intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bộ môn Khoa học tự nhiên: Phương trình vi phân

Chia sẻ: Photocopy Xứ Lạng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST
Báo xấu
275
lượt xem 46
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Phương trình vi phân được biên soạn với các nội dung: Lý thuyết phương trình vi phân cấp 1, một số phương pháp giải phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp 1 chưa giải ra đối với đạo hàm, phương trình vi phân cấp cao, lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bộ môn Khoa học tự nhiên: Phương trình vi phân

  1. Phương trình vi phân MỤC LỤC Chương 1 ................................................................................................................ 4 LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ............................................... 4 §1. MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 4 1.1. Định nghĩa ................................................................................................. 4 1.2. Ý nghĩa cơ học và vật lý của phương trình vi phân..................................... 4 1.3. Cấp của phương trình vi phân .................................................................... 4 1.4. Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân cấp 1....................................... 5 §2. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I .................................................................................................. 6 2.1. Định nghĩa ................................................................................................. 6 2.2.Định lý ........................................................................................................ 6 §3. CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ............................ 6 3.1.Nghiệm tổng quát ....................................................................................... 6 3.2.Tích phân tổng quát .................................................................................... 7 3.3.Nghiệm riêng .............................................................................................. 7 3.4.Nghiệm kì dị ............................................................................................... 7 3.5. Phương pháp tìm nghiệm kì dị ................................................................... 8 Chương 2 ...............................................................................................................10 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ....................................................................................10 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.............................................................10 §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI BIẾN SỐ PHÂN LY...............................10 1.1.Dạng M ( x )dx  N ( y ) dy  0 ...........................................................10 1.2.Phương trình đưa về phương trình tách biến...............................................10 §2. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ..............................................................10 2.1.Định nghĩa .................................................................................................11 2.2. Phương trình đưa được về phương trình thuần nhất...................................11 §3. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ................................................................12 3.1.Định nghĩa .................................................................................................12 3.2.Cách giải....................................................................................................12 3.3.Hệ quả .......................................................................................................13 3.4.Phương trình đưa được về phương trình tuyến tính ....................................14 §4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CHỈNH - THỪA SỐ TÍCH PHÂN .....16 4.1.Cách đoán nhận phương trình là phương trình vi phân hoàn chỉnh .............16 4.2.Thừa số tích phân .......................................................................................18 Chương 3 ...............................................................................................................21 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ......................................................................21 CHƯA GIẢI RA ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM .................................................................21 §1. PHƯƠNG TRÌNH F ( x, y ')  0 HAY F ( y , y ')  0 ..................................21 1.1.Phương trình F ( x, y ')  0 . .............21 1.2.Phương trình F ( y , y ')  0 .................22 §2. PHƯƠNG TRÌNH F ( x, y , y ')  0 - PHƯƠNG TRÌNH LAGRĂNG-KLERÔ ...........................................................................................................................22 2.1.Phương trình F ( x, y , y ')  0 ......................................................................22 2.2.Phương trình Lagrăng ................................................................................23 Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 1
  2. Phương trình vi phân 2.3.Phương trình Klerô: Khi  ( y ')  y ' ...........................................................24 Chương 4 ...............................................................................................................24 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO ...............................................................24 §1. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM..........................................24 1.1.Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp cao ......................................24 1.2.Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ............................................................26 1.3. Phương trình cấp n ....................................................................................26 §2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH GIẢI ĐƯỢC BẰNG CẦU PHƯƠNG ....................27 ( n) 2.1.Dạng F ( x, y )  0 ....................................................................................27 ( n 1) ( n) 2.2.Dạng F ( y , y )  0 ..............................................................................28 ( n  2) 2.3. Dạng F ( y , y ( n ) )  0 ............................................................................29 §3. TÍCH PHÂN TRUNG GIAN - PHƯƠNG TRÌNH HẠ CẤP ĐƯỢC ............30 3.1. Tích phân trung gian .................................................................................30 3.2. Các trường hợp phương trình hạ cấp được nhờ tích phân trung gian .........30 3.3. Phương trình thuần nhất đối với hàm và đạo hàm .....................................31 3.4. Phương trình mà vế trái là đạo hàm đúng ..................................................32 Chương 5 ...............................................................................................................33 LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT ..................................................................................33 VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ...................................................33 §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT ..........................................33 1.1. Định nghĩa ................................................................................................33 1.2. Tính chất...................................................................................................33 1.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm ...................................................................33 §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT....................33 2.1. Tính chất của toán tử Ln ...........................................................................34 2.2. Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính .......................................................34 2.3. Định thức Wrônxki ...................................................................................34 2.4. Hệ nghiệm cơ bản .....................................................................................35 §3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT ....37 3.1. Tính chất:..................................................................................................37 3.2. Phương pháp biến thiên hằng số................................................................37 § 4. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CÓ HỆ SỐ HẰNG SỐ.................................39 4.1. Phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số. ....................................39 4.2. Phương trình tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng số. ..........................40 Chương 6 ...............................................................................................................44 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ...........................................................................44 § 1. KHÁI NIỆM, ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM .................44 1.1. Định nghĩa ................................................................................................44 1.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ...........................................................44 1.3. Các loại nghiệm của hệ chuẩn tắc .............................................................44 §2. ĐƯA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỀ PTVP CẤP CAO. ....................45 2.1. Một số ví dụ ..............................................................................................45 §3. PHƯƠNG PHÁP LẬP TỔ HỢP GIẢI TÍCH ...............................................46 § 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT ..............47 4.1. Định nghĩa ................................................................................................47 4.2. Toán tử vi phân tuyến tính ........................................................................48 Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 2
  3. Phương trình vi phân 4.3. Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính .......................................................48 4.4. Hệ nghiệm cơ bản .....................................................................................50 §5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT 50 5.1. Một số định lý về nghiệm của hệ phương trình. ........................................51 5.2. Phương pháp biến thiên hằng số................................................................52 §6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT ..............53 CÓ HỆ SỐ HẰNG SỐ ........................................................................................53 Phần 1: Phương trình vi phân cấp 1 ........................................................................57 Phần 2: Phương trình vi phân cấp cao.....................................................................60 Phần 3: Hệ phương trình vi phân ............................................................................63 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..............................................................................64 Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 3
  4. Phương trình vi phân Chương 1 LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 §1. MỞ ĐẦU Khi dùng toán học để nghiên cứu các bài toán tự nhiên, kỹ thuật không phải bao giờ cũng tìm hàm cần xác định thông qua các phương trình đại số hay phương trình siêu việt mà nhiều khi ta phải tìm hàm thông qua các mối liên hệ giữa biến số độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm hay vi phân của nó. Từ đó đòi hỏi toán học phải nghiên cứu một lớp phương trình mới được gọi là phương trình vi phân. 1.1. Định nghĩa: Phương trình mà trong đó chứa các biến số độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm ( hay vi phân ) của nó được gọi là một phương trình vi phân. dy Ví dụ:  5 x sin x  0 dx y ''' 5 yy ''  0 Ta phân biệt phương trình vi phân thường là phương trình mà trong đó hàm phải tìm chỉ phụ thuộc một biến số độc lập. Phương trình đạo hàm riêng là phương trình mà hàm phải tìm phụ thuộc ít nhất hai biến số:  2u u Ví dụ:   sin x.sin t u  u ( x, t ) x 2 t 1.2. Ý nghĩa cơ học và vật lý của phương trình vi phân Bài toán: Xét chuyển động rơi tự do trong chân không của một vật có khối lượng m. Hãy tìm quy luật chuyển động. Chọn hướng oy như hình vẽ. Theo cơ học nếu gọi quãng đường là y thì gia tốc của vật d2y là w  2 . Mặt khác ta biết rằng vật rơi tự do trong chân không dt có gia tốc không đổi là g  9,8(m / s 2 ) . Do cách chọn trục oy ta d2y có:  g . dt 2 gt 2  dy  Giải phương trình ta có: y    C1t  C2 . Trong đó: C1     v0 (vận tốc 2  dt t 0 ban đầu), C2  ( y )t 0  y0 (độ cao ban đầu). Qua ví dụ trên ta thấy: - Nghiệm của phương trình vi phân chứa các hằng số tuỳ ý (số lượng tuỳ theo cấp của phương trình). - Muốn xác định các hằng số thì ta phải biết được các điều kiện ban đầu của phương trình. 1.3. Cấp của phương trình vi phân dy Phương trình F ( x, y , )  0 có chứa đạo hàm cấp 1 là phương trình vi phân cấp 1 dx (phương trình nhất thiết phải chứa đạo hàm cấp 1). Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 4
  5. Phương trình vi phân 2 dy d y Phương trình F ( x, y , , ) có chứa đạo hàm cấp 2 là phương trình vi dx dx 2 phân cấp 2 ( Nhất thiết phải chứa đạo hàm cấp 2). Một cách tổng quát: Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. dy dny Chẳng hạn F ( x, y , ,..., n )  0 là phương trình vi phân cấp n, ở đây nhất dx dx n d y thiết phải có mặt . dx n Đối với phương trình vi phân cấp n thông thường ta tìm nghiệm dưới dạng y   ( x, C1 , C2 ,..., Cn ) chứa n hằng số tuỳ ý được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình. Nếu cho C1 , C2 ,..., Cn những giá trị cụ thể ta sẽ được nghiệm riêng của phương trình. 1.4. Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân cấp 1 Xét phương trình: dy  f ( x, y ) (1.4) dx Với giả thiết hàm f ( x, y ) xác định và liên tục trong miền G  R 2 . Nếu y   ( x ) là nghiệm của (1.4) thì đường cong có phương trình y   ( x ) gọi là đường cong tích phân của phương trình vi phân (1.4) . Ta xét xem đường cong tích phân đó có tính chất gì ?. Trên mặt phẳng R 2 qua mỗi điểm M ( x, y )  G vẽ một đoạn thẳng làm với trục ox một góc  sao cho tg  f ( x, y ) . Khi đó tập hợp mọi điểm của G mà tại mỗi điểm có xác định đoạn thẳng như trên được gọi là một HƯỚNG TRƯỜNG. Khi đó trong G đường cong tích phân có tính chất là nó phải tiếp xúc với HƯỚNG TRƯỜNG tại mọi điểm của nó. Như vậy: Ý nghĩa hình học của việc lấy tích phân phương trình (1.4) là hãy vẽ đường cong y   ( x ) sao cho hướng của tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với hướng của hướng trường tại điểm ấy. Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 5
  6. Phương trình vi phân §2. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I dy Xét phương trình  f ( x, y) (2.1) dx Khi đó bài toán tìm nghiệm y  y ( x ) của (2.1) sao cho khi x  x0 thì y  y0 được gọi là bài toán Côsi, ở đây ( x0 , y0 ) là các giá trị tuỳ ý cho trước được gọi là giá trị ban đầu (điều kiện đầu). Một vấn đề đặt ra là ta hãy xét xem với điều kiện nào thì: 1. Bài toán Côsi của phương trình có nghiệm. 2. Nghiệm của bài toán là duy nhất. Giải quyết các vấn đề nêu trên là nội dung của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. 2.1. Định nghĩa: Ta nói hàm f ( x, y ) thoả mãn trong miền G  R 2 điều kiện Lipsit đối với y nếu  N  0 sao cho với bất kỳ x, y, y mà ( x, y )  G,( x, y )  G thì f ( x, y )  f ( x, y )  N y  y (2.2) . Chú ý: Bất đẳng thức (2.2) sẽ thoả mãn nếu f ( x, y ),  f y' ( x , y ) giới nội trong G tức là f y' ( x, y)  N  ( x, y)  G . Vì theo Lagrăng f ( x, y )  f ( x, y)  f y' ( x, y  t ( y  y ) y  y  N y  y Nhưng điều ngược lại không đúng vì có thể (2.2) thoả mãn nhưng f y' ( x, y ) không tồn tại. Ví dụ: f ( x, y )  y y  y  y  y nhưng f y' không tồn tại tại y  0 2.2.Định lý: Xét phương trình (2.1) với giá trị ban đầu ( x0 , y0 ) . Giả sử 1. f ( x, y ) là hàm liên tục hai biến trong miền kín giới nội G  x0  a  x  x0  a  a, b  0 y  0  b  y  y0  b (vì f liên tục trong G kín, giới nội nên  M để f ( x, y )  M ( x, y )  G ) 2. f ( x, y ) thoả mãn trong G điều kiện lipsit đối với y . Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm y   ( x ) của phương trình (2.1) xác định và liên tục đối với các giá trị của x thuộc đoạn x0  h  x  x0  h trong đó b h  min( a, ) sao cho khi x  x0 thì  ( x0 )  y0 . M §3. CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN dy Xét phương trình  f ( x, y ) (3.1) dx 3.1.Nghiệm tổng quát Giả sử G  R 2 là miền mà tại mọi điểm của nó có một và chỉ một đường cong tích phân của phương trình (3.1) đi qua. Khi đó hàm y   ( x, c) (3.2) xác định và có đạo hàm liên tục theo x được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (3.1) trong G nếu: Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 6
  7. Phương trình vi phân a) M ( x, y )  G từ y   ( x, c ) có thể giải ra được c   ( x, y ) . b) y   ( x , c ) là nghiệm của phương trình (3.1) với c thuộc miền đang xét khi M ( x, y ) chạy khắp G . 3.2.Tích phân tổng quát Hệ thức:  ( x, y , c )  0 hay  ( x , y )  c gọi là tích phân tổng quát của (3.1) trong G nếu nó xác định nghiệm tổng quát y   ( x , c ) của phương trình trong miền đó. 3.3.Nghiệm riêng Nghiệm y  y ( x ) được gọi là nghiệm riêng của phương trình (3.1) nếu tại mỗi điểm của nó điều kiện duy nhất nghiệm của bài toán Côsi được thoả mãn. Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng số c xác định luôn luôn là nghiệm riêng. 3.4.Nghiệm kì dị Nghiệm y  y ( x ) được gọi là nghiệm kì dị của phương trình (3.1) nếu tại mọi điểm của nó tính chất duy nhất nghiệm của bài toán Côsi bị phá vỡ. Ví dụ: Xét phương trình y '  2 y ( y  0) dy   dx ( y  0) 2 y  y  xc ( x  c)  y  ( x  c) 2 ( x  c) Ta xét các loại nghiệm của phương trình trên. a) Ta chứng minh rằng y  ( x  c)2 với x  c là nghiệm tổng quát của phương trình đã cho trong miền G :   x   0  y   . Vậy ta cần chứng minh. +) Trong G điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Côsi được thoả mãn cho M ( x0 , y0 ) bất kì thuộc G . Ta có thể lập được lân cận kín f 1 x  x0  a, y  y0  b G . Và trong lân cận đó  giới nội y y  điều kiện Lipsit được thoả mãn. +) Từ y  ( x  c ) 2  c  y  x +) Hệ thức y  ( x  c )2 với x  c thoả mãn phương trình. Do đó y  ( x  c ) 2 với x  c là nghiệm tổng quát của phương trình đã cho trong miền G . b) Dễ thấy y  x  c là tích phân tổng quát của phương trình. c) Nghiện riêng: Từ y  ( x  c )2 với c  0  y  x 2 với x  0 là nghiệm riêng. d) Nghiệm kì dị: Xét y  0 dễ thấy y  0 là nghiệm của phương trình nhưng tại mỗi điểm của nó còn có một nghiệm riêng dẫn đến được xác Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 7
  8. Phương trình vi phân định từ nghiệm tổng quát nên y  0 là nghiệm kì dị. Chú ý: +) Nghiệm kì dị không thể nằm trong miền tồn tại G của nghiệm tổng quát được. +) Đoạn x ' MN cũng là nghiệm nhận được bằng cách dán nghiệm riêng và nghiệm kì dị, đây không phải là nghiệm riêng và không phải là nghiệm kì dị. 3.5. Phương pháp tìm nghiệm kì dị a) Phương trình: y '  f ( x, y ) Nghiệm kì dị chỉ có thể xuất hiện tại những nơi mà điều kiện Lipsit không f được thoả mãn. Do đó nghiệm kì dị có thể xuất hiện tại những nơi mà không y giới nội. Từ đó ta có thể rút ra quy tắc tìm nghiệm kì dị: f +) Tìm những đường cong mà dọc theo nó không giới nội. Giả sử gọi đường y cong đó là y   * ( x ) . +) Thử xem đường cong đó có phải là nghiệm của phương trình vi phân không. +) Nếu có phải thì thử xem tại mỗi điểm của đường cong tính chất duy nhất nghiệm có bị phá vỡ hay không. Nếu tính duy nhất bị phá vỡ thì y   * ( x) là nghiệm kì dị. 2 f 2 21 f 3 Ví dụ: y '  y . Ta có  y   khi y  0 . y 3 y Ta thấy: +) y  0 là nghiệm. +) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trên là 27 y  ( x  c) 3 đây là họ đường Parabol bậc 3, ta thấy tại mọi điểm của y  0 tính chất duy nhất nghiệm bị phá vỡ do đó y  0 là nghiệm kì dị. b) Phương trình F ( x, y , y ')  0 (3.2) . Giả sử phương trình (3.2) xác định một số các giá trị thực y ' (hay vô hạn) y '  fi ( x, y) (i  1, 2,...) (3.3) giả sử fi ( x, y ) liên tục và có đạo hàm riêng theo y khi đó lý luận như trên ta có thể tìm được nghiệm kì dị của phương trình (3.2) . Tuy nhiên trong thực hành để tìm nghiệm kì dị của phương trình (3.2) ta có f thể tính trực tiếp i như sau: y f y ' F F y ' Ta có: i  vi phân phương trình (3.2) theo y ta được  0 y y y y ' y F  y ' y F F y '   ( gt  0) . Ta thấy rằng 0 không giới nội. y F y ' y ' y y ' Từ đó ta đi đến quy tắc tìm nghiệm kì dị của phương trình (3.2) như sau:  F ( x, y, y ')  0  * Từ hệ  F khử y ' ta được hệ thức R( x, y )  0 (3.4)  y '  0  Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 8
  9. Phương trình vi phân Hệ thức (3.4) gọi là y ' biệt tuyến (hay p biệt tuyến) của phương trình (3.2) . * Thử xem p biệt tuyến có phải là nghiệm của phương trình (3.2) hay không. * Nếu phải thì xem tính chất duy nhất có bị phá vỡ hay không. Nếu có thì p-biệt tuyến là nghiệm kì dị. Ví dụ: Tìm nghiệm kì dị của phương trình F ( x, y , y ')  y '2  y 2  1  0 . F  y '2  y 2  1  0 Ta có  2 y '  0 khử y ' từ hệ   y  1 . y '  2 y '  0 Thay y  1 vào phương trình ta thấy nó là nghiệm. Từ y '   1  y 2 ta có nghiệm arcsin y   x  c  y  sin( x  c) hay y  sin( x  c) (vì sin(  x  c )  sin( x    c ) ). Ta thấy trên y  1 tính chất duy nhất nghiệm bị phá vỡ  y  1 là nghiệm kì dị. c) Tìm nghiệm kì dị từ nghiệm tổng quát: Giả sử tích phân tổng quát có dạng  ( x, y , c )  0 ta tìm bao hình của họ nghiệm tổng quát. Muốn vậy trước hết ta tìm c -biệt tuyến từ hệ   ( x, y , c )  0   ( x, y, c)  0 c Ta chứng minh rằng nếu c -biệt tuyến là bao hình của họ nghiệm tổng quát thì nó là nghiệm kì dị của phương trình. Thật vậy Bao hình là nghiệm: Tại mỗi điểm của bao hình luôn có một đường cong tích phân tiếp xúc suy ra bao hình là nghiệm. Bao hình là nghiệm kì dị: Hiển nhiên. Quy tắc tìm nghiệm kì dị: + Tìm c -biệt tuyến của họ đường cong  ( x, y , c )  0   ( x, y , c)  0   ( x, y, c)  R ( x, y )  0   0 c + Thử xem c -biệt tuyến có phải là bao hình không. Nếu phải thì R( x, y )  0 là nghiệm kì dị. Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 9
  10. Phương trình vi phân Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI BIẾN SỐ PHÂN LY 1.1.Dạng M ( x )dx  N ( y ) dy  0 (1.1) (1.1) gọi là phương trình vi phân với biến số phân ly (phương trình tách biến) giả sử M ( x ), N ( y ) liên tục trong miền nào đó của R 2 , khi đó tích phân tổng quát của (1.1) có dạng  M ( x)dx   N ( y)dy  C . Tổng quát hơn ta xét phương trình M ( x ) N ( y ) dx  P ( x )Q( y )dy  0 (1.2) Trong đó M , N , P, Q là các hàm liên tục theo đối số của chúng trong miền đang xét. M ( x) Q ( y) Giả sử N ( y ) P( x )  0 khi đó từ (1.2)  dx  dy  0 do đó tích phân P ( x) N ( y) M ( x) Q( y ) tổng quát có dạng  dx   dy  C . Ngoài ra ta phải xét trường hợp P ( x) N ( y) N ( y ) P ( x)  0 . Những trường hợp y  y0 làm cho N ( y )  0 cũng là nghiệm của phương trình (1.2) . Nếu muốn tìm cả nghiệm dưới dạng x  x ( y ) thì những giá trị x  x0 làm cho P ( x)  0 cũng là nghiệm của phương trình. Ví dụ: Xét phương trình x( y 2  1)dx  y ( x 2  1) dy  0 . x y Giả sử ( y 2  1)( x 2  1)  0  2 dx  2 dy  0 x 1 y 1  ln x 2  1  ln y 2  1  ln C1 (C1  0)  ( x 2  1)( y 2  1)  C1 hay ( x 2  1)( y 2  1)  C Ngoài ra còn có các nghiệm y  1, x  1 . 1.2.Phương trình đưa về phương trình tách biến dy Xét phương trình dạng  f ( ax  by  c ) . dx dz a dy dx dz Đặt z  ax  by  c   hay  a  bf ( z ) đây là phương trình tách dx b dx biến. dy dz dy dy dz Ví dụ:  x y5 Đặt z  x  y  5   1  y'   1 dx dx dx dx dx dz   dx  ln 1  z   x  C1 do đó 1  z  e  x eC1  1  z  Ce  x . 1 z Vậy z  1  Ce  x hay y  Ce  x  x  4 là nghiệm của phương trình. §2. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 10
  11. Phương trình vi phân 2.1.Định nghĩa: Hàm số f ( x, y ) gọi là hàm thuần nhất bậc n nếu f (tx, ty )  t n f ( x, y ) . dy Xét phương trình :  f ( x, y ) (2.1) dx với f ( x, y ) liên tục và là hàm thuần nhất bậc không. 1 y y dy y Đặt t   f ( x , y )  f (1, )   ( ) ta có:  ( ) (2.2) x x x dx x y dy dz Đặt z    zx thế vào phương trình (2.2) ta có x dx dx dz dz zx   ( z ) hay  ( z )  z  x . dx dx dz dx Đây là phương trình tách biến  với giả thiết  ( z )  z  0  ( z)  z x dz dz 1 x x   ( z ) z y   ( z)  z  ln x  ln C1  ln C1  C1  e  e ( z ) hay x  Ce ( z ) thay z  x y ( ) vào ta được x  Ce x (2.3) Đây là nghiệm tổng quát của (2.1) . dy 2 xy Ví dụ:  2 dx x  y 2 dz 2z z3  z dx (1  z 2 ) Đặt y  zx  x   z  hay  dz dx 1  z 2 1 z2 x z ( z 2  1) dx (1  z 2 ) dx dz 2 zdz   2 dz        ln C1 x z (1  z ) x z 1 z2 2 x (1  z 2 ) x (1  z 2 ) y hay ln x  ln z  ln 1  z  ln C1   C1 hay  C thay z  z z x 2 2 2 2  2C  C vào  y  x  Cy  0 hay x   y      .  2 2 Chú ý: - Khi giải phương trình vi phân thuần nhất ta không nhất thiết phải đưa về y dạng  ( ) mà đặt luôn y  zx sau đó biến đổi. x - Nếu  ( z )  z  0 với z  z0 thì ngoài nghiệm tổng quát còn nghiệm z  z0 hay y  z0 x cũng là nghiệm. Trong ví dụ trên đường thẳng y  0 cũng là nghiệm của phương trình. 2.2. Phương trình đưa được về phương trình thuần nhất dy  a x  b1 y  c1  Xét phương trình dạng  f 1 . dx  a2 x  b2 y  c2  Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 11
  12. Phương trình vi phân a1 b1 x    h * Giả sử    0 dùng phép đổi biến  ( h, k  const ) , khi đó a2 b2 y   k d  a   b1  a1h  b1k  c1  phương trình có dạng  f 1  . Nếu chọn h, k thoả mãn d a  2  b 2  a 2 h  b2 k  c2   a1h  b1k  c1  0 d  a   b1   thì ta được phương trình thuần nhất  f 1   a2 h  b2 k  c2  0 d  a2  b2  a1 b1 a b * Nếu   0  1  1  a2 b2 a2 b2 dy  a x  b1 y  c1    (a2 x  b2 y )  c1  do đó  f 1  f   dx  a2 x  b2 y  c2   a2 x  b2 y  c2  dz Đặt z  a2 x  b2 y và lập phương trình theo z ta có   ( z ) đây là phương dx trình tách biến. dy x  y  3 1 1 x    h Ví dụ:  ta có    2  0 đổi biến  chọn h, k thoả dx x  y  1 1 1 y   k h  k  3  0 h  2 d    mãn   Ta được phương trình thuần nhất  Đặt h  k  1  0 k  1 d    du 1  u 2   u    phương trình tách biến. d 1  u 1 arctgu  ln 1  u 2   ln   ln C1  C 1  u 2  earctgu 2 y 1 arctg 2 2 x2 trở về biến cũ ta được C ( x  2)  ( y  1)  e . §3. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1.Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính là phương trình vi phân tuyến tính đối với hàm và đạo hàm của nó. dy Dạng tổng quát: A( x )  B( x ) y  C ( x ) (3.1) dx Trong đó A( x ), B ( x ), C ( x ) là các hàm liên tục trong khoảng nào đó. Nếu trong khoảng đang xét A( x )  0 x thì phương trình được đưa về dạng. dy  P( x ) y  Q ( x ) (3.2) dx dy Xét phương trình  P ( x ) y  0 phương trình này được gọi là phương trình dx tuyến tính thuần nhất ứng với phương trình đã cho. 3.2.Cách giải: Phương pháp biến thiên hằng số. Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 12
  13. Phương trình vi phân dy a) Bước 1: Xét phương trình  P ( x) y  0 (3.3) dx dy Giả sử y  0 khi đó phương trình (3.3) đưa về dạng   P( x)dx y do đó ln y    P ( x)dx  ln C1 (C1  0)  y  C1 e  hay y  Ce   P ( x ) dx  P ( x ) dx (3.4) Mặt khác y  0 cũng là nghiệm nhưng có thể gộp vào (3.4) ứng với trường hợp C  0. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (3.3) là y  Ce   P ( x ) dx trong đó C là hằng số tuỳ ý. b) Bước 2: Ta thử tìm nghiệm của (3.2) dưới dạng (3.4) trong đó coi C  C ( x ) khi dy dC   P ( x ) dx  p ( x )Ce   P ( x ) dx đó  e thay hệ thức này vào phương trình (3.2) ta có dx dx dC   P ( x ) dx  P( x )Ce   P( x )Ce   P ( x ) dx  P ( x ) dx e  Q ( x) dx dC  Q ( x)e  hay C  C ( x)   Q( x)e  P ( x ) dx P ( x ) dx do đó  C1 . Trong đó C1 là hằng số dx tuỳ ý. Vậy y  Ce  e  Q ( x )e   P ( x ) dx  P ( x ) dx P ( x ) dx  (3.5) Chú ý: 1. Vế phải của (3.5) ta thấy số hạng đầu là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, số hạng thứ hai là nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất nhận được khi C  0 . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất được lập nên bởi tổng của nghiệm tổng quát của phương tình vi phân tuyến tính thuần nhất với một nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. 2. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất tìm được bằng hai lần lấy tích phân (mà ta thường nói là bằng hai lần cầu phương). 3. Nghiệm của phương trình (3.2) có dạng tuyến tính đối với hằng số C y  C ( x )   ( x ) dy y Ví dụ:   x 2 xét trong khoảng ( ,0)  (0,  ) dx x Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát y  Cx với C là hằng số tuỳ ý. Xem dC 1 x3 C  C ( x)   x hay C  x 2  C1 . Vậy y   Cx . dx 2 2 3.3.Hệ quả a) Nếu biết được một nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất thì việc giải phương trình sẽ quy về việc giải phương trình thuần nhất. Thật vậy: đặt y  Y ( x )  z trong đó Y ( x ) là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Còn z là hàm phải tìm, lập phương trình vi phân đối với z dz ta có  P ( x) z  0 . dx Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 13
  14. Phương trình vi phân Như vậy nếu biết được một nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất thì nghiệm tổng quát tìm được bằng một phép cầu phương. b) Nếu biết được một nghiệm riêng không tầm thường (khác không) của phương trình thuần nhất thì nghiệm tổng quát của phương trình đó có thể tìm mà không cần cầu phương bằng cách nhân nghiệm riêng đã biết với một hằng số tuỳ ý. dy Thật vậy xét phương trình sau:  P ( x ) y  0 . Giả sử y   ( x )  0 là dx nghiệm riêng đã biết. Nghiệm tổng quát của phương trình đang xét có dạng y  Ce   P ( x ) dx Nghiệm này chứa mọi nghiệm riêng, giả sử ứng với C0 ta có y C C  ( x)  C0 e   P ( x ) dx do đó  ký hiệu  C1 ta được y  C1 ( x) .  ( x) C0 C0 c) Nếu biết được hai nghiệm riêng khác nhau của phương trình không thuần nhất thì có thể tìm được nghiệm tổng quát của nó mà không cần cầu phương. Thật vậy: Giả sử y1 ( x), y2 ( x ) là hai nghiệm khác nhau của phương trình không thuần nhất thì ta có thể dễ dàng chứng minh được y1 ( x )  y2 ( x ) là nghiệm không tầm thường của phương trình thuần nhất. Suy ra nghiệm tổng quát y  C ( y1 ( x )  y2 ( x ))  y1 ( x ) . 3.4.Phương trình đưa được về phương trình tuyến tính dy a) Xét phương trình f '( y )  P ( x) f ( y )  Q ( x ) dx dz Bằng phép thế z  f ( y ) đưa về  P( x) z  Q ( x) . dx dy 1 dz Ví dụ: y  xy 2  x 2   xz  x 2 ( z  y 2 ) . dx 2 dx b) Phương trình Becnuli dy Dạng phương trình  P ( x ) y  Q ( x ) y  R (3.6) dx Nếu   0 ta được phương trình tuyến tính. Nếu   1 ta được phương trình tuyến tính thuần nhất. Giả thiết   0,  1 Chia hai vế của phương trình cho y ( y  0) ta được 1 dy 1   P( x)  1  Q( x) (3.7) y dx y dy dz Đổi biến z  y1 ta có (1   ) y   và do đó dx dx 1 dz  P ( x) z  Q( x) 1   dx dz hay  (1   ) P( x ) z  (1   )Q ( x ) đây là phương trình tuyến tính không thuần dx nhất. Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 14
  15. Phương trình vi phân Chú ý: Trường hợp   0 thì y  0 cũng là nghiệm. Ta có thể chứng minh rằng với   1 thì y  0 là nghiệm riêng 0    1 thì y  0 là nghiệm kì dị của phương trình. dy y dy y Ví dụ: 4  x y  4  x ( y  0) . Đặt z  y do đó y  z 2 và dx x ydx x dy dz dz 2 z x  2z Thay vào ta có   giải phương trình ta được nghiệm dx dx dx x 2 2 41  y  x  ln x  C  ngoài ra y  0 là nghiệm kì dị. 2  Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 15
  16. Phương trình vi phân §4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CHỈNH - THỪA SỐ TÍCH PHÂN Xét phương trình M ( x , y ) dx  N ( x, y )dy  0 (4.1) Nếu vế trái của (4.1) là vi phân toàn phần của một hàm u ( x, y ) nào đó. tức là M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  du ( x, y ) (4.2) thì ta nói (4.1) là phương trình vi phân hoàn chỉnh, khi đó tích phân tổng quát của phương trình là u ( x, y )  C . Ví dụ: xdx  ydy  0 1    Ta có xdx  ydy  d  x 2  y 2  vì vậy tích phân tổng quát là x 2  y 2  C . 2  4.1.Cách đoán nhận phương trình là phương trình vi phân hoàn chỉnh Định lý: Điều kiện cần và đủ để biểu thức vi phân M ( x, y )dx  N ( x, y )dy (4.3) Trong đó M , N xác định, liên tục và không đồng thời triệt tiêu tại bất cứ điểm nào M trong một miền đơn liên G  R 2 và có trong miền ấy các đạo hàm liên tục và y N M N , là một vi phân toàn phần của hàm u ( x, y ) là đẳng thức  phải thoả x y x mãn ( x, y )  G (4.4) Điều kiện cần: Giả sử (4.3) là vi phân toàn phần tức là  u ( x, y ) sao cho u u du  Mdx  Ndy  dx  dy ( x, y )  G x y u u M  2u N  2u  M ( x, y )  ; N ( x, y )    ;  x y y xy x yx  2 u  2u M N do giả thiết ; tồn tại và liên tục nên chúng bằng nhau   xy yx y x M N Điều kiện đủ: Giả sử  ( x, y )  G ta cần chứng minh phương trình y x là phương trình vi phân hoàn chỉnh tức là  u ( x, y ) để u u M ( x, y )  ; N ( x, y )  (4.5) x y điều này tương đương chứng minh (4.5) có nghiệm. u Xét phương trình  M ( x, y ) nghiệm của nó viết dưới dạng x x u( x, y )   M ( x, y )dx   ( y ) (4.6) x0 Trong đó  ( y ) là một hàm tuỳ ý theo y (tích phân này có nghĩa vì G đơn liên). Ta u sẽ chọn hàm  ( y ) để đẳng thức N  cũng được thoả mãn. y Giả sử  ( y ) là hàm khả vi. Lấy đạo hàm (4.6) theo y ta có: Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 16
  17. Phương trình vi phân x x u   M   M ( x, y )dx   dx   '( y )  N ( x, y ) y y x0 y x0 y x M   '( y )  N ( x, y)   dx (4.7) x0 y Vì x M N N    '( y)  N ( x, y )   dx y x x0 x  N ( x , y )  N ( x, y )  N ( x0 , y )  N ( x0 , y ) Vậy y  ( y )   N ( x0 , y )dy  C1 (4.8) y0 Trong đó ( x0 , y0 )  G x y  u ( x, y )   M ( x, y) dx   N ( x0 , y) dy  C1 (4.9) x0 y0 Tức là tồn tại hàm u ( x, y ) thoả mãn (4.5) . Chú ý: 1, Từ (4.9) ta có tích phân tổng quát của phương trình (4.2) là: x y  M ( x, y)dx   N ( x0 , y )dy  C x0 y0 (4.10) 2, Nếu khi tìm hàm u ( x, y ) mà không xuất phát từ phương trình (4.5) thì ta sẽ được tích phân tổng quát dạng: x y  M ( x, y )dx   N ( x, y )dy  C x0 0 y0 (4.11) Ví dụ: (7 x  3 y )dx  (3 x  5 y ) dy  0 Ta có M M  7x  3y  3 y N N  3x  5 y  3 x  Đây là phương trình vi phân hoàn chỉnh. Ta xác định hàm u Ta có u  7x  3y (*) x u  3x  5 y (**) y từ (*)  u ( x, y )   (7 x  3 y) dx   ( y) u 5   3x   '( y)  3x  5 y vậy  ( y )   y 2  C y 2 Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 17
  18. Phương trình vi phân 7 2 5 Cuối cùng u ( x, y ) x  3 xy  y 2  C . 2 2 Phương trình có tích phân tổng quát là: 7 x 2  6 xy  5 y 2  C . 4.2.Thừa số tích phân Xét phương trình M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 Giả sử phương trình không phải là phương trình vi phân hoàn chỉnh nhưng nếu tồn tại hàm  ( x , y ) sao cho  ( x, y ) M ( x, y )dx   ( x, y ) N ( x, y )dy  0 (4.12) là phương trình vi phân hoàn chỉnh thì hàm  ( x , y ) gọi là thừa số tích phân của phương trình. Như vậy sẽ nảy ra hai vấn đề: - Có tồn tại thừa số tích phân hay không? - Nếu tồn tại thì cách tìm hàm  ( x , y ) như thế nào? Ta có khẳng định sau: A. Mọi phương trình vi phân cấp 1 thoả mãn điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm luôn luôn tồn tại vô số thừa số tích phân.  Xét phương trình M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 (4.13) Từ định lý tồn tại và duy nhất nghiệm suy ra phương trình thừa nhận tích phân tổng quát u ( x, y )  C . Lấy vi phân hai vế ta được u u u dy dx  dy  0 hay   x (4.14) x y dx u y Mặt khác từ (4.13) dy M ( x, y )   (4.15) dx N ( x, y ) Do đó từ (4.14) (4.15) u u u M ( x, y ) x  y   ( x, y ) (4.16)  x  hay u N ( x, y ) M ( x, y ) N ( x, y ) y Ta chứng minh  ( x , y ) là thừa số tích phân của phương trình (4.13) từ u u (4.16) ta suy ra   ( x, y ) M ( x, y );   ( x, y ) N ( x , y ) x y u u hay  ( x, y ) M ( x, y) dx   ( x, y ) N ( x, y )dy  dx  dy  du x y Vậy  ( x , y ) là thừa số tích phân. Ta chứng minh rằng phương trình có vô số thừa số tích phân. Ta sẽ chứng minh rằng 1   (u )  ( x, y ) cũng là thừa số tích phân. Trong đó  (u ) là hàm khả vi tuỳ ý. Thực vậy: từ  Mdx   Ndy  du Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 18
  19. Phương trình vi phân    (u ) Mdx    (u ) Ndy  (u )du  d  (u )du . Đây là phương rình vi phân hoàn chỉnh hay 1 ( x, y )   (u )  ( x, y ) là thừa số tích phân. Vì  (u ) là tuỳ ý suy ra phương trình có vô số thừa số tích phân. Hệ quả 1: Mọi thừa số tích phân của phương trình đều có dạng 1    (u ) . Giả sử 1 , 2 đều là thừa số tích phân của phương trình  u u  1 Mdx   1 Ndy  du  dx  dy  0  x y  (4.17)   Mdx   Ndy  dv  v dx  v dy  0 2 2  x y Do đó u u u u x  y hay x y  0. v v v v x y x y v Vì  0 Nên giữa u và v có sự phụ thuộc, do đó v   (u ) . Từ (4.17) suy ra y  2 Mdx   2 Ndy  dv   '(u ) du   '(u )  1Mdx  1 Ndy   2   '(u ) 1   (u ) 1 Hệ quả 2: Nếu biết được hai thừa số tích phân khác nhau của phương trình là  ( x, y ) 1 , 2 thì tích phân tổng quát của phương trình là 1  C . Theo chứng minh  2 ( x, y ) trên ta có 1  1 (u )    (u )  1  1   (u )  C 2   2 (u )  2  2 (u ) B.Cách tìm thừa số tích phân: Nói chung không có phương pháp tìm thừa số tích phân mà ta chỉ có thể tìm được trong một số trường hợp đặc biệt: Gọi  ( x , y ) là thừa số tích phân của phương trình khi đó ta có:      M N  (  M )  (  N ) hay N M    . y x x y  y x  M N  ln   ln    N M (4.18) y x x y  a) Thừa số tích phân chỉ phụ thuộc x    ( x) . Khi đó  0. y M N M N    ln  y x y x Từ (4.18)   hay ln  ( x)   dx  C (4.19) x N N M N  y x Chú ý:    ( x)  chỉ là hàm của x . N Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 19
  20. Phương trình vi phân b) Thừa số tích phân chỉ phụ thuộc y :    ( y ) . M N M N    ln  y x y x Tương tự   hay ln  ( y )    dy  C (4.20) y M M M N  y x Chú ý:    ( y )  chỉ là hàm của y . M     Ví dụ: x 2  y dx  x 2 y 2  x dy  0 M  x2  y M N 2 2    1  2 xy 2  1  2  xy 2  1 N x y x y x M N  y x 2  xy 2  1 2 2  dx 1 Vì        ( x )  e x  2. N x  xy  1 2 x x 1 Nhân hai vế của phương trình với ta có: x2  y  2 1 2 xdy  ydx 1  2  dx   y   dy  0 hay dx  y dy  0  x   x x2  1 y 1 y d  x  y3    0  x  y3   C .  3 x 3 x Bộ môn Khoa học Tự nhiên Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2