Bộ môn Khoa học tự nhiên: Phương trình vi phân

Phương trình vi phân

MỤC LỤC

 M x dx N y dy

( )

( )



0

0

')

( ,

0

Chương 1 ................................................................................................................ 4 LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ............................................... 4 §1. MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 4 1.1. Định nghĩa ................................................................................................. 4 1.2. Ý nghĩa cơ học và vật lý của phương trình vi phân ..................................... 4 1.3. Cấp của phương trình vi phân .................................................................... 4 1.4. Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân cấp 1....................................... 5 §2. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I .................................................................................................. 6 2.1. Định nghĩa ................................................................................................. 6 2.2.Định lý ........................................................................................................ 6 §3. CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ............................ 6 3.1.Nghiệm tổng quát ....................................................................................... 6 3.2.Tích phân tổng quát .................................................................................... 7 3.3.Nghiệm riêng .............................................................................................. 7 3.4.Nghiệm kì dị ............................................................................................... 7 3.5. Phương pháp tìm nghiệm kì dị ................................................................... 8 Chương 2 ...............................................................................................................10 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ....................................................................................10 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.............................................................10 §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI BIẾN SỐ PHÂN LY ...............................10

F x y  HAY ( ,

( , ') 0

( ,

0

§1. PHƯƠNG TRÌNH

') ( ,

0

')

,

( ,

0

')

,

1.1.Dạng ...........................................................10 1.2.Phương trình đưa về phương trình tách biến...............................................10 §2. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ..............................................................10 2.1.Định nghĩa .................................................................................................11 2.2. Phương trình đưa được về phương trình thuần nhất ...................................11 §3. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ................................................................12 3.1.Định nghĩa .................................................................................................12 3.2.Cách giải ....................................................................................................12 3.3.Hệ quả .......................................................................................................13 3.4.Phương trình đưa được về phương trình tuyến tính ....................................14 §4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CHỈNH - THỪA SỐ TÍCH PHÂN .....16 4.1.Cách đoán nhận phương trình là phương trình vi phân hoàn chỉnh .............16 4.2.Thừa số tích phân .......................................................................................18 Chương 3 ...............................................................................................................21 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ......................................................................21 CHƯA GIẢI RA ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM .................................................................21 F y y  ..................................21 ') F x y  . .............21 F y y  .................22 F x y y  - PHƯƠNG TRÌNH LAGRĂNG-KLERÔ

Trang 1

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

1.1.Phương trình 1.2.Phương trình §2. PHƯƠNG TRÌNH ...........................................................................................................................22 F x y y  ......................................................................22 2.1.Phương trình 2.2.Phương trình Lagrăng ................................................................................23

(

')

  y

)

(

n

)

0

F x y ( ,

2.3.Phương trình Klerô: Khi

)

(

(

n

n

 1)

,

)

y

0

F y (

2.1.Dạng

)

(

(

n

n



2)

,

y

0

F y (

2.2.Dạng

Phương trình vi phân ...........................................................24 y ' Chương 4 ...............................................................................................................24 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO ...............................................................24 §1. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM..........................................24 1.1.Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp cao ......................................24 1.2.Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ............................................................26 1.3. Phương trình cấp n ....................................................................................26 §2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH GIẢI ĐƯỢC BẰNG CẦU PHƯƠNG ....................27  ....................................................................................27  ..............................................................................28  ............................................................................29 ) §3. TÍCH PHÂN TRUNG GIAN - PHƯƠNG TRÌNH HẠ CẤP ĐƯỢC ............30 3.1. Tích phân trung gian .................................................................................30 3.2. Các trường hợp phương trình hạ cấp được nhờ tích phân trung gian .........30 3.3. Phương trình thuần nhất đối với hàm và đạo hàm .....................................31 3.4. Phương trình mà vế trái là đạo hàm đúng ..................................................32 Chương 5 ...............................................................................................................33 LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT ..................................................................................33 VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ...................................................33 §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT ..........................................33 1.1. Định nghĩa ................................................................................................33 1.2. Tính chất ...................................................................................................33 1.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm ...................................................................33 §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT ....................33 2.1. Tính chất của toán tử nL ...........................................................................34 2.2. Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính .......................................................34 2.3. Định thức Wrônxki ...................................................................................34 2.4. Hệ nghiệm cơ bản .....................................................................................35 §3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT ....37 3.1. Tính chất: ..................................................................................................37 3.2. Phương pháp biến thiên hằng số ................................................................37 § 4. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CÓ HỆ SỐ HẰNG SỐ.................................39 4.1. Phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số. ....................................39 4.2. Phương trình tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng số. ..........................40 Chương 6 ...............................................................................................................44 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ...........................................................................44 § 1. KHÁI NIỆM, ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM .................44 1.1. Định nghĩa ................................................................................................44 1.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ...........................................................44 1.3. Các loại nghiệm của hệ chuẩn tắc .............................................................44 §2. ĐƯA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỀ PTVP CẤP CAO. ....................45 2.1. Một số ví dụ ..............................................................................................45 §3. PHƯƠNG PHÁP LẬP TỔ HỢP GIẢI TÍCH ...............................................46 § 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT ..............47 4.1. Định nghĩa ................................................................................................47 4.2. Toán tử vi phân tuyến tính ........................................................................48

Trang 2

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

2.3. Dạng

Phương trình vi phân 4.3. Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính .......................................................48 4.4. Hệ nghiệm cơ bản .....................................................................................50 §5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT 50 5.1. Một số định lý về nghiệm của hệ phương trình. ........................................51 5.2. Phương pháp biến thiên hằng số ................................................................52 §6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT ..............53 CÓ HỆ SỐ HẰNG SỐ ........................................................................................53 Phần 1: Phương trình vi phân cấp 1 ........................................................................57 Phần 2: Phương trình vi phân cấp cao.....................................................................60 Phần 3: Hệ phương trình vi phân ............................................................................63 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..............................................................................64

Trang 3

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Phương trình vi phân

Chương 1 LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 §1. MỞ ĐẦU

Khi dùng toán học để nghiên cứu các bài toán tự nhiên, kỹ thuật không phải bao giờ cũng tìm hàm cần xác định thông qua các phương trình đại số hay phương trình siêu việt mà nhiều khi ta phải tìm hàm thông qua các mối liên hệ giữa biến số độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm hay vi phân của nó. Từ đó đòi hỏi toán học phải nghiên cứu một lớp phương trình mới được gọi

là phương trình vi phân. 1.1. Định nghĩa: Phương trình mà trong đó chứa các biến số độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm ( hay vi phân ) của nó được gọi là một phương trình vi phân.



x 5 sin

x

 0

dy dx y

 ''' 5

yy

 '' 0

Ví dụ:

Ta phân biệt phương trình vi phân thường là phương trình mà trong đó hàm phải tìm chỉ phụ thuộc một biến số độc lập. Phương trình đạo hàm riêng là phương trình mà hàm phải tìm phụ thuộc ít





x sin .sin

t

u



u x t ( , )

u 2 x

Ví dụ: nhất hai biến số: 2  u    t

1.2. Ý nghĩa cơ học và vật lý của phương trình vi phân

Bài toán: Xét chuyển động rơi tự do trong chân không của

một vật có khối lượng m. Hãy tìm quy luật chuyển động. Chọn hướng oy như hình vẽ.

w



2

. Mặt khác ta biết rằng vật rơi tự do trong chân không là Theo cơ học nếu gọi quãng đường là y thì gia tốc của vật 2 d y 2 dt

g



9,8(

m s /

)

có gia tốc không đổi là . Do cách chọn trục oy ta

  . g

2 d y 2 dt

2

có:





y

 



 C t C

C 1

v 0

1

2

gt 2

dy dt

  

  

 0t

. Trong đó: (vận tốc Giải phương trình ta có:



y

y ( )t



0

0

(độ cao ban đầu).

ban đầu),  C 2 Qua ví dụ trên ta thấy: - Nghiệm của phương trình vi phân chứa các hằng số tuỳ ý (số lượng tuỳ theo cấp của phương trình). - Muốn xác định các hằng số thì ta phải biết được các điều kiện ban đầu của phương trình.

1.3. Cấp của phương trình vi phân

F x y ( ,

,

)

 có chứa đạo hàm cấp 1 là phương trình vi phân cấp 1

0

dy dx

Phương trình

Trang 4

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

(phương trình nhất thiết phải chứa đạo hàm cấp 1).

Phương trình vi phân

2

F x y ( ,

,

)

dy d y , 2 dx dx

Phương trình có chứa đạo hàm cấp 2 là phương trình vi

phân cấp 2 ( Nhất thiết phải chứa đạo hàm cấp 2). Một cách tổng quát: Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm

,...,

)

 là phương trình vi phân cấp n, ở đây nhất

0

F x y ( ,

,

n d y n dx

Chẳng hạn có mặt trong phương trình. dy dx

n d y n dx

C

,...,



2

)n

thiết phải có mặt .

,...,

C C , 1

2

n

Đối với phương trình vi phân cấp n thông thường ta tìm nghiệm dưới dạng chứa n hằng số tuỳ ý được gọi là nghiệm tổng quát của x C C ( , 1 C những giá trị cụ thể ta sẽ được nghiệm riêng của

y , phương trình. Nếu cho phương trình. 1.4. Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân cấp 1



f x y ( ,

)

(1.4)

dy dx

Xét phương trình:

( ,

x ( )

y

x ( )

( ,

)

Với giả thiết hàm

f x y ( ,

 

)

f x y xác định và ) 2 liên tục trong miền là G R . Nếu y nghiệm của (1.4) thì đường cong có phương gọi là đường cong tích phân trình của phương trình vi phân (1.4) . Ta xét xem đường cong tích phân đó có tính chất gì ?. 2R qua mỗi điểm Trên mặt phẳng M x y G vẽ một đoạn thẳng làm với trục ox một góc  sao cho tg

.

Khi đó tập hợp mọi điểm của G mà tại mỗi điểm có xác định đoạn thẳng như trên được gọi là một HƯỚNG TRƯỜNG. Khi đó trong G đường cong tích phân có tính chất là nó phải tiếp xúc với HƯỚNG TRƯỜNG tại mọi điểm của nó.

x ( )

y

Như vậy: Ý nghĩa hình học của việc lấy tích phân phương trình (1.4) là hãy sao cho hướng của tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với

Trang 5

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

vẽ đường cong hướng của hướng trường tại điểm ấy.

Phương trình vi phân §2. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I



f x y ( ,

)

(2.1)

dy dx

Xét phương trình

y

x

y

x 0

0

của (2.1) sao cho khi thì

 y x y , 0

0

được y x ( ) là các giá trị tuỳ ý cho trước được gọi là giá trị )

Khi đó bài toán tìm nghiệm gọi là bài toán Côsi, ở đây ( ban đầu (điều kiện đầu). Một vấn đề đặt ra là ta hãy xét xem với điều kiện nào thì:

2

1. Bài toán Côsi của phương trình có nghiệm. 2. Nghiệm của bài toán là duy nhất.

f x y thoả mãn trong miền

G R

( ,

0N

 sao cho với bất kỳ

điều kiện Giải quyết các vấn đề nêu trên là nội dung của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. 2.1. Định nghĩa: Ta nói hàm )

,x y y mà ( , ) ,

x y G x y G

,( , )

 thì



Lipsit đối với y nếu

f x y ( ,

)



f x y ( ,

)



N y



y

(2.2)

f x y ( ,

),



x y ( ,

)

f

.

' y

Chú ý: Bất đẳng thức (2.2) sẽ thoả mãn nếu giới nội trong G tức



N



x y G ( , )

 . Vì theo Lagrăng

' ( , ) yf x y

f x y ( ,

)



f x y ( ,

)



x y ( ,



t y (



y

)

y

 

y N y

 y

f

' y

x y )

là

' ( , yf

Nhưng điều ngược lại không đúng vì có thể (2.2) thoả mãn nhưng

'

không tồn tại.

f x y ( , )



y

y



y



y

 nhưng

y

y  0

yf không tồn tại tại

Ví dụ:

. Giả sử

2.2.Định lý: Xét phương trình (2.1) với giá trị ban đầu

(

)

x y , 0

0

)

( ,

  



a

a

x



0

, a b

  

x 0 y

b

y

f x y là hàm liên tục hai biến trong miền kín giới nội G x 0 y 0

0

  

1.

( ,





x y G ( , )

 )

 b (vì f liên tục trong G kín, giới nội nên M

)

f x y M ) f x y thoả mãn trong G điều kiện lipsit đối với y . ( ,

để

x ( )

y

2. Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm

  

h

h

x

x 0

định và liên tục đối với các giá trị của x thuộc đoạn của phương trình (2.1) xác  trong đó x 0

h



a min( ,

)

x

(

y

x 0

  )x 0

0

b M

sao cho khi thì .

§3. CÁC LOẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN



f x y ( ,

)

(3.1)

dy dx

Xét phương trình

3.1.Nghiệm tổng quát

2

G R

x c ( , )

(3.2)

y

Giả sử

Trang 6

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

là miền mà tại mọi điểm của nó có một và chỉ một đường xác cong tích phân của phương trình (3.1) đi qua. Khi đó hàm định và có đạo hàm liên tục theo x được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (3.1) trong G nếu:

Phương trình vi phân

y

x c ( , )

x y ( ,

c

)

 từ là nghiệm của phương trình (3.1) với c thuộc miền đang xét

có thể giải ra được .

a) b) ( ,

( , M x y G )  x c ( , ) y M x y chạy khắp G . khi ) 3.2.Tích phân tổng quát

0





 hay

x y ( ,

)

 gọi là tích phân tổng quát của của phương trình trong

x c ( , )

y

Hệ thức:

c x y c ( , , ) (3.1) trong G nếu nó xác định nghiệm tổng quát miền đó. 3.3.Nghiệm riêng Nghiệm 

y x ( )

y

y x ( )

y

Nghiệm được gọi là nghiệm riêng của phương trình (3.1) nếu tại mỗi điểm của nó điều kiện duy nhất nghiệm của bài toán Côsi được thoả mãn. Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng số c xác định luôn luôn là nghiệm riêng. 3.4.Nghiệm kì dị  được gọi là nghiệm kì dị của phương trình (3.1) nếu tại mọi



2

y

'

y 

0)





dx

(

y



0)

điểm của nó tính chất duy nhất nghiệm của bài toán Côsi bị phá vỡ. Ví dụ: Xét phương trình y

   y

x

c

(

x

 

c

)

2

  y

(

x



c

)

(

x

  c

)

( dy y 2

2

Ta xét các loại nghiệm của phương trình trên.

y



c  là nghiệm tổng quát của    . Vậy ta cần chứng

( ) c x     x

0

y

 phương trình đã cho trong miền G : minh. +) Trong G điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Côsi được thoả mãn cho

)

,

a) Ta chứng minh rằng với x

M x y ( 0

0

bất kì thuộc G . Ta có thể lập được lân cận kín



x





a

,

y





b

 . Và trong lân cận đó

G

x 0

y 0

 f y 

1 y

2

  

y

x

c

)

c 2

 điều kiện Lipsit được thoả mãn. +) Từ  y ( với x

 x c  thoả mãn phương trình.

)

c



x

c

(

)

(  x y với x

 c  là nghiệm tổng quát của phương trình đã cho trong

c

y

x

  là tích phân tổng quát của phương trình.

giới nội

2

2

x  y

+) Hệ thức 2 Do đó  y miền G . b) Dễ thấy

c  0

x  là nghiệm riêng.

0



c

)

y



0

với với

Trang 7

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

c) Nghiện riêng: Từ x ( d) Nghiệm kì dị: Xét y  dễ thấy y  là 0 nghiệm của phương trình nhưng tại mỗi điểm của nó còn có một nghiệm riêng dẫn đến được xác

Phương trình vi phân

0

'x MN cũng là nghiệm nhận được bằng cách dán nghiệm riêng và

f x y ( ,

y

)

định từ nghiệm tổng quát nên y  là nghiệm kì dị. Chú ý: +) Nghiệm kì dị không thể nằm trong miền tồn tại G của nghiệm tổng quát được. +) Đoạn nghiệm kì dị, đây không phải là nghiệm riêng và không phải là nghiệm kì dị. 3.5. Phương pháp tìm nghiệm kì dị a) Phương trình:  '

Nghiệm kì dị chỉ có thể xuất hiện tại những nơi mà điều kiện Lipsit không

 f  y

được thoả mãn. Do đó nghiệm kì dị có thể xuất hiện tại những nơi mà không

giới nội. Từ đó ta có thể rút ra quy tắc tìm nghiệm kì dị:

 f  y

không giới nội. Giả sử gọi đường +) Tìm những đường cong mà dọc theo nó

*( ) x

y

.

*( ) x

y

 1

2 3

 

cong đó là +) Thử xem đường cong đó có phải là nghiệm của phương trình vi phân không. +) Nếu có phải thì thử xem tại mỗi điểm của đường cong tính chất duy nhất nghiệm có bị phá vỡ hay không. Nếu tính duy nhất bị phá vỡ thì là nghiệm kì dị.

'y

y



y  . 0

 f  y

 f  y

22 y 3 y  là nghiệm.

0

3

y

27





c

)

khi . Ta có Ví dụ:

đây x ( y  tính chất duy nhất

y  là nghiệm kì dị. ')

(3.2)

( ,

'y (hay vô hạn)

Ta thấy: +) +) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trên là là họ đường Parabol bậc 3, ta thấy tại mọi điểm của 0 nghiệm bị phá vỡ do đó 0 b) Phương trình F x y y  0 ,

(3.3)



(

'

y

1, 2,...)

)

i

f x y ( , i

if x y liên tục và có đạo hàm riêng theo y khi đó lý luận như trên ta có thể ( ,

. Giả sử phương trình (3.2) xác định một số các giá trị thực 

giả sử ) tìm được nghiệm kì dị của phương trình (3.2) .

Tuy nhiên trong thực hành để tìm nghiệm kì dị của phương trình (3.2) ta có

'

'

như sau: thể tính trực tiếp







0

 if y  y   y

if   y

 F  y

  F y   ' y y



'

'

Ta có: vi phân phương trình (3.2) theo y ta được

gt

(



0)

  0

F  '  y

y     y

F   y '

y   y

F  y   F '  y

. Ta thấy rằng không giới nội.

')



0

,

Từ đó ta đi đến quy tắc tìm nghiệm kì dị của phương trình (3.2) như sau:

'y ta được hệ thức

R x y 

( ,

)

0

(3.4)

0



( , F x y y    F  y '

Trang 8

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

khử * Từ hệ

Phương trình vi phân

2

2

  . 1 0





')

y

y

'

, 2

 

1 0

y



 2 ' 0

Hệ thức (3.4) gọi là 'y  biệt tuyến (hay p biệt tuyến) của phương trình (3.2) . * Thử xem p biệt tuyến có phải là nghiệm của phương trình (3.2) hay không. * Nếu phải thì xem tính chất duy nhất có bị phá vỡ hay không. Nếu có thì p-biệt tuyến là nghiệm kì dị. Ví dụ: Tìm nghiệm kì dị của phương trình

'y từ hệ

y   .

1

F   y '

F x y y ( , 2 ' y

 y y 2 ' 0 

  

Ta có khử

y   vào phương trình ta thấy nó là nghiệm.

1

2

Thay

   x

c

  y

sin(

  x

c

)

hay

arcsin y ). )

 

c

sin(



c

)

y   là nghiệm kì dị.

1

1  y (vì sin( ) x y   tính chất duy nhất nghiệm bị phá vỡ 1

  ' y Từ sin(   c x y Ta thấy trên c) Tìm nghiệm kì dị từ nghiệm tổng quát:

ta có nghiệm   x



x y c ( , , )

 ta tìm bao hình của họ

0

Giả sử tích phân tổng quát có dạng

x y c ( ,

 , ) 0



0

( , , ) x y c  c

     

nghiệm tổng quát. Muốn vậy trước hết ta tìm c -biệt tuyến từ hệ

Ta chứng minh rằng nếu c -biệt tuyến là bao hình của họ nghiệm tổng quát

x y c ( , , )

 0

thì nó là nghiệm kì dị của phương trình. Thật vậy (cid:0) Bao hình là nghiệm: Tại mỗi điểm của bao hình luôn có một đường cong tích phân tiếp xúc suy ra bao hình là nghiệm. (cid:0) Bao hình là nghiệm kì dị: Hiển nhiên.

x y c ( , , )

 0

R x y ( ,

 ) 0



0



     

x y c ( , , ) c  + Thử xem c -biệt tuyến có phải là bao hình không. Nếu phải thì

R x y  là )

( ,

0

Quy tắc tìm nghiệm kì dị: + Tìm c -biệt tuyến của họ đường cong 

Trang 9

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

nghiệm kì dị.

Phương trình vi phân

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI BIẾN SỐ PHÂN LY

 M x dx N y dy

( )

( )



0

(1.1)

1.1.Dạng giả sử

( ),

( )

N y dy C

M x dx ( )

( )





(1.1) gọi là phương trình vi phân với biến số phân ly (phương trình tách biến) 2R , khi đó tích phân tổng quát M x N y liên tục trong miền nào đó của 



. của (1.1) có dạng

 M x N y dx P x Q y dy

( )

( )

( )



0

(1.2)

Tổng quát hơn ta xét phương trình ( )

,

,

,

dx

dy



0

 do đó tích phân

Trong đó

N y P x  khi đó từ (1.2) 

( )

( )

0

M N P Q là các hàm liên tục theo đối số của chúng trong miền đang xét. M x ( ) P x ( )

Q y ( ) N y ( )

Giả sử

 dy C

dx







M x ( ) P x ( )

( ) Q y N y ( )

0

( )

tổng quát có dạng . Ngoài ra ta phải xét trường hợp

y

y

0

N y  cũng là nghiệm của phương

làm cho

x y ( )

0 

x

x 0

0

2

N y P x  . ( ) Những trường hợp ( ) trình (1.2) . Nếu muốn tìm cả nghiệm dưới dạng làm cho ( ) Ví dụ: Xét phương trình

x y (

dy

dx

1)

1)





 . 0

2

2

thì những giá trị

  

1)(

dy

dx

1)







0

0

x

y

(

2

2

x

y

x P x  cũng là nghiệm của phương trình. 2  x 

y x ( y 

1

1

2

2

2

2



ln

x

 

1 ln

y

  1

ln

(

  

0)

x

(

1)(

y



1)



C 1

C 1

C 1

2

2

C

  

1)( 1,

y x

x y

  1)   . 1

Giả sử

hay ( Ngoài ra còn có các nghiệm 1.2.Phương trình đưa về phương trình tách biến



 f ax by

(



c

)

dy dx



a

z



 ax by

  

c

Xét phương trình dạng .

  a

bf z ( )

dz dx

dz dx b

dy dx

Đặt hay đây là phương trình tách

z

5

1

y

x

y

'

  1

biến.

   Đặt 5

y

x

dy dx

dz         dx

dy dx

dy dx

dz dx



x

Ví dụ:



     

ln 1

dx

z

1

  z

 Cx e e 1

   1

z Ce

x C 1



x

x

z

dz 1 z  Ce   1

do đó .

 y Ce

x

  là nghiệm của phương trình.

4

hay

Trang 10

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Vậy §2. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT

Phương trình vi phân

f x y gọi là hàm thuần nhất bậc n nếu

( ,

)

.

2.1.Định nghĩa: Hàm số n f

f x y ( ,

tx ty ,



(

)

)

t



f x y ( ,

)

Xét phương trình : (2.1)

)

với

)

t

f x y ( ,

 (

 (



(1,





)

)

)

f

dy dx f x y liên tục và là hàm thuần nhất bậc không. y x

dy dx

y x

y x

Đặt ta có: (2.2)

z

z

x

( , 1  x y x

dy     dx

dz dx

Đặt thế vào phương trình (2.2) ta có

z



x





z ( )

  

z ( )

z

x

dz dx

dz dx

hay .



   z 0

z ( )



z

dx x

dz z ( ) 



z ( )

dz z ( )



z



( )z

e



x







 e

ln

ln

ln

Đây là phương trình tách biến với giả thiết

z



x Ce





y x

dz  z ( )



z

x C 1

x   C 1

1 C 1

)

y x

hay thay

 (  x Ce

(2.3)

vào ta được



2

2 xy 2  y

x

2

3

Ví dụ: Đây là nghiệm tổng quát của (2.1) . dy dx

dz



y

  zx

x

  z



2

z 2

2 

z z

dz dx

dx x

(1  2 z z (

) 1)

z 

2





dz









ln

C 1









dx x

 (1 z  (1 z z

) 2 )

dz z

1 dx x

2

2

 z 1  z zdz 2  2 z 1   x (1

z

)

x

(1

z

)

2

Đặt hay

ln

x



ln

z



ln 1



z



ln





z





C

C 1

C 1

y x

 z

z 2

2

2

2

2







x

y

hay hay thay

  y

 hay

Cy



0

x

C 2

C 2

  

  

  

   Chú ý: - Khi giải phương trình vi phân thuần nhất ta không nhất thiết phải đưa về

vào .

zx

 mà đặt luôn y

(

)

y x

sau đó biến đổi. dạng

0

z

z

z

0

0

thì ngoài nghiệm tổng quát còn nghiệm

y

hay

y  cũng là nghiệm của phương trình.

0

1

- Nếu    với z z z ( ) cũng là nghiệm. z x 0 Trong ví dụ trên đường thẳng

Xét phương trình dạng .

2.2. Phương trình đưa được về phương trình thuần nhất dy dx

 

a x b y  1  a x b y 2

c 1 c 2

2

   f 

  

Trang 11

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Phương trình vi phân

 

0

h k ( ,



const

)

 dùng phép đổi biến

a 1 a

x y

     

h k

2

b 1 b 2

  

* Giả sử , khi đó

,h k thoả mãn

d   d

    b a 1 1     b a 2 2

a h b k  1 1  a h b k 2

2

c  1  c 2

   f 





0

phương trình có dạng . Nếu chọn





0

   d  d 

 a h b k 1 1  a h b k 2 2

c 1 c 2

   f 

    a b 1 1  a b     2 2

  

thì ta được phương trình thuần nhất

 

 0

 

a 1 a

2

b 1 b 2

a 1   a 2

b 1 b 2

1

2

c 1

* Nếu





f

f

 

dy dx

c 1 c

) a x b y   ( 2   a x b y

a x b y  1  a x b y 2

2

2

2

2

 c 2

  

  

  

  

do đó

z



 a x b y



z ( )

2

2

dz dx



Đặt đây là phương và lập phương trình theo z ta có

 

  

2 0

,h k thoả

x y

h k

1 1

1 1



     

x x

y     y

3 1

  



ta có đổi biến chọn Ví dụ: trình tách biến. dy dx



h k h k

     

3 0 1 0

h k

 

2 1

d       d

 

  

   2

Ta được phương trình thuần nhất Đặt mãn

  u   



2

arctgu



arctgu





u

ln





ln



C



1



u



e

C 1

du  d  ln 1

 1 u  u 1 2

1 2

arctg

2

2

 1 y  2 x

C x (



2)



(

y



1)



e

phương trình tách biến.

.

trở về biến cũ ta được

§3. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

3.1.Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính là phương trình vi phân tuyến tính đối với hàm và đạo hàm của nó.

A x ( )



 B x y C x ( )

( )

dy dx

( ), A x ( )

( ) 0



x

Dạng tổng quát: (3.1)

A x B x C x là các hàm liên tục trong khoảng nào đó. Nếu trong  thì phương trình được đưa về dạng.



 P x y Q x ( )

( )

Trong đó ( ), khoảng đang xét

dy dx

(3.2)

 phương trình này được gọi là phương trình

0

P x y ( )



Xét phương trình

dy dx tuyến tính thuần nhất ứng với phương trình đã cho. 3.2.Cách giải: Phương pháp biến thiên hằng số.

Trang 12

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Phương trình vi phân



P x y ( )

 (3.3)

0

dy dx

 

P x dx ( )

a) Bước 1: Xét phương trình

0

y  khi đó phương trình (3.3) đưa về dạng

dy y

Giả sử



ln

 

P x dx ( )

0)



ln

y

C 1

C ( 1

( )P x dx

P x dx ( )





do đó

 

 y Ce

1

 y C e y  cũng là nghiệm nhưng có thể gộp vào (3.4) ứng với trường hợp 0

hay (3.4)

( )P x dx



Mặt khác 0C  .

y Ce 

trong đó C là hằng

 C C x ( )

P x dx )

(



P x dx )

(







khi Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (3.3) là số tuỳ ý. b) Bước 2: Ta thử tìm nghiệm của (3.2) dưới dạng (3.4) trong đó coi

e



p x Ce ( )



dy dx

dC dx

P x dx ( )



P x dx ( )



P x dx ( )









e

P x Ce ( )

P x Ce ( )

Q x ( )







P x dx ( )

P x dx )

(



dC dx 

đó thay hệ thức này vào phương trình (3.2) ta có



Q x e ( )

 C C x ( )



Q x e ( )



C 1

1C là hằng số



dC dx

hay . Trong đó do đó

P x dx ( )





P x dx ( )

P x dx ( )







tuỳ ý.

 y Ce



e

Q x e ( )



x ( )





2

Vậy (3.5)





x

   )

,0)

(0,

3

2

Ví dụ: xét trong khoảng ( Chú ý: 1. Vế phải của (3.5) ta thấy số hạng đầu là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, số hạng thứ hai là nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất nhận được khi 0C  . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất được lập nên bởi tổng của nghiệm tổng quát của phương tình vi phân tuyến tính thuần nhất với một nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. 2. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất tìm được bằng hai lần lấy tích phân (mà ta thường nói là bằng hai lần cầu phương). 3. Nghiệm của phương trình (3.2) có dạng tuyến tính đối với hằng số C   y C x ( ) y dy x dx với C là hằng số tuỳ ý. Xem Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát y Cx

y





Cx

 C C x ( )

  hay

x

C



x



C 1

dC dx

1 2

x 2

. Vậy .

Thật vậy: đặt

3.3.Hệ quả a) Nếu biết được một nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất thì việc giải phương trình sẽ quy về việc giải phương trình thuần nhất.  trong đó

y Y x ( )



z

( )Y x là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Còn z là hàm phải tìm, lập phương trình vi phân đối với z



 . 0

( ) P x z

dz dx

Trang 13

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

ta có

Phương trình vi phân Như vậy nếu biết được một nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính

không thuần nhất thì nghiệm tổng quát tìm được bằng một phép cầu phương. b) Nếu biết được một nghiệm riêng không tầm thường (khác không) của phương trình thuần nhất thì nghiệm tổng quát của phương trình đó có thể tìm mà không cần cầu phương bằng cách nhân nghiệm riêng đã biết với một hằng số tuỳ ý.



P x y ( )

 . Giả sử

0

y

x ( )

 là 0

dy dx

Thật vậy xét phương trình sau:

( )P x dx



 y Ce

nghiệm riêng đã biết.

P x dx ( )







Nghiệm tổng quát của phương trình đang xét có dạng Nghiệm này chứa mọi nghiệm riêng, giả sử ứng với ta có 0C



C 1

x C e ( )  0

y C x 1 ( )

y  x ( )

C C 0

C C 0

( ),

( )

y x y x là hai nghiệm khác nhau của phương trình không 1 là nghiệm không



y x ( ) 2

y x ( ) 1

do đó ký hiệu ta được .

y C y x ( ( )





( ))



1

y x 2

y x ( ) 1

c) Nếu biết được hai nghiệm riêng khác nhau của phương trình không thuần nhất thì có thể tìm được nghiệm tổng quát của nó mà không cần cầu phương. Thật vậy: Giả sử 2 thuần nhất thì ta có thể dễ dàng chứng minh được tầm thường của phương trình thuần nhất. Suy ra nghiệm tổng quát .

3.4.Phương trình đưa được về phương trình tuyến tính

f

y '( )



P x f y Q x ( ) ( )

( )



dy dx

a) Xét phương trình

z



f y ( )



 P x z Q x ( )

( )

dz dx

2

2

2

Bằng phép thế đưa về .

y



xy

2   x



xz



x

(

z



y

)

1 2

dz dx

dy dx

Ví dụ: .



 P x y Q x y

( )

( )

 

 (3.6)

R

0 ta được phương trình tuyến tính. 1 ta được phương trình tuyến tính thuần nhất.

  0,

Dạng phương trình b) Phương trình Becnuli dy dx

y 

0)



P x ( )



Q x ( )

ta được Nếu Nếu  Giả thiết 1 Chia hai vế của phương trình cho y (

1 dy  y dx

1  1 y

(3.7)

z

y  1



  y )



dy dx

dz dx



 P x z Q x ( )

( )

1

dz 1 dx 

Đổi biến và do đó ta có (1

  (1

 )

P x z ( )

  (1

 )

Q x ( )

dz dx

đây là phương trình tuyến tính không thuần hay

Trang 14

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

nhất.

0 thì

Phương trình vi phân y  cũng là nghiệm. Ta có thể chứng minh rằng với

0

0

y  là nghiệm kì dị của phương trình.

0

y  là nghiệm riêng 1  thì

2

Chú ý: Trường hợp 1 thì 0

x y

x

y



4







4



(



0)

y

z

y

y x

dy dx

y x

Ví dụ: do đó và . Đặt z





2

z

 giải phương trình ta được nghiệm

dy dx

dz dx

dy ydx dz dx

2 z x

x 2

2

Thay vào ta có

y  là nghiệm kì dị.

0

y



x

ln

 x C

4 1   2 

  

Trang 15

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

ngoài ra

Phương trình vi phân

Xét phương trình

§4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HOÀN CHỈNH - THỪA SỐ TÍCH PHÂN  M x y dx N x y dy ( ,

 (4.1)

0

)

)

u x y nào đó.

( ,

)

 M x y dx N x y dy

du x y ( ,

( ,

( ,



)

)

(4.2)

C

)

( , Nếu vế trái của (4.1) là vi phân toàn phần của một hàm tức là ) thì ta nói (4.1) là phương trình vi phân hoàn chỉnh, khi đó tích phân tổng quát của phương trình là ( , u x y  Ví dụ:  0

xdx

ydy

2

2

2

2

.

xdx



ydy



d

x



y

x



y



C





1 2

  

  

Ta có vì vậy tích phân tổng quát là .

4.1.Cách đoán nhận phương trình là phương trình vi phân hoàn chỉnh Định lý: Điều kiện cần và đủ để biểu thức vi phân  M x y dx N x y dy

( ,

( ,

)

(4.3)

) ,M N xác định, liên tục và không đồng thời triệt tiêu tại bất cứ điểm nào

2

Trong đó

G R và có trong miền ấy các đạo hàm liên tục

 M  y



trong một miền đơn liên và

( ,

u x y là đẳng thức

)

M   y

N   x

x y G ( , )





u x y ( ,

)

, là một vi phân toàn phần của hàm phải thoả

 N  x mãn  (4.4) Điều kiện cần: Giả sử (4.3) là vi phân toàn phần tức là

du Mdx Ndy







dx



dy



 x y G ( , )

 u  x

 u  y

2

2



M x y ( ,

)



N x y ( ,

)

;



;



 u  x

u     y

 M  y

 u   x y

 N  x

2

2

sao cho

;





u    x y

 u   y x M   y

N   x

do giả thiết tồn tại và liên tục nên chúng bằng nhau



x y G ( , )





u    y x M   y

N   x

Điều kiện đủ: Giả sử ta cần chứng minh phương trình

u x y ( ,

)

M x y ( ,

N x y ( ,





)

)

;

để

u   x

(4.5) là phương trình vi phân hoàn chỉnh tức là  u   y

M x y ( ,

)



x

u x y ( ,

)



M x y dx ( ,

)



y ( )

Xét phương trình nghiệm của nó viết dưới dạng điều này tương đương chứng minh (4.5) có nghiệm. u  x 



x 0

(4.6)

( )y là một hàm tuỳ ý theo y (tích phân này có nghĩa vì G đơn liên). Ta

N



Trong đó

( )y để đẳng thức

 u  y

sẽ chọn hàm cũng được thoả mãn.

( )y là hàm khả vi. Lấy đạo hàm (4.6) theo y ta có:

Trang 16

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Giả sử

Phương trình vi phân

x

x





x 0

x 0

x



y '( )

N x y ( ,

)

dx







M x y dx ( , ) dx y '( ) N x y ( , )       u   y   y    y M   y

 M  y

x 0

(4.7)

x



y '( )

N x y ( ,

)

dx





M  y 

N    x 



N x y ( ,

)



N x y ( ,

)



(

,

)



,

)

N x y 0

N   x x 0 N x y ( 0

Vì

y

  ( ) y



(

,

Vậy

N x y dy C ) 1

0



y 0

(4.8)

(

)

G

x y , 0 0

y

x



u x y ( ,

)



M x y dx ( ,

)





(

,

Trong đó

N x y dy C ) 1

0





y

x

0

0

u x y thoả mãn (4.5) .

)

(4.9)

y

x

M x y dx ( ,

)



N x y dy C )



(

,

Tức là tồn tại hàm ( , Chú ý: 1, Từ (4.9) ta có tích phân tổng quát của phương trình (4.2) là:

0





x 0

y 0

( ,

u x y mà không xuất phát từ phương trình (4.5) thì ta

(4.10)

y

x

M x y dx

( ,

)



N x y dy C )

( ,



2, Nếu khi tìm hàm ) sẽ được tích phân tổng quát dạng:

0





y

0



3 )

y dx



(3

x



x 0 y dy 5 )

 0

(4.11)



7

3



3

M

x

  y



3

  

5

3

N

x

y

M   y  N  x

 Đây là phương trình vi phân hoàn chỉnh. Ta xác định hàm u Ta có



7

x



3

y

(*)

3

5

(**)



x



y

u   x u   y

Ví dụ: (7 x Ta có



u x y ( ,

)



(7

x



3 )

y dx



y ( )



3

x





 '( ) 3

y

x



5

y

từ (*)

 C

   y ( )

25 y 2

u     y

Trang 17

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

vậy

Phương trình vi phân

2

2

)

3

( , u x y



x



xy



y

 . C

7 2

5 2

2

2

Cuối cùng

7

x



6

xy



5

y



C

. Phương trình có tích phân tổng quát là:

4.2.Thừa số tích phân

 M x y dx N x y dy

 0

( ,

)

)



)

)

0

 (4.12) gọi là thừa số tích phân của

( , x y N x y dy ( , ) x y ) ( ,

Xét phương trình ( , Giả sử phương trình không phải là phương trình vi phân hoàn chỉnh nhưng nếu tồn tại hàm

sao cho x y ) ( ,  x y M x y dx ( , ) ( , là phương trình vi phân hoàn chỉnh thì hàm phương trình. Như vậy sẽ nảy ra hai vấn đề:

x y ( ,

)

như thế nào? - Có tồn tại thừa số tích phân hay không? - Nếu tồn tại thì cách tìm hàm

Ta có khẳng định sau: A. Mọi phương trình vi phân cấp 1 thoả mãn điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm

( ,

( ,

)

)

 (4.13)

0

 Xét phương trình luôn luôn tồn tại vô số thừa số tích phân.  M x y dx N x y dy

u x y ( ,

C

)

Từ định lý tồn tại và duy nhất nghiệm suy ra phương trình thừa nhận tích phân tổng quát





0

dx

dy

. Lấy vi phân hai vế ta được

dy dx

 u  x

 u  y

 u   x  u  y

hay (4.14)

Mặt khác từ (4.13)

dy    dx

( , M x y ) N x y ) ( ,

(4.15)







x y ( ,

)

Do đó từ (4.14) (4.15)

( , M x y ) N x y ) ( ,

 u  x ( , M x y

)

 u  y ( , N x y

)

u    x u   y

hay (4.16)

x y ( ,

)





x y M x y ( ,

( ,

)

);





x y N x y ( , ( , )

)

(4.16) ta suy ra

 u  y

 u  x

Ta chứng minh là thừa số tích phân của phương trình (4.13) từ



x y M x y dx ( ,

( , )

)





x y N x y dy ( , ( ,

)

)



dx



dy



du

u   x

u   y

hay

x y ( ,

)

Vậy là thừa số tích phân.

x y ( ,

u ( )



)

 1

Ndy



du



cũng là thừa số tích phân. Trong đó

Trang 18

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Ta chứng minh rằng phương trình có vô số thừa số tích phân. Ta sẽ chứng minh rằng   ( )u là hàm khả vi tuỳ ý. Thực vậy: từ Mdx 

Phương trình vi phân

  

u Mdx ( )

  

u Ndy ( )

 

u du ( )

u du ( )

  d là thừa số tích phân. Vì



x y ( ,

 

u ( )



)

)

( )u là tuỳ ý suy ra

. Đây là phương rình vi phân

   .

( )u

1

hoàn chỉnh hay x y 1( , phương trình có vô số thừa số tích phân. Hệ quả 1: Mọi thừa số tích phân của phương trình đều có dạng

,  đều là thừa số tích phân của phương trình

2

Mdx



Ndy



du



dx



dy



0

 1

Giả sử

Mdx

Ndy

dv

dx

dy











0

 2

u  x  v  x 

 u y  v  y 

1    1     2  

(4.17)

Do đó



0

 u   x  v  x

 u y  v   y

 u  x v  x 

 u  y v  y 

hay .

0



u ( )

v

Mdx

Mdx

Ndy









  '( ) u 1

 1

 dv  

Ndy    2      u '( ) 1 2

u du '( )   u ( ) 1

Vì . Từ (4.17) suy ra Nên giữa u và v có sự phụ thuộc, do đó

 v  y  2 Hệ quả 2: Nếu biết được hai thừa số tích phân khác nhau của phương trình là

 . Theo chứng minh

C

,  thì tích phân tổng quát của phương trình là

1

2

( , x y ) x y ) ( ,

 1  2

u ( )



   ( ) u

C

  1  

trên ta có

 1 

( ) u u ( )

2

 1  2

 1    2

2



u ( ) B.Cách tìm thừa số tích phân:

Nói chung không có phương pháp tìm thừa số tích phân mà ta chỉ có thể tìm

x y ( ,

)

được trong một số trường hợp đặc biệt: Gọi là thừa số tích phân của phương trình khi đó ta có:

 (

M

)



 (

N

)





M

N

  M N   x  y

  y

   

  











N

M

hay .

 x  M N      x y

   x ln   x

  y  ln   y



0

(4.18)

 

( )x





M   y

N   x

  y   M N    x y





x hay ln ( )





 dx C

. Khi đó . a) Thừa số tích phân chỉ phụ thuộc x



ln   x

N



N  N  x

 M  y

Từ (4.18) (4.19)

  

x ( )



N

Trang 19

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Chú ý: chỉ là hàm của x .

Phương trình vi phân

 

( )y





M N    x y  

 M  y

 N  x

. b) Thừa số tích phân chỉ phụ thuộc y :



 

 dy C



 



M

ln  y 



 M  y

M  N  x

Tương tự hay ln ( ) y (4.20)

  

y ( )



2

M 2 

x





2 x y

 0

Chú ý: chỉ là hàm của y .

 y dx



2

y

2

2



  

1 2

   2 1



xy

xy



 1

 2

 M x 2

 x dy M N      x y



x

2



 2

xy

2



M  y 

 N x y N  x 



dx x

e

 

x ( )

 

   





Ví dụ: 

2

N

1 2 x

2 x



  x xy

 1  1

Vì .

1 2 x

xdy

ydx

2

Nhân hai vế của phương trình với ta có:

dx



y



dy



0

1



dx



2 y dy



 0

 2 x

1 x

y 2 x

  

  

3

3



y



  

x

y





C

0

hay

   y x

y x

   1 3

1 3

 d x  

  

Trang 20

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

.

Phương trình vi phân

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯA GIẢI RA ĐỐI VỚI ĐẠO HÀM

F x y y  tổng quát. 0

( ,

')

,

( ,

( ,

F x y  HAY ') 0

F y y  ') 0

Trong chương này ta xét dạng phương trình

§1. PHƯƠNG TRÌNH ( ,

') 0

F x y  . (1.1)

1.1.Phương trình a) Trường hợp 1:

'y như là hàm ẩn của x và có thể giải ra . Khi đó nghiệm nghiệm tìm được bằng một lần cầu phương

f x ( )



y

'

Phương trình đang xét xác định



y

f x dx C

( )



. được  b) Trường hợp 2: Từ (1.1) ta giải ra được x theo

x x

y ( P (

') )

'y P xem P là tham số ta được

'y

Khi đó đặt . , vì

  

dy Pdx

P

dy dx

.

x

P (

)

  dx

 '(

P dP )

Do .

 '( dy P P dP



)

  y

 ( P P dP C )





P

)

Vậy .



 P P dP C (  )

'

P

Nghiệm thu được dưới dạng tham số

ye



y

'

 Đặt

x

'y

P

 (  x    y    x P e 2

P

Ví dụ:

y



P

(1



P e dP C e P





(

)

  1)



C



 P 2

P

x P e

2

. ta có

P

(1



e

y



P

)





C

P 2

      

'

x y đều biểu diễn bằng một hàm đơn trị theo tham số ,

( )  t  t ( )

Vậy nghiệm tổng quát:

y dx C







y

'

 t dt C



   t ( ) '( )

t ( )

c)Trường hợp 3: Từ (1.1)  x   ' y Khi đó .

      t dt C ( ) ( ) t

 x   y 

3

Nghiệm tìm được dưới dạng

 0

'

3' 3 y   x xy thay vào phương trình tìm x theo t . Đặt tx 'y

2

3

3

2

Ví dụ:

x

(1



t

)



tx 3

x



;

y

'



3

3

3 t  t

1

3 t  1

t

Trang 21

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Ta có: vậy

Phương trình vi phân

2

3

2

2

3(1

y



y dx C

 

'

dt C

 

 dt C

3



 3

 t (1

) 3 .3  t t 3 2  t )

3 3 (1 2 )  t  t (1

t 3 3 )

3

Khi đó .

1

u



t

  

y

 du C

 

C

2

 3

9 u 2

6   u

3

1

3 t   t 1  3 2 u 3 u t 3 t 

Đặt .



C



3

6  t

9 

3 2 )

1

( ,

t 0

F y y  (1.2)

f y ( )



y

'

Vậy ta có nghiệm

f y dx ( )

x C

 



dy



y

y

f y  cũng là 0

( )

0

. Ngoài ra giá trị mà khi đó

 x       y 2(1  1.2.Phương trình ') 'y theo y : a)Trường hợp 1: Giải được dy f y ( )

 nghiệm của phương trình. b)Trường hợp 2: Giải được y theo

y

y (

')

y

)

  

p dp

'( )

dx

dy





p

  x



p dp C ( )



. Đặt



'y : Giả sử  là hàm khả vi liên tục. p ta có p ( 1 p

1 p

'y dy dx

1 p

 ( 

p dp C



)

x





Từ

1 p  ( p

)

     y



Vậy nghiệm tổng quát có dạng



 y   y '

t ( ) t ( ) Giả thiết  là hàm khả vi liên tục và

t  ta tìm x theo t .

'



y





( ) t

  dx

 ( )  t dt

  x

 dt C

c)Trường hợp 3:



1 ( )  t

( ) 0  t  ( ) ( )  t

dy dx



Từ



x

 dt C



( ) t   t ( )  t ( )

 y    

Vậy nghiệm tổng quát có dạng

§2. PHƯƠNG TRÌNH

F x y y  - PHƯƠNG TRÌNH LAGRĂNG-

( ,

,

0 ') KLERÔ

')

( ,

2.1.Phương trình

F x y y  , 0 ( ,

F x y y  (2.1)

0

')

,

(2.2)

u v ( , );

u v ( , );

u v ( , )









x

y

Giả sử cho phương trình

Trang 22

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Giả sử phương trình có thể biểu diễn dưới dạng tham số   y ' Nhờ cách biểu diễn tham số này ta có thể đưa việc giải phương trình (2.1) về việc giải phương trình đã giải ra đối với đạo hàm.

Phương trình vi phân













dx

du

dv dy ;

du

dv

;

y

'

u v ( , )

dy



y dx '



  u 

  v 

  v 

du



dv





u v ( , )



du

dv

Ta có . Từ

   u

   v

   u

  

  



f u v ( , )





hay nếu coi u là biến và v là hàm thì:

dv du





  u     v        u u       v v

)

 

(2.3)

u C ( ,

u C ( ,





u

u

x

y

)

)

;

,

,

 





.

(2.3) chính là phương trình đã giải ra đối với đạo hàm, giả sử nghiệm tổng quát là . Khi đó nghiệm tổng quát của (2.1) dưới dạng tham số là v u C ( ,     Sau đây ta sẽ xét hai dạng phương trình. 2.2.Phương trình Lagrăng



y

y x ')





(

y

')

(

')

y

'

(2.4) Phương trình tuyến tính đối với x và y có dạng



 ( (nếu  là phương trình Klero). y u '





p

x v ; (2.5)

. Khi đó (2.4) có dạng

p x )

 (







p

(

)

 (

p

)



'(

p x )





'(

p

)

 . p

Trong đó giả thiết   y Dùng phương pháp như trên với tham biến: y

 



dy   dx

dp dx

x



Ta cần tìm x theo p . Từ (2.5)

dx   dp



'( )  p ( ) p 

 '( ) p  p p ( ) 

Nếu coi x là hàm, p là biến. (2.6)





(

(

)

y A p C B p )





(

(

)

1

1

p Đây là phương trình tuyến tính không thuần nhất. Giả sử nghiệm tổng quát có x A p C B p ) Đây là nghiệm tổng quát của phương trình Lagrăng dạng tham số.

0

p

p

(

)

   . Dễ thấy rằng các cũng là những nghiệm của phương trình. Tuỳ từng trường hợp

p

p i

dạng: . thay vào (2.5) ta có

y





)

p x i

p ( i

Chú ý: Khi biến đổi phương trình ta phải giả thiết giá trị nghiệm nghiệm đó có thể là nghiệm riêng hay nghiệm kì dị. Vì vậy đối với phương trình Lagrăng nghiệm kì dị nếu có chỉ có thể là các .



2

y

xy

đường thẳng Ví dụ:

p

  

y

'

2

p



2

x



cos

p

 p

dp dx

dp dx p

(2

x



p cos )

     2

p



Đặt ' sin '  y dy dx

dx dp

x p

cos p

p





2



(



0)

p

Hay

cos p

hay .

x

 

p



  x

ln

2 ln

ln

 C C p

(

)

C 1

dp dx dx dp dx dp

C 2 p

p

. Coi thay vào phương Xét



 

x p 2 x    p dC 1 2 p dp

cos p

Trang 23

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

trình đầu

Phương trình vi phân

C

 

p

cos

 

p

sin

p



cos

 pdp C 1

 p C 1



x

p

sin

p



cos

 p C

  

1

1 2 p

hay .

px

sin

y  . 0

Vậy phương trình có nghiệm

y

Phương trình có dạng (2.7)

 p 2 p  tức là ' ( y   y y y x ( '

0 ') 

')

  



px



p

p

y

y

(

)

'

  

p

x





'(

p

)

 p





Đặt

     y  Ngoài ra phương trình có nghiệm 2.3.Phương trình Klerô: Khi  dy dx

dp dx

'(

p

)

 (2.8)

0

   x



dp dx

p '(

x

)







)

(  x

 '(

p

)

. Từ đó ta có nghiệm p C và  0 . Đây là một họ đường thẳng. Từ p C ( y Cx )   C Từ       p p y p x '( ) '(

) p    



p

y

(

)

  

 p '( ) )p tồn tại và liên tục, ''(

''(

0

 p Chú ý: Người ta chứng minh được rằng nếu p  thì ) (2.9) là nghiệm kì dị của phương trình. Nó chính là bao hình của họ đường thẳng trên.

Vậy ta có nghiệm dạng tham số (2.9)

y



y x '



y

2 '

1 4

Ví dụ: .

'

  



0

y

p

x

p

1 2

dp dx

  

Đặt .

p C

  

y Cx



   21 C 4

2

2

2

2

*

x

  

p

y

p



p



p



x

1 2

1 2

1 4

1 4

* là nghiệm kì dị.

Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO §1. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

1.1.Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp cao

(

n

)

y

0

 (1.1)

',..., ) phải có mặt.

(

k

)

k

)

Nếu x là biến độc lập, y là hàm thì phương trình vi phân cấp cao có dạng

x



(

)



x y , 0

x 0

( y 0

thoả

Trang 24

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

tổng quát là , F x y y ( , )ny ( Trong đó nhất thiết Giả sử : Hàm F liên tục theo tất cả các biến và tại điểm mãn điều kiện

Phương trình vi phân

n

)

,....,

y

)

 0

,

' 0

( 0

0

1



0

(

,

,...,

y

)n )

M x y y , 0

0

' 0

( 0

F x y y ( , 0  F ( ) n  y

)

(

n

y  ( 1) n

',...,

( ,



)

,

2 và liên tục tại điểm

f x y y Để phát biểu định lý tồn tại và duy nhất nghiệm được thuận lợi, ta chuyển

(1.2) bằng một hệ n phương trình vi phân tuyến tính cấp một như sau:





y

2

' y 1

y





y

' 2

2





....

y

y

' n

n

 1

y  y 1  dy  dx   2 d y  2 dx  .......................    

khi đó theo định lý tồn tại hàm ẩn, từ (1.1) ta có thể giải ra trong lân cận điểm M (1.2) y

iy vào (1.2) ta đưa (1.2) về một hệ n phương trình

y



2



y 3

Thay các giá trị

f x y y

( ,

,

,....,

y

)



1

n

2

dy  1  dx  dy  2  dx   ..............  dy  n  dx

(1.3)



)

y

,....,

f x y ( , 1 1

n



,...,

y

)

n

f x y ( , 2 1

Hệ (1.3) là dạng đặc biệt của hệ sau:

,....,

y

)



n

f x y ( , n 1

dy  1  dx  dy  2  dx   ..................................  dy  n  dx

(1.4)

Trong (1.4) vế phải chỉ phụ thuộc vào biến và hàm, không phụ thuộc vào đạo

x

( ),.....,

hàm. Hệ như vậy được gọi là hệ CHUẨN TẮC. Đối với (1.4) bài toán côsi được đặt ra như sau:

x 0

2

 y x ( ) n

( ), y x y x 1 trong đó

. Sao cho khi

)

0

i

Hãy  y thì 0iy là các giá trị đầu từ đó suy ra bài toán côsi

Trang 25

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

tìm nghiệm   n 1, 2,....., ) i y x ( ( 0 i đối với phương trình cấp n .

Phương trình vi phân

x

x 0

1)

)

'(

,...,





y

(

)

)

y x ( 0

y y x , 0 0

x 0

' y 0

y x ( )  1) n ( y 0

 Tất nhiên nảy ra vấn đề là với điều kiện nào thì bài toán côsi tồn tại và duy

Hãy tìm sao cho khi thì nghiệm  n (

,

x y tuỳ ý. 0 0

i

nhất nghiệm? 1.2.Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Xét hệ chuẩn tắc (1.4) với các giá trị đầu

)

y

,...,

2

n

Giả sử rằng: liên tục theo các biến của nó trong miền kín

b





i (

n 1.. )

( , x 0 

0

y i

y i

giới nội G

 

n 1.. )



i

if trong G đóng

if M

( if thoả mãn điều kiện Lipsit đối với các biến

0N

 để

)

f x y y

,...,

( ,

( ,





y

y

)

)

,

,

  ...

y



y

f x y y i

1

n

2

2

n

1

y 1

n

n



.

trong

h

x

  N y 1  y x ( ) n  a b M /

x 0

)

 với . if có đạo hàm giới nội theo

iy trong G thì nó sẽ thoả mãn

iy trong G .

n

)

của hệ (1.4) xác định . Sao cho khi thì

( ,



f x y y

',....,

)

,

y  ( 1) n Xét phương trình Từ định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ chuẩn tắc ta suy ra định lý tồn

(1.5) 1, Các hàm , f x y y 1 i     a x x a 0   b y 0 i ,a b R Trong đó (Khi đó từ sự liên tục của các 2 Trong miền G các hàm iy tức là ,..., Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm  1( ),...., y x  khoảng h    x x x  h , min 0 0 y x   n 1.. ) i ( y ( . i 0 i 0 Chú ý: Nếu các hàm điều kiện Lipsit đối với các 1.3. Phương trình cấp n ( y

)



(

n

 1)

n

 1)



)

y

(

)

x 0

( y 0

tại và duy nhất nghiệm của hệ chuẩn tắc của (1.5) như sau: Định lý: Giả sử cho hệ điều kiện đầu

( ,

y x ( 0 y x '( 0  ,...,

)

,

(

n

 1)

n



1)

f x y y 

x



b y ,





a y ,



,....,



b

y

y



y

 . b

y 0

( 0

và giả sử : 1. Hàm liên tục trong miền kín giới nội G

x 0 Từ đó M

y 0  y ,......., 0 y  n ( 1)   0 trong G .

y y ,

sao cho f M

(

n



1)

(

n



1)

 ,....,  1) n

(

 1)

y  ( 1) n n (

f x y ( ,

,...,

y

)



f x y ( ,

,...,

y

)





y

  ...

y



y

2. Hàm f thoả mãn trong G điều kiện Lipsit đối với

 N y

là N sao cho

h

x



y x xác định liên tục trong ( )

x 0

b

Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm tức   với

h

a



min

,



M y y

y  ( 1) n

max

,...,

,

,



   

   

và thoả mãn điều kiện ban đầu đã cho.

 *Định nghĩa nghiệm tổng quát:

Trang 26

Bộ môn Khoa học Tự nhiên



C

,

Phương trình vi phân Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.5) trong miền G thoả mãn có đạo hàm riêng liên điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm là hàm x C C ( , 1 tục theo x đến cấp n và phụ thuộc vào các hằng số C sao cho

)n ,...,

,..., 2 C C , 1

2

n

)

y



C



,...,

n





2 ,....,

'( ,

C

y

)

'

n

x C C ( , , 1 x C 1 ..................................

(

n

n

1)



C

)

n



1) (   y x  x y y ( , ',..., , i

C i

iC trong miền đang xét.

1. Từ hệ

,...., x C ( , 1  n 1) ( có thể giải ra các hằng số . y ) 2. Thoả mãn phương trình đang xét với Tương tự như phương trình vi phân cấp 1 ta có thể đưa ra định nghĩa nghiệm riêng, tích phân tổng quát và nghiệm kì dị của phương trình vi phân cấp cao.

§2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH GIẢI ĐƯỢC BẰNG CẦU PHƯƠNG

(

n

)

F x y ( ,

)

0

2.1.Dạng

 (2.1)

)

ny (



Ta xét hai trường hợp:

(

n

a) Phương trình (2.1) viết được dưới dạng (2.2)

y

  1)

f x ( )

f x liên tục trong đoạn  ( )

,a b . Khi đó

f x ( ) d dx

x

(

n

 1)

y



( )



f x dx C 1



x 0

x

x

n



(

2)

y



dx

 f x dx C x C

( )





Trong đó hàm

1

2





x 0

x 0

x

x

(

n

 1)

f x dx ( )





x

(

y



)

  ...

C

x 0

n





C 1  n 1)!

(

............................................... x  dx dx x 0

.... x 0

x 0

       

,............

  x

 

b

y

y

;

;

'

(2.3)

x

x

x

1)



n

(

Công thức cuối cùng cho ta nghiệm tổng quát của phương trình (2.2) trong miền a Bằng cách áp dụng công tích phân hai lớp) ta

)

( )(  t x t

dt

f

( ) f x dx









1)!

(

n

x 0

x 0

x  dx dx x 0

.... x 0

(2.3) được viết dưới dạng

x

(

n

 1)

(

n

 1)

được , khi đó nghiệm tổng quát thức Điriclê (đối với 1 

(2.4)

n



x 0

y  f t x ( )(  t ) dt  ( x  )   ... C x 0 ( 1)! ( 1  n C 1 1)!  n

i





0 (





.

 

ln

y

x

1,









x

y

 y y , 0

y y , 0

 y 0

khi .

Trang 27

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Chú ý: Số hạng đầu tiên trong (2.4) cũng là nghiệm riêng của phương trình với n iC 1, 2,..., ) Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình Áp dụng (2.4) ta có:

Phương trình vi phân

x

2

y

(

x

2 ) ln

t

tdt

(

x

1)

(

x

y











1)  

0



 y 0 1

 y 0 2

1 2!

1

3

3

2

2



x

x



x



x



x



x





y



ln

(

1)

  1)

 y x ( 0

0

11 36

1 4

1 18

 y 0 2

1 2

1 6

n ( )

x y ,

n

)

(

x







t ( )



y

( )t có đạo hàm liên tục,

n

(

  ( ) t

t dt '( )

dy



. Trong đó một cách đơn trị theo ( )t liên tục. Ta sẽ

(

n

 1)



)



y



 t dt C 1

 1

t C ( , 1

b.Trường hợp từ phương trình (2.1) có thể biểu diễn : t ( ) t biểu diễn y theo t .   1) ( ) n Vì : y dx

(

(

2)

n

1) 

n



dx

 ) '( )

t dt



y

2)

 t C ( , 1 1  t dt C  ) '( )

dy  ( ny

)





2

 2

t C '( , 1

   1

   t ( ) '( )

,....,

C

y

)

n

2

.

,...,

C

)

2

n

t C C ( , , 2 1 ........................................................................ t C C ( , ,  1 n x   t ( )    t C C ( , , y 1 n



Vậy nghiệm tổng quát có dạng

ye

 y

 x

t



t

x

Ví dụ:

e   

t

t



y

Phương trình viết dưới dạng tham số là:







dy

y dx

t e (

dt

t

  

t (

y

1)

e





C 1

1) 2 t 2

t

t













y dx

dy

1)

t (

e

1)

dt

....................................... 2  t  2 

 C e (  1 

2

t

t

Do đó

  y

t (



e 1)







1)

 dt C 2



t 2

  

 C e (  1 

t

e



t

2

2

.

2

t

t

y





e







  1

C t C 

2

1

t 2

3 4

t 6

  

 C e  1 

  x    

    1)

(

n

(

n

)

0

F y (

,

y

n

(

)

Hay

 t  2   (2.5) ) ta được )

f y  ( 1) n (

y  ( 1) n





y

z

z

 

f z ( )

. Đặt đó

Giải ra ta được .

2.2.Dạng a) Giả sử từ (2.5) có thể giải ra là phương trình tách biến. z

)

x C ( , 1

Trang 28

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Ta trở về trường hợp phương trình (2.2) trong phần (1,a).

z

)

Phương trình vi phân nhưng biểu diễn được dạng tham số

x C ( , 1

t ( ) t ( )

 

 x ( n y

t ( )

  

 x  z  giải. b) Nếu phương trình (2.5) biểu diễn một cách đơn trị theo tham số t .

(

n

 1)

y





t ( )

n ( )

y





t ( )

   

(

n

dy

  1)

( ) n y dx





t dt '( )





t dx ( )

  dx

và ta trở về trường hợp (1,b) phương trình đã biết cách Nếu không giải được ra  t ( )  1) 

'( )  t dt t ( ) 

thì từ

x





( ,

x

)

t C  1

1

C 1



 t dt '( ) ( )  t

(

n



2)

(

n

 1)

do đó .

y



y

dx





)

 dt C 2

 1

t C ( , 2





( ) '( )   t t ( ) t 

Khi đó

,...,

C



y

)

 

2

n

n

.

)

,...,

C

)

1)

(

 ( , t C 1 1   t C ( , 2

n

n

x    y

3 2 2

............................................................................ t C ( , 1 Ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình dạng tham số:



dz

3 2 2

  Ví dụ: Xét phương trình . ay y

 

dx

    1 

 1

1 a

3 2 2



z

 1



dz

 Đặt hay z       az y z

  



C 1



x a

z

3 2 2 )

(1



dz





sin

 .

.

tg

2

2





(1

z

 ) 1 x

z  

a

sin





C 1

Ta có: Đặt z



cos





y

a

C

2

  

2

2

2

Vậy ta có nghiệm tổng quát là:

(

)

a



2

 x C ) 1  n 2) (

 ( n ) (

,

y

F y (

)

0

2)

(

n

)

Hay

)



n

(

.

z 

(

0)

ta được

2.3. Dạng a) Nếu từ (2.6)  2) Ta đặt z



y

y C   (2.6) f y  ( n ( f z ( )

2

y     z 2 



2 ( )

f z dz

   z

2 ( )



d z (

)

2

  z z



2

 z f z ( )

f z dz C 1

hay .

z

  

2

( )



 f z dz C dx

 

dz

2

f z dz C 1

1





dz

dz

  dx

 

x C



Vậy hay . . Nhân cả hai vế với 2z  ( )

2





2

( )





2

( )



f z dz C 1

f z dz C 1





Trang 29

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

.

Phương trình vi phân

(

n



2)



x y ( ,

,

)

 . Đây là phương trình dạng (1).

0

C C , 1

2

Hay

)ny (

(

n



2)





t ( )

y

b) Giả sử rằng phương trình không giải ra được nhưng có thể biểu diễn một

n ( )

y



 t ( )  n 2) (

(

n

 1)

(

n

(

cách đơn trị theo tham số t

dy



y

dx



t dt '( )

dy



    t dx ( )  n n )

(

(

) n y dx  1) n (

y

dx



  ( ) t

t dt '( )



  1)  1) n ( y

dy



y

2

2

n

n



(

 1)

(

1)

Khi đó , 1)

y

d



  t ( ) '( )

t dt



y





t dt C 1









   t ( ) '( )

1 2

1 2

  

Hay

ny (

t  2) ( )

    ( ny 1)

 

2



)

 t dt C 1

 1

t C ( , 1

   t ( ) '( ) đưa về trường hợp (2,b)

. Kết hợp với ta

§3. TÍCH PHÂN TRUNG GIAN - PHƯƠNG TRÌNH HẠ CẤP ĐƯỢC

n

)

(

',....,

0

y

)

,

 (3.1)

3.1. Tích phân trung gian Xét phương trình F x y y ( , Bằng cách tích phân ta thường đi đến các hệ thức trước:  n k )

(

y

 ,....,



x y y ( , ,

0 (

,...,

C





n

)

)

,

C 1

k

k Hệ thức đó gọi là tích phân trung gian của phương trình (3.1) , nó là phương . Như vậy nếu tìm được tích phân trung gian  ta đã hạ được cấp

n k

)

(3.2)

(

n

 1)

(

n



1)

trình cấp ( của phương trình.

y

:

x y y ( , ,

 ,...,

y

,

)

 thì nó được

0

 1

C 1

n

k

)

(

)

(

Nếu tích phân trung gian chứa



,...,

1)



0

y

(

)

)

gọi là TÍCH PHÂN ĐẦU. 3.2. Các trường hợp phương trình hạ cấp được nhờ tích phân trung gian a) Phương trình không chứa rõ hàm phải tìm. k F x y ( ,

z khi đó phương trình trở thành

F x z ( ,

,...,

z  ( n k )ky ( Giả sử ta tìm được tích phân tổng quát:

0

)

(3.3)  (3.4) 0 )  C  x z C ( , ,..., , 1

n k

 hay  . Đây là phương trình cấp k đã được xét và cũng là tích

0

,

)

C 

( k ) x y C ( , 1

n k

 ,..., phân trung gian của (3.3) .

(

n

)

Đặt

 (3.5)

0

y

 ,...,

c) Phương trình không chứa rõ biến độc lập

 

p

y

p

 



F y y ) ( , là hàm phải tìm theo y . dy dx

y

p



 



dp dx

dp dy dy dx

dp dy .....................................

n



1)

(

n ( )



y

 (

p

,

,....,

)

p  1)

(

n

dp dy

d dy

Trang 30

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Xem y là biến độc lập và đặt y

Phương trình vi phân

n

 1

,

,...,

F y p p ,

,...,

p ( ,





0

)

p  1

n

dp dy

dp dy

  

,...,

)

0



,

 . Ta

d dy n  , giả sử tìm được tích phân tổng quát là:

1)

C 

n

1

2

1

. Đây là phương trình Vậy (3.5) trở thành

( ,

0

)

2

2





cấp ( nhận được phương trình loại

yy

(1







3

y

y

y

)

   y p C C ( , , F y p  đã biết cách giải.  2 1



Ví dụ: Xét phương trình .

y

 

p

 

p

dp dy

2

2

2



y

yp



3

y



p

và xem y là biến độc lập. Đặt y





 1

dp dy

2

phương trình có dạng  1

y



ln

p





ln

y



ln

C 1

(  0)  dy p hay dp p

2

yy

1 3  y   2 y y  1   2ln 1







C 1

C 1

py  y

(1

2 2 )



y

 22 

 1

hay .

2  C x C  

Đây là tích phân đầu của phương trình. Lấy tích phân lần nữa ta được

p

   cũng là nghiệm.

y C

0

1

2

2

1

1  y

n ( )

n ( )

n ( )

. Khi



 trong đó

 ,...,

ty

y

,

,

,

 ,...,

y

Xét

3.3. Phương trình thuần nhất đối với hàm và đạo hàm  0

  ,..., F x ty ty ,

 m t F x y y ,



  F x y y , m được gọi là bậc thuần nhất. Cách giải: Đặt y

yz

  yz

y

 

2







z

y









yz

 y z

 y z



n

n ( )

1)

(

 ,...,

z z ,



y

z

 ........................................ 

  y

(

n

 1)

2

(

n

 1)

m

,



z

 ),...,

 y

z z ( ,

 ,...,

z

)

,1,

z z ,



z

 ,...,



z z ( ,

 ,...,

z

)



0



 y F x

2

(

n



1)

xem z là hàm phải tìm khi đó ta có

,1,

z z ,



z

 ,...,



z z ( ,

 ,...,

z

 . 0

 )

,  F x

 

1n  là

thay vào ta có:  2 F x y yz y z , ( Do đó:

,...,

,

 . 0

1

n

,...,

Giả sử ta tìm được tích phân tổng quát của phương trình cấp 

 

x z C C , , 1 2  z x C , 1

C  C 

n

1

,...,

dx



 z x C , 1

C n

 1





,...,

 

C

. Trở về biến cũ ta được



n

y C e n

 , z x C 1

 1

   z  y y

Trang 31

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

.

Phương trình vi phân

2













2x yy



y



xy

y

  

yz

y

yz



 y z





z



2

 y z



2

2

2

2









z



y



xyz

2   z

z





xz



2 x z



2

xz

  . Tích phân

1 0





 1



 x yy z





C 1 x

y C xe



Ví dụ: Đặt Thay vào ta có



 do đó



 hay

z

2

1 2 x C 1 2 x

1 x

 y y

C 1 2 x

1 x

phương trình tuyến tính ta được

3.4. Phương trình mà vế trái là đạo hàm đúng

(

n

)

F x y y ( ,

,

 ,...,

y

)

 0

(

n



1)

y



 ,...,

 . 0

x y y , ,

Giả sử ta biểu diễn thành



(

n

 1)

từ 



x y y ( , ,

 ,...,

y

)



C 1

. Như vậy ta đã hạ được





0

d dx Khi đó ta nhận được tích phân đầu một cấp của phương trình.   3 y y 2  y 1

 y  y

Ví dụ: .





Giải:



ln





0



y

y

 ln 1

2

d dx

  

  











ln

y

y

ln

C 1

3 2  ln 1

2

3 2





y

y

Từ phương trình . Ta được tích phân đầu:



  0





0

C 1

C x 1

2

d dx

1

 y

3 2 2

   

   

 y

 1





y

hay





 C x C 2

1

2

1

 y

Trang 32

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

. Đây là phương trình vi phân cấp một có thể tích phân được.

Phương trình vi phân

Chương 5 LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH §1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT

 1)

n

n

)

(

(

a x y ( )

a x y ( )

( ),

g x

....









0

0

  a x 0

a x y ( ) 1





1.1. Định nghĩa: Phương trình vi phân tuyến tính cấp n là phương trình có dạng 

n g x  thì phương trình được gọi là phương trình thuần nhất.

( )

0

(

n

)

(

n

 1)

Nếu





....



p x y ( )



f x ( )

n

(

n

)

(

n



1)

y





....



0

Thường ta xét dạng: y

p x y 1( ) p x y 1( )

p x y ( ) n

n

 1

(1.1)  (1.2)





  ...

L n

p x ( ) 1

p x ( ) n

n

n

 1

n d dx

d dx



( ),

 . 0

  f x L y

n

  L y n

Nếu đưa vào toán tử vi phân: . Thì (1.1)



f x ( )

  nL y



  nL y 

( )



( ) f x . Trong đó V x ( )

,   

0

vẫn còn là tuyến tính cấp n nếu ta dùng phép thế biến

,  a b ,



n ( )

.

y  ( 1) n

 ,...,



,

 F x y y ,



( )

( ),

  x

a b ,

. và (1.2) được viết dưới dạng 1.2. Tính chất a) Phương trình  x   vẫn còn là phương trình tuyến tính cấp n nếu ta dùng b) Phương trình  V Z  là các hàm khả vi liên tục n lần theo phép thế x y V x Z ( ) ,x Z  hàm mới phải tìm và x 1.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm y Ta viết phương trình (1.1) dạng

f x là các hàm số liên tục.



(

n

 1)

(

n



2)

(

n

 1)

thì các hệ số

 

  ...



f x ( )

ip x 

,

  ,...,

y

p y 1

p y n

p y 2



 

Do Giả sử :  F x y y ,

p x ( ) k

)

 F ( y  n k 

do đó .

  x



a b ,



N





    ,

)

 F y  ( n k 

n

 1

(

n

(

n

i ( )

i ( )

1) 

1) 



,

 ,...,

y



,

,...,

y



N

y

Vì vậy thì (theo tính chất liên tục của

kp x ). ( )

 F x y y ,



 F x y



 y

i

0



,a b

,

y x của bài ( )





   

  duy nhất nghiệm  .    h x

h

x 0

x 0

. Tức là điều

,a b .

kiện Lipsit thoả mãn trên đoạn  toán Côsi đối với phương trình (1.1) trong khoảng Tuy nhiên ta chứng minh được rằng nghiệm được xác định như vậy sẽ tồn tại trong khoảng 

§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

  0

nL y  (2.1)

Trang 33

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Xét phương trình thuần nhất

Phương trình vi phân



y



nL 

2.1. Tính chất của toán tử  *  L y n

2



 L y 1 n  L Cy

 

  L y n 1 2   CL y n

n

 



 C L y n

L n

k

k

k



 

n

( )

(2.2) * (chứng minh các tính chất này đơn giản)  C y Tổng quát: k

ky x là nghiệm của (2.1) thì

C y k

k

 cũng là nghiệm của (2.1) .

k

 1

Từ (2.2)  nếu

,...,

n   x

  ...

a b ,

x ( )

x ( )

2 0





Xét hệ hàm 

2.2. Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính ( ) xác định trong khoảng  k x ( ) Định nghĩa: Hệ hàm  k x nếu tồn tại các hằng số   1 1 n n

 2 2

k x

2

,a b . ,a b được gọi là phụ thuộc tuyến tính trong khoảng     không đồng thời bằng không sao cho , 1 (2.3)   x ( ) i như vậy để đồng nhất thức (2.3) thoả mãn thì ta Nếu không tồn tại các nói  ( ) Ví dụ: a) Các hàm

x là phụ thuộc tuyến tính trong 

 , 

x 1,sin ( ),cos ( ) 2

1,

,x x là độc lập tuyến tính trong 

 ,  .

k



n 1..

là độc lập tuyến tính. 2

n  . Khi đó

1)



( )

k x ( ),..........,

( ),..........,

( ),

có đạo hàm đến cấp (

y x 2  y x 2 ...................................

n

 1)

 1)

n

 1)

x y ( ),

x ( )......,

y

x ( )

( y 1

n ( 2

( n

b) Các hàm 2.3. Định thức Wrônxki a) Định nghĩa: Cho hệ hàm  y x ( ), 1  y x 1  y x ( ) n  y x ( ) n định thức

( )

k x

W y x y x ( ),

1

2

.

 y x . ( ) n ( ) k x

phụ thuộc tuyến tính thì định thức Wrônxki đồng

2

0

(2.4) .

0

x ( )

x ( )

i 



y



  ...

0

y

y

Được gọi là định thức Wrônxki của các hàm   Ký hiệu ( ),..., b) Định lý 1: Nếu các hàm  nhất bằng không.

2  2

n  n

 1)

1)

1)





n

n

n

  ...



0

y

y

( y 1 1

 n

 2

( n

( 2

  x

a b ,

Theo giả thiết ta có   ( )   x x n n n  lần ta được 1)    y 0 ... n  n (2.5)

   ...  2 2 1 1 Vi phân (2.4) theo x (    y  1 1 2      y  1 1 2  ...........................................       hệ (2.5) là hệ phương trình đại số thuần nhất với các nghiệm



i . Để

n

2

0

W y x y x ( ),

( ),...,

( )

0

Tại



2

1

 y x  . n

  i

i

1 

Trang 34

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

hệ có nghiệm thoả mãn . Thì det  0 tức là

( )

0

( )

( ),

( ),...,



Phương trình vi phân W x  chưa đủ đảm bảo  nL y thì

y x phụ thuộc tuyến tính (đối với phương trình n

2

,...,

y y , 1

2

( )

y là các nghiệm của phương trình (2.1) và độc n ip x của phương trình thì

,...,

0

,

  x

a b ,



 y  n

 W y y 1

2

(

n

 1)



y

(

x

)

 0

x

 y x



0

0

x 0

. Chú ý: Điều ngược lại nói chung không đúng, tức là nếu cho y x y x 1 đúng). c) Định lý 2: Nếu các hàm lập tuyến tính trong ( , )a b liên tục của các hệ số 

0

x

),

(

a b ,





0

)

thì 0,..., y  do tính duy nhất nghiệm. Chú ý mở đầu: Nghiệm thoả mãn bài toán Côsi của phương trình (2.1) phải là nghiệm







x 0

 W y x 0

1

y x ( 0 n

y x ( 2 0

x 0

Ta chứng minh định lý bằng phản chứng. Giả sử tại thì



)

)

)



  ...

các hằng số

 n

 2

y x ( n 0

y x ( 2 0

. Ta chọn ),..., i không đồng thời bằng không sao cho hệ phương trình sau được thoả y x ( 0 1 1 0

 1)

 1)

n

n



y

................

 ) 0

(

)

( y 1 1

x 0(

x 0

   ..................................................................   ..................................................................    

mãn

y x ( )

  ...

(   n n W x  . ) 0( 0   y x y x ( ) ( ) 2 2 1 1 mãn

  thoả

 y x ( ) n n toán

Việc chọn có thể làm được vì

x 0

(

)

k

0







1)

n 0..

0

y x ( )

0





a b ,

  x

  ...









 theo tính chất duy nhất nghiệm. Tức là ( ) là phụ thuộc tuyến

ky x

 n

y x ( ) 2

y x ( ) n

x 0( y x ( ) 1 1

bài Côsi. Xét hàm (2.1) đây là nghiệm của phương thì x

  x

a b ,





0

 

.

0

0

 

det

n 1..



   const

trình ky ) (   2 tính điều này vô lý. Chú ý: Do các định lý 1,2 suy ra W lập nên bởi n nghiệm của phương trình (2.1) hoặc đồng nhất bằng không hoặc khác không tại 2.4. Hệ nghiệm cơ bản Định nghĩa: Một hệ gồm n nghiệm riêng của phương trình nL y  xác định và độc lập tuyến tính được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của phương trình trong khoảng đang xét. Định lý 3: Mọi phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất đều có một hệ nghiệm cơ bản.

nL y  . Ta chọn một định thức cấp n sao cho sao cho ija

ky x k ( )

n



1)

,...,

y

(

)



a b ,

x

,

)

)

a



và lập n nghiệm riêng

 trong đó 

( k

k

a kn

a k

2

x 0

1

y x ( k 0

(

),...,

det



)

 y x ( k 0 

 

. khi Xét phương trình   ija   x 0

0  . ( )

ky x

 ky x

lập thành một hệ nghiệm cơ bản

 thì  W y x ( y x a 1 0 0 n ij là độc lập tuyến tính, hay    0 nL y  .

Trang 35

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Rõ ràng Như vậy  ( ) của phương trình

Phương trình vi phân

1 0 ...............0

0 1................0

 

.......................

0 0................1

Chú ý: + Nếu chọn

n 1..

k

( )

ky x





là một hệ nghiệm cơ bản của phương trình

n

y x ( )

(2.6)

C y x ( ) k

k

 

 1

k

thì hệ nghiệm cơ bản được lập bằng cách trên được gọi là hệ nghiệm cơ bản chuẩn tắc. + Mọi phương trình thuần nhất cấp hai đều luôn luôn tồn tại n nghiệm độc lập tuyến tính. Định lý 4: Nếu   nL y  thì nghiệm tổng quát của phương trình có dạng 0

const

kC

0

.





nL y  điều này hiển nhiên theo

(cid:0) Hàm









....



....







C y 1 1  C y 1 1

C y n n  C y n n

tính chất của toán tử Trong đó  Ta phải chứng minh hai điều: y x xác định từ (2.6) thoả mãn ( ) nL .

n

n

n

n

1)

1)



(





1)



1)

y



x ( )

( C y 1 1

C y y x ( )  2 2    C y y x ( )  2 2  ...................................................................   

 C y n n 1..

( n nhưng điều này cũng đúng vì

 .... kC  k .

  x

a b ,

,



0



(  C y 2 2 Ta có thể giải ra các hằng số  

2

n

n

(

1)

n



 1)

 W y y ,..., 1 Chú ý: Công thức  Thật vậy ta tìm nghiệm riêng

(cid:0) Từ hệ

y 2.6 cho  nghiệm riêng của phương trình y

,...,



)

 nL y  .  )

y x sao cho ( )

y x ( 0

y 0

 x ( 0

0 ( y 0

n

, tức là

y

kC

C y k

k

 

)

(

y





  ...

(

)

(

)

k 1  C y x 1 1 0

0

C y x 2 0

2

C y x 0 n

phải để .







 1)

1)

1)

n

n

n

n

1)

y

)

(

(

)

(

...  





( C y 1 1

C y 2

x 0

x 0

( 0

( 2

C y n

( n

 n  ..................................................................   

x ) 0 n

Xét hệ:

y

0W  do tính chất độc lập tuyến tính

kC 

C y k

k

 

k

 1

( )

Vì để .

 1)

n



y

Nếu

y x ( ) n

( 0

y x là hệ nghiệm cơ bản chuẩn tắc thì nghiệm của bài toán y x 1( ),...., n  Côsi là  y y x ( ) y y x ( ) 0 2 0 1 Ví dụ: Xét phương trình

  ...    . Dễ thấy phương trình có hai nghiệm y

y y



x

0 x

e

e

x



e

,x

y



e

,



det

   2

0

.



,y y 1

2

y 1

2

 W y y 1

2



x

x



e

e

x

x

y x ( )





và là độc lập tuyến

    2

    n   nghiệm tổng quát là

C e 1

C e 2

Trang 36

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

tính. Đây là hệ nghiệm cơ bản vì

,...,

y

n  nghiệm riêng

1)

y y , 1

2

,n

Phương trình vi phân y  thì các nghiệm đó sẽ phụ

n

1

,...,

2

2

y là phụ thuộc tuyến tính thì hiển nhiên định lý đúng. n y y , 1 y

,..., 2   ...

,...,

y

y

y

y lập nên một hệ nghiệm n y  y y ,  n

Định lý 5: Nếu ta có ( thuộc tuyến tính. Chứng minh. Giả sử y y , 1

 

,n

n

1

n

2

2

1

n

nL y  đều có đúng n nghiệm độc

  0

, y y 1 Giả sử y là độc lập tuyến tính, khi đó ,..., n cơ bản. Do đó theo định lý 3 thì    y 1 1 2 phụ thuộc tuyến tính (đpcm). Chú ý: Từ định lý 3 và 5   phương trình lập tuyến tính.

 1

3.1. Tính chất: Xét phương trình

3.1 3.2

§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT    f x ( ) nL y

3.1 thì nghiệm tổng quát của 

3.1

   0 nL y  

3.2 khi

*

3.1 ,  ky 

y



Phương trình thuần nhất tương ứng là Định lý: Nếu biết được một nghiệm riêng của  là tông của nghiệm riêng đó với nghiệm tổng quát của (3.2) . Chứng minh. Giả sử

k

*

là hệ nghiệm cơ bản của  3.1 .

f x ( )





kC .

k

L n

  L y n

 C y C y

  C y  k   y

 L y  n * y

*y là nghiệm riêng của  đó ta cần phải chứng minh y C y k      ... C y n

n

1 1

2

2

* Hiển nhiên là nghiệm tổng quát của    đúng với 

 1)

 1)

(

 1)

*(



1)

n

n

n







...........

y

y

( n n

  ..................................................   

C y n 0W  . (đpcm)

 kC vì

* Từ hệ

( C y 1 1 giải ra được 3.2. Phương pháp biến thiên hằng số ,...,

y là nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình n  C y C y

  ...

C y n

1 1

2

n

2

 là các hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình.

(3.3)

2 ( ) y x n 1.. )

kC k (



f x ( )

Giả sử , y y 1   nL y  Khi đó 0 (Trong đó 

C



  nL y

k

C x ( ) k

ta coi ta có Để tìm nghiệm của phương trình





 ( ) y x

  ...

  ...

y x ( )

y

 C y 1 1

y 1

C y n

 n

n

dC 1 dx

dC n dx

,...,

. Để cho biểu thức của đơn giản

C sao cho

  ...

 . 0

y

C C , 1

2

n

y 1

n

dC 1 dx

dC n dx

ta chọn

 ( ) y x



  ...



  ...

y

C y n

 n

 n

 C y 1 1

 y 1

kC sao cho

dC 1 dx

dC n dx

  ...

 . 0

y

 y 1

 n

dC dC n 1 dx dx ………………

n ( )

n ( )

n

 1)

n

 1)

Khi đó . Ta chọn

y

x ( )



  ...



  ...

y

C y 1 1

C y n

( ) n n

( y 1

( n

dC 1 dx

dC n dx

Trang 37

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

. Cuối cùng

f x ( )



Phương trình vi phân   nL y

n

n



1)

 1)

ta có Thay các đạo hàm vừa tìm được vào phương trình

  ...

y



f x ( )

n

i

i

( y 1

n ( n



  C L y x  

  

dC n dx

dC 1 dx

i

 1

n

 1)

n



1)

.

  ...

y



f x ( )

( y 1

( n

dC n dx

dC 1 dx Vậy ta có hệ

y

0



  ...

n

y 1

0

y

...  



 y 1

 n

Hay .

dC n dx dC n dx

 1)

n

 1)

y

f x ( )

...  



( y 1

( n n

dC n dx

dC  1  dx  dC  1  dx   ......................................   

0

(3.4)

dC 1 dx 

 W y

1,...,

y  nên từ (3.4)  giải ra duy nhất các n

idC dx

Do .





( ) x

  x dx

 i

  C i

 i

  i

dC i dx

n

n



x dx ( )

(3.5)

  y x

 i

 y  i i

 1

 1

i

i

Giả sử vậy



f x ( )

  nL y

  y i (3.5) là nghiệm tổng quát của phương trình Chú ý: (3.5) gồm hai thành phần + Thành phần đầu

0

i

  nL y  .

iy là nghiệm tổng quát của

.

( )

i

y i

x dx  .  f x ( )

+ Thành phần thứ hai là một nghiệm riêng của

  nL y

phương trình

 x

y

 

2

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình

 

Ax

 

y

 0

y



Ax

  B

1 2

 y x  y    y

1 x

2

Xét phương trình và Do đó y

2

 y x   y 1  y 

2



C

x chọn hệ nghiệm cơ bản là  1

2

2



x





0

y C x  1 1 2

dC 1 dx

dC 2 dx

coi Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là

C



 C C x 1( )

1

C x 2 ( )

2

2

2

x

  0

x

 

dC 1 dx

    

     

dC 1 dx dC 2 dx

x 2

3

và ta có hệ

C ;

 



C 1

1

2

 2

x   2

x 6

3

y





x



x

/ 3

 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là

2   2

1

Trang 38

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Vậy .

Phương trình vi phân

n ( )

1)



n

(

  ...

f x ( )





a y 1

  * L y n  n 1.. )

 f x là hàm liên tục trong  ( )

,a b .

(4.1)

Dạng ia i (

§ 4. PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CÓ HỆ SỐ HẰNG SỐ. y a y n là các hằng số R , Trong đó 4.1. Phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số.

*

0

 

nL y  (4.2)

kx

Xét phương trình

y

n

kx

kx

Phương trình (4.2) có thể giải được bằng phép tính đại số: Đặt

e



  ...





0

k

a k 1

a n

 

 1

n

n

Ta có .

  ...

F k ( )



0

a

a k 1

n

   và gọi là phương trình đặc trưng của k  kx là nghiệm của (4.2) thì k phải là nghiệm của phương trình

e

F k  .

y 0

(4.2) . Khi đó để đặc trưng ( ) Ta xét các trường hợp sau:

( ) 0

k k ,

2

k khác nhau. n

và ta chọn k để thoả mãn phương trình. e *  1 n   L e   n Ký hiệu

i

e





n 1.. )

F k  có nghiệm đơn 1 (

iy

a) Phương trình ik x

,..., là các nghiệm riêng của phương trình (4.2) .  

i 

x

i

x

thì

  e     e y

 e





x

x

. Điều này được khẳng định từ bổ đề. Khi đó rõ ràng Chú ý: Trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm phức k thay cho nghiệm và y cos

iv x ( )

u x ( )



y

  

, trong đó

u x v x ( ), ( )  u x v x cũng là nghiệm của phương trình (đối với

0

x

x

 x i

cos

 e



e



x

của phương trình (4.2) ta sẽ có hai nghiệm thực là sinx * nL y  có nghiệm 0 ( ), ( )



Do nên theo bổ đề ta có điều khẳng định Bổ đề: Nếu phương trình là các hàm thực thì các hàm   nL y  cũng đúng). phương trình      i   sin

x

x

ik x

trên.

 độc lập tuyến tính trong khoảng

,

e

cos

 , x e

sin

x







 e ,  do đó chúng lập nên một hệ nghiệm cơ bản.  y





3

2

y

y

1,

k

k

2

0,



2 k 

  . Ví dụ 1: Xét phương trình 0 3 Phương trình đặc trưng tương ứng k y 1; 

 do đó

 0 x 2 . e

2

 y 3

y 1 x

23  k ;x  e x 2

Tập các hàm









y

y

9





3



9

k



 13 0

 

 

i k 2 3 ; x 2

2

x

x

  k 2 1 3 Nghiệm tổng quát y C C e C e  1 2 3   . Ví dụ 2:  y y 0 13 3 23 Phương trình đặc trưng  k k 1   2 3 i k k 1; 2 

3 cos3 ;



e

e

y

e

;

x

2

x y 3 

 x

sin 3 x 2

2

x

.

y x ( )





sin 3

x

C e 1

 x C e 3

  y 1 Nghiệm tổng quát b) Phương trình đặc trưng có nghiệm thực

C e 2 k

cos 3 k bội m .

i

m

k x i

k x i

k x i

y

;



.

2

(4.3) Trong trường hợp này ta chứng minh rằng phương trình (4.2) có các nghiệm y 1

e 1 x ;...; y  m thì  u x k ( , )

Trang 39

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

riêng xe  e Ta chú ý rằng: Nếu u

Phương trình vi phân

j

j







 * L u x k ( , ) n

* L n

j

  k

( , ) u x k j  k

j

*

ik x

   với

(tự chứng minh đơn giản).

0

    . 1 m 0..

j

nL x e 

kx

kx

Ta chứng minh

F k e ( )

   *  nL e 

  

j

j

j ( )

kx

j



l

kx





kx e F k ( )

l ( ) C F k x

( )

e

l j

j



*  L e  n

 

 

 

 

    k



l

0

Vi phân đồng nhất thức j lần theo k .

j

j

kx

kx

kx

mặt khác theo chú ý ta có



e



* L n

j

j

*  L e  n

 

* j  L x e  n

 

 

 

  k

    k

  

.

j

kx

l ( )

kx

j

Do đó

k x ( )

e l

l C F j

* j  L x e  n

   

l



0

j

j

k x i

k x i



( ) l C F k x ( )

e l

k

,

k i

l j

i

* j  L x e  n

   



0

l

đặt .

(

m

 1)

(

m

)

  0

 ( F k

0,...,

0,



)

)

(

k

)



0,

F

(

k

)

 . 0

i

i

*

ik là nghiệm bội m của phương trình  F F k ( ) j ik x

Nhưng vì

i 

0

1

j

m

1, 2,...,

F k ( i     

 nL x e 

 ,  .

(đpcm).

i  j

j

x

x

m

bội m .

  1 e j

cos

cos

cos

,...,

 e j

 e j







x

x

x

 j

x y , 2

 j

 j

y m

y 1

x

x

x

m

Do đó Ta chú ý hệ nghiệm (4.3) là độc lập tuyến tính trong  c) Phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợp Ta chứng minh rằng trong trường hợp này phương trình có 2m nghiệm thực x x

sin





 e j

 e j

sin

x ,...,



x

  1 e j

sin

x

 1



2

y 2

x y , m

 j

y m

 j

m

 j

x Thật vậy theo b) thì (4.2) có các nghiệm

i

i

x

x

j

j

j

j

m

 1





.

x





 e  

.......

my

 ,  .

(5)

( 4)







y

y

y

8





2

 0

16

16





k

y  

8  y ( ) F k  k

 e   y 1 2m nghiệm trên, các nghiệm này độc lập tuyến tính trong  Ví dụ: 16  5  k i k 2 ,

 4 k k

1,



k

2

3

4

5

x

cos 2 ,

cos 2 ,

sin 2 ,

sin 2

x y











e

x

x

x

. Dựa vào bổ đề và công thức ơle ta nhận được

x y 5

x y 3

2

4

x

 x C

 x C

cos 2

sin 2

sin 2

y x ( )

C





x

x

 x C



C e 1

2

4

5

lập thành hệ nghiệm cơ

 . 0 16 y 3  k  k 8 8   có nghiệm 1  i 2 k (nghiệm 2i bội 2 ; nghiệm 2i bội 2 ). Do đó các hàm y y , 1 bản  nghiệm tổng quát là :  cos 2 3 4.2. Phương trình tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng số.

*

f x ( )



  nL y

Trong phần này ta xét dạng phương trình . Trước hết ta chứng

Trang 40

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

minh một bổ đề quan trọng gọi là NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT NGHIỆM.

Phương trình vi phân

*





v x v x là các hàm liên

( ),

( )

2

Bổ đề: xét phương trình

  nL y y x là nghiệm của 1( )

. Trong đó 1 tục, giả sử

*

.

2 ( ) v x  v x ( ) 1

v x ( ) 2





y

.

 y x ( ) 1  



( ) v x 1   * nL y y x là nghiệm của 2 ( ) y x ( ) 2  * L y n 1

v 1

2

2

v x ( ) 2  v x 1( )   * nL y    Khi đó  nL y  * ). L y   v 1 n 2 Ý nghĩa của bổ đề là nếu vế phải

( )

*

( là nghiệm của   * L y n

f x ( )

nL

 1

S

S

f x của phương trình không thuần nhất là một hàm phức tạp thì ta có thể phân tích hàm đó thành tổng của nhiều hàm đơn giản và lần lượt giải các phương trình có vế phải là các hàm đơn giản đó. Sau đây ta xét phương trình  Ta xét ba trường hợp. a) f x ( )





A x 0 px

A x 1 S

  ...  1 S

(4.4)

f x ( )



e



A S   ...

)

px

b)

A x 1 ( ) cos

A S ( ) sin



qx Q x

( 



A x 0 P x S

S

.

f x ( ) ( )

S

 e P x Q x là đa thức bậc S , S  1

S

S

qx ,iA p là các hằng số.   ...



A S

A x 1

A x 0

c) Trong đó ( ),

 1

S

S

* y x ( )

  ...



B x 1

B S

f x ( )  na  ta chứng minh rằng phương trình có nghiệm riêng là một 0 . B x 0 kx ta sẽ xác định được

a) Xét phương trình (cid:0) Giả sử hệ số

0

k  là 0

 1

n

na   (điều này có nghĩa

kA . theo S )  còn ... a   0 1   n F k  ). 0

1..  ( )

(cid:0) Giả sử đa thức bậc S . Ta tìm nghiệm riêng dạng  Thay vào phương trình (4.4) và so sánh các luỹ thừa các hằng số 

 1

S

S

trình

* y x ( )

  ...





(4.4) có nghiệm riêng dạng  y   phương trình

z

B x 1

0

B S

kB k (  a a n nghiệm bội  của Ta chứng minh rằng phương 

  x B x

n

n

  



  



1

a



....

f x ( )



z

z  

n

 S

z

a z 1 ....







 phương trình có  , do đó tích phân  lần ta thu được

B S

*

. Thật vậy đặt





y

....





.

(4.4) có dạng * nghiệm riêng  S x B x 0   x

y

a

0)



1

 y 2 ( Ta tìm nghiệm

. Ví dụ:



B x 0  B S  0, a  n n  *( )  x Ax B y x



2



x

, thay vào phương trình vi phân ta nhận

y x ( )







3

x

A



;

B

  . Nghiệm tổng quát

3

 C C e 2

1

x 2

1 2

px

S

S

 1

được .

(

e



  ...

)

A x 1

A x 0

b) Trường hợp .

y

f x ( ) px  e z  1) n (

 A S ( z là hàm cần tìm). Thay vào phương trình ta được  1

px

S

S

px

n ( )

z

e

e







  ...

  ...

b z 1

b z n

A x 0

A x 1

A S

(

)

(

n

n

 1)

S

  . (4.5)

  

....



A S

Đặt

  b z A x    ... n 0  n 1.. ) i const (

b z 1  ib

  hay  z Trong đó Chú ý rằng nếu xét phương trình đặc trưng của (4.5)  1 n

n

k



  ...

0

 (4.6)

b k 1

b n

Trang 41

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

, ta lại trở về trường hợp a).

Phương trình vi phân

n

n

 1

k



  ...

a

0

 (4.7)

a k 1

n

  .

a

p

a thì (4.7) có nghiệm k  a p x

ax

và

y



 e 

z

là nghiệm của (4.5) thì là nghiệm của (4.4) .

Thì ta thấy nếu (4.6) có nghiệm k Vì : nếu e Vì vậy ta có nhận xét:

k  hay phương trình

0

nb  thì phương trình không có nghiệm

0 p . Do đó ta đi đến quy tắc:

(4.7) không có nghiệm k Nếu p không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng

0

px

S

  ...



e

B S

 

0

1. Nếu

F k  thì ( ) *  y x ( ) B x  . 0 k  bội  thì phương trình 

4.7 có

F k  thì phương

0

2. Nếu phương trình 

px

S

* y x ( )



  ...

phương trình (4.4) có nghiệm riêng 4.6 có nghiệm p bội . Do đó ta có quy tắc: nghiệm k Nếu p là nghiệm bội  của phương trình đặc trưng

B S

0

( )  

*

3x

trình (4.4) có nghiệm riêng

y

   y

x

 nghiệm riêng

e

y



e

*

2

x

. Ví dụ 1:

y

   y

x

 nghiệm riêng

y

  Bx C





e

  e x B x   Ax B   x xe Ax



x





Ví dụ 2: .

1

p

e

(

x



5)

y

y



   là nghiệm bội 3

 y  x

Ví dụ 3:

3 *   y

x 3 (   3 3 x e

.

qx Q x

f x ( )





( ) sin

qx

1)  2 1   y  e



S

 Ax B   px P x ( ) cos S Ta đưa trường hợp này về trường hợp b).

iqx



iqx

iqx



iqx

c) Trường hợp .



qx

e



e

qx



e



e

; sin

cos









1 2







 p iq x



 p iq x



e



e



f x ( )

1 2 i P x Q x ( ) S S  i 2

( ) 2

  

  







 p iq x



 p iq x



e

e



V x ( ) 2

V x ( ) 1

P x Q x ( )  S S   2 i  P x Q x ( ) S S  i 2

( ) 2 ( ) 2

  

  

   P x Q x ( )  S S   i 2 

  

( ),

2

1

V x V x là liên hợp), áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm ta có: 0

( )



 p iq x



e

Biến đổi:

( )

* y x 1 ( )

0 F k  do đó ta tìm nghiệm ứng với

( )

0

F k   ta tìm nghiệm riêng ứng với vế phải là F k   p iq V x là 2 ( )



 p iq x



. Vì p iq không là nghiệm của

R x T x cũng liên hợp, tức là

( ),

( )



e

S

* y x 2 ( )

T x ( ) S

( ) 2 (chú ý ( ) (*) p iq không là nghiệm của 1( )V x  R x ( ) S cũng không là nghiệm của * 2

* ,y y là liên hợp suy ra 1





. Vì



.

P x ( ) S ( ) P x S của



4.4

p iq x





p iq x

*



R x ( ) S ( )  T x S riêng 

y





y



e

e



S iQ x ( ) S iQ x ( ) S phương 

* y 1

* 2

 P iQ S S

px

cos



e

2

sin

  qx Q 2 S

  P S

px

Do đó ta có ngiệm trình có dạng



e

( )cos

qx Q x



   P iQ S S  qx qx ( )sin

S

  P x S

.



Trang 42

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

( )

0

px

Ta có quy tắc: Nếu p iq không phải là nghiệm của

(4.4) có nghiệm riêng dạng

*( ) y x



e

( )cos

qx Q x



( )sin

qx

P x S

S

. Trong đó



Phương trình vi phân F k  thì phương trình 

S

( )

0

F k  thì tương tự như trên ta F k  thì (4.4) có

( )

0

px

qx Q x

( ) cos

( )sin

*( ) y x

qx





S

S

P Q là đa thức bậc S của x . ,S (*) Nếu p iq là nghiệm bội  của phương trình có quy tắc: Nếu p iq là nghiệm bội  của phương trình 



x





y



2

y



2

y



e

. nghiệm riêng dạng

  e x P x x cos



x

3sin

x



2

   . 1

 i p iq ;

 

i

 k 2

k

2 0

  có nghiệm 1



x

xe





x

x

 x

sin



x

Ví dụ 1: .

   

   y

x e x

cos

x

y

A x B  2  cos

sin 



 2  A x B 1 1

  .  A x B 2

cos x   

  .

Ví dụ 2:

S

Chú ý: Nếu một trong các đa thức Phương trình Vậy nghiệm riêng có dạng  *  A x B y x ( ) 1 1 * e  y x ( ) 2 P Q có bậc thấp hơn S (đặc biệt 0 ) thì nói ,S

P Q vẫn có bậc S . ,S

S

Trang 43

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

chung cả hai đa thức

Phương trình vi phân

Chương 6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN § 1. KHÁI NIỆM, ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

,

y

,...,

,...,



0

,

1

n

2

1.1. Định nghĩa

dy n dx

  

(1.1)

,...,

,...,



,

,

0

, F x y y

y

n

2

n

1

dy dy 1 2 , dx dx

dy n dx

  

  

  F x y y ,   1   ..............................................................     

Cho hệ phương trình vi phân dạng dy dy 1 2 , dx dx

(1.1) ta giải ra các đạo hàm



y

,...,



n

 f x y , 1 1

Hệ được gọi là hệ phương trình vi phân cấp một. Trong trường hợp nếu từ hệ



,...,

y

)

f x y ( , 1 n

n

dy  1  dx  ................................   dy n  dx 

,....,

x y , 1

y , không phụ thuộc các n

(1.2)

y như là toạ độ của một điểm trong không n , khi đó mỗi nghiệm của (1.2) sẽ ứng với một

n  chiều

1)

1nE  (

Trong đó các hàm ở vế phải chỉ phụ thuộc đạo hàm thì hệ như vậy được gọi là hệ chuẩn tắc. Giới hạn trong chương trình chúng ta chỉ xét hệ chuẩn tắc.

1.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm (Xem phần phương trình vi phân cấp cao). 1.3. Các loại nghiệm của hệ chuẩn tắc a) Nghiệm tổng quát: Ta xem gian x y ( , 1 đường cong trong không gian

,...., , x y 1 y )n ,...., 1nE  và nghiệm tổng quát của hệ (1.2) là hệ hàm

,

)

( ,

,...,

1

( ,

C n C

,...,

)

,

2

y x C C 1 2 y x C C 2 2



,...,

( ,

y

,

)

y x C C n

C n

n

2

1

 y 1  y   1 n  .....................................   

(1.3)

1nE 

lập thành một họ đường cong phụ thuộc n tham số. Nếu hệ (1.2) thoả mãn trong miền D nào đó

,...,

C

C

C







C trong nghiệm tổng quát các giá trị xác định

0 2

n

2

1C

n

2

điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm thì tại mỗi điểm của D chỉ có một và chỉ một đường cong tích phân đi qua. b) Nghiệm riêng.

1..





n

y x i ( ) i

y i

C C , 1 c) Nghiệm kì dị: Nghiệm điểm của nó tính chất duy nhất nghiệm bị phá vỡ.

Trang 44

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Người ta gọi nghiệm riêng của hệ (1.2) là nghiệm mà có được bằng cách cho 0 0 ,..., C C , 1 n được gọi là nghiệm kì dị nếu tại mọi

Phương trình vi phân

§2. ĐƯA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỀ PTVP CẤP CAO.

2.1. Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:



y



x



  x

  0

x



2 d x 2 dt

dy dt

dx   dt  dy   dt 2 d x 2 dt



t



t x C e C e 1 2



t





t y C e C e 1 2

     

Từ phương trình 2



3

x



2

y



2

x



y

dx dt dy dt

    

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình





3



2



3

  x

2 d x 2 dt

dx dt

dy dt

dx dt

dx dt

t

Từ phương trình đầu



2

    0

t x C e C te



x

1

2

2 d x 2 dt

dx dt

t

t

t

t

y



x











3

t  C te C e C e C te 3

C e 3 1

1

2

2

2





dx dt

1 2

1 2

  

  

hay







C t 2

C 2 2

 t e C  1 

  

.

Từ hai ví dụ trên  để giải một hệ phương trình vi phân ta có thể tiến hành như sau: (cid:0) Vi phân một phương trình của hệ đã cho để lập một phương trình vi phân cấp cao. (cid:0) Giải phương trình vi phân cấp cao đó ta tìm được nghiệm. Về phương diện lý thuyết ta phải chứng minh hai điều:



f

,...,





i

t x x , , 1 2

x n

dx i dt

ta có thể lập được một phương a) Với điều kiện nào thì từ hệ

1x

n

 1

,

t x ,

,...,

trình vi phân cấp n đối với một hàm nào đấy, chẳng hạn

1

n

x 1  1

dx 1 dt

d dt

    

  

,...,

x

(2.1) .

n d x 1 n dt b) Tiếp đó ta phải chứng minh  nghiệm của (2.1) đều ứng với một nghiệm 



x x , 1

n

2

Trang 45

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

của hệ (1.2) .

Phương trình vi phân Về phương diện lý thuyết người ta đã chứng minh rằng nếu các hàm 1n  theo tất cả các biến n 1.. )

i

(



liên tục và có đạo hàm riêng liên tục đến cấp

if thì cả a) và b) đều thoả mãn. §3. PHƯƠNG PHÁP LẬP TỔ HỢP GIẢI TÍCH Ví dụ mở đầu. Xét hệ



y



x

dx dt dy dt  y



x

y

 

       d x dt



t

Cộng hai vế của phương trình

dt

ln

x

y

ln

x

  

t  

  

C 1

y C e 1

 d x  y y x 



t

hay .



 

dt

  

y C e

x

2



t

t

x



t x C e C e 1 2



t

t





 

y C e 1 y C e

x

t y C e C e 1 2

2

  d x y  y x      

      

Tương tự trừ hai phương trình cho nhau



f

,...,





i

t x x , , 1 2

x n

dx i dt

Tổng quát: Từ hệ (3.1)

,...,



C



x





n

,....,







C 1

x n

(3.2) Có trường hợp có thể giải được bằng cách lập các tổ hợp giải tích tức là lập nên những phương trình vi phân mới là hệ quả của phương trình ban đầu từ đó thu được các hệ thức dạn t x x , , 1 2



,...,





t x x , , 1

x n

2

k

(3.3)

C k Nếu tất cả các tích phân đầu này độc lập tuyến tính tức là có ít nhất một định thức

,....,



0

 (3.4)



2

 k ,..., x ik

Hệ thức (3.2) gọi là tích phân đầu của (3.1) . Nếu tìm được k tổ hợp giải tích thì ta sẽ có k tích phân đầu.  t x x , , 1 1 2  ...................................   

,

,...,

(

x i 1

x x , 1 2

2

n và các tích phân đầu độc lập thì các hàm chưa biết đều xác định được từ

  D 1  , D x x 1 i i x thì từ hệ (3.3) x là k hàm nào đấy trong )n x ,..., i ik ta có thể biểu diễn k hàm chưa biết theo các hàm còn lại rồi thay vào hệ ban đầu ta sẽ hạ được k cấp hệ đó. Tức là đưa được về n k phương trình. Nếu k hệ (3.3) . Ví dụ 2: Xét hệ:

Trang 46

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Trong đó

Phương trình vi phân

  y

z

  z

x

  x

y

z

 d x





     x

0

y

z C 1

dx   dt  dy   dt  dz   dt    y dt

. Nhân phương trình Cộng 3 phương trình lại

2

2

2

đầu với x , phương trình 2 với y , phương trình 3 với z , sau đó cộng 3 phương trình



x



y



z

  

0

x

y



z



C

2

dx dt

dy dt

dz dt

3.1 dưới dạng sau đây gọi

...









lại .

dx 2 ,...,

dx n ,...,

x

x

)

)

)

dt ,...,

)

 n

n

n

x n

x n

 2

t x ( , 1

t x ( , 1

t x ( , 1

 0

t x ( , 1

Chú ý: Để tìm các tổ hợp giải tích người ta thường viết  là dạng đối xứng: dx 1 ,...,

 . if

 1  i  0

Trong đó

§ 4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

4.1. Định nghĩa Ta gọi hệ thuần nhất tuyến tính là hệ có dạng:





  ...

a t x ( ) 11 1

a t x ( ) 12 2

a t x ( ) 1 n n





  ...

t x ( )

2

2

a t x ( ) 1 1 n

t x ( ) n

a nn

a n

dx  1  dt  ............................................................   dx n  dt 

(4.1)

x 1 x 2

X







;

;

A t ( )

a t ( ) ij





 n n

dX dt

.. ..

x n

       

       

dx 1 dt dx 2 dt .... dx n dt

         

         

Ký hiệu



A t X ( )

dX dt

Trang 47

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Khi đó (4.1) có dạng (4.1)

Phương trình vi phân



A t X F t ( )

( )



Tương tự ta có hệ

dX dt

(4.2)

t ( )

f 1 f

t ( )

2

F t ( )



..

f

t ( )

n

     

     

Trong đó (4.2) gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính không

f

( ) ,

t là các hàm liên tục trong  ( )

i

a t ij



,a b





,

t

 a b

,a b khi đó trong hệ (4.2) thoả mãn điều kiện định lý tồn tại và duy nhất nghiệm. 

0

,a b .

thuần nhất.

L X 

)

(

0





A t X ( )

4.1



 L X

L X (



)





, khi Đặt dạng đó có Sau đây ta giả sử các     , Sau này ta sẽ thấy đối với (4.2) nghiệm xác định bởi hệ điều kiện đầu với sẽ tồn tại duy nhất trên toàn khoảng  4.2. Toán tử vi phân tuyến tính 







 L C X C X 1

1

2

2

2

1

1

2

.

0

)

(

k

kC X

L X  thì  n 1.. ) ) cũng là nghiệm của hệ phương trình. const

iX i (  kC

là các nghiệm của hệ





L X  với ma trận

0

)

(

thực có nghiệm phức X U iV

dX dt (4.2) có dạng . F t ( ) a) Tính chất của toán tử L .    C L X C L X b) Một số định lý về nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất. * Định lý 1: Nếu (với  A t * Định lý 2: Nếu thì ,U V cũng là nghiệm của hệ phương trình đó. 4.3. Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính

,...,

,a b .

X X , 1

2

X xác định trên  n x t ( ) 1 i x

t ( )

i

i (

n 1.. )

X





i

2 ...

x

ni

      

      

,a b nếu tồn tại các hằng số

( ) t iX là phụ thuộc tuyến tính trên 

,

2

n

1

a b ,

X

X

Giả sử các vector

4.3





1

2

n

  ...    1 2 4.3 chỉ nghiệm đúng với

  0 n i  thì  0



4.3 tương đương với hệ

Trang 48

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Khi đó ta nói rằng     không đồng thời bằng không sao cho ,...,   t X iX gọi là độc lập tuyến tính trên Nếu   ,a b . Chú ý rằng 

Phương trình vi phân



  ...



0

x 1 n

 n

x 1 11

x 2 12

  ...



0

x

1

2

n

    ............................................     x  1 n 2

i không đồng thời bằng

x   n nn Đây là hệ phương trình đại số thuần nhất đối với i . Để không

.........

x 12

x 1

n



,

,...,

X



det

x 11 ...........................



0

1

2

n

 W X X



..........

x n 1

2

x nn

    

    

,

,...,



x n iX . X gọi là định thức Wronski của 

1

2

n

,a b thì

0

,

X  trên khoảng đó.

 W X X * Định lý 1: Nếu n vector 

iX phụ thuộc tuyến tính trên  

 W X X

n

1

2

2

t



X

X

2

1

2

t

t     t  

,..., Nhưng điều ngược lại không đúng.     W X X  .

     ,





2

1

2

1

0 iX là các nghiệm của phương trình

(

)

Chẳng hạn ta có thể chứng minh theo định nghĩa

,X X độc lập tuyến tính nhưng Tuy nhiên ta có thể chứng minh rằng nếu  L X  thì điều ngược lại là đúng. 0 * Định lý 2: Nếu

,

(

)

n

t

X của các nghiệm  a b ,

 iX của hệ L X  triệt tiêu 0 liên tục của các hệ số của hệ



,..., 

1 2   t 0

  t

,

,...,

0

,a b và

, a b



 W X X

iX sẽ phụ thuộc tuyến tính trong khoảng  X 

1

n

2

( )X t là nghiệm của

L X  sao cho 0

(

)

0

)

0(

0

 thì X  0 0

.

 . 0

,...,

det

X



,

x t ij

( ) 0

n

2

1

0

 t  t C X t (



)

 W X X dù chỉ tại một điểm phương trình thì   Chứng minh: X t  với Chú ý mở đầu: Nếu  X t  do tính chất duy nhất nghiệm (vì phương trình tồn tại ( ) a b t , 0 t ). nghiệm  W X X Xét phương trình C X t ( 1

2

0

1

0

2

  C X t ...   ( n n  C x t ) (

) t (

 0   ... )



0

)

(

0

1 11

2 12

C x 1 n n

t 0

0

Theo giả thiết

C x

t

t

  ...





(

(

(

)

)

)

0

C x 2 n

n nn

t 0

n 1

0

0

2

Phương trình tương đương với hệ

det

0

iC không đồng thời bằng không .

ijx t

0  ( ) Xét biểu thức

Do

) 0 C x   .............................................................   C x  1    các nghiệm   X t

C X t ( ) i

i

 

L X  (tính chất của toán tử L ) và vì

0

(

)

 ( )



  

t

0  

0 iC X t  0

X t   theo tính chất duy nhất iX phụ thuộc tuyến tính

i

 (đpcm).

   t

W X X

,

  X t ,...,

0

 hay a b , ,  a b

đây cũng là nghiệm của phương trình

1

2

0  X  n

Trang 49

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

nghiệm  

  t

)

(

0

, a b



X t của hệ

X t X t ( ),

( ),...,

( )

1

2

n L X  được gọi là hệ nghiệm cơ bản của phương trình.

0

(

)

0

)

(

t

,

 a b



.

L X  luôn luôn  hệ nghịêm cơ bản. Vì ta chỉ cần iX

iX sao cho W 0 tại một điểm

0

khi đó  

Phương trình vi phân Chú ý: Từ định lý 1 và định lý 2  W của n nghiệm của hệ phương trình L X  hoặc đồng nhất bằng không hoặc khác không 4.4. Hệ nghiệm cơ bản Định nghĩa: Hệ n nghiệm riêng độc lập tuyến tính phương trình Đối với hệ phương trình chọn n nghiệm riêng  sẽ là một hệ nghiệm cơ bản.

 ij

iX mà sao cho

x t  ) ij ij

0(

i i

 

j j

0    1 

L X  thì nghiệm tổng quát

0

)

(

trong đó Hệ nghiệm cơ bản  ( ij

n

X

ký hiệu Krôneke ) gọi là hệ nghiệm CHUẨN TẮC. iX là hệ nghiệm cơ bản của hệ * Định lý 3: Nếu 

i

  . C X i

i

 1

n

của hệ phương trình là

X

C X i

i

  là nghiệm

i

 1

a) Biểu thức

iC điều này được suy từ

,

,...,

2

1

n

 W X X Chú ý: Công thức

b) Từ hệ thức trên ta có thể giải ra các

i

 X  0 iC X

x 10 x 20



X



cho ta mọi nghiệm của phương trình . Giả sử tìm nghiệm

( )X t sao cho

 X t



0

0

..

x n

0

      

      

.

t

)

(

)

(



C x

  ...



(

)

t

0

t 0

1 11

2 12

C x 1 n

n

0

  ...

C x

t (





x

(

(

)

)

)

t

t

C x 2 n

n nn

0

0

2

0

n

0

x C x  10  .............................................................   C x  1 n 1

Khi đó xét hệ

det

0

  tìm được

iC theo

0X .

ijx t



0 ( )

Do

§5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT

n



f



a t x ( ) ij

j

i



dx i dt

Xét hệ dạng (5.1)



A t X F t ( )

( )



1  j dX dt

Trang 50

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Hay viết dưới dạng ma trận .

Phương trình vi phân

X X

L X  tương ứng thì tổng

0

(

)

1X là nghiệm của hệ

1

5.1. Một số định lý về nghiệm của hệ phương trình (5.1) . * Định lý 1: Nếu X là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất (5.1) còn là nghiệm của (5.1) . Chứng minh: (Dựa vào tính chất của toán tử L ). * Định lý 2: Nghiệm tổng quát X của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất trên khoảng  t ) bằng tổng của ( )

,a b (là khoảng liên tục của các hệ số

ija t và ( )

if

n

C X i

i



i

1  nghiệm riêng X của hệ không thuần nhất.

n

X





X

C X i

i



i

 1

nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng và

iC tuỳ ý điều này suy ra từ tính chất của L .

n

n

L

X











  F t

 L X



 C L X



C X i

i

i

i





L X  

 

 1

 1

i

i

  

  

n

X





X

Chứng minh: Ta phải chứng minh hai điều: a) Thoả mãn (5.1)

C X i

i

iC .



i

 1

n



 X X

b) Từ biểu thức ta có thể giải ra các hằng số

C X i

i



,

,...,

0

 W X X

 X  .

1  i iC và Krame của hệ là tuyến tính đối với

1

2

n

n

Thật vậy ta có khai triển ra đây là một hệ phương trình đại số

X





X

C X i

i



i

 1

t

X

 X t

 X t

t thì 0

0

0

 5.1 . Để giải bài toán Côsi tìm nghiệm trong đó

0X là vector tuỳ ý cho trước, ta phải chọn

Ta chú ý rằng công thức cho ta mọi nghiệm của phương trình

n



X t (

)



)



X



X t (

)

sao cho tại iC sao cho

C X t ( ) 0 i

i

0

X t ( 0

0

0



i

.

iC

,...,

,

0

X  . Do đó tìm được duy nhất

2

1

n

trình đại số tuyến đối

hệ  W X X phương  tính với và iC thoả mãn bài toán Côsi.

1  là Đây Krame  * Định lý 3: (Nguyên lý chồng chất nghiệm).

n

X

 L X



F i

iX của các hệ phương trình

i

 của các nghiệm

i

 1

t ( )

m

f 1 i f

t ( )

i

Tổng là



F i

 L X



F i

  trong đó

i

 1

2 ... f

t ( )

ni

      

      

nghiệm của hệ

Trang 51

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

(Theo tính chất của toán tử L ).

Phương trình vi phân

( ) ,

( )



  L X U iV



a t u t ( ), ij

i

v t có nghiệm i











V

U

U

V



v t ( ) 1 v t ( ) 2 ....

v t ( ) 1 v t ( ) 2 ....

u t ( ) 1 u t ( ) 2 ....

u t ( ) n

u t ( ) n

X U iV      

* Định lý 4: Nếu hệ với các hệ số thực

     

     

     

U

V

          ( ) v t   n  và L X





X X ,

,...,

X của hệ thuần nhất tương ứng 

trong đó u t ( )  1  u t ( )  2  ....  

     ( ) v t  n  Thì U và V sẽ là nghiệm tương ứng của hệ L X (Theo tính chất của toán tử L và so sánh các phần thực , ảo). 5.2. Phương pháp biến thiên hằng số Phương pháp gồm hai bước * Bước 1: Tìm hệ nghiệm cơ bản 1

2

n

n

X

5.2

C X i

i

  

i

 1

n

nghiệm tổng quát

C t X ( )

 C C t ( )

i

i

iC t ( )

i

i



i

 1

* Bước 2: Xem và chọn sao cho biểu thức thoả mãn



F t ( )

 L X



n

n

i







X

.

5.2 theo t ta được

i

C t ( ) i





dX dt

dC t ( ) i dt

dX dt

i

i

 1

 1

n

n

n

n



X



A t ( )

C t X ( )



X





A t ( )

C t X ( )



F t ( )

i

i

i

i

i

i







dC t ( ) i dt

dX dt

i

 1

i

 1

i

i

 1

dC t ( )  i dt 1  (5.3)

(5.3) là phương trình vector tương đương với hệ

n

t ( )



f 1

x i 1



dC t ( ) i dt

Vi phân 

n

t ( )

f



x ni

n



dC t ( ) i dt

i

 1

  i  1  .................................    

,

,...,

0

(5.4)

X   giải

t ( )

 W X X



1

2

n

 i

dC t ( ) i dt

5.2 ta được

iC vào 

  C i

  i

n

n

n

Krame = ra duy nhất

X



X





 i

i

i

C X i

i

 i

i



 t dt X ( )

t dt C  ( ) i   

  

i

 1

i

 1

i

 1

hay . . Thay giá trị của các   t dt C X ( )

0

y



F



   x

1 cos

t

    

    

dx dt dy dt

1 cos

t

    

Trang 52

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Từ công thức trên ta thấy X là tổng của nghiệm tổng quát và một nghiệm riêng. Ví dụ: Giải hệ

Phương trình vi phân



y

cos

sin

t



   0

x

y

 t C 2  t C

sin

cos

t

2 d x 2 dt

 x C 1   C 1

2

 

x

dx dt dy dt

    

Bước 1:

i





t

cos

t

0

sin





sin

cos

t

t

     



ln cos

Bước 2: Xem

1 t cos   t C

t C C t ( ) ; 1

2

2





cos

 t C

sin

t

cos ln cos

t

t

t

sin

t

x C 1

2

 





sin

y

cos

t

sin ln cos

t

t

t

cos

t

C 1

 t C 2

C C t  ( ) i dC t ( ) 1 dt ( ) dC t 1 dt C t ( ) 1      

thay vào hệ ta được (thay trực tiếp) dC t ( ) 2 dt ( ) dC t 2 dt 

§6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CÓ HỆ SỐ HẰNG SỐ





  ...

a x 11 1

a x 12 2

a x 1 n n

Đó là hệ phương trình vi phân có dạng

6.1





  ...

a x 2 2 n

a x nn n

a x 1 1 n

dx  1  dt  ...............................................   dx n  dt  ija là các hằng số.

6.1 mà không cần đưa nó về phương trình vi phân cấp

 t

 t

 t



,...,



x 2

p e n

x n

(6.2)

2

6.1 dưới dạng sau ,  p  là những hằng số mà ta sẽ xác định. ,n

6.1 , ta được hệ phương trình đại số tuyến tính sau

,...,

  ...







0

2 a 11

a p 1 n

p 1

n

2

p

  ...







0

p : n    a 22

a p 2 n n

2

Trong đó Ta có thể giải hệ  cao. Ta sẽ tìm nghiệm của hệ  x  p e p e 1 2 1 p p , ,..., 1

6.3

p

  ...







0

 



a p 2 2 n

a p 1 1 n

a nn



n Đó là một hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất, nó phải có nghiệm

Trong đó Thế các biểu thức (6.2) vào  đây đối với p p , 1   a p 12   a p   21 1  .....................................................   

Trang 53

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

khác không, do đó định thức của ma trận các hệ số của nó phải bằng không.

Phương trình vi phân





.......

a 11 a

a 12  

.......

a 1 n a

21

2

n

a 22



0

6.4

...........................................

a

a

.......





n 1

n

2

a nn



6.4 được gọi là phương trình đặc trưng của hệ 

6.1 , nó là một phương trình đại số bậc n đối với . Nghiệm của nó được gọi là giá trị riêng của hệ.

Phương trình 

,...,

Ta xét các trường hợp sau:

6.4 có n nghiệm thực đơn

, 1

2

a)Phương trình đặc trưng 

   khác nhau. n i ta xác định được một vector riêng tương ứng

i



Ứng với mỗi giá trị riêng

P i

p 1 i p 2 ...

      

,...,

      p  ni 6.1 có n nghiệm

.

X X , 1

2

X n

t

 i

p e 1 i

t

 i

x 1 i x

i



X

n 1.. )

Khi ấy hệ phương trình vi phân 



i

i

p e i 2 ....

t

 i

2 ... x

ni

      

      

p e ni

      

        Hệ ấy được gọi là hệ nghiệm cơ bản. Khi đó nghiệm tổng quát của hệ 

6.1 là

n

X

C X i

i

  hay có thể viết

i

 1



  ...





  ...

C x 2 12 C x

1 21

 x C x 1 11 1 C x x 2



C x

  ...

C x 1 n 1

n

2

n nn

C x 2

C x  1 n n  C x  2 n 2 22 n  ..............................................   

   lần lượt bội

,...,

2

s

, 1

,

l

l

l

l

(

,...,

s

s

2

2

t

t

t



 1

2

  ...

 p t e ( ) s 1 s

p t e ( ) 12

t



t



s

t  1

2





p t e ( )

  ...

t e ( )

t e ( )

s

p 22

p 2

x 2

21

t

t

t



s

 1

2

p t e ( ) 1 n

x n

 x n 6.4 có các nghiệm thực b) Phương trình đặc trưng  . l     n l ... ) 1 1 6.1 dưới dạng Ta tìm nghiệm của hệ     p t e x ( ) 1 11    ..................................................................   

...   1, 2,....,

( ) p t e ns  s i ;

n

)

 là các đa thức bậc

ijp t ( )

,...,

1, 2,...., C . Dựa vào hệ phương trình 

(

 t e ( ) p  2 n 1jl  (  j C C , 1

2

n

các hệ số của 6.1

Trang 54

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Trong đó đa thức này phụ thuộc n hằng số tuỳ ý có thể tìm được các hệ số đó bằng phương pháp hệ số bất định.

Phương trình vi phân

6.4 có các nghiệm phức liên hợp.

c) Phương trình đặc trưng 

2

y

6.1 dưới dạng thực thì tương tự như phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp cao có hệ số không đổi ta dùng công thức Euler và lấy các nghiệm riêng là phần thực và phần ảo của nghiệm riêng phức tương ứng. d) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải hệ    x x   4 y x



3

y

  





0

Muốn được nghiệm tổng quát của hệ phương trình 

2 4  

  có hai nghiệm

0

5

 1 4

2  

3

  . 1

2

  5; 1 ứng với

1 5  hệ phương trình để xác định vectơ riêng là 



2

0

p 2

2

p

 . 0

  4 p 1

2

 p 1  (3 5) 



p

p 1

2

   1 5   4  2

0  . Vậy vectơ riêng

p



1,

p 1

2

1   là

1 5  là (1, 2) . Tương tự ta tìm được vector riêng ứng với

2

Phương trình đặc trưng là hay

5

t

5

t



e



e 2



t



t

 



e

x 1 x

y 1 y

2

2

e Vậy nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là

5

t



t



t



t

5





y

 x C e 1 C e 2 1

C e 2 C e 2

Có thể lấy ứng với (1, 1) . Do đó nghiệm cơ bản của hệ là

x

5

y

   x   y 2 x



y

   

1

Ví dụ 2: Giải hệ



0

   có nghiệm

2 9

0

 2

phương trình đặc trưng là hay



i 3

 1

5     1 1 3i 

3

i 3 it 

t 5sin 3

i

it

3



 

t cos3





i

t (sin 3



t 3cos3 )

  . Véc tơ riêng ứng với  t e 5 5cos 3 



 2  x 1 y 1

t i e 3sin 3 (1 3 ) Vởy nghiệm tổng quát của hệ đã cho là t cos 3



x



C 5 2 3sin 3

t cos3



t sin 3



t 3cos3





t sin 3   t C 2

C 5 1   y C 1 Ví dụ 3: Giải hệ

   x x    x y

y 3

y

  

Trang 55

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

. Do đó ta có nghiệm là là (5,1 3 )i

Phương trình vi phân

1





0

2 4  

  có nghiệm kép

4

0

1 

 

3

  1

 1  . Do đó ta tìm nghiệm của hệ có dạng 2 2 t 2

x



2

t

y



 

  at b e   ct d e

hay phương trình đặc trưng là

at 2 ct 2

 

 

( (

d 3 )

  a c t b d )     b ( c t 3 ) a  đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc ta được

2

a

 

a c

b a 2    b d a c c 2 3      c b 2

d

d 3

      

thế vào hệ phương trình ta được   b a 2   c d 2



,

,

c

 

 

(

 C C

)

1

2

1

C d , 1

1

2

2

t

tuỳ ý ta được .

2

2

t





 

y

1 C t C C e ) ( 1

1

2

Trang 56

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Cho  a C b C C C , 2 Vậy nghiệm tổng quát là  C t C e  ( x )

Phương trình vi phân

BÀI TẬP Phần 1: Phương trình vi phân cấp 1



y

cos

y



2.

sin   xy

 y x 2



y

3. Phương trình vi phân có biến số phân ly 1. 0  y y  1 sin  sin 1 x 2  y 1





1

y

y 2 cos cos 2  x 1 

x

4.

y

 1

y 1 2 y

5.

x

y 

y



21

2

 4 

y

x

 y

2

x

z

 2 x



y

6.

y



2

x

 z

y

x

2

2

e 2

 y

y 

dy 



2

x





y 2 2

Đặt  7.







2

x



2



0

 dy 2  dy



dy

dx





0

2

 z  0  dyy 2   xy x 2   y x  1 y  1 2 y  1

2

x



 1

y

0

z

 x

y



y

z  8.   1 dx e    1   9.  2 2  1 xy x dx yx     2 y  x dx 1 1 x 1   x 2   m y   p x (biến đổi về

10. Đặt .

 x y2

yxa







ay2

 ax

 yy

2

) 11. 

y

y





 x  n y      yxy 2 2 x

2

4

4

y

2 



y

(Đặt z = xy)

 2 yx 1

  xy

 0 

(coi là phương trình cấp 12. 13. Giải phương trình vi phân  2 đối với y’)

2

xdy



ydx

x

2 

y

dx

Phương trình vi phân thuần nhất

 y x

yx

 y

xe

14.

15.

yx



y

ln

y

ln

z



y x

y x

  

y x cos

z

 cos  

 cos    ln





dx x

2

2

2

 1) cxy 2 

y x z dx x yf



  d z ln  z cos(ln 1)   0 



3



0

 dy

yx

y



    z xz . dz  z z cos(ln  2  bx y cy 2  y 0  2  x y  4 2  2 .  yy

16.

2 bxy   2  yxy 3  y dx  1  2 

Trang 57

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

17. ax 2 18. yx 19.  x 2 20. 

Phương trình vi phân

y





sin



  1y

 2

2

2

0





y x y2

2

x 2



e

21. , với

 y (  yln  yxy

cos

cos

dx

dy







y

x

x

0

y x

2  0 ) yxx     1y,xln

  

22. 23. 24. 25.  26.  

y x  yxy 2  ) 3( y y x    yx 1y 2 2   y yx y x Phương trình vi phân tuyến tính

2

x

22 )



2

27. 28.

y



2

x



0

2 x arctgx y yx     x y xy 1( 1( ) 2 2xxe 29.  y xy2    30.  2  x x y x  1

 1

y

1



x



x

1



y

cos  yyg Đặt

z

y

sin



tgy

biến x hàm, y x 

)1





y

y

cot x  cos y  x hàm, y  1 yx y hàm, y   yy (  3x  3 2 x

biến biến x

  1y

  37.  

31.  y sin 32.  sin 2 33. y 34.  e y 2  35.   21 xy 36.  y xy 2 x  1

y



0

2 

y 3

y

y



xe2

38. (coi x là hàm của y)

xdy





, 0

1 x2    yy   dxy

yx2

 y

với y(0) = -1 (coi x là hàm của y)

1  x1

x1x2







0

 y4

    yx1x2  x3 sin2 yx y x x

2



39. ye 40.  x 2 41. Giải phương trình vi phân

y

cos

x

 y

tgy

2



y

1



x

 y

arcsin

x

thỏa mãn điều kiện 42.  43. 44. Tìm nghiệm riêng của phương trình

y

y(0)=0. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện y(0) =0.

xy  xy 2

 sin3 y 

1 x x 2 0

xydy



hàm, y hàm, y biến biến

Trang 58

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Phương trình Becnuli ln2 y x y 2 3  yy ay  x  3 2  yyx 1  y yx  12 dx   45. yx 46. 3 47.  48. 49.  x

Phương trình vi phân

3

2

z



cos

y

2

x

2

2  x ye z 





2

y





2

2

(2

y



)1

dy



0

 50.   cos 1 sin y  y  x y x  2 y 51.  y Đặt ex xe 52.  y 1 53.  2 2 x y x  

 dxy

2

y



y



yx 2





Đặt

 xy

y

1 y z 1 2 y x

ydx



2

xdy



dy

(biến đổi về dạng ) 54. Đặt 1 x

xy2 2 cos y

2

xydy



55. Tìm nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn điều

  0y kiện   y y1x   2  y   xy dx



y



4

y

2

2 2 x yx (coi x = x(y))

y

y 2

2 yx 

 y

yxy

.  y  dxx  xdy

 ( là tham số)

cos

sin





cos

sin

dy



0

dx







56.  57. 58.  y 59. Giải phương trình vi phân  60. 2 2 yx x 61. 

1 y

x y

y x

1 x

y x

x y

1 2 y

y 2 x

x 2 y

  1 

  

x y

x y

x

e

dx

e



dy





1



0

. Phương trình vi phân toàn phần   

x y

  

  

 62.     63.  

   

2

2









dyy

dxy

.





2

x 12 2



0

y y

x  

 dxy

 cos 4

.

dy



0

x 

3 

x     a   x sin 2 2 yx 0 x

xy 2    xy2 2 x2

ydy

e2









0

y

. 0   dx 4 . xx cos y y  .

x y

x y







dy



0

x

e

e

1

64. 65.   xdy ydx x  66.  dyy y sin x  67.  3  dx x ln  dxy 2 68. dy3   x 69. 2e dx 70. Tìm nghiệm riêng của phương trình

x y

  

  

2

2

2

2





dx



xy3



cos



y

cos 3

 2

x2











0

x ysin

thỏa mãn điều kiện y(0) = 2.

  y1 0 dy  dx1xsinyx dy cos y 2 y

x  1  sin2

    71.  y 72.  y 73.   74.  

  dx     3 y 1  2 dyxsin  x   2  dxyx3 y3  2  x  dx2 

x

x

ey  x 

sin

  x x cos

 x

e 

 sin dxy   dxy 

 0 dyy   dyy  0

cos sin 3

ln

)

2

dy

2 1(3 x

y

dx

y







75. Giải phương trình vi phân  76. Giải phương trình vi phân 

x y

  

  

Trang 59

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

77. Giải phương trình vi phân

Phương trình vi phân

2

2

2sin

cos

ay





 dxx

2

2

xdy

cos

sin

ay





2

y

 dxx

78. Tìm hằng số a để  1

3

 yx

là vi phân toàn phần của hàm y xdy u(x,y) nào đó và giải phương trình vi phân   1 0 với a tìm được. Phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, .



y

cos

79. 80.

y 



81. 82. .

83. .

 1 y  y 2 .  e .y 1 2  ye .  xy   1 y y y Phương trình Lagrange- Klero 

y

y



sin

y



yx

 ye

3



y



z 

2y

. 84.

85. ( Nhân hai vế với y , Đặt ).





x

2

yx

hàm, y biến). 86. ( x

yx 2 3 2 2  2 yy xy y 1   y y  yx ln y  2 2  y y 

2



cos



y

x

;

2 

1

y

x

87. 88. . .  y  1 

89. Đặt  90. Tìm nghiệm của phương trình: thoả mãn các điều kiện ban

Phần 2: Phương trình vi phân cấp cao .  sin  2 



y

y

 4

1

khi khi

p

p 

)(xp

x

01 .

2

2

tìm . . 0  x . x  0 Đặt y 

3

y

 0 yy





d

ln

y



d

 y

 1ln

2

 y  y

3 2

 yy 3 2  y 1

2

3 2

.....

y



C  1

  1 y  yy

2

yy

 y

93. đầu: a)  y  y 2 ,0 b)  y  y ,0 1 91.   2 2   1 y y   2 92.   1 y y ya    y 1

y 

yz

2

 1 x

dx

2



ln

x



1



x

dạng thuần nhất, đặt . 94.



 .

2



1



x

Chú ý:

yy yy

95. 96.

x



d

y





y

y



1

  yd



y x

2y .  .  yy 1 1 2 x x

  

 0 



2

2

2

2 yy

2  y

97.

2

2

yy x ln

y



y



ln

y



d

x

.....

d





 yy  ln

Trang 60

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

98. chia hai vế cho yy  .

Phương trình vi phân

2  y (Đặt y’ = p(y) )

1

yey  y    y1y y 2  y yy

y 

y2e

(Đặt y’ = p(y) )



0y

  0y

  0 



yyx2   y1x  y cos

y

thỏa mãn

2  y   yx   2  y y   y yy 2x  yx y y 2   yy yy  yx y x   yx yy2 y

(Đặt y’ = p) 



yy2

99. 100. 101. 102. Tìm nghiệm của phương trình vi phân 103. 1  2 104.  y 105.  sin y 106. 107. 108. 109. 110.





0

   0y

   0y;2

3

111. Giải phương trình vi phân

2 yx

cos



x

x

, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần

y

y



 y

(Đặt z = xy’) y    Phương trình vi phân tuyến tính 112. y2  nhất tương ứng là y1 = x2

2 x

cot gx x

biết một nghiệm riêng của phương 113. Giải phương trình

y1 

xsin x

trình vi phân thuần nhất tương ứng

1 



y2



y1

1 x

x 2





y2



0

biết một nghiệm

 y1xx 2   y1



y2



x

2 

x

  y1x2

2

 2

x



x

y





y

nếu biết một nghiệm của nó có 114. Giải phương trình vi phân: 115. Giải phương trình vi phân  dạng đa thức. biết nó có hai 116. Giải phương trình vi phân 

1

2

 1x4 2

   y1x2  1 2 2xey 

nghiệm riêng

2

117. Xác định hằng số  sao cho là nghiệm riêng của phương trình vi







0

 x4

 y2

2

. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình.

yx4 tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 2  12

 4





x

x

 yx 1 x ,2

x

y







y 2 

biết rằng nó có hai nghiệm riêng

2

phân  y 118.  3 y 1

0

    4

y y y

  4

  7

 y 2 y   4 y   0

y y

y y

.

. 0 .

xy 6 2 1 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số 119. . y  0 120.  y  18 121. 122. 123. 124.

 y 12 13  9 2 y y . 0  y   y 3     6 5 3  y xe .

 2 3  4 y

y

Trang 61

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

Phương trình vi phân

2

2



y y

x . . x

2 y sin2 

.

y y y

 3 y  y  y 2 2  yn sin y

x  3 e 2   4 cos x x x cos  e 3 . nx 2sin x

2

2

y

y

2





* y 

xe

4 y sin x xex 24

125. 126. 127. 128. 129. .

có nghiệm riêng .

0 x

y







q

0

yp , qp

0 q



yp

y

giới nội .

130. 131. Với những giá trị nào của p và q thì tất cả các nghiệm của phương trình. ,0 132. là những hàm

x

 x



. ln

 8





8

4

y

x

x

y

y

x



t

x



 2ln

1

p ln  1

2 yx  2

sin2







y

y

y

t

ln

x

 p q thì tất cả các nghiệm của phương trình 0 q  ,0 t  133. 134. . .

 ln

x

t





 y

4

cos





x

y

. 135.

 1ln

x

 ? tuần hoàn của x   yx x  2 1  1 x  2

 y 2   24 1 2 x   1

 1

 1ln

x

. 136.

y



9

y



sin2ln

 yx x 2

y 

137.

z 2x

x

2

2 yx

 y

  sin

x2

x

x3

t 

xe

để giải phương trình vi phân:

eye



y

 y1

y

y

y2

bằng đổi biến (Đặt y = e-xz) x    e2

0

đặt t = sinx

138. Dùng phép biến đổi hàm    yx4 x y2 e   x 139.   y e x cos 140. Giải phương trình  141. y 142. 143. 144.

 y

y



y4

y

145.



y2

y

 y

cos





x

146.

 xe x  1 x    y2  ex 3    cos cos y y x  x xsin y   y2 y5 xsinx29 1 xsin  x2ex42   x e x

147.

yx

y2

xy



xe

  dùng t = sinx

2  x 0 x3sinx

y y

yx



1(2



) yx



(

x



)2

y

 xe

bằng phép đổi hàm z = xy.

x4

2

148. Giải phương trình vi phân 149.  tgxy  y cos 150.   y2  y5 151. giải phương trình vi phân bằng phép đổi hàm



y2



y3





x

2 yx

yx2







0

152. z=xy y

xe y 2 x

x

y



 1y

y2

bằng phép biến đổi x = 1/t 153.

x 

te

e x 155. Giải phương trình

154.

yx 2



yx



xy

Trang 62

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

bằng biến đổi

Phương trình vi phân

y y

xxe   ey5

x 

te

cos yx 2

 0y6



x2





y

bằng biến đổi

y



y4



 ey8

x2 

x2sin

x  yx4 xln

x2

x

y

y3

e5

cos





x2y2 



x 2

x

e

y

y2

sin

x



 y



156.  y x2  157.   y4 158. Giải phương trình 159. y4 e1y4 160. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: 161. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:

x

y

 y

162.

1 xsin

x



x

sin3

x

y y y y

163. Giải phương trình vi phân

x

e 2 x  cos 2 x cos 2 164. 165. 166. 167.

 y xe   y y 2   2  2 y cos  x y sin  Phần 3: Hệ phương trình vi phân





2

x

y

5y

cos

t





x2



y



y



x

4

x3

y

x3

y









168. 172.



y4



x



y4



x

zy2x





x

z



y 

2

169. 173.

z

xy 



 x

y

z

2

zx





2

y

x

z

dx dt dy dt dx dt dy dt dx dt dy dt dz dt

                 



5



3



0

x

y

174. 170.



3

x

y 

0

dx dt dy dt dx dt dy dt dx dt dy dt dz dt dx dt dy dt

                      

Trang 63

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

171.

Phương trình vi phân

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hoàng Hữu Đường, Vừ Đức Tôn, Nguyễn Thế Hoàn, Phương trình vi phân, Tập 1, 2, Hà nội, NXB ĐH và THCN, 1970.

[2] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Bài tập Phương trình vi phân, NXB ĐH và THCN, 1979.

[3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở Phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2003.

Trang 64

Bộ môn Khoa học Tự nhiên

[4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp, Tập 3, NXB Giáo dục, 2002.