zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Biến đổi fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

23
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này tác giả trình bày trình bày chi tiết về không gian các hàm suy rộng với giá compact và phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Biến đổi fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact

ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG VỚI GIÁ COMPACT FOURIER O I T TRANFORM AN O THE SPACE IN TH PAC OOF GENERALIZED N A I FUNCTIONS NCTION WITH COMPACT ITH CO PACT SUPPORT PPO T Ngà N y nhận bài : 06/7/2021 ThS. Nguyễn Nguyễn Thị Minh Khai Ngà N y nhận kết quả phản biện : 16/9/2021 Trường Đại học Tài chính - Kế toán Trường Ngày duyệt đăng N : 25/9/2021 TÓM TẮT Trong bài báo này tác giả trình bày trình bày chi tiết về không gian các hàm suy rộng với giá compact và phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact ε ' ( Ω ) . Từ khóa: Phép biến đổi Fourier, không gian các hàm suy rộng với giá compact, biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact ε ' ( Ω ) . ABSTRACT In this paper, the author presents details about space of generalized functions with compact support and the Fourier transform in the space of generalized functions with compact support ε ' ( Ω ) . Keywords: Fourier transform, space of generalized functions with compact support, fourier transform in the space of generalized functions with compact support ε ' ( Ω ) . 1. Đặt vấn đề Trong [4], [5], tác giả đã trình bày một cách chi tiết về phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng. Cụ thể, phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh S ( n ) , phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm S' ( n ) . Trong bài báo này tác giả trình bày phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact ε ' ( Ω ) , trên cơ sở đó chỉ ra điều kiện cần và đủ để một hàm giải tích là phép biến đổi Fourier của một hàm ϕ ∈ C∞ ( n ) hay một hàm giải tích là biến đổi Fourier của một hàm suy rộng với giá compact thông qua định lý 3.1, định lý 3.2 và định lý 3.3. 2. Không gian các hàm suy rộng với giá compact Định nghĩa 2.1. Cho hàm suy rộng f ∈ D' ( Ω ) . Giá của hàm suy rộng f là phần bù trong Ω của tập hợp các điểm mà tại mỗi điểm đó có một lân cận mở ω∈ Ω sao cho f ω = 0.f ω = 0 có nghĩa là ∀ϕ ∈ C∞0 ( ω) : f , ϕ = 0. Giá của hàm suy rộng f được kí hiệu là sup pf . Hàm suy rộng f được gọi là có giá compact nếu sup pf là tập compact. Ta kí hiệu tập tất cả các hàm suy rộng với giá compact trên Ω là ε ' ( Ω ) . Mỗi hàm suy rộng với giá compact có thể xem như một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ε ( Ω ) , không gian các hàm suy rộng có giá compact ε ( Ω ) có thể xem là không gian các phiếm hàm tuyến ' tính liên tục trên ε ( Ω ) , chúng ta có điều này qua định lý sau đây. Định lý 2.1. Cho hàm suy rộng f ∈ D' ( Ω ) . Khi đó ta có thể thác triển f thành một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ε ( Ω ) . Và ngược lại, nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ε ( Ω ) , ta có thể thu hẹp f thành một hàm suy rộng với giá compact. 95
TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 3. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng với giá compact Nếu f là một hàm suy rộng với giá compact, tức f ∈ ε ' thì f ∈ S' và do đó biến đổi Fourier của nó tồn tại và hơn nữa ta có định lý sau đây. Định lý 3.1. ([9], Thm.6.4) Nếu f là một hàm suy rộng với giá compact thì biến đổi Fourier tồn  tại trong θM = a(x) Dα a(x) ≤ Cα 1 + x  ( 2 m )   ,Cα > 0, m ∈ và được biểu diễn bởi đẳng thức  n F [ f ] ( ξ ) = ( 2π ) − i( ξ ,x ) với ϕ ∈ S ( n ) . − 2 f (x), η(x)e (1) Trong đó η là hàm bất kì trong D và bằng 1 trong lân cận của giá của hàm f. Chứng minh. Với mọi ϕ ∈ S ta có Dα F [ f ] , ϕ = ( −1) F [ f ] , Dα ϕ = ( −1) f , F  Dα ϕ = ( −1) f , η ( x )( ix ) F [ ϕ] α α α α n n = ( −1) f ( x ) , ( 2π ) η ( x )( ix ) ϕ ( ξ ) e dξ = f ( x ) , ( 2 π ) ∫ η ( x )( −ix ) ϕ ( ξ ) e α − α − i( ξ ,x ) − α − i( ξ ,x ) 2 ∫ n 2 n dξ . Chú ý rằng, η ( x )( −ix ) ϕ ( ξ ) e ( ) ∈ S ( 2n ) . − i ξ ,x α Hơn nữa ta có n n − f (x), ( 2π ) − 2 ∫ n η(x)(−ix)α ϕ(ξ) e − i( ξ,x ) dξ = (2π) 2 ∫ n f , η(x)(−ix)α e − i( ξ,x ) ϕ(ξ) dξ. n − Suy ra Dα F [ f ] , ϕ = (2π) 2 ∫ f , η(x)(−ix)α e − i( ξ,x ) ϕ(ξ) dξ. n n − Từ đó D F [ f ] ( ξ ) = (2π) f , η ( x )( −ix ) e α α − i( ξ ,x ) 2 . (2) n − Từ (2) cho α = 0 ta có Dα F [ f ] ( ξ ) = (2π) f , η ( x )( −ix ) e α − i( ξ ,x ) 2 . Cũng từ đó ta kiểm chứng được rằng Dα F [ f ] ∈ C ( n ) (10], Lem.p.96), do đó F [ f ] ∈ C∞ ( n ) . Theo định lý L.Schwartz tồn tại số C > 0 và một số tự nhiên m sao cho ∀ϕ ∈ S ( ) ta có n f , ϕ ≤ C sup 1 + x x∈ n ( 2 m ) ∑ D ϕ( x ) . α ≤m α (3) Áp dụng điều này cho vế phải của (2) ta có n − Dα F [ f ] ( ξ ) = (2π) f , η ( x )( −ix ) e 2 α − i( ξ ,x ) ≤ C sup 1 + x x∈ n ( 2 m ) ∑ D η ( x )( −ix ) β ≤m β α e − i( ξ ,x ) ( ≤ Cα 1 + ξ 2 m ) , ξ ∈ n . Từ (1) ta thu được một số trường hợp đặc biệt sau n n n F δ ( x − x 0 )  = ( 2π ) δ ( x − x0 ) , η( x ) e = ( 2π ) 2 η ( x 0 ) e = ( 2π ) 2 e − − i( ξ ,,x ) − − i( ξ ,x 0 ) − − i( ξ ,x 0 ) 2 . 96
ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN n n Như vậy Dα F [ f ] ∈ C n ( ) F δ ( x − x 0 )  = ( 2π ) 2 e − − i( ξ ,x 0 ) , F [ δ ] = ( 2π ) 2 . − (4) n n Từ (3) suy ra δ = ( 2π ) F [1] hay F [1] = ( 2π ) 2 δ ( ξ ) . − 2 (5) Kết hợp (4) và (5) ta có F  Dα δ  = ( iξ ) F [ δ] α n F  x α  = ( −i ) Dα F [1] = ( 2π ) 2 ( −i ) Dα δ ( ξ ) . α α Định lý sau đây chỉ ra cho chúng ta điều kiện để một hàm giải tích trên n là biến đổi Fourier của n một hàm khả vi vô hạn với giá compact trên R . Định lý 3.2. ([1], Thm.2.11) Định lý Paley-Wiener Cho ψ : n → là hàm giải tích. Khi đó điều kiện cần và đủ để có một số r > 0, một hàm ( ) ϕ ∈ C0∞ n ,sup pϕ ⊂ Br ( 0 ) sao cho ψ ( ζ ) = F [ ϕ] ( ζ ) là tồn tại số N > 0, với mỗi N > 0 đều có một số C N sao cho ψ ( ζ ) < C N (1 + ζ ) −N r Im ζ e , ∀ζ ∈ n . (6) Chứng minh. Điều kiện cần: ( ) Giả sử ϕ∈ C0∞ n ,sup pϕ ⊂ Br ( 0 ) , biến đổi Fourier F [ ϕ] của hàm ϕ là một hàm giảm nhanh, do ϕ ∈ C0∞ ( n ) ⊂ S ( n ) . Hơn nữa ta có thể thác triển F [ ϕ] lên trên n n F [ ϕ] : ζ F [ ϕ] ( ζ ) = ( 2 π ) ϕ ( x ) dx, − − i( x,ζ ) 2 ∫BM ( 0 ) e n n n Với ( x, ζ ) = ∑ x k ζ k = ∑ x k ζ k + i∑ x k ηk , ζ k = ξk + iηk . k =1 k =1 k =1 n Trước tiên ta chú ý rằng nếu ζ = ξ + iη∈ thì − i( ζ ,x ) = e( η,x ) η x r Im ζ e ≤e ≤e , ∀x ∈ n , x ≤ r. n i α ζ α F [ ϕ] ( ξ ) = ( 2 π ) ( iζ ) ϕ ( x ) dx − − i( x,ζ ) α Ngoài ra ta có 2 ∫ x ≤r e n = ( 2π ) D α ϕ ( x ) dx, ( ζ = ξ + iη) . − − i( x,ζ ) 2 ∫ x ≤r e n nên ζ α F [ ϕ] ≤ ( 2π ) − r Im ζ 2 Dα ϕ e . L1 Điều này cùng với đẳng thức (1 + ζ ) ≤ (1 + ζ1 + ζ 2 + ... + ζ n ) N N ta có (1 + z ) F[ϕ] ( ζ ) ≤ C và F [ ϕ] ( ζ ) < C N (1 + ζ ) N r Im ζ −N r Im ζ N e e , ∀ζ ∈ n Hay ψ ( ζ ) < C N (1 + ζ ) −N r Im ζ e , ∀ζ ∈ n . Điều kiện đủ: Với mỗi η∈ n , do hàm e ( )ψ ( ζ ) là hàm giải tích trên n nên nó giải tích theo từng biến ta có − i x,ζ 97
TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN  n  n n  ∑ i x1ξ1 + x jξ j   ϕ ( x ) = ( 2π ) ψ ( ξ ) dξ = ( 2 π ) ψ ( ζ1 , ξ 2 ,..., ξ n ) dξ − i( x,ξ ) − ∫ e ∫ e   j= 2 2 2 n n ξ∈ ξ∈  n   n  n  ∑ i x1ζ1 + x 2 ζ 2 + x jξ j   n i  ∑ x jζ j  = ( 2π ) ψ ( ζ1 , ζ 2 , ξ3 ,..., ξ n ) dξ = ( 2π ) ψ ( ζ1 , ζ 2 ,..., ζ n ) dξ − − ∫ e   ∫ e   j= 3 j =1 2 2 ξ∈ n ξ∈ n n = ( 2π ) e( ψ ( ξ + iη) dξ. − i x,ξ+ iη) 2 ∫ ξ∈ n Khi đó từ bất đẳng thức (6) ta có ψ (. + iη) ∈ L2 ( n ) và F [ ϕ ] ( ξ + iη ) = ( 2 π ) − i( x,ξ+ i η) e( −n i x,ζ+ iη)ψ ( ζ+ iη)dζdx ∫ x∈ n e ∫ ζ∈ n = ( 2π ) ∫ = F  F−1 ψ (. + iη)   ( ξ ) = ψ ( ξ + iη) . − i( x,ξ ) e( −n i x,ζ )ψ ( ζ+ iη)dζdx x∈ n e ∫ ζ∈ n Với N ∈ sao cho (1 + ξ ) ∈ L1 ( n ) . Sử dụng giả thiết cùng với đẳng thức −N (1 + ) ≤ (1 + ξ ) −N −N ξ + iη ta có n n n ( ) ∫ (1 + ξ ) − N r η − x,η −N ϕ ( x ) ≤ ( 2π ) C N ∫ ( ) dξ ≤ ( 2 π ) 2 C N e − − r η −( x,η) 2 1+ ξ e e n dξ. (r− x ) x 1 n ( ) −N mà ∫ 1+ ξ dξ hội tụ, và nếu x > r, η = x, t > 0 thì lim+ e r η −( x,η) = lim+ e t = 0 nên ξ∈ t t →0 t →0 ϕ ( x ) = 0, x > r, ϕ ∈ C0∞ ( n ) ,sup pϕ ⊂ Br ( 0 ) . Từ định lý Paley-Wiener ta có phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu tuyến tính từ D ( n ) vào n n n ( ) S ( n ) , mà có phép nhúng liên tục D ( ) → S ( ) nên có phép nhúng liên tục từ S vào S . n ( ) Từ đó, mỗi hàm suy rộng tăng chậm có thể coi là một phím hàm tuyến tính liên tục trên S ( ) . n Định nghĩa 3.1 Cho f ∈ D' ( n ) . Biến đổi Fourier của hàm suy rộng f , kí hiệu là F [ f ] , là một ánh xạ từ S ( n ) vào n được xác định như sau: ψ F[f ] , ψ = f , ϕ , ψ ∈ S ( n ) , trong đó, ϕ∈ C0∞ ( n ) được xác định theo định lý Paley-Wiener, từ ψ sao cho ψ ( ζ ) = F [ ϕ] ( ζ ) . Định lý Paley-Wiener cho chúng ta điều kiện cần và đủ để một hàm giải tích là biến đổi Fourier của một hàm cơ bản khả vi vô hạn với giá compact. Định lý sau đây là điều kiện cần và đủ để một hàm giải tích là biến đổi Fourier của một hàm suy rộng với giá compact. Định lý 3.3. ([1], Thm.2.12) Định lý Paley-Wiener-Shwartz Cho ψ : n → là hàm giải tích. Khi đó điều kiện cần và đủ để có một số r > 0, một hàm f ∈ ε ' ( n ) (hàm suy rộng với giá compact), sup pf ⊂ Br ( 0 ) sao cho ψ ( ζ ) = F [ f ] ( ζ ) là tồn tại N,C > 0 sao cho ψ ( ζ ) < C N (1 + ζ ) N r Im ζ e , ∀ζ ∈ n . 98
ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN Chứng minh. Điều kiện cần: ( ) Cho f ∈ε' n Do ε ' ( n ) ⊂ S' ( n ) nên biến đổi Fourier F [ f ] được xác định như sau ϕ f , F [ ϕ] , ϕ ∈ S ( n ) . Do ϕ∈ S ( n ) có một dãy {ϕk }k =1 trong C0∞ ( n ) hội tụ đến ϕ trong S ( n ) . Với mỗi k, giá sup pϕk là tập compact trong n , F [ ϕk ] ∈ ε' ( n ) nên các tổng Riemann n ψ h ( ξ ) = ( 2π ) 2 ∑ e ( )ϕk ( jh ) , trong đó ∑ là tổng lấy trên các điểm có tọa độ nguyên trong n , tổng − − i jh,ξ này hữu hạn vì giá sup pϕk là tập compact, hội tụ đến F [ ϕk ] ( ξ ) trong ε ( n ) khi h giảm dần về 0 nên j j n n f ξ , F [ ϕk ] = lim+ f ξ , ψ h = ( 2π ) lim+ ∑ f ξ ,e ϕk ( jh ) = ( 2π ) lim ∑ ϕk ( jh ) f ξ ,e − − i( jh,ξ ) − − i( jh,ξ ) 2 2 . h →0 h →0 h →0 + j j n mà tổng Riemann φh = ( 2π ) 2 h n ∑ ϕk ( jh ) f ξ ,e −i( jh,ξ) hội tụ đến − j n ( 2π ) ∫x∈ ϕk ( x ) f ξ ,e − i( x,ξ ) − 2 n dx. Lại do S − lim ϕk = ϕ nên S − lim F [ ϕk ] = F [ ϕ] , mà f ξ ∈ ε ' ( n ) có cấp 0, với mỗi x ∈ n k →∞ k →∞ ∈ ε( ) nên có một số dương C và số tự nhiên m không phụ thuộc vào x sao cho − i( x,ξ ) hàm e n f ξ ,e − i( x,ξ ) ≤ Csup ∑ Dξα e n ξ∈ α ≤ m ( − i( x,ξ ) ) ≤ C (1 + x ) m , n do đó cho k ra vô cùng ta có f , F [ ϕ] = ( 2π ) ϕ ( x ) f ξ ,e − i( x,ξ ) − 2 ∫ x∈ n dx. n Vì vậy hàm suy rộng F [ f ] có thể viết đưới dạng hàm thông thường ( 2π ) − i( x,ξ ) − 2 f ξ ,e . Như vậy, với f ∈ ε' ( n ) thì biến đổi Fourier F [ f ] là một hàm từ n vào được xác định bởi ξ f x ,e ( ) . − i x,ξ Hàm F [ f ] ( ξ ) là hàm khả vi vô hạn và có thể thác triển lên thành hàm giải tích trên n như sau: − i( x,ζ ) ζ f x ,e . Do f ∈ ε ' ( n ) nên có một số r > 0 để sup pf ⊂ Br ( 0 ) . Khi đó, có một hàm φ ∈ C0∞ ( n ) mà φ ( t ) = 0 1 với t ≥ 1, φ ( t ) = 1 với t ≤ . 2 Đặt ϕζ ( x ) = e − i x,ζ ( φ ζ ( x − M ) , với mỗi ζ thì ϕζ ∈ C∞0 ( ) . ) Với ζ = 0 thì ϕ0 ( x ) = e , Dα ϕζ ( x ) = 0, ∀x ∈ n , α ≠ 0. để sup pf ⊂ Br ( 0 ) . − i( x,0 ) 1 Với ζ ≠ 0 thì ϕ0 ( x ) = e ( ) , ∀ x ≤ M + ,sup pϕζ ⊂ B 1 ( 0 ) , và − i x,ζ 2ζ M+ ζ Dα ϕζ ( x ) = ∑ ( −iζ ) e β≤α β − i( x,ζ ) Dα−β x φ ζ ( ( x − M )). Vì f ∈ ε ' ( n ) ,sup pf ⊂ BM ( 0 ) nên f x ,e − i( x,ξ ) = f , ϕζ , và có một số N ∈ + và một số c > 0 ∑ D ϕ ( x ) ≤ c (1 + ζ ) α ' N M Im ζ sao cho f , ϕζ ≤ c sup ζ e . x∈ n α ≤ N 99
TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN Điều kiện đủ: Theo định lý Paley-Wiener-Shwartz, với mỗi hàm ψ (. + iη) ∈ S' n nên biến đổi Fourier của nó ( ) f = F−1 ψ ( ξ )  ∈ S' ( n ) và F [ f ] ( ζ ) = ψ ( ζ ) , ζ ∈ n . ( ) n Lấy p ∈ C0∞ n sao cho sup pp ⊂ Br ( 0 ) và ∫ p ( x ) = 1. Với mỗi ε > 0 ta đặt x n ( ) ( ( )) n ' n ( ) p ε = ε − n p   , do p ε ∈ D ⊂ S ,f ∈ S nên nếu ta đặt f ε = f ∗ p ε thì hàm εn n F [ f ε ] = ( 2π ) 2 F [ p ε ] F [ f ] = ( 2π ) 2 F [ p ε ] ψ là hàm giải tích trên n . Lại có, do pε ∈ C0∞ ( n ) ,sup p ( pε ) ⊂ Bε ( 0 ) nên theo định lý Paley-Wiener với mọi N1 > 0 điều có số C N > 0 để F [ p ε ] ( ζ ) < C N (1 + ζ ) − N1 e ε Im ζ , ∀ζ ∈ n . 1 1 Do đó ta có F [ f ε ] ( ζ ) < C N C (1 + ζ ) − N1 + N e (r +ε ) Im ζ , ∀ζ ∈ n 1 Từ định lý Paley-Wiener ta có sup p ( f ε ) ⊂ Br +ε ( 0 ) , mà S − lim f ε = f nên sup pf ⊂ Br ( 0 ) . ε→0 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đặng Anh Tuấn (2005), Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev (Bài giảng SĐH), Hà Nội 2. Lê Viết Ngư (2011), Hàm Suy Rộng (Bài giảng SĐH), Đại học Huế. 3. Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (1995), Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất bản Khoa học kĩ thuật, Hà Nội. n 4. Nguyễn Thị Minh Khai, Biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh S , Tạp chí Khoa ( ) học Tài chính Kế toán số 20. ' n 5. Nguyễn Thị Minh Khai, Biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm S , Tạp chí Khoa ( ) học Tài chính Kế toán số 21. 6. Hormander.L., (1985), The analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer - Verlag. 7. Machael Reiter, Arthur Schuster (2008), Fourier transform and Sobolev Space, Summer Term. 8. Markus Harju (2007), Fourier transform and distribution, Valeriy Seroy University of Oulu. 9. Vladimirov, V.S (2002), Methods of the Theory of Genneralized, Steklov Mathematical Institute Moscow, Russia. 10. Vladimirov, V.S(1984), Equation of Mathematical Physics, MirPublishers, Moscow. 100
ẠI HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN LỰA CHỌN BÀI TẬP PHÁT TRIỂN THỂ CHẤT CHO NỮ SINH VIÊN NĂM THỨ NHẤT TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN CTIN PH ICA OP NT CI O A H N O NI IT O INANC AN ACCO NTANC N ThS. Nguyễn Thị Thảo - ThS. Đào Mạnh Hùng N Trường Đại học Tài chính - Kế toán N TÓM TẮT Qua nghiên cứu đề tài đã đánh giá được thực trạng sự phát triển thể chất của nữ sinh viên Trường Đại học Tài chính - Kế toán. Từ đó nhằm lựa chọn các bài tập có cơ sở khoa học và phù hợp với điều kiện thực tiễn để phát triển thể chất cho nữ sinh viên năm thứ nhất Trường Đại học Tài chính - Kế toán, góp phần hoàn thành các mục tiêu giáo dục của Nhà trường. Từ khóa: Lựa chọn bài tập, phát triển thể chất, nữ sinh năm thứ nhất, Trường Đại học Tài chính - Kế toán ABSTRACT The topic assessed the physical development of female students at the University of Finance and Accountancy to choose exercises with scientific basis and suitable with practical conditions for physical development for female freshmen at the University of Finance and Accountancy, contributing to the achievement of the school’s educational goals. Keywords: Selecting exercises, physical development, freshmen, University of Finance and Accountancy Đặt vấn đề T T K T T K N T N C N N “Lựa chọn bài tập phát triển thể chất cho nữ sinh viên năm thứ nhất Trường Đại học Tài chính - Kế toán”. Phương pháp nghiên cứu: P 101

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.