Bất phương trình mũ và logarit

Chia sẻ: Trần Hoàng Thao | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

848
lượt xem 229
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Bất phương trình mũ và logarit

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất phương trình mũ và logarit

Bµi 5 BÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ logarit 1. BÊt ph−¬ng tr×nh mò §ã lµ bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng a f(x) > a g(x) (hoÆc a f(x) ≥ a g(x) ). (1) §Ó gi¶i (1), ng−êi ta th−êng dùa vµo c¸c phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng sau a f(x) > a g(x)  f(x) > g(x)  ⇔  a > 1  a > 1 a f(x) > a g(x)  f(x) < g(x)  ⇔  0 < a < 1  0 < a < 1. VÝ dô 1. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau 4x2 −15x +13 x 2 − x −6 1 a) 2 > 1 ; b)   < 43x −4 . (1) 4 Gi¶i. a) BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi 2 x − x − 6 > 0 ⇔ (x − 3)(x + 2) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞). 4 −x 2 3x − 4 1 b) (1) ⇔ 4x − 15x + 13 < 4 − 3x (v× 4 =   ). 4 2 2 ⇔ 4x − 12x + 9 < 0 ⇔ (2x − 3) < 0 ⇔ x ∈ ∅. (v« nghiÖm) 2 x x+2 VÝ dô 2. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh x 5 − 5 ≤ 0. (2) x 2 2 2 2 Gi¶i. (2) ⇔ 5 .(x − 5 ) ≤ 0 ⇔ x − 5 ≤ 0 x (v× 5 > 0) ⇔ −5 ≤ x ≤ 5. VÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh x −x2 2 a) 7 8 < 71−x ( 8 7)x + 6, (3) 2 b) 6 − x(5x −7,2x +3,9 − 25 5) ≥ 0. (4) a) (3) ⇔ 7 x −x2 8 < 7.7 ( ) + 6 . (5) − x −x 2 8 x −x2 §Æt 7 8 = y . Tõ (5) ta cã  7  (y − 7)(y + 1) y < + 6  0 y > 0   ⇔ 0 < y < 7. Trë l¹i biÕn cò, ta cã 1
x2 (5) ⇔ x − < 1 ⇔ (x − 4 + 2 2)(x − 4 − 2 2) < 0 8 ⇔ x ∈ (−∞, 4 − (−∞,4 − 2 2 ) ∪ (4 + 2 2, + ∞).  6−x =0 x = 6   b) (4) ⇔  5x2 −7,2x +3,9 − 25 5 ≥ 0 ⇔  x2 − 7,2x + 1,4 ≥ 0     x < 6.  x < 6   x = 6   1  1 ⇔   x −  (x − 7) ≥ 0 ⇔ x ∈  −∞,  ∪ {6}.   5  5   x < 6  Chó ý. §Ó ®¬n gi¶n trong qu¸ tr×nh gi¶i, ta cã thÓ dïng Èn phô. Ch¼ng h¹n ®èi víi bÊt ph−¬ng tr×nh x f(a ) ≥ 0, 0 < a ≠ 1, x ta ®Æt t = a ®Ó ®i ®Õn hÖ f(t) ≥ 0  t > 0. VÝ dô 4. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau x x 1 1 a) 372     > 1, (6)  3  3 1 1 b) > . (7) 3 − 1 1 − 2x −1 x Gi¶i. a) (6) ⇔ 372 −x − x > 1 t 2 + t − 72 < 0  ⇔ 72 − x − x >0⇒  t = x ≥ 0  0 ≤ t < 8  ⇔  ⇔ 0 ≤ x < 64. t = x  1 − 3x −1 − 3x + 1 b) (7) ⇔ > 0. (8) (3x − 1)(1 − 3x −1 ) x §Æt t= 3 , (8) cã d¹ng 2
t > 0 t > 0    2− t −t  4  3 ⇔  2 −  3 t    >0  >0  t  t  (t − 1)  1 −   (t − 1)  1 −    3   3  3  t−  3  ⇔  2 >0 ⇔ 1 < t < 2 (t − 1)(4 − t)   t > 4  t > 0   x 3  3 1 < 3 < 2 ⇔ 0 < x < log3   Tõ ®ã (8) ⇔   2 4 < 3  x  log3 4 < x.  VÝ dô 5. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh ( 2)3x + (4 2)x ≥ 2.8x. (9) 3x t 3 + t − 2 ≥ 0 x  2  2   (9) ⇔   +  ≥ 2 ⇔   2 x  2   2  t =   >0   2   (t − 1)(t 2 + t + 2) ≥ 0 x    2 ⇔   x ⇔   ≥1 2  2  t =   >0    2  2 (v× t + t + 2 > 0) ⇔ x ≤ x ⇔ x ∈ (−∞, 0]. Chó ý : Khi gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh mò ta cã thÓ logarit hãa hai vÕ. VÝ dô 6. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh a) 52x −1 < 73−x , (10) x −1 4 4 5(3/ 4)x −1 b)   > (11) 5  5 5 Gi¶i. a) (10) ⇔ 2x − 1 < (log57)(3 − x) (v× hai vÕ d−¬ng) ⇔ (2 + log57)x < 3log 57 + 1. 1 + 3log5 7 ⇔x< . 2 + log5 7 4 1 4 3  3 b) (11) ⇔ (x − 1) log5 + log5 >  x − 1  − 5 2 5 4  2  4 3 1 4 5 ⇔ x  log5 −  > log5 −  5 4 2 5 2 3
4 log5   − 5 ⇔x<  5 .   4  3 2  log5   −    5  4 VÝ dô 7. T×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng víi mäi x, 9x + 2(2a + 1)3x + 4a 2 − 3 > 0. (12) x §Æt t = 3 , (12) cã d¹ng 2 2 f(t) := t + 2(2a + 1)t + 4a − 3 > 0. (13) Bµi to¸n trë thµnh : t×m a ®Ó (13) ®óng víi mäi t > 0. 2 Ta cã f(t) = (t + 2a + 1) − 4(a + 1) a) a + 1 < 0 (⇔ a < −1), (13) ®óng víi mäi t. b) a + 1 ≥ 0, (13) ⇔ (t + 2a + 1 − 2 a + 1 )(t + 2a + 1 + 2 a + 1 ) > 0  t < −2a − 1 − 2 a + 1 ⇔   t > −2a − 1 + 2 a + 1  §Ó (13) ®óng víi mäi t > 0, cÇn vµ ®ñ lµ −2a − 1 + 2 a + 1 ≤ 0 ⇔ 2 a + 1 ≤ 2a + 1 (14)  1 4(a + 1) ≤ 4a 2 + 4a + 1  a ≥ − ⇔  ⇔  2 2a + 1 ≥ 0  4a 2 − 3 ≥ 0  3 ⇔a≥ . 2  3 §¸p sè a ∈ (−∞, −1) ∪  , +∞).  2 VÝ dô 8. Gi¶i vµ biÖn luËn 2 x+1 x a) a − 9 − 8a.3 > 0, (15) 2 x+1 x+1 b) a − 2.4 − a.2 > 0. (16) 2 x x+1 a) (15) ⇔ a − 8a.3 − 9 > 0 ⇔ (a − 4.3x )2 − 25.9x > 0  4.3x − a > 5.3x (17) ⇔ (4.3x − a)2 > (5.3x )2 ⇔   4.3x − a < −5.3x. (18)  3x < −a ⇔  (19) 3x +2 < a.  + Víi a = 0, (19) v« nghiÖm x + Víi a < 0 (19) ⇔ 3 < −a ⇔ x < log3(−a) 4
x+2 + Víi a > 0 (19) ⇔ 3 < a ⇔ x < log3a − 2. x b) §Æt t = 2 , (16) cã d¹ng 8t 2 + 2at − a 2 < 0   t > 0  (a − t)2 − 9t 2 > 0  (a − 4t)(a + 2t) > 0 ⇔  ⇔  t > 0  t > 0 ⇔ + Víi a = 0, hÖ v« nghiÖm a + Víi a < 0, hÖ t−¬ng ®−¬ng víi t < − 2   a  nghÜa lµ (16) nghiÖm ®óng víi mäi x ∈  −∞, log2  −     2  + Víi a > 0, hÖ t−¬ng ®−¬ng víi a 0 0, a ≠ 1), gi¶i a 2x + a x +2 − 1 ≥ 1. (20) §Æt t = a x > 0. Lóc ®ã (20) cã d¹ng t 2 + a 2 t − 1 ≥ 1 ⇔ (21  −a 2 − a 4 + 4  −a 2 + a 4 + 4  ⇔ t −   t −   ≥ 1.   2  2   2 4  0 < t < −a + a + 4  2 (v« nghiÖm)  2 2   t + a t − 1 ≤ −1    −a 2 + a 4 + 4  t ≥ = to ⇔  2  2 4  t ≥ −a + a + 4    −a 2 − a 4 + 8  2 ⇔ t ≤ = t1  2 2  2  t + a t − 1 ≥ 1  2 4    −a + a + 8   t≥ = t2    2 V× t2 > to > 0 vµ t1 < 0 nªn (21) ⇔ t ≥ t2. Tõ ®ã a) NÕu 0 < a < 1 th× (20) ⇔ x ≤ logat2. 5
b) NÕu a > 1 th× (20) ⇒ x ≥ logat2. VÝ dô 10. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh ax 1 + a −x > víi a > 0, a ≠ 1. (22) a x − 1 1 − 2a −x ax 1 + a −x a x − 2 − a x − 1 + 1 + a −x (22) ⇔ − >0 ⇔ >0 a x − 1 1 − 2a −x (a x − 1)(1 − 2a −x ) (a −x − 2)a x 1 − 2a x ⇔ >0 ⇔ > 0 . (23) (a x − 1)(a x − 2) (a x − 1)(a x − 2) x §Æt t = a > 0, (23) cho ta 1 t−  1 0 x > loga 2.  b) Víi a > 1  x < − loga 2 (24) ⇔  0 < x < loga 2 2. BÊt ph−¬ng tr×nh logarit C¸c tÝnh chÊt sau ®©y cña logarit hay ®−îc sö dông g(x) > 0 loga f(x) > loga g(x)  a)  ⇔ f(x) > g(x) a > 1 a > 1,  f(x) > 0 loga f(x) > loga g(x)  b)  ⇔ g(x) > f(x) 0 < a < 1 0 < a < 1,   0 < f(x) < 1  c) logf(x) g(x) > 0 ⇔  0 < g(x) < 1  f(x) > 1   g(x) > 1,  6
 0 < f(x) < 1  g(x) > 1 d) logf(x) g(x) < 0 ⇔   f(x) > 1   0 < g(x) < 1,  VÝ dô 1. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 2 a) log5(x − x) < 0 (1) x −1 b) log3 > 0, (2) x−2 2 x(x − 1) > 0  Gi¶i. a) (1) ⇔ 0 < x − x < 1 ⇔  2 x − x − 1 < 0  x < 0  1− 5   1+ 5  x > 1 ⇔  ⇔x∈  ,0  ∪  1,  1 − 5 1+ 5  2   2   2 1 ⇔ > 0 ⇔ x > 2. x−2 x−2 VÝ dô 2. Gi¶i x log 1 (x 2 + x + 1) > 0. (3) 5 (3) ⇔ x log5 (x2 + x + 1) < 0 ⇔  x > 0   2  x + x + 1 < 1  x 2 + x > 0  ⇔  ⇔  ⇔ x < −1.  x 1  VÝ dô 3. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh a) log3 (3x − 1).log 1 (3x +2 − 9) > − 3 (4) 3 b) 7 − log2 x 2 + log2 x 4 > 4. (5) x Gi¶i. a) §Æt t = log3(3 − 1). Khi ®ã (4) cã d¹ng t(−2 − t) > −3 ⇔ t 2 + 2t − 3 < 0 ⇔ −3 < t < 1. Do ®ã 28 x (4) ⇔ 3−3 < 3x − 1 < 3 ⇔
 28  ⇔ log3   < x < log3 4  27  b) §Æt t = log2 x 2 ta nhËn ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh 7 − t + 2t > 4 ⇔ 7 − t > 4 − 2t  7 − t ≥ 0  2 < t ≤ 7   4 − 2t < 0 ⇔  ⇔ 3  4 − 2t ≥ 0  < t ≤ 2.  4   7 − t ≥ 4t 2 − 16t + 16  Chó ý. Trong khi gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh logarit, ®«i khi ng−êi ta dïng c«ng thøc f(x)g(x) = a g(x)loga f(x) . VÝ dô 4. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 2.x 2 lg(x −1) ≥ 1 + (x − 1)lg x . (6) (6) ⇔ 2.102 lg(x −1)lg x ≥ 1 + 10lg(x −1)lgx §Æt t = 10lg(x −1)lgx , ta cã 2t 2 − t − 1 ≥ 0  (2t + 1)(t − 1) ≤ 0  ⇔  ⇔ t ≥ 1. t > 0  t > 0 Tõ ®ã, (6) ⇔ 10lg(x −1)lg x ≥ 1 ⇔ lg(x − 1)lgx ≥ 0   lg(x − 1) ≥ 0   lg x ≥ 0 x ≥ 2 hay x ∈ [2, +∞). ⇔  ⇔   lg(x − 1) ≤ 0 (v× hÖ sau v« nghiÖm)    lg x ≤ 0  VÝ dô 5. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau  4x − 5  1 a) log x2   ≥ (7) |x −2| 2 b) logx 2x ≤ logx (2x3 ). (8) Gi¶i. a) §iÒu kiÖn cã nghÜa lµ x 2 > 0, x 2 ≠ 1  5  4x − 5 ⇔ x > , x ≠ 2.  >0 4 | x − 2 |  5 x > 4 ,x ≠ 2   5 x > , x ≠ 2 (7) ⇔  ⇔  4 (9)  4x − 5  | x − 2 | ≥x  4x − 5 ≥ x | x − 2 |  8
 x > 2  x > 2    2   4x − 5 ≥ x(x − 2)  x − 6x + 5 ≤ 0  (9) ⇔   5  ⇔ 5  < x < 2  1  Tõ ®ã (8) ⇔ −3 ≤ logx2 ≤ 1 ⇔  −3 ≤ logx 2 ≤ 1  0 < x < 1   −3 ≤ logx 2 ≤ 1  x ≥ 2  1 ⇔  0 < x ≤ 3 1 ⇔ x ∈  0, 2  ∪ [2, + ∞). 3      2 VÝ dô 6. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh log5 (x 2 − 4x − 11)2 − log11 (x 2 − 4x − 11)3 ≥ 0. (10) 2 − 5x − 3x2 x 2 − 4x − 11 > 0  §iÒu kiÖn  ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 15 ) ∪ (2 + 2 − 5x − 3x2 ≠ 0  15 , +∞) = D 3log5 (x 2 − 4x − 11) Víi x ∈ D, log11 (x2 − 4x − 11) = . log5 11 Do ®ã, trªn D  3  log5 (x2 − 4x − 11) (10) ⇒  2 − (11)  log5 11  2 − 5x − 3x 2  log5 (x 2 − 4x − 11) 3 ⇔ ≤ 0 (v× 2 −
 log (x2 − 4x − 11) ≥ 0  x2 − 4x − 11 ≥ 1  5    2 − 5x − 3x < 0  2  3x2 + 5x − 2 > 0  ⇔  ⇔   log (x2 − 4x − 11) ≤ 0  x2 − 4x − 11 ≤ 1   5     3x2 + 5x − 2 < 0  2 − 5x − 3x > 0 2   x ∈ (−∞, − 2) ∪ [6, + ∞) ⇔     x ∈  −2, 1     3 ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 2 − 15 ) ∪ [6, +∞). VÝ dô 7. Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh a) x logx +1 (x −1) + (x − 1)logx +1 x ≤ 2. (12) Gi¶i : §iÒu kiÖn x > 0 x − 1 > 0   ⇔ x > 1. x + 1 > 0 x + 1 ≠ 1  §Æt x logx +1 (x −1) = t . Khi ®ã 1 1 t > 0, x = t logx +1 (x −1) , logx +1 x = logx +1 t logx +1 (x − 1) hay logx +1 x = logx −1 t ⇔ t = (x − 1)logx +1 x . Tõ ®ã (12) cã d¹ng 2t ≤ 2 ⇔ t ≤ 1 hay x logx +1 (x −1) ≤ 1 ⇔ logx +1 (x − 1) ≤ 0 (v× x > 1) ⇔ x − 1 ≤ 1 ⇔ x ≤ 2. KÕt luËn 1 < x ≤ 2. VÝ dô 8. Gi¶i loga(x − a) > log 1 (x + 1), (13) a ë ®©y 0 < a ≠ 1. Gi¶i. §iÒu kiÖn x > a. Khi ®ã (13) ⇔ loga (x − a) > − loga (x + a) ⇔ loga (x 2 − a 2 ) > 0 . (14) x 2 − a 2 > 1  a) a > 1, khi ®ã (14) ⇔  ⇔x> 1 + a2 x > a  x 2 − a 2 < 1  b) 0 < a < 1, lóc ®ã (14) ⇔  ⇔a a  10
§¸p sè : x ∈ ( 1 + a 2 , + ∞) víi a > 1 x ∈ (a, 1 + a 2 ) víi 0 < a < 1. VÝ dô 9. Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh loga x + loga x + 2 2 > 1 ; 0 < a ≠ 1. (15) loga x − 2 §iÒu kiÖn x > 0, log ax − 2 ≠ 0 hay 2 01 ⇔ >0 ⇔ t > 2 t −2 t −2 Trë l¹i biÕn cò  x > a 2    a > 1  t > 2 ⇔ loga x > 2 ⇔   0 < x < a 2    0 < a < 1.   x ∈ (a 2 , + ∞) khi a > 1 KÕt luËn   x ∈ (0, a 2 ) khi 0 < a < 1.  11