα0 ρ(α0 ) |α − α0 | V× αlim ϕ 2 = 0 nªn theo nguyªn lý kÑp ta kÕt luËn ®îc αlim 2 |ρ(α) − 0 αα0 ρ(α0 ) →α →α 0 ρ(α0 )| = 0 hay lim ρ(α) = ρ(α0 ). VËy ρ liªn tôc t¹i α0 . α→ α0 Tõ c¸c tÝnh chÊt trªn cña hµm ρ chøng tá tån t¹i duy nhÊt mét sè d¬ng αε tháa m·n (3.1).
§Æt z(·, t) = u(·, t) − vα (·, t + β ) víi mäi t ∈ [0, 1]. Ta cã ε zt = azxx , (x, t) ∈ (−∞, +∞) × (0; 1) (4.19) z (·, 1) = u(·, t) − vαε (·, t + β ) u(·, t) − ϕ + vαε (·, t + β ) − ϕ ε + τ ε = (1 + τ )ε. (4.20) B©y giê ta ®¸nh gi¸ . Ta cã: z (·, 0) z (·, 0) = u(·, 0) − vαε (·, β ) = u(·, 0) − vαε (·, β ) 2 e−aβξ 2 eaξ u(ξ, 1) − = ϕ(ξ ) αε + e−a(1+β )ξ2 2 2 e−aβξ e−aβξ 2 eaξ u(ξ, 1) − = 2 u(ξ, 1) + (u(ξ, 1) − ϕ(ξ )) αε + e−a(1+β )ξ2 αε + e−a(1+β )ξ 2 2 e−aβξ e−aβξ aξ 2 e − u(ξ, 1) + (u(ξ, 1) − ϕ(ξ )) αε + e−a(1+β )ξ2 αε + e−a(1+β )ξ2 2 2 αε eaξ e−aβξ u(ξ, 1) + sup u(ξ, 1) − ϕ(ξ ) αε + e−a(1+β )ξ2 −a(1+β )ξ 2 ξ ∈R αε + e 2 e−aβξ αε = u(ξ, 0) + sup u(ξ, 1) − ϕ(ξ ) αε + e−a(1+β )ξ2 −a(1+β )ξ 2 ξ ∈R αε + e αε (1 + ξ 2 )−s/2 β −1 (1 + ξ 2 )s/2 u(ξ, 0) + H αε β ε 1+ αε + e−a(1+β )ξ2 1+β αε (1 + ξ 2 )−s/2 β −1 αε β ε 1+ sup u(ξ, 0) +H Hs αε + e−a(1+β )ξ2 1+β ξ ∈R αε (1 + ξ 2 )−s/2 −1 E + αε β ε. 1+ sup (4.21) αε + e−a(1+β )ξ2 ξ ∈R MÆt kh¸c, sö dông kÕt qu¶ ®¸nh gi¸ ®¹i lîng A trong trêng hîp t = 0 trong chøng minh §Þnh lý 3.3 ta thu ®îc s/2 αε (1 + ξ 2 )−s/2 a(1 + β ) sup C2 (a, β, s) (4.22) 1 −a(1+β )ξ 2 ξ ∈ R αε + e ln αε trong ®ã nÕu ea(1+β ) s = 0, C2 (a, β, s) = (4.23) nÕu s s/2 max 1, ea(1+β ) s > 0. 2
Tõ (4.21), (4.22) ta cã ®¸nh gi¸ s/2 a(1 + β ) −1 E + αε β ε 1+ z (·, 0) C2 (a, β, s) (4.24) 1 ln αε MÆt kh¸c, ta cã α αε u(ξ, 1) − (ϕ − vαε (ξ, 1 + β )) = u(ξ, 1) − αε vαε (ξ, 0) e−a(1+β )ξ2 −a(1+β )ξ 2 αε + αε + e 1 1 αε = αε u(ξ, 1) − ϕ= (u(ξ, 1) − ϕ) e−a(1+β )ξ2 e−a(1+β )ξ2 −a(1+β )ξ 2 αε + αε + αε + e αε sup u(ξ, 1) − ϕ u(ξ, 1) − ϕ = u(ξ, 1) − ϕ ε. −a(1+β )ξ 2 ξ ∈R αε + e mµ αε αε ϕ − vαε (ξ, 1 + β ) u(ξ, 1) + u(ξ, 1) − (ϕ − vαε (ξ, 1 + β )) −a(1+β )ξ 2 −a(1+β )ξ 2 αε + e αε + e dÉn ®Õn αε u(·, 1) τ ε − ε = (τ − 1)ε −a(1+β )ξ 2 αε + e hay 1 αε ε u(ξ, 1) . (4.25) −a(1+β )ξ 2 τ − 1 αε + e Tõ (4.24), (4.25) vµ sö dông chøng minh §Þnh lý 3.3 ta cã s/2 a(1 + β ) 1 αε −1 E + αε β 1+ z (·, 0) C2 (a, β, s) u(ξ, 1) 1 −a(1+β )ξ 2 τ − 1 αε + e ln αε s/2 2 αε e−aξ a(1 + β ) 1 −1 1+β = C2 (a, β, s) E + αε u(ξ, 0) 1 τ − 1 αε + e−a(1+β )ξ2 ln αε s/2 s/2 a(1 + β ) 1 a(1 + β ) −1 1 1+β C (a, β, s)αε β 1+ C2 (a, β, s) E + αε E 1 1 τ −1 ln αε ln αε s/2 1 a(1 + β ) = C2 (a, β, s) + C (a, β, s) E 1 τ −1 ln αε Ta l¹i cã (τ ε)2 = 2 2 vαε (·, 1 + β ) − ϕ = vαε (·, 1 + β ) − ϕ 2 2 2 αε αε αε 2 ϕ 2. = ϕ ϕ = −a(1+β )ξ 2 αε + 1 αε + 1 αε + e
αε Do ®ã τ ε hay ϕ αε + 1 ε ϕ − τε (4.26) αε τ Tõ ®ã ta cã a(1 + β ) a(1 + β ) a(1 + β ) = 1 Eε1 E ϕ − τε 1 ln ln ln αε ε αε E ε τ E E ln a(1 + β ) ε = . (4.27) E E ϕ − τε 1 ln ln ε ε τ E MÆt kh¸c E ln ε lim = 1. (4.28) E ϕ − τε 1 ε→0+ ln ε τ E Tõ c¸c ®¸nh gi¸ trªn ta thÊy khi ε → 0+ s/2 1 a(1 + β ) z (·, 0) C2 (a, β, s) + C (a, β, s) E (1 + o(1)). (4.29) ln E τ −1 ε Tõ Bæ ®Ò 2.6, (4.20) vµ (4.29) ta cã ®¸nh gi¸ t 1−t z (·, t) z (·, 1) z (·, 0) −s(1−t)/2 E C3 (τ, t, a, β, s)εt E 1−t ln (1 + o(1)) khi ε → 0+ ε 1−t 1 ë ®©y C3 (τ, t, a, β, s) = (τ + 1)t(a(1 + β ))s(1−t)/2 C2 (a, β, s) + τ − 1 C (a, β, s) . §Æt C (τ, a, β, s) = sup C3 (τ, t, a, β, s) < +∞ ta sÏ thu ®îc kh¼ng ®Þnh cña ®Þnh lý. t∈[0,1] tµi liÖu tham kh¶o Non-Standard and Improperly Posed Problems, Aca- [1] K. A. Ames and B. Straughan, demic Press, San Diego, 1997.
A Mollification Method for a Noncharacteristic Cauchy Problem for [2] Dinh Nho Hao, a Parabolic Equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 199 (1996), 873-909. A non-local boundary value problem [3] Dinh Nho H`o, Nguyen Van Duc and D. Lesnic, a method for the Cauchy problem for elliptic equations, Inverse problems, 25 (2009),055002, 27pp. [4] TrÇn §øc V©n, Ph¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng, NXB §¹i häc Quèc gia Hµ néi, 2001. summary Estimating the Stability and regularization for solutions of cauchy problem for a heat equation backward in time In this paper, we give a stable estimate of Holder type and regularization for so- ¨ lutions to Cauchy problem for a heat equation backward in time  ∂2u  ∂u = a 2 (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1), ∂t ∂x  u(·, 1) − ϕ(·) ε, L2 (R) subject to the constraint E , where, E > ε > 0, s 0, a > 0, ϕ(·) ∈ L2 (R) u(·, 0) H s (R) are given. (a) Khoa To¸n, trêng §¹i Häc Vinh. (b) Líp 47A, Khoa To¸n, trêng §¹i Häc Vinh.