zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Báo cáo khoa học

Báo cáo nghiên cứu khoa học: " VỀ MỘT TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA MÔĐUN MORPHIC"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

48
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Theo ([4]), một R-môđun phải M được gọi là morphic nếu cho mỗi s ∈ End(M), thì chúng ta có M/s(M) Ker(s). Một vành R được gọi là morphic phải nếu R là morphic như Rmôđun phải. Các tính chất và đặc trưng của lớp vành và môđun morphic đã được nghiên cứu. Một trường hợp tổng quát của vành morphic đã được đưa ra trong ([2]), theo đó một vành R được gọi là π -morphic phải nếu cho mỗi a ∈ R, nếu tồn tại n ∈ * sao cho R/anR r(a n). ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " VỀ MỘT TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA MÔĐUN MORPHIC"

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 VỀ MỘT TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA MÔĐUN MORPHIC ON A GENERALIZATION OF MORPHIC MODULES Trương Công Quỳnh Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Theo ([4]), một R-môđun phải M được gọi là morphic nếu cho mỗi s ∈ End(M), thì chúng ta có M/s(M) Ker(s). Một vành R được gọi là morphic phải nếu R là morphic như R- môđun phải. Các tính chất và đặc trưng của lớp vành và môđun morphic đã được nghiên cứu. Một trường hợp tổng quát của vành morphic đã được đưa ra trong ([2]), theo đó một vành R được gọi là π -morphic phải nếu cho mỗi a ∈ R, nếu tồn tại n ∈ * sao cho R/anR r(a n). Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu một trường hợp tổng quát của lớp môđun morphic và vành π -morphic, đó là lớp môđun π -morphic. Một R-môđun phải M được gọi là π - morphic nếu cho mỗi s ∈ End(M), thì tồn tại n ∈ * sao cho M/sn(M) Ker(sn). Một số tính chất và đặc trưng của môđun này được nghiên cứu và mở rộng một số kết quả được biết. ABSTRACT Following ([4]), a right R-module M is called morphic, if for each s ∈ End(M), then M/s(M) Ker(s). A ring R is called right morphic, if R is a morphic as right R-module. Some properties and characterizations of rings and modules are studied. A generalization of morphic ring is studied in [2], follwing which, a ring R is called right π -morphic, if for each a ∈ R, there exists n ∈ * such that R/anR r(a n). In this paper, we consider a generalization π -morphic rings; this is π -morphic module. A right R-module M is of morphic modules and called π -morphic, if for each s ∈ End(M), there exists n ∈ * such that M/sn(M) ; Ker(sn). Some properties of this class are studied. Some known results are obtained as corollaries. 1. Giới thiệu Trong bài báo này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị 1 ≠ 0 và mọi R-môđun được xét là môđun unita. Trong mục này, chúng tôi giới thiệu những khái niệm cơ bản được sử dụng trong bài báo. Một số khái niệm khác liên quan đến bài báo chúng ta có thể tham khảo trong Nicholson và Yousif ([6]), Wisbauer ([7]). Với vành R đã cho, ta viết M R (tương ứng, R M ) để chỉ M là một R-môđun phải (t.ư, trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể của bài báo, khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun, để đơn giản ta viết môđun M thay vì M R . Chúng ta dùng các ký hiệu A ≤ M ( A < M ) để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự) của M. Cho M và N là các R- môđun phải. Đồng cấu từ M đến N ; ký hiệu M → N được hiểu là R-đồng cấu từ M đến N. Ký hiệu End(M) là tập tất cả các đồng cấu từ M đến M (hay còn được gọi là tập tất cả các đồng cấu của M). Cho M là một R-môđun phải và tập X là tập khác rỗng của M. Linh hóa tử phải của X trong R được ký hiệu là rR ( X ) và được xác định như sau: 148
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 rR ( X ) = {r ∈ R | xr = 0, ∀x ∈ X } . Khi không sợ nhầm lẫn ta có thể viết gọn là r(X) thay vì rR ( X ) . Khi X = {x1, x 2 ,..., x n } thì ta viết r ( x1, x 2 ,..., x n ) thay vì r ({x1, x 2 ,..., x n }) . Ta có rR ( X ) là một iđêan phải của vành R. Trong suốt bài báo này chúng ta ký hiệu U(R) là tập tất cả các phần tử khả nghịch của R. Như chúng ta được biết cho một môđun M và mỗi tự đồng cấu f của M ta luôn luôn có M / Kerf ≅ Im f . Đặc biệt với mỗi a ∈ R , ta có R / r (a) ≅ aR . Tiếp theo chúng ta sẽ xét các môđun M có tính chất cho mỗi tự đồng cấu f của M thì M / Im f ≅ Kerf . Các đồng cấu có tính chất này được gọi là morphic. Một mô đun M được gọi là morphic nếu mỗi tự đồng cấu f của M là morphic. Lớp các môđun morphic được nghiên cứu bởi Nicholson và Campos E.Sánchez. Đồng thời các tác giả đã đưa ra nhiều đặc trưng của lớp môđun này (xem [4], [5]). Mục đích của nghiên cứu các môđun morphic là nghiên cứu tính chính qui của nó và vành tự đồng cấu của nó. R R là Một vài năm gần đây lớp các môđun morphic (vành morphic, nếu morphic) được các tác giả Camillo, Zhou, Chen,... quan tâm nghiên cứu. Một trường hợp tổng quát của vành morphic đã được Huang, Chen (xem [2]) đưa ra là vành π - morphic, theo đó một vành R được gọi là π -morphic nếu cho mỗi phần tử a ∈ R , tồn n sao cho R a R ≅ r( a n ). Các tính chất và một số đặc * tại n ∈ (phụ thuộc vào a) trưng của lớp vành này đã được nghiên cứu và họ cũng đưa ra nhiều đặc trưng và mở rộng một số kết quả được biết của lớp môđun này. Từ định nghĩa của lớp vành π - morphic chúng tôi đưa ra khái niệm π -morphic cho môđun. Tiếp tục chúng tôi nghiên cứu lớp môđun π -morphic này, chúng tôi thu được một số kết quả và mở rộng một số kết quả được biết cho lớp môđun morphic và cũng như lớp vành π - morphic. 2. Môđun π -morphic Định nghĩa 2.1. Cho M là một R-môđun phải và s ∈ End(M). Phần tử s được gọi là π - morphic nếu tồn tại n ∈ * (phụ thuộc vào s) sao cho M/sn(M) Ker(sn). Môđun M được gọi là π - morphic nếu mỗi s ∈ End(M) là π - morphic. ⎛ 2⎞ ⎟ . Khi đó RR là π - morphic nhưng không là Ví dụ: Cho vành R = ⎜ 2 ⎝0 2⎠ morphic. Thật vậy mỗi phần tử của R hoặc là lũy linh hoặc là lũy đẳng hoặc là khả nghịch. Do đó suy ra RR là π - morphic. Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh RR không ⎧⎛ a b ⎞ ⎫ ⎛0 1⎞ ⎪ là morphic. Thật vậy xét x = ⎜ ⎟ ∈ R . Khi đó r ( x) = ⎨⎜ ⎟ | a, b ∈ ⎬ và 2 ⎝0 0⎠ ⎪⎝ 0 0 ⎠ ⎭ ⎩ 149
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 ⎧ ⎫ ⎛0 1⎞ ⎪⎛ 0 a ⎞ xR = ⎜ ⎟ R = ⎨⎜ ⎟| a∈ ⎬. 2 ⎝0 0⎠ ⎪⎝ 0 0 ⎠ ⎭ ⎩ ⎛a b0 ⎞ Nếu x là morphic phải thì tồn tại y = ⎜ 0 ⎟ ∈ R sao cho r(x)=yR và r(y)=xR ⎝0 c0 ⎠ ⎧ ⎫ ⎪⎛ 0 a ⎞ (theo [5]). Từ đây suy ra c0=0 . Vì r(y)=xR nên r ( y ) = ⎨⎜ ⎟ | a0 a = 0 ⎬ , và do đó ⎪⎝ 0 0 ⎠ ⎭ ⎩ a0=0. Khi đó chúng ta phải có y=x. Suy ra r(x)=xR, điều này lại mâu thuẫn bởi vì ⎛1 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎟ ∈ r ( x) mà ⎜ ⎟ ∉ xR. Vậy x không phải là morphic phải. ⎜ ⎝ 0 0⎠ ⎝0 0⎠ Theo [2], một phần tử a của R được gọi là π - morphic phải (tương ứng, G- * morphic phải) nếu tồn tại n ∈ (tương ứng, a n ≠ 0 ) sao cho R / a n R r (a n ) . Một vành R được gọi là π - morphic phải nếu mỗi phần tử của R là π - morphic phải. Rõ ràng chúng ta cũng có R là π - morphic phải nếu và chỉ nếu RR là π - morphic. Trong bài báo này chúng ta chấp nhận khái niệm π - morphic của môđun để nghiên cứu. Trước hết chúng ta có một dấu hiệu để nhận biết một môđun là π - morphic: Bổ đề 2.2. Cho M là một môđun và một phần tử s ∈ End(M). Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (1) s là π - morphic. * và g ∈ End(M) sao cho Ker(sn) = g(M) (2) Với mỗi s ∈ End(M), tồn tại n ∈ và Ker(g) = sn(M). * Chứng minh: “(1) ⇒ (2)”. Theo định nghĩa ta có: ∃ n ∈ , và một đẳng cấu α : M/sn (M) → Ker(sn). g = iα p : M → M, với p: M → M/sn (M) là toàn cấu chính tắc và i: Đặt Ker(sn) → M là đơn cấu chính tắc. Tiếp theo chúng ta sẽ kiểm tra g thỏa điều kiện (2). Thật vậy ta có m g ( M ) = iα p ( M ) = iα ( M / s n ( M )) = i ( Kers n ) = Kers n và Kerg ={m ∈ M | iα p(m)=0}={m ∈ M | iα (m+s n (M ))=0} ={m ∈ M | α (m+s n (M ))=0} ={m ∈ M | m+s n (M )=0} ={m ∈ M | m ∈ s n (M )}=s n (M ) 150
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 * và g∈ End(M) sao cho Ker(sn) = g(M) và n∈ “(2) ⇒ (1)”. Giả sử tồn tại g ( M ) = Kers n . Vậy M là π - morphic. Ker(g) = sn(M). Khi đó M / s n ( M ) M / Kerg Tiếp theo chúng ta có tính chất sau: Mệnh đề 2.3. Cho M là một môđun, và s∈ End(M) là π - morphic. Khi đó những phát biểu sau là tương đương: (1) Ker(s) = 0. (2) s(M) = M. (3) s ∈ U(S), với S= End(M) và U(S) là tập tất cả các tự đẳng cấu của M. Chứng minh: Theo Bổ đề 2.2, tồn tại t ∈ End(M) sao cho s n ( M ) = Ker(t) và Ker(sn) = t(M). (1) ⇒ (2): Giả sử Ker(s) = 0 (nghĩa là s là đơn cấu). Theo đẳng thức trên thì ta t(M) = 0 hay t = 0. Khi đó Ker(t) = M và vì vậy hay s n ( M ) = Ker(t) =M . Từ đó suy ra s ( M ) = M hay s là toàn cấu. (2) ⇒ (1): Ta có s n ( M ) = Ker(t) hay ts n ( M ) = 0 . Nếu s(M) = M thì ts n −1 ( M ) = ts n −1 ( s ( M )) = ts n ( M ) = 0 . Lặp lại quá trình này chúng ta sẽ có t(M)= 0. Suy ra Ker(s) = 0. 2) ⇒ (3): Rõ ràng (3) ⇒ (1). Giả sử s ∈ U(S). Khi đó s là một đẳng cấu và do đó Ker(s) = 0. Hệ quả 2.4 ([2, Proposition 2.3]). Cho R là một vành, và a ∈ R là π - morphic phải. Khi đó những phát biểu sau là tương đương: (1) r(a) = 0. (2) aR = R. (3) a ∈ U(R), với U(R) là tập tất cả các phần tử khả nghịch của R. Một vành R được gọi là hữu hạn Dedekin nếu cho mỗi a, b ∈ R và ab=1 thì suy ra ba=1. Từ Mệnh đề 2.3 chúng ta có định lý sau: Định lý 2.5. Cho M là π - morphic. Khi đó vành End(M) là hữu hạn Dedekin. Chứng minh: Cho mỗi s, t ∈ End(M) với st=1. Khi đó suy ra t là một đơn cấu, nghĩa là Kert=0. Vì M là π - morphic nên t là π - morphic. Do đó theo Mệnh đề 2.3 thì t là một đẳng cấu. Suy ta tồn tại t’ ∈ End(M) sao cho tt’=t’t=1. Từ đây suy ra t’=s và ts=1. Hệ quả 2.6 ([2, Corollary 2.4]). Nếu R là vành π - morphic thì R là hữu hạn Dedekin. Người ta gọi một môđun M được gọi là ảnh xạ ảnh nếu với mọi s, t ∈ S=End(M) với s ( M ) ≤ t ( M ) thì s ∈ tS (theo [4]). Một môđun M được gọi là P-tự sinh nếu với mỗi m ∈ M, tồn tại một toàn cấu M → mR . 151
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 Phần tiếp theo chúng tôi nêu lên mối liên hệ giữa π - morphic môđun và tự đồng cấu của nó. Định lý 2.7. Cho môđun M là ảnh xạ ảnh và P-tự sinh. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (1) M là π - morphic. (2) S=End(M) là vành π - morphic phải. Chứng minh: (1) ⇒ (2): Cho mỗi s ∈ End(M). Vì M là π - morphic nên tồn tại * và t ∈ End(M) sao cho s n ( M ) = Ker(t) và Ker(sn) = t(M). Bây giờ chúng tồn tại n ∈ ta sẽ chứng minh rS ( s n ) = tS ; rS (t ) = s n S . Thật vậy vì snt(M)=0 nên tS ≤ rS ( s n ) . Ngược lại với mỗi h ∈ rS ( s n ) , ta có snh=0. Suy ra h( M ) ≤ Kers n = t ( M ) . Mặt khác M là ảnh xạ ảnh nên h ∈ tS . Vì vậy chúng ta có rS ( s n ) = tS . Tương tự ta cũng dễ dàng chúng minh được s n S = rS (t ) . Vậy S=End(M) là vành π -morphic phải. (2) ⇒ (1): Cho mỗi s ∈ End(M). Vì End(M) là π - morphic phải nên tồn tại tồn tại n ∈ * và t ∈ End(M) sao rS ( s n ) = tS ; rS (t ) = s n S . Tiếp theo chúng ta chỉ ra s n ( M ) = Ker(t) và Ker(sn) = t(M). Vì rS ( s n ) = tS nên t ( M ) ≤ Kers n . Ngược lại với mỗi m ∈ Kers n , sn(m)=0. Hơn nữa vì M là P-tự sinh nên tồn tại một đồng cấu h ∈ End(M) sao cho mR=h(M). Suy ra sn(h(M))=0 hay snh=0. Từ đó ta có h ∈ rS ( s n ) = tS và do đó mR = h( M ) ≤ t ( M ) . Vì vậy m ∈ t(M). Tóm lại ta có Ker(sn) = t(M). Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng suy ra s n ( M ) = Ker(t) . Vậy M là π -morphic. Chúng ta nhắc lại một phần tử a của vành R được gọi là chính qui (theo nghĩa von Neumann) (tương ứng, chính qui đơn vị) nếu tồn tại b ∈ R (tương ứng b ∈ U ( R) ) sao cho a = aba . Vành R được gọi là chính qui (tương ứng, chính qui đơn vị) nếu mọi phần tử của R là chính qui (tương ứng, chính qui đơn vị). Một phần tử a của R được gọi là π -chính qui đơn vị nếu tồn tại n là số nguyên dương để a n là chính qui đơn vị. Một vành được gọi là π -chính qui đơn vị nếu mọi phần tử của nó là π -chính qui đơn vị. Bổ đề 2.7 ([1]). Cho s ∈ End(M). Khi đó s là chính qui đơn vị nếu và chỉ nếu s là chính qui và morphic. Từ bổ đề trên chúng ta có tính chất sau: Mệnh đề 2.8. Cho S = End(M) là vành chính quy. Khi đó các điều kiện sau là tương đương (1) M là π - morphic. (2) S là π - chính quy đơn vị. Chứng minh: “(1) ⇒ (2)”: Giả sử M là π - morphic. Lấy s ∈ S bất kỳ. Vì M là 152
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 π - morphic nên tồn tại số số nguyên dương n sao cho sn là morphic. Suy ra sn là chính quy đơn vị theo Bổ đề 2.7. Vậy S là π - chính quy đơn vị. “(2) ⇒ (1)”: Giả sử S là π - chính quy đơn vị. Khi đó cho mỗi s ∈ S, tồn tại để sn là chính quy đơn vị. Suy ra sn là morphic. Như vậy M là π - morphic. * n∈ Người ta gọi một môđun M là GQP-nội xạ nếu với mỗi s ∈ S = End ( M ) , tồn tại số nguyên dương n sao cho s n ≠ 0 và rS ( Kers n ) = s n S . Một vành R được gọi là GP-nội xạ phải nếu RR là GQP-môđun. Mệnh đề tiếp theo cho ta mối liên hệ giữa vành tự đồng cấu là G-morphic và tính GQP-nội xạ của M. Mệnh đề 2.9. Cho S =End(M) là G-morphic phải thì M là GQP-nội xạ. Chứng minh: Giả sử S là G-morphic phải. Khi đó theo định nghĩa của G- morphic dễ dàng chúng ta suy ra S là vành GP-nội xạ trái. Khi đó cho mỗi s ∈ S , tồn tại số nguyên dương n sao cho s n ≠ 0 và rS lS ( s n ) = s n S . Chúng ta sẽ chứng minh rS ( Kers n ) = s n S . Thật vậy chúng ta luôn có s n S ≤ rS ( Kers n ) . Ngược lại với mọi t ∈ rS ( Kers n ) và mọi h ∈ lS ( s n ) . Ta có hs n = 0 và do đó Im h ≤ Kers n . Từ đây suy ra (Im h)t = 0 hay ht = 0 . Điều này chứng tỏ t ∈ rS lS ( s n ) = s n S . Vậy rS ( Kers n ) = s n S . Suy ra M là GQP-nội xạ. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Erlich G., Units and one-sided units in regular rings, Trans A. M .S. 216-8190, 1976 [2] Huang Q., Chen J., π - Morphic, Kyungpook Math. J., 47, p. 363-372, 2007. [3] Lê Văn Thuyết. Bài giảng Lý thuyết vành và Môđun, Đại học Huế 2004. [4] Nicholson W. K., Campos E.Sánchez. Morphic Module, Comm. Algebra, 33(8), p. 2629-2647, 2005. [5] Nicholson W. K., Campos E. Sánchez. Principal rings with the dual of the iso-morphism theorem, Glasgow Math. J., 46, p. 181-191, 2004. [6] Nicholson W. K., Yousif M. F., Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Univ. Press., 2003. [7] Wisbauer R., Foundations of Module and Ring Theory; Gordon and Breach: Reading, 1991. 153

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học

207 tài liệu

1446 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.