Báo cáo tiểu luận: Phép dời hình và phép đối xứng tâm

Chia sẻ: Nguyen Huy Hung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:102

Thêm vào BST

Báo xấu

435
lượt xem 68
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nếu phép đối xứng trục biến hai điểm bất kì M và N thành hai điểm M’ và N’ thì MN = M’N’. Nói một cách khác: Phép đối xứng trục không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành đường thẳng, biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó, biến một góc thành góc có số đo bằng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo tiểu luận: Phép dời hình và phép đối xứng tâm

Sơ đồ Nội dung:
Chủ đề : Về phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến Như ta đã biết :phép đối xứng tâm, đối xứng trục, tịnh tiến hay phép quay đều là các trường hợp đặc biệt của phép dời hình. Vậy để nghiên cứu sâu hơn về phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến trước tiên ta sẽ nghiên cứu sơ lược một số vấn đề của phép dời hình. I Phép dời hình M → 1, Định nghĩa V N’ Một phép biến hình f : E2 →E2 được gọi là I một phép dời hình. Với M,N bất kì thuộc E2, gọi f(M)=M’; N M’ f(N)=N’ thì ta luôn có M’N’=MN. N” Nhận xét : -Phép đồng nhất là một phép dời hình -Nếu f là một phép dời hình thì f cũng là 1 phép dời hình M”
2. Tính chất Định lí 1: (Tính chất cộng tuyến) Phép dời hình biến 3 điểm A,B,C thẳng hàng (với B nằm giữa A và C) thành ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng (với B’ nằm giữa A’ và C’). C' C Giả sử f là phép dời hình f : E2 →E2 Với A,B,C ∈ E2 giả sử f(A)=A’; f(B)=B’; f(C)=C’ B B'  AB=A’B’ I Do f là phép dời hình nên ⇒ BC=B’C’ (1) CA=C’A’ A A' Ta chứng minh A,B,C thẳng hàng ⇒ A’ ,B’ ,C’ cũng thẳng hàng Vì B nằm giữa A và C nên A,B,C thẳng hàng ⇔ AB+BC=AC (2) Theo (1) và (2) ta có A’B’ +B’C’=A’C’ Vậy A’,B’,C’ thẳng hàng và B’ nằm giữa A’ và C’ Hệ quả 1 : Phép dời hình biến 1 đường thẳng thành 1 đường thẳng ,biến 1 tia thành 1 tia, mặt phẳng thành mặt phẳng ,biến 1 đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng bằng nó Hệ quả 2: Phép dời hình biến 1 tam giác thành 1 tam giác bằng nó,biến 1 góc thành 1 góc bằng nó,biến 1 đường tròn thành 1 đường tròn bằng nó với tâm đường tròn này biến thành tâm đường tròn kia.
Định lí 2 :Tích của 2 phép dời hình là 1 phép dời hình Chứng minh: Cho f : E2 → E2 ; g : E2 → E2 là 2 phép dời hình f(A)=A’ g(A’)=A’’ 2 Xét A,B bất kỳ ∈ E giả sử f(B)=B’ và g(B’)=B’’    AB=A’B’ Vì f và g là 2 phép dời hình nên A’B’=A”B” ⇒ AB=A”B”  Ta có: g o f (A) = g(f(A)) = g(A’) = A” g o f (B) = g(f(B)) = g(B’) =B” thỏa mãn AB=A”B” ⇒ g o f là 1 phép dời hình Hệ quả : -Tích của n phép dời hình là 1 phép dời hình -Tích của1 phép dời hình f với phép đảo ngược của nó là một phép đồng nhất
Định lí 3 :Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp Chứng minh : Giả sử f,g,h là các phép dời hình Ta cần chứng minh ( f o g) o h =f o(goh) h : E2 → E2 ; g : E2 → E2 ; f : E2 → E2 Giả sử M'' g M |→ M’ M’|→ M’’ M’’|→ M’’’ M' Ta có : (f o g) o h (M) = (fog)(h(M)) = fog(M’) h = f(g(M’)) M''' = f(M’’) = M’’’ (1) M Lại có : f o(g o h)(M) = fo(goh)(M) = fo(goh(M)) = fo(g(h(M))) = f(g(M’)) = f(M”) = M”’ (2) Từ (1) và (2) ta có (fog)oh = fo(goh)
Định lý 4: Tập hợp các phép dời hình lập thành 1 nhóm các phép biến hình với phép toán là tích các phép biến hình Chứng minh: - Ta có tích 2 phép dời hình là 1 phép dời ⇒Tập các phép dời hình đóng kín với phép toán đã cho. - Tập các phép dời hình có tính chất kết hợp (Định lí 3) Thật vậy: giả sử phép dời hình f: E2 →E2 M →M’ : MN=M’N’ N → N’ Ta có f o idA(M) = f(idA(M)) = f(M) = M’ idA o f (M) = idA (f(M)) = idA (M’) = M’ ⇒ f o idA = idA o f - Tập các phép dời hình có phần tử đơn vị là phép dời hình đồng nhất idA vì: f  idA = idA  f = f - Mọi phép dời hình f đều tồn tại phép dời hình đảo f-1 sao cho: f  f-1 = f-1  f = idA ⇒ Tập hợp các phép dời hình lập thành 1 nhóm
Hệ quả: -Phép dời hình bảo tồn tích vô hướng của 2 véctơ -Phép dời hình bảo tồn sự song song của 2 đường thẳng ,2 mặt phẳng ,đường thẳng và mặt phẳng ,bảo tồn tỉ số của 2 đoạn thẳng cùng phương 3, Biểu thức tọa độ (trong mặt phẳng) Trong E2 với hệ tọa độ Đêcác vuông góc, chọn mục tiêu trực chuẩn {O;E1 ,E2} →→ →→ Với OE1 = e1 ; OE2 = e2 Cho phép dời hình f : E2 → E2 M  M’ Giả sử O’= f(O) ; E1’ = f( E1 ) ; E2’ = f ( E2 ) Ta nhận thấy { O’; E1’, E2’ } cũng là 1 mục tiêu trực chuẩn. Giả sử O’| (1) = (xo ,yo) → →→ → →→ Giả sử e1 ’| { e1 ,e2 } = (a,b) ; e2 ’| { e1 ,e2 } = (c,d) → → →→ → → → → → Ta có OO’ = xo e1 + yo e2 ; e1 ’ = a e1 + b e2 ; e2 ’ = c e1 + d e2 a b a c ⇒ AT =  ⇒A=    c d b d
x’=ax+cy+xo ⇒ Biểu thức tọa độ c ủa phép dời hình là :  (I) y’=bx+dy+yo a2+b2=1 2 2 →2 →2 →→ Vì e1’ = e2’ = 1 và e1 . e2 = 0 suy ra c +d =1 (1) ac+bd=0 Vậy (I) là phương trình c ủa phép dời hình thỏa mãn điều kiện (1) Nhận xét: f là phép dời hình ⇔ A là ma trận trực giao ⇒ |A. AT| =1 ⇒ |A|=1 hoặc |A|=-1 Với |A|=1 suy ra f là phép dời hình (đã xét ở trên) Với |A|=-1 suy ra f là phép phản dời hình và cũng có tính chất nh ư đã xét ở trên Sau đây ta sẽ nghiên cứu cụ thể 2 phép dời hình đặc biệt trong mặt phẳng và không gian đó là phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm.
II- Phép tịnh tiến A Phép tịnh tiến trong mặt phẳng 1, Định nghĩa (Trong mặt phẳng) → Trong mặt phẳng P cho véc tơ v , phép biến hình biến mỗi → → điểm M thành điểm M’ sao cho MM’ = v được gọi là phép → v tịnh tiến theo véc tơ v . uuuuu r MM ' M’ KH : T → uuuuu r r v MM ' = v → (Véctơ v được gọi là véctơ tịnh tiến, T → (M) = M’ ) Nhận xét: v - Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định được khi biết véc tơ tịnh tiến →→ - Khi v = 0 thì phép tịnh tiến T → là 1 phép đồng nhất 0
II- Phép tịnh tiến A Phép tịnh tiến trong mặt phẳng 1, Định nghĩa (Trong mặt phẳng) → Trong mặt phẳng P cho véc tơ v , phép biến hình biến mỗi → → điểm M thành điểm M’ sao cho MM’ = v được gọi là phép → v tịnh tiến theo véc tơ v . uuuuu r MM ' M’ KH : T → uuuuu r r v MM ' = v → (Véctơ v được gọi là véctơ tịnh tiến, T → (M) = M’ ) Nhận xét: v - Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định được khi biết véc tơ tịnh tiến →→ - Khi v = 0 thì phép tịnh tiến T → là 1 phép đồng nhất 0
→ 2,Tính chất v Tính chất 1: Phép tịnh tiến là phép dời hình Chứng minh M’ M Giả sử T→ : E2 → E2 v Với M, N bất kỳ thuộc E2: T→ (M) = M’ ; T→ (N) = N’. v v →→   MM’= v → → Ta có :  ⇒ MM’ = NN’ →→  NN’= v  → →→ → → → → → ⇒ MN = M’N’ => MN = MN’ +N’N = MN’ +M’M = M’N’ Vì phép tịnh tiến cũng bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ ⇒ phép tịnh tiến là phép dời hình. Nhận xét : Phép tịnh tiến có mọi tính chất của phép dời hình →→ Chú ý : - Nếu véctơ tịnh tiến v = 0 thì khi đó phép tịnh tiến trở thành phép đồng nhất. .
3. Tính chất. Tính chất 2: Qua phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn khoảng cách và thứ tự giữa các điểm. r Hệ quả: Qua phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng. v r Qua phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. v Qua phép tịnhA ến biến tia thành tia. A’ r ti A’ Qua phép tịnh tiến biến gócv r thành góc bằng nó. A Qua phép tịnh tiến biến dường tròn thành đườr tròn bằng nó. x v x’ng B’ → → v ≠ x’0 biến M→ M’ thì ta B B’ Bx Tính chOt 3 : Nếu phép tịnh tiến theo véc t ơ v ấ O’ → C r r’ O n biến M’ → M với véc r=r’tịnh tiến là y’v . O C’y cũng có phép t ịnh tiế O’ tơ O’ - → → T-1→ T-1→ = T ( -v ) ⇒ Vậy ta có (là phép đồng nhất) .T ( - v ) = e v v
→→ Tính chất 4 : Qua phép tịnh tiến theo véc tơ v ≠ 0 thì các đường thẳng nhận → véctơ v làm véctơ chỉ phương đều biến thành chính nó. Chú ý : Các điểm của đường thẳng trong tính chất 3 không phải là điểm kép. Tính chất 5 Tích c ủa 2 phép tịnh tiến T→ và T→ là 1 phép tịnh tiến với véctơ tịnh a b →→ titiến bằng a + b . Chứng minh → → → → Giả sử T→ T→ (M) = M’ ; (M’) = M’’ suy ra a = MM’ và b = M’M’’ a b Suy ra (T→  T→) (M) = T→(T→(M)) = T→(M’) = M’’ b a b a b → → → →→ Ta có: MM’’ = MM’ + M’M’’ = a + b →→ T→  T→ Vậy là phép tịnh tiến theo véctơ a + b . b a
Tính chất 6 : Tập hợp các phép tịnh tiến lập thành 1 nhóm giao hoán. Chứng minh Thật vậy : ta có tích c ủa 2 phép t ịnh tiến T→ , T→ là 1 phép t ịnh tiến T→+→ = T→oT→ a b ab b a - Do phép cộng véc tơ có tính chất kết hợp và giao hoán nên phép toán tích hợp thành các phép t ịnh tiến có tính chất giao hoán và kết hợp. Phép tinh tiến T→ là phép đồng nhất ( đơn vị của nhóm cộng ) - 0 Phép tịnh tiến (T→)-1 = T→ thỏa mãn T→ + T→ = T→ - a -a a -a 0 Suy ra tập hợp các phép tịnh tiến lập thành 1 nhóm giao hoán.
Tính chất 7 : Qua phép tịnh tiến mọi phươ đều bấ biế nghĩa là ng t n, qua phép tịnh tiến biến đườ thẳng a thành đườ thẳng a’ thì hoặc a//a’ ng ng hoặc a trùng với a’ Chú ý : →→ → + a ≡ a’ khi v = 0 hoặc v là vtcp của đường thẳng a. + Bài toán liên quan đến phương có thể sử dụng T→ v M , M’ thay đổi nhưng phươnga’ MM’ không đổi . r v a a’’ u
3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến (trong phẳng) →→ →→ { } 2 Trong E chon mục tiêu trực chuẩn (1) với OE1 = e1 và O E2 = e2 O ;E1, E2 uuuuu → r Cho T→ : E2 → E2 sao cho MM ' = v = (a,b) v M |→ M’ →→ a ⇒ A= → (O )= O’ suy ra OO’ = v ⇒ O’| (1) = (a,b) Giả sử T b  v →→ → 10 10 ( i = 1,2 ) ⇒ A =  0 1  ⇒ AT =  0 1  →( e )= e Ta có : T     i i v [ a] x1’=x1+a Suy ra biểu thức tọa độ của T→ là : x’= AT x + hay x ’=x +b . 2 v 2
4, Dấu hiệu để giải bài toán bằng phép tịnh tiến. → - Cho v biết trước. - Cho 1 cặp điểm A, A’ tương ứng. - Hình bình hành ( với 1 cạnh cố định) - Trong hình hộp