Tính chất phổ của hàm trong không gian Lp (R) và tập sinh bởi đa thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, nghiên cứu về phép biến đổi Fourier tính chất phổ của hàm trong không gian Lp (R). Đưa ra kết quả mở rộng cho định lý Paley-Wiener-L.Schwartz cho các hàm trong không gian Lp (R) và tập sinh bởi đa thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính chất phổ của hàm trong không gian Lp (R) và tập sinh bởi đa thức

NGÀNH TOÁN HỌC Tính chất phổ của hàm trong không gian Lp ( ) và tập sinh bởi đa thức Spectral properties of the function space Lp ( ) and set generated by polynomial Nguyễn Kiều Hiên Email: nguyenkieuhien@gmail.com Trường Đại học Sao Đỏ Ngày nhận bài: 08/10/2021 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 21/3/2022 Ngày chấp nhận đăng: 30/6/2022 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu về phép biến đổi Fourier (xem [2]), tính chất phổ của hàm trong không gian Lp( ). Đưa ra kết quả mở rộng cho định lý Paley-Wiener-L.Schwartz cho các hàm trong không gian Lp( ) và tập sinh bởi đa thức. Từ khóa: Biến đổi Fourier; hàm nguyên dạng mũ; tập sinh bởi đa thức; phổ. Abstract In this paper, we study the Fourier transform (see [2]), spectral properties of the function space Lp( ). Give results that expand the theorem Paley-Wiener-L.Schwartz for the functions space Lp( ) set generated by polynomial. Keywords: Fourier transform; exponential function natural; set generated by polynomial; spectral. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ n Năm 1934, R.Paley và N.Wiener đã tìm được điều kiện cần và đủ để một hàm nguyên dạng mũ có ảnh j =1  x 2 )1/2 , x x = (= = ( x1 , x2 ,..., xn )  n j 1 2 n � n n Fourier là một hàm thuộc L2 (  ) với giá nằm trong đoạn [-σ, σ]. Định lý Paley-Wiener lần đầu tiên được Và tích vô hướng x =  j =1 x j j . L.Schwartz phát biểu khi ảnh Fourier là hàm suy rộng Với mỗi số thực 1  p   , ký hiệu. có giá nằm trong một hình cầu đóng. Sau đó, đến năm n n 1983 L.Hormander đã mở rộng được định lý Paley- L p ( ) {u : = → , ( ) Wiener-L.Schwartz cho trường hợp ảnh Fourier là 1/ p = hàm suy rộng có giá nằm trong một tập compact lồi bất u p n | u ( x ) | p dx  +}. kỳ. Năm 1996 Hà Huy Bảng đưa ra kết quả mở rộng Với p =  , ký hiệu. cho định lý Paley-Wiener-L.Schwartz cho các hàm trong không gian L2 (  ) và tập compact bất kỳ. Việc nghiên cứu về tính chất của hàm số thông qua giá của ảnh Fourier có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Đặc biệt hữu ích trong việc giải Trong đó: các bài toán trong lý thuyết mạch, bài toán xử lý hình ảnh và xử lý tín hiệu truyền thông. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra kết quả mở rộng cho định lý Paley-Wiener-L.Schwartz cho các hàm Ký hiệu ˆ  là phép biến đổi Fourier, f (hay f ) là trong không gian L2 (  ) và tập sinh bởi đa thức. ˆ ảnh Fourier của hàm f , suppf là giá của ảnh Fourier 2. ĐỊNH LÝ PALEY-WIENERL-SCHWARTZ CHO CÁC (gọi là phổ) của hàm f . HÀM TRONG KHÔNG GIAN Lp ( ) Định nghĩa 1 (xem [2]). Cho P ( x ) là một đa thức n Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng các không gian biến và có bậc q trong ., hàm sau đây:  n là không gian Euclid n chiều, với chuẩn Euclid. P( x) =  a x ,  | | q Trong đó: Người phản biện: 1. PGS. TS. Khuất Văn Ninh 2. TS. Nguyễn Viết Tuân Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 2 (77) 2022 61
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Ta định nghĩa Định nghĩa 4 (xem [1]). Một phiếm hàm tuyến tính liên D= ( i x1 ,..., i xn ) , tục xác định trong không gian hàm cơ bản được  gọi là một hàm suy rộng xác định trên không gian hàm D j = i x j , D = D11 ...Dn n , cơ bản . Tập hợp tất cả các hàm suy rộng xác Với j = 1, 2,..., n . định trong không gian hàm cơ bản gọi là không gian hàm suy rộng với giá compact. Ký hiệu là Khi đó, ( −i )  D f là đạo hàm cấp α của f và các Định lý dưới đây mô tả dáng điệu của dãy các đạo hàm ˆ hàm P ( − D ) f , P ( D ) f được xác định như sau: trong không gian Lp( ), chỉ ra mối liên hệ của toán tử Pm (-D)f với phổ của hàm f trong không gian một P ( − D ) f =  ( −i ) a D f ,  chiều Lp( ).  q Định lý 1 (xem [4]). Cho 1  p   , f  Lp( ), P ( D ) fˆ =  a D f . là một đa thức n biến. q Khi đó, giới hạn Định nghĩa 2 (xem [2]). Cho P ( x ) là một đa thức với 1/ m hệ số thực. Ta định nghĩa. lim P m ( − D ) f , m → p Luôn tồn tại và 1/ m lim P m ( − D ) f =( x ) . sup P (1) (1) m→ p ˆ xsuppf Q (P) được gọi là tập sinh bởi đa thức Q (x). Định lý 2 (xem [5]). Cho , P ( x ) là đa Giả thiết rằng Q (P)r ≠ ∅. Rõ ràng Q (P)r là tập đóng và thức với hệ số thực và Q(P) là tập compact. Khi đó ta thấy rằng Q (P) là tập compact nếu lim P ( x ) = . supp f  Q ( P ) =: K nếu và chỉ nếu với mỗi   0 x → Chú ý rằng tất cả các hình cầu đều là trường hợp riêng đều tồn tại hằng số C   sao cho. của tập sinh bởi đa thức. Ta sẽ ký hiệu Q ( P ) = Q ( P )1 . ˆ Pm ( D ) f ( 0)   Như vậy, với mọi đa thức P ( x ) và hàm f  C ( ))  n (2) C (1 +  ) sup x m ta xác định được dãy các P - đạo hàm của hàm f là  , m  Z + . (2) xK toán tử vi phân Pm (-D)f ( với m  Z+). Ta có kết quả sau Nhận xét 1. Định lý 2 không đúng nếu ta thay điều kiện cho dáng điệu của dãy P - đạo hàm trong không gian (2) bởi. một chiều Lp( ). ˆ P m ( D ) f ( 0 )  C (1 +  ) m  Z + . m  Ta định nghĩa hàm suy rộng với giá compact Trước tiên, ta sẽ đi vào khái niệm hội tụ trong không Thật vậy, xét n = 1 và gian . ˆ f ( x ) = sin x, P ( x= x 2 + 1. ) Định nghĩa 3 (xem [1]). Không gian là không Khi đó. gian tôpô tuyến tính các hàm với khái niệm Q( P) = 0 , supp f = −1,1 , k k =1các hàm trong không gian  hội tụ như sau: Dãy Và được gọi là hội tụ đến hàm nếu. P m ( D ) fˆ ( 0 ) = 0  C (1 +  ) m  Z + . m  Định lý 3 (xem [1]). Cho 1  p   , và G là tập compact bất kỳ trong  . Khi đó nếu và chỉ nếu với mỗi   0 đều tồn Khi đó, ta viết tại hằng số C   sao cho. k k =1được gọi là một dãy Cauchy trong  Với dãy hàm D f  C f p sup x   Z + . (3) (3) p xG không gian hàm cơ bản nếu. Nhận xét 2. Cho 1 p   , để có khẳng định khi G là tập compact bất kỳ trong  ta phải kiểm tra đánh giá. Khi đó, không gian hàm cơ bản là không gian P ( −D ) f p  C f p sup P ( x ) , xG đầy đủ và tập là tập trù mật trong không gian hàm cơ bản . với tất cả các đa thức P ( x ) . 62 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 2 (77) 2022
NGÀNH TOÁN HỌC Định lý 4 (xem [5]). Cho P ( x) là một đa thức với hệ số thực vàG là tập compact trong (7)  . Khi đó supp f  Q ( P ) =: K nếu và chỉ nếu với mỗi   0 đều tồn tại hằng số C   sao cho. P ( − D ) f ( 0 ) p  C sup P ( x ) . (4) (4) Trong đó: xG Nhận xét 3. Định lý 4 vẫn đúng nếu ta thay thế các đa thức với hệ số phức, ở định lý này bởi các đa thức với Theo định nghĩa ta có: hệ số thực. Định lý 4 vẫn đúng nếu ta thay thế các đa thức với hệ số phức, ở định lý này bởi các đa thức có dạng Qp(x)xα, trong đó Q (x) là các đa thức bất kì có bậc 1, Với dẫn đến điều sau đây: hoặc bậc 2, . Định lý 5 (xem [3]). Cho P ( x) là một đa thức với hệ số thực và Q(P) là tập compact. Khi đó supp f  Q ( P ) =: K nếu và chỉ nếu với mỗi   0 đều tồn tại hằng số C   sao cho. Pm ( − D ) f ( 0 )  (5) C ( r +  ) sup P ( x )   Z + . m (5) Áp dụng công thức Leibniz, có xK Kết quả chính của bài báo được trình bày trong định lý sau đây. Định lý 6. Cho 1  p   , và P ( x) là một đa thức, Q(P) là tập compact. Khi đó supp f  Q ( P ) =: K nếu và chỉ nếu với mỗi   0 đều tồn tại hằng số C   sao cho. (8) ( −D ) f (r +  ) m m + P  C f p m  Z .(6) (6) p Chứng minh Điều kiện cần. Chọn hàm thỏa mãn g ( ) = 1 nếu   G 4 Mặt khác, tồn tại hằng số Kd không phụ thuộc vào Và P ( x) thỏa mãn: g ( ) = 0 nếu   G 2 . sup | D P ( x ) | K sup P ( x ) , (9) (9) xG 2 xG 2 Vì Với mọi . F (D f ) = ( − ) fˆ     Z + Từ (8) và (9), ta suy ra Ta được F ( P ( − D= P ( ) f   Z + . )f) Từ đây và suy ra: (10) F ( P ( − D ) f ) h ( ) P ( ) f   Z + . = Và do đó: Với: Điều này dẫn đến C := ma x    (2,2,..,2)  G 2 |D g ( ) | d  . Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 2 (77) 2022 63
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Ngoài ra. Khi đó ˆ suppf  K nếu và chỉ nếu với mỗi   0 đều (11) tồn tại hằng số C   sao cho. P m1 ( x ) ...Pq ( x) f mq 1 Kết hợp (10) và (11), ta suy ra: p (r +  ) sup P ( x ) m1 +...+ mq H 1  C sup P ( x ) , (12 ) (12)  C f p (15)  G  G Ở đây:   ( m1 ,..., mq )  Z + . (15) C không phụ thuộc vào f , x . Từ (7) và (12), suy ra (6), (đpcm). Cho để có khẳng định ˆ suppf  K khi G là tập compact bất kỳ trong  ta - Điều kiện đủ phải kiểm tra đánh giá Giả sử ngược lại, tức   supp f ,   G. P ( −D ) f  C f sup P ( x ) Do p p xG   G =( P )r . Q Với tất cả các đa thức P ( x ) , trong khi đó với trường Và hợp riêng G = Q ( )r là tập sinh bởi đa thức thì ta chỉ cần kiểm tra P ( −D ) f p  C f p sup P ( x ) với xG Sao cho. các đa thức P ( )  r . Từ công thức (6) ta có: 3. KẾT LUẬN 1m Bài viết trình bày tính chất của dãy các đạo hàm trong lim P m ( − D ) f  r +. (13) (13) không gian Lp( ), chỉ ra mối liên hệ của toán tử Pm (-D)f m→ p với phổ của hàm f trong không gian một chiều Lp( ). Theo định lý (1) ta có: 1m Khi nghiên cứu hàm số qua hình học của phổ còn tính lim P m ( − D ) f = sup P ( x ) . chất của dãy p- đạo hàm trong không gianLp( n). Tuy m→ ˆ p xsuppf nhiên, do khuôn khổ bài báo, chúng tôi không đề cập Vì do   supp f nên. ở đây. 1m lim P m ( − D ) f  P ( ) . (14) (14) m→ p TÀI LIỆU THAM KHẢO Kết hợp (13) và (14), ta thu được. [1]. N.B. Andersen, M. de Jeu (2010), Real Paley- P ( )  r +  , Wiener theorems and local spectral radius formula, Trans. Amer. Math. Soc., 362, pp. 3613-3640. Cho  → 0 , ta thấy P ( )  r +  , [2]. V.S. Vladimirov (2012), Methods of the Theory of Điều này mâu thuẫn cho suy ra định lý Generalized Functions, Taylor Francis, London, được chứng minh. New York. [3]. V.K. Tuan (1999), On the supports of functions, Hệ quả 1. Cho r  0, P ( x ) ,..., Pq ( x ) là các đa thức 1 Numer. Funct. Anal. Optim., 20, pp. 387-394. với hệ số thực và Q (P1)r,...,Q(Pq)r là các tập compact, [4]. Ha Huy Bang (1995), Functions with bounded G là tập compact và cho . spectrum, Trans. Amer. Math. Soc., 347, pp. 1067-1080. Đặt [5]. L.Hormander (1954), A new generalization of an K = G  Q ( P )r  ...  Q ( Pq ) . 1 inequality of Bohr, Math. Scand, 2, pp.33-45 r THÔNG TIN TÁC GIẢ Nguyễn Kiều Hiên - Năm 2014: Tốt nghiệp Thạc sỹ ngành Toán Giải tích, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. - Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Sao Đỏ. - Lĩnh vực quan tâm: Toán Giải tích. - Điện thoại: 0985330644 Email: nguyenkieuhien@gmail.com 64 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 2 (77) 2022