zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Báo cáo khoa học

Báo cáo nghiên cứu khoa học: " PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

74
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic −∆u ( x) + a( x).u ( x) = 0 với điều kiện biên thuần nhất. Trong bài báo này chúng ta sử dụng phương pháp chuẩn năng lượng để xác định hệ số phản ứng a = a ( x) từ những giá trị không chính xác của nghiệm u trên toàn miền. Hơn nữa, cho mục đích quan tâm đặc biệt đánh giá các hệ số không liên tục, chúng ta dùng phương pháp chỉnh với nửa chuẩn biến phân toàn phần......

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC"

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC AN ENERGY NORM METHOD WITH THE TOTAL VARIATION REGULARIZATION FOR A COEFFICIENT IDENTIFICATION PROBLEM IN ELLIPTIC EQUATION. Trần Nhân Tâm Quyền Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT −∆u ( x) + a( x).u ( x) = 0 với điều kiện Xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic biên thuần nhất. Trong bài báo này chúng ta sử dụng phương pháp chuẩn năng lượng để xác định hệ số phản ứng a = a ( x) từ những giá trị không chính xác của nghiệm u trên toàn miền. Hơn nữa, cho mục đích quan tâm đặc biệt đánh giá các hệ số không liên tục, chúng ta dùng phương pháp chỉnh với nửa chuẩn biến phân toàn phần thay cho phương pháp chỉnh Tikhonov truyền thống. Phương pháp chuẩn năng lượng đã được nghiên cứu gần đây cho bài toán đánh giá hệ số khuếch tán trong các phương trình elliptic (xem, [3, 6]). Tuy nhiên, chúng ta không thấy bất kỳ công trình nào nghiên cứu về phương pháp này cho bài toán đánh giá hệ số phản ứng. ABSTRACT −∆u ( x) + a( x).u ( x) = 0 with Consider the Dirichlet problem for the elliptic equation the homogeneous boundary condition. In this paper, we use the energy norm method to identify the reaction coefficient a = a ( x) from imprecise values of a solution u in the whole domain. Furthermore, for the purpose of particular interest in estimating coefficients that are discontinuous, we use the regularization method with the total variation semi-norm instead of the traditional Tikhonov regularization. The energy norm method has recently been studied for the problem of estimating the diffusion coefficients in elliptic equations (see, [3,6]). However, there has been no investigation into this method for the problem of estimating reaction coefficients. 1. Đặt vấn đề Cho Ω là một miền bị chặn trong có biên ∂Ω liên tục Lipschitz, f ∈ L2 (Ω) n và a ∈ L∞ (Ω) . Chúng ta xét bài toán xác định hệ số a = a( x) ∈ L∞ (Ω) trong bài toán Dirichlet cho phương trình elipptic ⎧−∆u ( x) + a( x).u ( x) = 0, x ∈ Ω, (E) ⎨ u ( x) = 0, x ∈ ∂Ω, ⎩ giả sử u đã được cho trên toàn miền Ω . Để phát biểu một cách chính xác bài toán, 141
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 chúng ta nhắc lại rằng một hàm u ∈ H 0 (Ω) được gọi là một nghiệm của hệ elliptic này 1 nếu: ∫ ∇u∇v + ∫ auv = ∫ fv, ∀v ∈ H (Ω ) . 1 (1) 0 Ω Ω Ω { } Nếu hệ số a thuộc vào tập A = a ∈ L∞ (Ω) : 0 < a ≤ a( x) ≤ a, x ∈ Ω thì ( E ) có duy nhất nghiệm và thoả mãn bất đẳng thức 1 || u ||H 1 ( Ω ) ≤ || f ||L2 ( Ω ) , (2) α ở đây hằng số α > 0 phụ thuộc vào cận dưới a của tập A và hằng số được xuất hiện trong bất đẳng thức Poincaré – Friedrichs (xem, [7]). Do đó, chúng ta xác định được toán tử phi tuyến từ hệ số đến nghiệm U : A ⊂ L∞ (Ω) → H 0 (Ω) mà ánh xạ mỗi 1 a ∈ A ⊂ L∞ (Ω) tới một nghiệm U (a) ∈ H 0 (Ω) của ( E ) . Bài toán ngược khi đó được 1 phát biểu như sau: Cho u = U (a ) ∈ H 0 (Ω) , tìm a ∈ A . 1 Chúng ta sẽ ký hiệu gradient của U (a ) tương ứng với biến x bởi ∇U (a) và đạo hàm Fréchet của U (a ) tương ứng với a bởi U '(a ) . Như chúng ta đã biết rằng (xem, [4, 8]) ánh xạ U khả vi Fréchet mọi cấp trên A . Cho mỗi h ∈ L∞ (Ω) , đạo hàm U '(a)h ∈ H 0 (Ω) là nghiệm duy nhất của phương trình biến 1 phân ∫ ∇U '(a )h∇v + ∫ aU '(a )hv = − ∫ hU (a )v, ∀v ∈ H 0 (Ω) . 1 (3) Ω Ω Ω Hơn nữa, 1 , ∀h ∈ L∞ (Ω) . ≤ (4) U '(a)h f h L∞ ( Ω ) α H1 (Ω) L2 ( Ω ) 2 2. Hàm mục tiêu lồi và chính quy hoá Phương pháp tiêu chuẩn để xác định a từ đo đạc z ∈ H 1 (Ω) của nghiệm U (a ) là phương pháp bình phương tối thiểu (xem, [2]), nghĩa là tìm a như nghiệm cực tiểu của phiến hàm || U (a) − z ||2 1 ( Ω ) trên tập chấp nhận được nào đó ∅ ≠ Aad ⊂ A . Thay vì vậy H chúng ta sử dụng phương pháp chuẩn năng lượng phụ thuộc a, một hàm 1 ∫Ω | ∇(U (a) − z ) | + a(U (a) − z ) . a a J (a ) := 2 2 (5) 2 Định lý 1. Hàm mục tiêu J (a) là lồi trên tập lồi A . Chứng minh. Ta có, với mọi h ∈ L∞ (Ω) và a ∈ A , 142
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 1 ∫Ω h(U (a) − z ) + ∫Ω ∇U '(a)h∇(U (a) − z ) + ∫Ω aU '(a)h(U (a) − z ) . J '(a)h = 2 2 2 Dùng (1) và (3) ta được 1 ∫Ω h(U (a) − z ) + ∫Ω ∇U '(a)h∇(U (a) − z ) + ∫Ω aU '(a)h(U (a) − z ) J '(a)h = 2 2 2 1 = ∫ h(U (a ) − z ) 2 − ∫ hU (a )(U (a ) − z ) 2Ω Ω 1 1 = − ∫ hU 2 (a ) + ∫ hz 2 . 2Ω 2Ω Do đó, J ''(a)(h, h) = − ∫ hU '(a )hU (a) Ω = ∫ | ∇U '(a)h |2 + ∫ aU '2 (a)h Ω Ω 2 ≥ min(1, a ) U '(a )h ≥ 0. H1 (Ω) Điều này suy ra rằng hàm J (a) là lồi trên A . Bài toán elliptic ngược xác định hệ số a = a( x) bằng phương pháp chính quy hoá, sử dụng chuẩn năng lượng với phạt biến phân toàn phần là tìm nghiệm của bài toán tối ưu min J (a ) + ρ ∫ | ∇a |, trên a ∈ Aad (P) Ω với ρ > 0 là tham số chính quy hoá và Aad = A I TV (Ω) . Ở đây TV (Ω) là không gian Banach của các hàm có biến phân toàn phần bị chặn (xem, [1, 5]). Theo Định lý 1, vì J (a) là lồi nên hàm mục tiêu trong bài toán (P) cũng lồi. 3. Sự tồn tại của nghiệm tối ưu Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh bài toán (P) có nghiệm. Kết quả sau đây có thể được tìm thấy trong Giusti [5], trang 7 - 17. Bổ đề 1. (i) Với mọi dãy bị chặn (an ) ⊂ TV (Ω) , tồn tại một dãy con (am ) của nó và một hàm a ∈ TV (Ω) sao cho (am ) hội tụ về a trong L1 (Ω) -chuẩn. (ii) Nếu (an ) ⊂ TV (Ω) và (an ) hội tụ về a trong L1 (Ω) -chuẩn thì ∫ | ∇a | ≤ lim inf n ∫ | ∇an | . Ω Ω Bổ đề 2. Cho (an ) là dãy bị chặn trong L∞ (Ω) và (an ) hội tụ về 0 trong L1 (Ω) -chuẩn. Khi đó ∫ anuv → 0, n → ∞ Ω 143
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 với mọi u và v thuộc L2 (Ω) . Chứng minh. Bởi định nghĩa của limsup và giả thiết rằng (an ) hội tụ về 0 trong L (Ω) -chuẩn, tồn tại một dãy con (am ) của nó mà hội tụ về 0 hầu khắp nơi trên Ω và 1 lim sup n ∫ | an uv |= lim m ∫ | amuv | Ω Ω Áp dụng Bổ đề Fatou ta có ∫ anuv ≤ lim m ∫ | amuv | lim sup n Ω Ω ≤ ∫ lim sup m | amuv | Ω = 0. Bây giờ chúng ta phát biểu kết quả chính cho mục này. Định lý 2. Bài toán tối ưu (P) có một nghiệm. Chứng minh. Lấy (an ) là dãy infimum cho (P), nghĩa là J (an ) + ρ ∫ | ∇an | → inf a∈Aad J (a ) + ρ ∫ | ∇a |, n → ∞. Ω Ω Từ đây suy ra rằng dãy (an ) bị chặn trong TV (Ω) -chuẩn. Bởi Bổ đề 1, tồn tại một dãy con (am ) của nó và hàm a ∈ TV (Ω) sao cho (am ) hội tụ về a trong L1 (Ω) - chuẩn và ∫ | ∇a | ≤ lim inf m ∫ | ∇am | . Ω Ω Vì (am ) ⊂ A nên a ∈ A , và do đó a ∈ Aad = A I TV (Ω) . Ta có, từ (1) và (2), 1 ∫ ∇U ( a )∇v + ∫ amU (am )v = ∫ fv, ∀v ∈ H 0 (Ω) và || U (am ) ||H 1 ( Ω ) ≤ 1 || f ||L2 ( Ω ) . (6) α m Ω Ω Ω Bất đẳng thức cuối cùng suy ra rằng dãy (U (am )) là bị chặn trong không gian Hilbert H 1 (Ω) do đó nó có một dãy con, được sử dụng cùng ký hiệu, sao cho dãy (U (am )) hội tụ yếu về θ trong H 1 (Ω) . Ta có, với mọi v ∈ H 0 (Ω) , 1 ∫ ∇U ( a )∇v + ∫ amU (am )v − ∫ ∇θ∇v − ∫ aθ v = ∫ (am − a)U (am )v m Ω Ω Ω Ω Ω + ∫ ∇(U (am ) − θ )∇v + ∫ a(U (am ) − θ )v. Ω Ω Vì (U (am )) hội tụ yếu về θ trong H 1 (Ω) -chuẩn nên ∫ ∇(U (a ) − θ )∇v + ∫ a (U (am ) − θ )v → 0, m → ∞. (7) m Ω Ω Ngoài ra, 144
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 1 1 ⎛ ⎞ 2⎛ ⎞ 2 ∫ (am − a )U (am )v ≤ ⎜ ∫ | (am − a) || U (am ) |2 ⎟ ⎜ ∫ | (am − a) || v |2 ⎟ ⎝Ω ⎠ ⎝Ω ⎠ Ω và dùng định nghĩa của tập A , công thức (6) ta được 1 ⎛ ⎞ 2 ⎜ ∫ | (am − a) || U (am ) | ⎟ ≤ 2a U (am ) 2 H1 (Ω) ⎝Ω ⎠ 2a ≤ || f ||L2 ( Ω ) . α Một áp dụng của Bổ đề 2 suy ra rằng ∫ (a − a )U (am )v → 0. (8) m Ω Từ các đẳng thức (7) và (8) ta được ∫ ∇U ( a )∇v + ∫ amU (am )v → ∫ ∇θ∇v − ∫ aθ v, m → ∞ (9) m Ω Ω Ω Ω với mọi v ∈ H 0 (Ω) . Suy ra từ (9) và (6) rằng 1 ∫ ∇θ∇v + ∫ aθ v = ∫ fv, ∀v ∈ H (Ω ) . 1 0 Ω Ω Ω Điều này có nghĩa là θ = U (a) và dãy (U (am )) có một dãy con hội tụ yếu về U (a ) trong H 1 (Ω) . Ngoài ra, vì H 0 (Ω) là không gian con đóng của không gian 1 Hilbert H 1 (Ω) do đó chúng ta có sự phân tích trực giao H 1 (Ω) = H 0 (Ω) ⊕ H 0 (Ω) ⊥ . 1 1 Chọn y ∈ H 0 (Ω) và t ∈ H 0 (Ω) ⊥ sao cho z = y + t . Ta có 1 1 1 1 ∫Ω | ∇(U (am ) − z ) | + am (U (am ) − z ) = 2 ∫Ω | ∇(U (am ) − y − t ) | + am (U (am ) − y − t ) 2 2 2 2 2 1 = ∫ | ∇(U (am ) − y ) |2 + am (U (am ) − y ) 2 2Ω − ∫ ∇(U (am ) − y )∇t + am (U (am ) − y )t Ω 1 ∫Ω | ∇t | + amt . + 2 2 2 Ta có 1 1 ∫Ω | ∇(U (am ) − y) | + am (U (am ) − y) = 2 ∫Ω f (U (am ) − y) 2 2 1 → ∫ f (U (a) − y ), m → ∞, 2Ω 145
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 bởi (1) và sự kiện rằng dãy (U (am )) hội tụ yếu về U (a ) trong H 1 (Ω) . Với lý do tương tự ta cũng có ∫ ∇(U (am ) − y )∇t → ∫ ∇(U (a ) − y )∇t , m → ∞. Ω Ω Ngoài ra, chứng minh tương tự như trên ta cũng có ∫ am (U (am ) − y )t → ∫ a(U (a ) − y )t Ω Ω và 1 1 ∫Ω | ∇t | + amt → 2 ∫Ω | ∇t | + at , m → ∞. 2 2 2 2 2 Do đó, 1 1 ∫Ω | ∇(U (am ) − z ) | + am (U (am ) − z ) = 2 ∫Ω f (U (a) − y) 2 2 lim m 2 − ∫ ∇(U (a ) − y )∇t + a(U (a) − y )t Ω (10) 1 2 ∫Ω + | ∇t |2 + at 2 1 = ∫ | ∇(U (a) − z ) |2 + a (U (a ) − z ) 2 . 2Ω Bây giờ, ta có, 1 ∫Ω | ∇(U (a) − z ) | + a(U (a) − z ) + ρ ∫Ω | ∇a | 2 2 2 1 = lim m ∫ | ∇(U (am ) − z ) |2 + am (U (am ) − z ) 2 + ρ ∫ | ∇a | 2Ω Ω 1 ≤ lim m ∫ | ∇(U (am ) − z ) |2 + am (U (am ) − z ) + ρ lim inf m ∫ | ∇am | 2Ω Ω ⎛1 ⎞ = lim inf m ⎜ ∫ | ∇(U (am ) − z ) |2 + am (U (am ) − z ) + ρ ∫ | ∇am | ⎟ ⎝2 Ω ⎠ Ω = inf a∈Aad J (a ) + ρ ∫ | ∇a |. Ω Điều này có nghĩa a là nghiệm của bài toán (P). Định lý đã được chứng minh. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. H. Attouch, G. Buttazzo, G. Michaille, Variational analysis in Sobolev and BV spaces, SIAM, 2006, 634 p. [2]. G. Chavent, Nonlinear Least Squares for Inverse Problems. Theoretical Foundations and Step-by-Step Guide for Applications, Scientific Computation. Springer, New York, 2009, 360 p. 146
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 [3] Z. Chen and J Zou, “An augmented Lagrangian method for identifying discontinuous parameters in elliptic systems” SIAM J. Control And Optim 3(37), 1999, 892 – 910. [4]. F. Colonius and K. Kunisch, “Output least squares stability in elliptic systems”, Alpp. Math. Optim., 19, 1989, 33 – 63. [5]. E. Giusti, Minimal surfaces and functions of boubded variation, Vol. 80, Birkhauser - Boston, 1984, 240 p. [6]. M.S. Gockenbach and A A. Khan, “An abstract framework for elliptic inverse problems: Part 1, An output least squares approach”, Math. And Mechanics Of Solids, 12, 2007, 259 – 276. [7]. O. A. Ladyzhenskaya, The boundary value problems of mathematical physics, Springer – Verlag, 1984, 322 p. [8]. T. N. T. Quyen, “Some properties of mapping from coefficients to solutions for elliptic equations”, J. of scie. and tech., Da Nang Univ., 3(32), 2009, 104 – 111. 147

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Tài Chính Ngân Hàng

172 tài liệu

837 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.