Bộ Đề Toán Luyện thi Đại học Cấp tốc 2011
lượt xem 25
download
Tham khảo tài liệu 'bộ đề toán luyện thi đại học cấp tốc 2011', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bộ Đề Toán Luyện thi Đại học Cấp tốc 2011
- www.VNMATH.com BỘ ĐỀ LUYỆN THI CẤP TỐC MÔN TOÁN 2011 Sở GD & ĐT Tiền Giang ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Trường THPT Gò Công Đông Môn: Toán - Thời gian: 180 phút ĐỀ 1 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2 x 3 có đồ thị là (C) x 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 2) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt 2 tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình: sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cos x cos 2 x cos3 x cos 4 x 2 2) Giải phương trình: x 2 1 5 x 2 x 2 4; x R e Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I ln x ln 2 x dx 1 x 1 ln x Câu IV (1 điểm) Một hình nón đỉnh S , có tâm đường tròn đáy là O. A, B là hai điểm trên đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng AB bằng a , 600 . Tính theo a chiều cao và ASO SAB diện tích xung quanh của hình nón Câu V (1 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y 5 . 4x y 2x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P xy 4 II. PHẦN RIÊNG : Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình chuẩn. Câu VI (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) có phương trình : x y 0 và điểm M (2;1) . Tìm phương trình đường thẳng cắt trục hoành tại A cắt đường thẳng (d ) tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M 2) Trong không gian tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A 0; 1;2 , B 1;0;3 và tiếp xúc với mặt cầu S có phương trình: ( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 1) 2 2 Câu VII (1 điểm) Cho số phức z là một nghiệm của phương trình: z 2 z 1 0 . 2 2 2 2 1 1 1 1 Rút gọn biểu thức P z z 2 2 z 3 3 z 4 4 z z z z 2. Theo chương trình nâng cao. Câu VI (2 điểm) 2 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C có phương trình : x 4 y 2 25 và điểm M (1; 1) . Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cắt đường tròn C tại 2 điểm A, B sao cho MA 3MB 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P có phương trình: x y 1 0 . Lập phương trình mặt cầu S đi qua ba điểm A 2;1; 1 , B 0;2; 2 , C 1;3;0 và tiếp xúc với mặt phẳng P http://tranduythai.violet.vn 2 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com 2 3 log 1 x 1 log 2 x 1 6 Câu VII (1 điểm) Giải bất phương trình: 2 2 log 2 x 1 2 log 1 ( x 1) 2 ĐÁP ÁN ĐỀ 1 1) y= 2 x 3 (C) y x 2 5 D= R\ {2} 4 lim y 2 TCN : y 2 3 x lim y ; lim y TCĐ x = 2 2 x 2 x 2 y’ = 1 0; x 2 1 ( x 2)2 x -2 -1 1 2 3 4 5 BBT -1 -2 2 x0 3 -3 2) Gọi M(xo; ) (C) . x0 2 2 Phương trình tiếp tuyến tại M: () y = x 2 x0 6 x0 6 ( x0 2)2 ( x0 2)2 2 x0 2 ( ) TCĐ = A (2; ) x0 2 ( ) TCN = B (2x0 –2; 2) cauchy AB (2 x0 4; 2 ) AB = 4( x0 2)2 4 2 2 x0 2 ( x0 2)2 x 3 M (3;3) AB min = 2 2 0 xo 1 M (1;1) II 1. sin x sin x sin x sin 4 x cos x cos 2 x cos3 x cos 4 x 2 3 1,0 TXĐ: D =R sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x cos x cos 2 x cos3 x cos 4 x sin x cosx 0 (sin x cosx). 2 2(sin x cosx) sin x.cosx 0 0,25 2 2(sin x cosx) sin x.cosx 0 + Với sin x cosx 0 x k ( k Z ) 0,25 4 + Với 2 2(sin x cosx) sin x.cosx 0 , đặt t = sin x cosx (t 2; 2 ) t 1 được pt : t2 + 4t +3 = 0 t 3(loai) 0.25 http://tranduythai.violet.vn 3 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com x m 2 t = -1 (m Z ) x m2 2 x 4 k ( k Z ) Vậy : x m2 (m Z ) 0,25 x m 2 2 Câu II.2 2 (1,0 đ) x 2 1 5 x 2 x 2 4; x R Đặt t x 2 x 2 4 t 2 2( x 4 2 x 2 ) ta được phương trình 0,25 t2 1 5 t t 2 2t 8 0 2 t 4 0,25 t 2 x 0 x 0 + Với t = 4 Ta có x 2 x 2 4 4 4 2 4 2 2( x 2 x ) 16 x 2x 8 0 x 0 2 x 2 0,25 x 2 x 0 x 0 + Với t = 2 ta có x 2 x 2 4 2 4 2 4 2 2( x 2 x ) 4 x 2x 2 0 x 0 2 x 3 1 x 3 1 0,25 ĐS: phương trình có 2 nghiệm x 2, x 3 1 III e ln x I ln 2 x dx 1 x 1 ln x e ln x 4 2 2 I1 = dx , Đặt t = 1 ln x ,… Tính được I1 = 0.5 1 x 1 ln x 3 3 e 0.25 I 2 ln 2 x dx , lấy tích phân từng phần 2 lần được I2 = e – 2 1 2 2 2 0.25 I = I1 + I2 = e 3 3 http://tranduythai.violet.vn 4 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com Câu IV Gọi I là trung điểm của AB , nên OI a (1,0 đ) S Đặt OA R 60 0 SAB đều SAB 1 1 1 OA R IA AB SA 0,25 2 2 2 sin ASO 3 Tam giác OIA vuông tại I nên OA IA2 IO 2 2 2 R2 a 6 O A R a2 R 3 2 0,25 I B SA a 2 a 2 0,25 Chiếu cao: SO 2 a 6 Diện tích xung quanh: S xq Rl a 2 a2 3 0,25 2 Câu V Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y 5 . (1,0 đ) 4x y 2x y 4 1 x y 4 y 1 x y P 0,25 xy 4 y x 2 4 y 4 x 2 2 Thay y 5 x được: 4 y 1 x 5 x 4 y 1 5 4 y 1 5 3 0,50 P x 2 . 2 .x y 4 x 2 2 y 4 x 2 y 4 x 2 2 3 3 P bằng khi x 1; y 4 Vậy Min P = 0,25 2 2 Lưu ý: 3x 5 3x 5 Có thể thay y 5 x sau đó tìm giá trị bé nhất của hàm số g ( x) x (5 x) 4 Câu A nằm trên Ox nên A a;0 , B nằm trên đường thẳng x y 0 nên B(b; b) , 0,25 AVI.1 (1,0 đ) M (2;1) MA (a 2; 1), MB (b 2; b 1) Tam giác ABM vuông cân tại M nên: MA.MB 0 (a 2)(b 2) (b 1) 0 0,25 2 2 2 , MA MB (a 2) 1 (b 2) (b 1) do b 2 không thỏa mãn vậy b 1 b 1 a2 ,b 2 a 2 ,b 2 b2 b2 2 (a 2) 1 (b 2) (b 1) 2 2 2 b 1 1 (b 2) 2 (b 1) 2 b 2 b 1 a 2 a 2 , b 2 b2 b 1 a 4 (b 2) 2 (b 1)2 . 1 1 0 (b 2)2 b 3 http://tranduythai.violet.vn 5 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com a 2 Với: đường thẳng qua AB có phương trình x y 2 0 0,25 b 1 a 4 Với đường thẳng qua AB có phương trình 3 x y 12 0 b 3 0,25 ĐỀ 2 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y 2 x3 3(2m 1) x2 6m(m 1) x 1 có đồ thị (Cm). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; Câu II (2 điểm) a) Giải phương trình: 2 cos 3 x(2 cos 2 x 1) 1 3 b) Giải phương trình : (3x 1) 2 x 2 1 5 x 2 x3 2 3 ln 2 dx Câu III (1 điểm) Tính tích phân I 0 (3 e x 2) 2 Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa a 3 AA’ và BC là 4 Câu V (1 điểm) Cho x,y,z thoả mãn là các số thực: x 2 xy y 2 1 .Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức x4 y4 1 P x2 y2 1 II. PHẦN RIÊNG : Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2) Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm) a) Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C. b) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC). Câu VIIa(1 điểm) Giải phương trình: ( z 2 z )( z 3)( z 2) 10 , z C. Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao Câu VIb (2 điểm) a. Trong mp(Oxy) cho 4 điểm A(1;0),B(-2;4),C(-1;4),D(3;5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng () : 3 x y 5 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau b.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: x 4 y 1 z 5 x2 y3 z d1 : d2 : 3 1 2 1 3 1 Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 Câu VIIb (1 điểm) Giải bất phương trình: x(3 log 2 x 2) 9 log 2 x 2 http://tranduythai.violet.vn 6 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com ĐÁP ÁN ĐỀ 2 Câu I a) Đồ thị Học sinh tự làm 0,25 b) y 2 x3 3(2m 1) x 2 6m(m 1) x 1 y ' 6 x 2 6( 2m 1) x 6m( m 1) 0,5 y’ có (2m 1) 2 4( m 2 m) 1 0 x m 0,25 y' 0 x m 1 Hàm số đồng biến trên 2; y ' 0 x 2 m 1 2 m 1 0,25 Câu II a) Giải phương trình: 2 cos 3 x(2 cos 2 x 1) 1 1 điểm PT 2 cos 3 x(4 cos 2 x 1) 1 2 cos 3 x(3 4 sin 2 x) 1 0,25 Nhận xét x k , k Z không là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có: 0,25 2 cos 3x(3 4 sin 2 x) 1 2 cos 3x(3 sin x 4 sin 3 x) sin x 2 cos 3 x sin 3 x sin x sin 6 x sin x 2m 0,25 x 6 x x m 2 5 ;mZ 6 x x m 2 x 2m 7 7 2 m Xét khi k 2m=5k m 5t , t Z 5 0,25 2m Xét khi = k 1+2m=7k k=2(m-3k)+1 hay k=2l+1& m=7l+3, 7 7 lZ 2 m 2m Vậy phương trình có nghiệm: x ( m 5t ); x ( m 7l 3 ) 5 7 7 trong đó m, t , l Z b) 3 1 điểm Giải phương trình : (3x 1) 2 x 2 1 5 x 2 x3 2 PT 2(3x 1) 2 x 2 1 10 x 2 3x 6 0,25 2(3x 1) 2 x 2 1 4( 2 x 2 1) 2 x 2 3x 2 . Đặt t 2 x 2 1(t 0) Pt trở thành 4t 2 2(3 x 1)t 2 x 2 3 x 2 0 Ta có: ' (3 x 1) 2 4(2 x 2 3 x 2) ( x 3) 2 Pt trở thành 4t 2 2(3 x 1)t 2 x 2 3 x 2 0 0,25 Ta có: ' (3x 1) 2 4(2 x 2 3x 2) ( x 3) 2 http://tranduythai.violet.vn 7 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com 2x 1 x2 Từ đó ta có phương trình có nghiệm : t ;t 2 2 Thay vào cách đăt giải ra ta được phương trình có các 0,5 1 6 2 60 nghiệm: x ; 2 7 Câu III 3 ln 2 dx 1 điểm Tính tích phân I 0 (3 e x 2) 2 3 ln 2 x 0,25 e 3 dx Ta c ó I x x = 0 3 3 2 e (e 2) x x 3 3 Đặt u= e 3du e dx ; x 0 u 1; x 3 ln 2 u 2 2 3du 2 1 1 1 0,25 Ta được: I 2 =3 du 1 u (u 2) 1 4u 4(u 2) 2(u 2) 2 0,25 2 1 1 1 =3 ln u ln u 2 4 4 2(u 2) 1 3 3 1 ln( ) 4 2 8 0,25 3 3 1 Vậy I ln( ) 4 2 8 Câu IV A’ C’ B’ H A C O M B 0,5 http://tranduythai.violet.vn 8 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com AM BC Gọi M là trung điểm BC ta thấy: BC ( A' AM ) A' O BC Kẻ MH AA' , (do A nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.) BC ( A' AM ) Do HM BC .Vậy HM là đọan vông góc chung của HM ( A' AM ) 3 AA’và BC, do đó d ( AA' , BC) HM a . 4 A' O HM 0,5 Xét 2 tam giác đồng dạng AA’O và AMH, ta có: AO AH AO.HM a 3 a 3 4 a suy ra A' O AH 3 4 3a 3 1 1aa 3 a3 3 Thể tích khối lăng trụ: V A' O.S ABC A' O.AM.BC a 2 23 2 12 Câu V 1.Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a b c 3 .Chứng minh1 điểm rằng: 3(a 2 b 2 c 2 ) 4abc 13 bc 0,5 Đặt f (a, b, c ) 3( a 2 b 2 c 2 ) 4abc 13; t 2 *Trước hết ta chưng minh: f (a, b, c) f (a, t , t ) :Thật vậy Do vai trò của a,b,c như nhau nên ta có thể giả thiết a b c 3a a b c 3 hay a 1 f (a, b, c) f ( a, t , t ) 3( a 2 b 2 c 2 ) 4 abc 13 3( a 2 t 2 t 2 ) 4 at 2 13 = 3(b 2 c 2 2t 2 ) 4a (bc t 2 ) 2 2 2 2(b c) (b c) 3(b c) 2 2 = 3b c 4a bc = a(b c) 2 4 4 2 (3 2a )(b c) 2 = 0 do a 1 2 *Bây giờ ta chỉ cần chứng minh: f (a, t , t ) 0 với a+2t=3 0,5 Ta có f (a, t , t ) 3( a 2 t 2 t 2 ) 4 at 2 13 = 3((3 2t ) 2 t 2 t 2 ) 4(3 2t )t 2 13 = 2(t 1) 2 (7 4t ) 0 do 2t=b+c < 3 Dấu “=” xảy ra t 1 & b c 0 a b c 1 (ĐPCM) 2. Cho x,y,z thoả mãn là các số thực: x 2 xy y 2 1 .Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức http://tranduythai.violet.vn 9 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com x4 y4 1 P x2 y2 1 Từ giả thiết suy ra: 1 x 2 xy y 2 2 xy xy xy 1 ( x y ) 2 3 xy 3 xy 0,25 1 Từ đó ta có xy 1 . 3 M¨t kh¸c x xy y 2 1 x 2 y 2 1 xy 2 nªn x 4 y 4 x 2 y 2 2 xy 1 .®¨t t=xy Vëy bµi to¸n trë thµnh t×m GTLN,GTNN cña t 2 2t 2 1 0.25 P f (t ) ; t 1 t2 3 6 t 6 2 TÝnh f ' (t ) 0 1 0 0.25 (t 2) 2 t 6 2(l ) 1 Do hàm số liên tục trên ;1 nên so sánh giá trị của 3 1 f( ) , f ( 6 2) , f (1) cho ra kết quả: 3 0.25 1 11 MaxP f ( 6 2) 6 2 6 , min P f ( ) 3 15 Câu VIa 1 điểm a) (Học sinh tự vẽ hình) Ta có: AB 1; 2 AB 5 . Phương trình của AB là: 2 x y 2 0 . I d : y x I t ; t . I là trung điểm của AC: C (2t 1;2t ) 0,5 t 0 1 Theo bài ra: S ABC AB.d (C , AB) 2 . 6t 4 4 4 2 t 3 0,5 5 8 Từ đó ta có 2 điểm C(-1;0) hoặc C( ; ) thoả mãn . 3 3 b) 1 điểm *Từ phương trình đoạn chắn suy ra pt tổng quát của mp(ABC) là:2x+y-z-2=0 0.25 *Gọi H là hình chiếu vuông góc của O l ên (ABC), OH vuông góc với 0,25 (ABC) nên OH // n(2;1;1) ; H ABC 1 2 1 1 Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có t= suy ra H ( ; ; ) 3 3 3 3 http://tranduythai.violet.vn 10 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com 4 2 2 0,5 *O’ đỗi xứng với O qua (ABC) H là trung điểm của OO’ O' ( ; ; ) 3 3 3 CâuVIIa Giải phương trình: ( z 2 z )( z 3)( z 2) 10 , z C. 1 điểm PT z ( z 2)( z 1)( z 3) 10 ( z 2 2 z )( z 2 2 z 3) 0 0,25 Đặt t z 2 2 z . Khi đó phương trình (8) trở thành: Đặt t z 2 2 z . Khi đó phương trình (8) trở thành 0,25 t 2 3t 10 0 t 2 z 1 i t 5 z 1 6 0,5 Vậy phương trình có các nghiệm: z 1 6 ; z 1 i Câu VIb 1 điểm a) Viết phương trình đường AB: 4 x 3 y 4 0 và AB 5 0,25 Viết phương trình đường CD: x 4 y 17 0 và CD 17 Điểm M thuộc có toạ độ dạng: M (t ;3t 5) Ta tính được: 0,25 13t 19 11t 37 d ( M , AB) ; d ( M , CD) 5 17 Từ đó: S MAB S MCD d ( M , AB). AB d ( M , CD).CD 0,5 7 7 t 9 t Có 2 điểm cần tìm là: M (9; 32), M ( ; 2) 3 3 b) 1 điểm Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d 1, d2 tại hai điểm A và B khi đó ta luôn có IA + IB ≥ AB và AB ≥ d d1 , d 2 dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm AB và AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 0, 25 Ta tìm A, B : 0,25 AB u Ad1, Bd 2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’) AB u ' AB (….)… A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1) I(2; 1; -1) 0,25 Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R= 6 2 Nên có phương trình là: x 2 ( y 1) 2 ( z 1) 2 6 0,25 CâuVIIb Giải bất phương trình x(3 log 2 x 2) 9 log 2 x 2 1 điểm http://tranduythai.violet.vn 11 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com Điều kiện: x 0 Bất phương trình 3( x 3) log 2 x 2( x 1) 0.25 Nhận thấy x=3 không là nghiệm của bất phương trình. 3 x 1 TH1 Nếu x 3 BPT log 2 x 2 x3 0,25 3 Xét hàm số: f ( x) log 2 x đồng biến trên khoảng 0; 2 x 1 g ( x) nghịch biến trên khoảng 3; x3 f ( x) f ( 4) 3 *Với x 4 :Ta có Bpt có nghiệm x 4 g ( x ) g (4) 3 f ( x) f ( 4) 3 * Với x 4 :Ta có Bpt vô nghiệm g ( x) g ( 4) 3 3 x 1 0,25 TH 2 :Nếu 0 x 3 BPT log 2 x 2 x3 3 f ( x) log 2 x đồng biến trên khoảng 0; 2 x 1 g ( x) nghịch biến trên khoảng 0;3 x3 f ( x) f (1) 0 *Với x 1 :Ta có Bpt vô nghiệm g ( x) g (1) 0 f ( x) f (1) 0 * Với x 1 :Ta có Bpt có nghiệm 0 x 1 g ( x) g (1) 0 x 4 0,25 Vậy Bpt có nghiệm 0 x 1 -x Câu V Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5 + 5-y +5-z = 1 .Chứng minh rằng : 25x 25y 25z 5 x 5y 5 z z xy 25x 5yz 5y 5zx 5 5 4 Đặt 5 x = a , 5y =b , 5z = c . Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc 0,25đ a2 b2 c2 abc Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : ( *) a bc b ca c ab 4 a3 b3 c3 abc ( *) 2 2 2 0,25đ a abc b abc c abc 4 http://tranduythai.violet.vn 12 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com a3 b3 c3 abc (a b)(a c ) (b c )(b a) (c a )(c b ) 4 0,25đ 3 a ab ac 3 Ta có a ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si) (a b)(a c) 8 8 4 b3 bc ba 3 0,25đ Tương tự b ( 2) (b c)( b a) 8 8 4 c3 ca cb 3 c ( 3) . (c a)(c b) 8 8 4 Cộng vế với vế các bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điều phải chứng minh Phần B. (Thí sinh chỉ được làm phần I hoặc phần II) Phần I. (Danh cho thí sinh học chương trình chuẩn) 1. Chương trình Chuẩn. Cõu Ph Nội dung Điểm ần A CâuVI 1(1, + Do AB CH nờn AB: x y 1 0 . a. 0) 2 x y 5 0 H (1,0) Giải hệ: ta có (x; y)=(-4; 3). N x y 1 0 Do đó: AB BN B (4;3) . 0,25đ + Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ A ' BC . - Phương trình đường thẳng (d) qua A và B C Vuụng gúc với BN là (d): x 2 y 5 0 . Gọi I (d ) BN . Giải hệ: 2 x y 5 0 0,25đ . Suy ra: I(-1; 3) A '( 3; 4) x 2y 5 0 7 x y 25 0 + Phương trình BC: 7 x y 25 0 . Giải hệ: x y 1 0 13 9 0,25đ Suy ra: C ( ; ) . 4 4 0,25đ 450 7.1 1( 2) 25 + BC ( 4 13 / 4) 2 (3 9 / 4) 2 , d ( A; BC ) 3 2. 4 7 2 12 1 1 450 45 Suy ra: S ABC d ( A; BC ).BC .3 2. . 2 2 4 4 Câu 1) Véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là: u1 (4; - 6; - 8) VIIA u2 ( - 6; 9; 12) 0,25đ +) u1 và u2 cùng phương +) M( 2; 0; - 1) d1; M( 2; 0; - 1) d2 0,25đ Vậy d1 // d2 *) Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là n = ( 5; - 22; 19) (P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0 2) AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d 1 0,25đ Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d 1 .Ta có: IA + IB = IA1 + IB A1B IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B Khi A1, I, B thẳng hàng I là giao điểm của A1B và d http://tranduythai.violet.vn 13 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B. 36 33 15 *) Gọi H là hình chiếu của A lên d1. Tìm được H ; ; 29 29 29 43 95 28 A’ đối xứng với A qua H nên A’ ; ; 29 29 29 0,25đ 65 21 43 I là trung điểm của A’B suy ra I ; ; 29 58 29 A B H d1 I A1 Cõu Nội dung Điểm Câu VIIa Cõu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trờn tập số phức C: (1,0) 4 3 z2 z z z 1 0 (1) 2 Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0 1 1 1 0.25đ Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ( z 2 2 ) ( z ) 0 (2) z z 2 1 1 1 Đặt t=z- Khi đó t 2 z 2 2 2 z 2 2 t 2 2 z z z 5 Phương trình (2) có dạng : t2-t+ 0 (3) 2 0.25đ 5 1 4. 9 9i 2 2 1 3i 1 3i PT (3) có 2 nghiệm t= ,t= 2 2 1 3i 1 1 3i Với t= ta có z 2 z 2 (1 3i ) z 2 0 (4) 2 z 2 Có (1 3i ) 2 16 8 6i 9 6i i 2 (3 i ) 2 0.25đ (1 3i) (3 i ) (1 3i) (3 i) i 1 PT(4) có 2 nghiệm : z= 1 i ,z= 4 4 2 1 3i 1 1 3i Với t= ta có z 2 z 2 (1 3i ) z 2 0 (4) 2 z 2 Có (1 3i ) 16 8 6i 9 6i i 2 (3 i ) 2 2 (1 3i) (3 i) (1 3i) (3 i ) i 1 0.25đ PT(4) có 2 nghiệm : z= 1 i ,z= 4 4 2 i 1 i 1 Vậy PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= ; z= 2 2 Phần II. Câu VIb. 1) http://tranduythai.violet.vn 14 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com Ta có: d 1 d 2 I . Toạ độ của I là nghiệm của hệ: x y 3 0 x 9 / 2 9 3 . Vậy I ; x y 6 0 y 3 / 2 2 2 0,25đ Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD M d 1 Ox Suy ra M( 3; 0) 2 2 9 3 Ta có: AB 2 IM 2 3 3 2 2 2 S ABCD 12 Theo giả thiết: S ABCD AB.AD 12 AD 2 2 0,25đ AB 3 2 Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d 1 d 1 AD Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có PT: 1(x 3) 1(y 0 ) 0 x y 3 0 . Lại có: MA MD 2 x y 3 0 Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT: x 3 y 2 2 2 y x 3 y x 3 0,25đ y 3 x x 3 y 2 x 3 (3 x) 2 2 2 2 2 x 3 1 x 2 x 4 hoặc . Vậy A( 2; 1), D( 4; -1) y 1 y 1 9 3 x 2 x I x A 9 2 7 Do I ; là trung điểm của AC suy ra: C 0,25đ 2 2 y C 2 y I y A 3 1 2 Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) Cõu Phần Nội dung Điểm CâuVIb. 2.a) Các véc tơ chỉ phương của D1 và D2 lần lượt là u1 ( 1; - 1; 2) 0,25đ (1,0) và u2 ( - 2; 0; 1) Có M( 2; 1; 0) D1; N( 2; 3; 0) D2 Xét u1 ; u2 .MN = - 10 0 0,25đ Vậy D1 chéo D2 Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t) D1 B(2 – 2t’; 3; t’) D2 1 AB.u1 0 t 0,25đ 3 AB.u2 0 t ' 0 5 4 2 A ; ; ; B (2; 3; 0) 3 3 3 Đường thẳng qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của D1 và D2. 0,25đ x 2 t Ta có : y 3 5t z 2t http://tranduythai.violet.vn 15 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có 0,25đ 2 2 2 11 13 1 5 dạng: x y z 6 6 3 6 CâuVIIb Ta có: (1 i) 2009 C2009 iC2009 .. i 2009C2009 0 1 2009 (1,0) 0 2 4 6 2006 2008 C2009 C2009 C2009 C2009 .... C2009 C2009 1 3 5 7 2007 2009 (C2009 C2009 C2009 C2009 ... C2009 C2009 )i 0,25đ 1 0 2 4 6 2006 2008 Thấy: S ( A B) , với A C2009 C2009 C2009 C2009 .... C2009 C2009 2 0 2 4 6 2006 2008 B C2009 C2009 C2009 C2009 ...C2009 C2009 0,25đ 2009 2 1004 1004 1004 1004 + Ta có: (1 i ) (1 i )[(1 i ) ] (1 i).2 2 2 i . Đồng nhất thức ta có A chớnh là phần thực của (1 i ) 2009 nờn A 21004 . + Ta có: (1 x) 2009 C2009 0 1 xC2009 x 2C2009 2 ... x 2009C2009 2009 0 2 2008 1 3 2009 Cho x=-1 ta có: C2009 C2009 ... C2009 C2009 C2009 ... C2009 0 Cho x=1 ta có: (C2009 2 C2009 2008 ... C2009 1 ) (C2009 3 C2009 2009 ... C2009 ) 2 2009 . 0,25đ 0,25đ Suy ra: B 22008 . + Từ đó ta có: S 21003 2 2007 . ĐỀ 3 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số y = . x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. 2. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx – m + 2 cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A,B và đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Câu II (2,0 điểm) cos 2 x. cos x 1 1. Giải phương trình 2 1 sin x . sin x cos x 2. Giải phương trình 7 x2 x x 5 3 2x x2 ( x ) 3 x3 Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân 3. dx . 0 x 1 x 3 Câu IV (1,0 điểm). Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên các cạnh AB, AC sao cho DMN ABC . Đặt AM = x, AN = y. Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y. Chứng minh rằng: x y 3 xy. x3 y 3 16 z 3 Câu V (1,0 điểm). Cho x, y, z 0 thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 x y z II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B). A. Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a (2,0 điểm) http://tranduythai.violet.vn 16 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai đường thẳng x 1 y 1 z 2 x2 y2 z d1 : , d2: 2 3 1 1 5 2 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2. Câu VII.a (1,0 điểm). Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n , biết rằng n N thỏa mãn phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3 B. Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG. x 3 y 2 z 1 2. Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Gọi M 2 1 1 là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng 42 . 1 Câu VII.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình log 1 y x log 4 y 1 ( x, y ) 4 x 2 y 2 25 ĐÁP ÁN ĐỀ 3 Câu Nội dung Điểm I HS tu lam 2,0 II 2.0 cos 2 x. cos x 1 1 Giải phương trình 2 1 sin x . 1.0 sin x cos x ĐK: sin x cos x 0 0.25 Khi đó PT 1 sin 2 x cos x 1 2 1 sin x sin x cos x 1 sin x 1 cos x sin x sin x.cos x 0 0.25 1 sin x 1 cos x 1 sin x 0 sin x 1 (thoả mãn điều kiện) 0.25 cos x 1 x k 2 2 k, m x m 2 0.25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x k 2 và x m 2 k, m 2 2 Giải phương trình: 7 x2 x x 5 3 2 x x 2 ( x ) 1.0 http://tranduythai.violet.vn 17 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com 3 2 x x 2 0 PT 2 2 0.25 7 x x x 5 3 2 x x 3 2 x x 2 0 0.25 x x 5 2( x 2) 3 x 1 2 x 0 x 0 0.25 x 1 x 16 0 2 x2 x 5 2. x x 1 0.25 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = - 1. 3 x3 1.0 III Tính tích phân 3. dx . 0 x 1 x 3 x 0 u 1 Đặt u = x 1 u 2 1 x 2udu dx ; đổi cận: 0.25 x 3 u 2 3 2 2 2 x 3 2u 3 8u 1 0.25 Ta có: 0 3 x 1 x 3dx 1 u 2 3u 2du 1 (2u 6)du 61 u 1du 2 2 0.25 u 2 6u 1 6ln u 1 1 3 0.25 3 6 ln 2 IV 1.0 D Dựng DH MN H Do DMN ABC DH ABC mà D. ABC là tứ diện đều nên H là tâm tam giác đều ABC . C B 0.25 N H M A 2 3 2 6 2 2 Trong tam giác vuông DHA: DH DA AH 1 3 3 0.25 1 3 Diện tích tam giác AMN là S AMN AM . AN .sin 600 xy 2 4 1 2 Thể tích tứ diện D. AMN là V S AMN .DH xy 0.25 3 12 http://tranduythai.violet.vn 18 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com 1 1 1 Ta có: S AMN S AMH S AMH xy.sin 600 x. AH .sin 300 y. AH .sin 300 2 2 2 0.25 x y 3 xy. V 1.0 3 Trước hết ta có: x3 y 3 x y (biến đổi tương đương) ... x y x y 0 2 0.25 4 3 3 x y 64 z 3 a z 64 z 3 3 Đặt x + y + z = a. Khi đó 4P 3 3 1 t 64t 3 a a 0.25 z (với t = , 0 t 1 ) a Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t 0;1 . Có 2 1 f '(t ) 3 64t 2 1 t , f '(t ) 0 t 0;1 0.25 9 Lập bảng biến thiên 64 16 Minf t GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0 0.25 t0;1 81 81 VI.a 2.0 1 1.0 Do B là giao của AB và BD nên toạ độ của B là nghiệm của hệ: 21 x x 2 y 1 0 5 21 13 0.25 B ; x 7 y 14 0 y 13 5 5 5 Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa AC và AB bằng góc giữa AB và BD, kí hiệu n AB (1; 2); nBD (1; 7); n AC (a; b) (với a2+ b2 > 0) lần lượt là VTPT của các đường thẳng AB, BD, AC. Khi đó ta có: cos n AB , nBD cos nAC , nAB 0.25 a b 3 a 2b a 2 b 2 7a 2 8ab b 2 0 2 a b 7 - Với a = - b. Chọn a = 1 b = - 1. Khi đó Phương trình AC: x – y – 1 = 0, x y 1 0 x 3 A = AB AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: A(3; 2) x 2 y 1 0 y 2 Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC BD nên toạ độ I là nghiệm của hệ: 7 x x y 1 0 2 7 5 0.25 I ; x 7 y 14 0 y 5 2 2 2 14 12 Do I là trung điểm của AC và BD nên toạ độ C 4;3 ; D ; 5 5 http://tranduythai.violet.vn 19 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com - Với b = - 7a (loại vì AC không cắt BD) 0.25 2 1.0 x 1 2t x 2 m Phương trình tham số của d 1 và d 2 là: d1 : y 1 3t ; d 2 : y 2 5m 0.25 z 2 t z 2m Giả sử d cắt d1 tại M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và cắt d2 tại N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m) 0.25 MN (3 + m - 2t ; - 3 + 5m - 3t ; - 2 - 2m - t). 3 m 2t 2k Do d (P) có VTPT nP (2; 1; 5) nên k : MN k n p 3 5m 3t k có nghiệm 0.25 2 2m t 5k m 1 Giải hệ tìm được t 1 x 1 2t 0.25 Khi đó điểm M(1; 4; 3) Phương trình d: y 4 t thoả mãn bài toán z 3 5t VII.a Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)n , biết rằng n N thỏa mãn phương trình 1.0 log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3 n N Điều kiện: n 3 0.25 Phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = 3 log4(n – 3)(n + 9) = 3 n 7 (thoả mãn) (n – 3)(n + 9) = 43 n2 + 6n – 91 = 0 n 13 (không thoả mãn) 0.25 Vậy n = 7. 2 3 Khi đó z = (1 + i)n = (1 + i)7 = 1 i . 1 i 1 i .(2i )3 (1 i).( 8i) 8 8i 0.25 Vậy phần thực của số phức z là 8. 0.25 VI.b 2.0 1 1.0 Giả sử B( xB ; yB ) d1 xB yB 5; C ( xC ; yC ) d 2 xC 2 yC 7 xB xC 2 6 0.25 Vì G là trọng tâm nên ta có hệ: y B yC 3 0 Từ các phương trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1) 0.25 Ta có BG (3; 4) VTPT nBG (4; 3) nên phương trình BG: 4x – 3y – 8 = 0 0.25 http://tranduythai.violet.vn 20 Biên soạn: Trần Duy Thái
- www.VNMATH.com 9 81 Bán kính R = d(C; BG) = phương trình đường tròn: (x – 5)2 +(y – 1)2 = 0.25 5 25 2 1.0 Ta có phương trình tham số của d là: x 3 2t x 3 2t y 2 t y 2 t toạ độ điểm M là nghiệm của hệ (tham số t) 0.25 z 1 t z 1 t x y z 2 0 M (1; 3;0) Lại có VTPT của(P) là nP (1;1;1) , VTCP của d là ud (2;1; 1) . Vì nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u ud , nP (2; 3;1) Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đó MN ( x 1; y 3; z ) . 0.25 Ta có MN vuông góc với u nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = 0 x y z 2 0 Lại có N (P) và MN = 42 ta có hệ: 2 x 3 y z 11 0 2 2 2 ( x 1) ( y 3) z 42 Giải hệ ta tìm được hai điểm N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5) 0.25 x5 y2 z5 Nếu N(5; -2; -5) ta có pt : 2 3 1 0.25 x3 y4 z5 Nếu N(-3; -4; 5) ta có pt : 2 3 1 VII.b 1 1.0 log 1 y x log 4 y 1 Giải hệ phương trình 4 ( x, y ) x 2 y 2 25 y x 0 Điều kiện: 0.25 y 0 1 yx yx 1 log 4 y x log 4 y 1 log 4 y 1 y 4 Hệ phương trình 0.25 x 2 y 2 25 x 2 y 2 25 2 2 x y 25 x 3y x 3y x 3y 2 2 2 2 2 25 0.25 x y 25 9 y y 25 y 10 15 5 x; y ; (không thỏa mãn đk) 10 10 15 5 0.25 x; y ; (không thỏa mãn đk) 10 10 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. http://tranduythai.violet.vn 21 Biên soạn: Trần Duy Thái
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
333 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010
13 p | 1162 | 451
-
Bộ đề thi thử đại học môn toán
155 p | 608 | 380
-
BỘ 60 ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2010-2011
2 p | 822 | 364
-
54 Đề Luyện Thi ĐH môn TOÁN 2010 - [Có Đáp án]
76 p | 510 | 345
-
Bộ đề luyện thi Đại học và Cao đẳng môn Toán – 2009
33 p | 624 | 300
-
12 chuyên đề luyện thi đại học môn Toán - Nguyễn Minh Hiếu THPT Phan Đình Phùng
78 p | 634 | 281
-
15 bộ đề Toán cấp tốc luyện thi Đại học_ThS.Đoàn Vương Nguyên
40 p | 170 | 76
-
Luyện thi Đại học Toán hình học
16 p | 247 | 73
-
Bộ đề thi luyện thi đại học môn toán
0 p | 158 | 52
-
Bộ Đề Toán Luyện thi Đại học Cấp tốc 2011 (có đáp án)
0 p | 179 | 27
-
Luyện thi đại học môn toán - phương pháp giới hạn vô định_01
10 p | 154 | 24
-
Tuyển tập 72 bộ đề và định hướng môn Toán (Luyện thi Đại học bồi dưỡng học sinh giỏi): Phần 1
270 p | 112 | 18
-
Đề thi thử đại học 2013 Môn Toán khối B Đề 3
4 p | 109 | 11
-
Tuyển tập 72 bộ đề và định hướng môn Toán (Luyện thi Đại học bồi dưỡng học sinh giỏi): Phần 2
0 p | 91 | 10
-
Thực hành luyện giải đề trước kỳ thi Đại học 3 miền Bắc - Trung - Nam Toán học: Phần 1
158 p | 65 | 9
-
Thực hành luyện giải đề trước kỳ thi Đại học - Tuyển chọn và giới thiệu đề thi Toán học: Phần 1
69 p | 119 | 9
-
30 bộ đề toán - hóa - sinh luyện thi Đại học khối b: phần 1
104 p | 171 | 9
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn