Trong bài báo này, chúng tôi kh o sát các n a đ i s đơn và ch ng minh đư c m t s đ c trưng c a chúng. 1. Gi i thi u M t n a vành là m t c u trúc đ i s (Λ, +, ×, 0, 1) sao cho các đi u ki n sau đư c tho mãn...
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Một số đặc trưng của nửa đại số đơn"
- T P CHÍ KHOA H C Đ I H C HU , S 50-2009
M TS Đ C TRƯNG C A N A Đ I S ĐƠN
Nguy n Xuân Tuy n và Nguy n M nh Quy n
Trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Hu
Tóm t t.Trong bài báo này, chúng tôi kh o sát các n a đ i s đơn và ch ng
minh đư c m t s đ c trưng c a chúng.
1. Gi i thi u
M t n a vành là m t c u trúc đ i s (Λ, +, ×, 0, 1) sao cho các đi u ki n sau đư c
tho mãn:
(1) (Λ, +) là m t v nhóm giao hoán v i ph n t không 0;
(2) (Λ, ×) là m t v nhóm v i ph n t đơn v 1;
(3) Phép nhân phân ph i v i phép c ng c hai phía;
(4) 0r = 0 = r0, ∀r ∈ Λ.
Khi phép nhân trong n a vành Λ là giao hoán thì Λ đư c g i là n a vành giao
hoán. M t n a vành Λ đư c g i là m t n a th n u (Λ \ {0}, ·, 1Λ ) là m t nhóm.
M t Λ-n a môđun trái là m t v nhóm giao hoán (M, +, 0M ) cùng v i m t phép
nhân v i vô hư ng (r, m) → rm t Λ × M t i M và tho mãn các đi u ki n sau:
(1) (rr )m = r(r m);
(2) r(m + m ) = rm + rm ;
(3) (r + r )m = rm + r m;
(4) 1m = m;
(5) r0M = 0M = 0m, ∀r ∈ Λ, ∀m ∈ M.
Các Λ-n a môđun ph i đư c đ nh nghĩa tương t . Khi n a vành Λ là giao hoán
thì m i Λ-n a môđun trái cũng là m t Λ-n a môđun ph i và đư c g i là Λ-n a
môđun.
Cho Λ là m t n a vành giao hoán; m t Λ-n a môđun A cùng v i m t phép nhân
trong A tho mãn các đi u ki n sau đây đư c g i là m t Λ-n a đ i s : v i m i
a, a , a ∈ A và v i m i r ∈ Λ
(i) r(aa ) = (ra)a = a(ra );
175
- (ii) a(a + a ) = aa + aa ;
(iii) (a + a )a = aa + a a ;
(iV) 0A a = a0A = 0A .
M t Λ-đ ng c u t Λ-n a môđun trái M vào Λ-n a môđun trái N là m t ánh
x f : M → N tho mãn:
f (x + y ) = f (x) + f (y ), f (rx) = rf (x), ∀x, y ∈ M, ∀r ∈ Λ.
Cho A, B là các Λ-n a đ i s ; m t Λ-đ ng c u môđun f : A → B đư c g i là
Λ-đ ng c u đ i s n u f (xy ) = f (x)f (y ), ∀x, y ∈ A.
Cho A là m t Λ-n a đ i s ; m t t p con I c a A đư c g i là m t iđêan trái (ph i)
c aAn u
(i) I = ∅;
(ii) x + y, rx ∈ I ;
(iii) ax ∈ I (xa ∈ I );
v i m i x, y ∈ I , m i a ∈ A và m i r ∈ Λ.
N u I v a là iđêan trái, v a là iđêan ph i c a A thì nó đư c g i là iđêan c a A.
Các khái ni m nêu trên có th xem, ch ng h n, trong [4,6].
C u trúc đ i s đơn là m t c u trúc cơ b n c a lĩnh v c đ i s , chính vì v y, nó
đã đư c bi t r t nhi u trong các c u trúc đ i s thông d ng như n a nhóm đơn,
vành đơn, và nó cũng đư c nghiên c u trên c u trúc n a vành t nh ng năm năm
mươi c a th k XX (xem [3,4,5,6,8]) và trong nh ng năm g n đây nó cũng đư c
nhi u tác gi quan tâm (xem [1,2,7,9]). Trong bài báo này, s d ng ý tư ng và k
thu t c a [5], chúng tôi nghiên c u các n a đ i s đơn và thu đư c m t s đ c trưng
c a chúng (Đ nh lý 2.2, Đ nh lý 2.8, Đ nh lý 2.10).
2. Đ c trưng c a n a đ i s đơn
M t Λ-n a đ i s A đư c g i là đơn n u A không ch a m t iđêan khác không
nào và A2 = 0.
Bây gi ta xét m t vài ví d sau đây.
Ví d .
1. Cho (H, ·) là m t n a nhóm có ph n t không 0H sao cho H ∗ = H \ {0} = ∅
và cho Λ là m t n a vành giao hoán. Xét vành các hàm sau:
S = {s : H ∗ → Λ | s(h) = σh = 0Λ v i h u h t h ∈ H }.
Ta có s = Σh∈H ∗ σh .h, trong đó ánh x σh .h đư c xác đ nh b i h → σh , k → 0Λ (k =
176
- h). Ta suy ra
Σσh .h = Στh .h ⇔ σh = τh ∀h ∈ H ∗ .
V i phép c ng sau đây, S là m t v nhóm:
Σσh .h + Στh .h = Σ(σh + τh )h ∀h ∈ H ∗ .
V nhóm c ng S cùng v i phép nhân trong S và phép nhân v i vô hư ng xác đ nh
như sau là m t Λ-n a đ i s :
S × S →S
(s, s ) →ss : H ∗ → Λ
h → σh .τh ,
Λ × S →S
(r, s) →rs : H ∗ → Λ
h → r.s(h).
Ta ký hi u Λ-n a đ i s S đư c xây d ng như trên b i Λ[H ].
2. G i S = Mn (Λ) là Λ-n a đ i s các ma tr n l y h t trên n a vành Λ. Khi
đó, v i n ≥ 2, S là đơn khi và ch khi Λ là đơn.
Th t v y, gi s Λ là đơn. N u I = 0 là m t iđêan c a S và x = ... + uekl + ... ∈ I
sao cho 0Λ = u ∈ Λ thì seik xtelj = suteij ∈ I v i m i i, j = 1, 2, ..., n và m i s, t ∈ Λ.
Vì Λ là đơn nên < ΛuΛ >= Λ, suy ra I ch a m i ph n t reij v i m i r ∈ Λ và
m i i, j = 1, 2, ..., n. Suy ra I = S . Ngư c l i, cho S đơn. N u Λ không đơn thì ta
có 0 = J = Λ là m t iđêan c a Λ. Khi đó, A = Mn (J ) là m t iđêan khác không c a
S , do đó S không đơn (mâu thu n). V y Λ đơn.
M nh đ 2.1. Cho A là m t n a đ i s đơn. Khi đó, ho c (A, +) là m t nhóm
ho c v i m i x, y ∈ A, x + y = 0 ⇒ x = y = 0 (1).
Ch ng minh
Xét t p
U = {x ∈ A | x + y = 0 v i y ∈ A}.
Khi đó, b ng ki m ch ng tr c ti p ta th y r ng U là m t iđêan c a A. Do A là
Λ-n a đ i s đơn nên U = A ho c U = {0}. N u U = A thì (A, +) là m t nhóm;
còn n u U = {0} thì x + y = 0 nên suy ra x = 0, y = 0 tho đi u ki n (1).
Cho I là m t iđêan trái khác 0 c a Λ-n a đ i s A. Khi đó, I đư c g i là c c ti u
n u I không ch a m t iđêan trái khác không nào c a A. Iđêan ph i c c ti u cũng
đư c đ nh nghĩa tương t .
177
- Đ nh lý 2.2. Cho A là m t Λ-n a đ i s . Khi đó, các đi u ki n sau là tương đương.
(i) A là đơn;
(ii) < AxA >= A, ∀x ∈ A \ {0}.
Ch ng minh
(i)⇒(ii). Cho A đơn. Ta th y N = {x ∈ A | Ax = 0} là iđêan c a A. Do đó,
N = {0} (vì A2 = {0}), suy ra Ax = 0, ∀x ∈ A \ {0}. Hơn n a, v i x ∈ A \ {0}, <
AxA > là iđêan c a A. N u < AxA > = 0 thì AxA = 0, suy ra Ax là iđêan c a A
nên Ax = A. V y, AxA = A2 = {0} (Mâu thu n). Do đó, < AxA > = A.
(ii)⇒(i). Gi s < AxA > = A, ∀x ∈ A \ {0}. G i I là iđêan khác không c a A,
t n t i x ∈ I \ {0}. Khi đó, A = < AxA > ⊂ I , suy ra I = A. V y A đơn.
H qu 2.3. N u A là m t Λ-n a đ i s giao hoán đơn thì Ax = A, ∀x ∈ A \ {0}.
Ch ng minh
Suy tr c ti p t Đ nh lý 2.2.
B đ 2.4. N u M là m t iđêan c c ti u c a Λ-n a đ i s A sao cho M 2 = 0 và
L = 0 là m t iđêan trái c a A ch a trong M thì L2 = 0.
Ch ng minh
Ta có < LA > là iđêan c a A ch a trong M. N u < LA >= 0 thì LA = 0
nên L là iđêan c a A ch a trong M. Do đó, L = M, suy ra L2 = M 2 = 0. N u
< LA >= M thì
M 2 = < LA >< LA > ⊂ < LALA > ⊂ < L2 A >,
suy ra L2 = 0.
M nh đ 2.5. Cho M là m t iđêan c c ti u c a Λ-n a đ i s A. N u M 2 = 0 thì
M là m t đ i s con đơn c a A.
Ch ng minh
Rõ ràng M là n a đ i s con c a A. D th y r ng I = {x ∈ M | M x = 0} là
m t iđêan c a A ch a trong M. Do M là iđêan c c ti u c a A nên I = M ho c
I = 0. N u I = M thì M 2 = 0 (mâu thu n). V y, I = 0, suy ra M x = 0 v i m i
x ∈ M \ {0}. V i x ∈ M \ {0}, M x = 0 là iđêan trái c a A ch a trong M, theo B
đ 2.4, ta có
M xM x = 0 ⇒ M xM = 0.
Vây, < M xM > là m t iđêan c a A ch a trong M . Do M là iđêan c c ti u nên
< M xM >= M. Theo Đ nh lý 2.2, M là đơn.
178
- B đ 2.6. N u M là m t iđêan c c ti u c a Λ-n a đ i s A sao cho M 2 = 0 thì
các iđêan trái c c ti u c a A ch a trong M trùng v i các iđêan trái c c ti u c a M .
Ch ng minh
G i L là iđêan trái c c ti u c a A ch a trong M. Theo B đ 2.4, L2 = 0. G i
I là m t iđêan trái c a M ch a trong L, vì < AI > ⊂ L nên < AI >= 0 ho c
< AI >= L. N u < AI > = 0 thì AI = 0 và I là m t iđêan trái c a M ch a trong
L, do đó I = L; còn n u < AI >= L thì
L2 = < AI >< AI > ⊂ < AM AI > ⊂ < M I > .
V y, 0 = < M I > ⊂ L là m t iđêan trái c a A ch a trong L, nên ta có L = <
M I > ⊂ I , suy ra I = L. Như v y, L là m t iđêan trái c c ti u c a M .
Ngư c l i, gi s L là m t iđêan trái c c ti u c a M . L y x ∈ L \ {0}, ta có
< M xM > = M (theo Đ nh lý 2.2, M nh đ 2.5). Do đó, M xM = 0, suy ra
M x = 0 và M L = 0. Ta có < M L >= 0 là m t iđêan trái c a M ch a trong L, nên
L = < M L > . V y L là m t iđêan trái c a A ch a trong M. Đ ch ng minh L là
c c ti u, ta cho I = 0 là m t iđêan trái b t kỳ c a A ch a trong L, suy ra I = L (vì
L là m t iđêan trái c c ti u c a M ). V y, L là m t iđêan trái c c ti u c a A ch a
trong M.
B đ 2.7. Cho L là m t iđêan trái c c ti u c a Λ-n a đ i s A. Khi đó, v i m i
x ∈ A, ho c Lx = 0 ho c Lx là m t iđêan trái c c ti u c a A.
Ch ng minh
Gi s Lx = 0, ta ch ng minh nó là m t iđêan trái c c ti u c a A. Rõ ràng
Lx là m t iđêan c a A. Cho I là m t iđêan trái c a A ch a trong Lx. Ta có
N = {y ∈ L | yx ∈ I } là m t iđêan trái c a A ch a trong L. Do đó, N = 0 ho c
N = L. D th y I = N x nên ta có I = 0 ho c I = Lx. V y, Lx là m t iđêan trái
c c ti u c a A.
Đ nh lý 2.8. N u A là m t Λ-n a đ i s đơn có m t iđêan trái c c ti u thì A là
t ng c a các iđêan trái c c ti u c a nó, nghĩa là
A = Σi∈I Li ,
trong đó Li là iđêan trái c c ti u c a A.
Ch ng minh
Ta có
Σi∈I Li =< Li >
i∈I
179
- (< i∈I Li > là iđêan trái c a A sinh ra b i i∈I Li ). Theo B đ 2.7, h p c a t t
c các iđêan trái c c ti u c a Λ-n a đ i s A là m t iđêan c a (A, ·), vì v i m i
a ∈ A, m i x ∈ i∈I Li , ta có:
x ∈ Li (i ∈ I ) ⇒ xa ∈ Li a ⇒ xa ∈ Li ,
i∈I
(Li a là m t iđêan trái c c ti u c a A). Do đó, Σi∈I Li = < i∈I Li > là m t iđêan
c a A, nhưng Σi∈I Li không th b ng không nên ta có Σi∈I Li = A.
H qu 2.9. Cho M là m t iđêan c c ti u c a Λ-n a đ i s A sao cho M 2 = 0 và
M ch a m t iđêan trái c c ti u c a A. Khi đó, M là t ng c a các iđêan trái c c
ti u c a A ch a trong M :
M = Σi∈I Li ,
trong đó Li là iđêan trái c c ti u c a A ch a trong M .
Ch ng minh
Theo M nh đ 2.5, M là đơn. A p d ng B đ 2.6 và Đ nh lý 2.8, ta có M = Σi∈I Li .
Đ nh lý 2.10. Gi s A là m t Λ-n a đ i s không có ư c c a không và ch a m t
iđêan trái c c ti u. Khi đó, A là đơn khi và chi khi A là t ng c a các iđêan trái c c
ti u c a nó.
Ch ng minh
Đi u ki n c n đư c suy t Đ nh lý 2.7, bây gi ta ch ng minh đi u ki n đ .
Th t v y, cho A = Σi∈I Li , trong đó (Li )i∈I là m t h các iđêan trái c c ti u c a
A. V i m i x ∈ A \ {0}, ta ch ng minh A = < AxA > .
V i m i y = 0 c a m t iđêan trái c c ti u L c a A. Khi đó, < AxL > là m t
iđêan trái c a A ch a trong L, Do L là m t iđêan trái c c ti u nên < AxL >= 0
ho c < AxL > = L.
N u < AxL >= 0 thì AxL = 0. Do L = 0 nên xL = 0 (vì A không có ư c c a
không). Do đó, AxL = 0 (mâu thu n). V y, < AxL > = L, suy ra
y ∈ < AxL > ⊂ < AxA > ⇒ Li ⊂ < AxA > .
i∈I
Do đó, A = < AxA >. Theo Đ nh lý 2.2, A là đơn.
180
- TÀI LI U THAM KH O
1. E.El Bashir, J.Hurt, A.Jancarik and T.Kepka, Simple commutative semirings.
J.Algebra, 236(2001), 277-306.
2. E.El Bashir and J.Kepka, Congruence-simple semirings. Semigroup Forum,
75(2007), 588-608.
3. S. Bourne and H.Zasenhaus. On Wedderburn-Artin Structure theory of a potent
semiring. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1957, 613-615.
4. J.S. Golan, Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers,
Dodrecht-Boston-London, 1999.
5. M.P. Grillet and P.A.Grillet, Completely 0-simple semirings. Trans. AMS,
155(1971), No1, March, 19-33.
6. U. Hebisch and H.J.Weinert, Semirings and Semifields. Handbook of Algebra,
Vol.1, 1996, 425-462, Amsterdam, North-Holland.
7. C. Monico, On finite congruence-simple semirings. J.Algebra, 271(2004), 846-
854.
8. H.J. Weinert, On 0-simple semirings, semigroup semirings, and two kinds of
division semirings. Semigroup Forum, 28(1984), 313-333.
9. T. Zambragel, Classification of finite congruence-simple semirings with zero.
ArXIV: RA/0702416v114 Feb. 2007.
SOME CHARACTERIZATIONS OF SIMPLE SEMIALGEBRAS
N.X.Tuyen, N.M.Quyen,
College of Pedagogy, Hue University
SUMMARY
In this paper we consider simple semialgebras and provide some their characteri-
zations.
181
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
