Bồi dưỡng khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải bài tập toán cho học sinh

Trần Việt Cường và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 103(03): 151 - 154<br /> <br /> BỒI DƯỠNG KHẢ NĂNG PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM<br /> TRONG LỜI GIẢI BÀI TẬP TOÁN CHO HỌC SINH<br /> Trần Việt Cường1*, Lê Văn Tuyên2<br /> 1<br /> <br /> Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên,<br /> 2<br /> Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Nếu học sinh (HS) có khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán thì sẽ khắc phục được<br /> những sai lầm trong giải toán và phát triển các năng lực trí tuệ cho bản thân. Bài báo này, chúng<br /> tôi trình bày một số ví dụ theo hướng bồi dưỡng khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải<br /> bài tập toán cho HS.<br /> Từ khoá. Học sinh, sai lầm, bồi dưỡng, bài tập toán, sửa chữa.<br /> <br /> Giải toán có thể xem là một trong những hình<br /> thức chủ yếu của hoạt đông toán học của HS.<br /> Các bài toán là phương tiện hiệu quả trong<br /> việc làm cho HS nắm vững các tri thức, phát<br /> triển khả năng tư duy, hình thành các kĩ năng,<br /> kĩ xảo cho bản thân. Việc giáo viên (GV) tổ<br /> chức dạy học môn Toán cho HS hiệu quả sẽ<br /> góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán<br /> nói riêng và phát triển khả năng giải quyết<br /> vấn đề nói chung cho HS.*<br /> Thực tiễn dạy học đã cho thấy, chất lượng học<br /> toán của HS còn chưa cao, biểu hiện qua năng<br /> lực giải toán còn hạn chế do HS còn mắc<br /> nhiều sai lầm trong quá trình giải toán. Vì<br /> vậy, khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm<br /> của HS là một trong những mấu chốt để góp<br /> phần tăng tính hiệu quả của giờ học.<br /> Tư duy sai lầm trong hoạt động nhận thức,<br /> trong cuộc sống nói chung, trong giải toán nói<br /> riêng đem đến những tác hại lớn. Vì vậy,<br /> trong dạy học, việc phát hiện sớm những sai<br /> lầm của HS trong tư duy nói chung, tư duy<br /> giải toán nói riêng để giúp các HS kịp thời<br /> sửa chữa có một ý nghĩa rất quan trọng. HS<br /> nếu có được khả năng này thì việc học tập<br /> môn toán trở nên hiệu quả hơn.<br /> Mô tả cho khả năng này, chúng tôi minh hoạ<br /> bằng một số ví dụ sau:<br /> Ví dụ 1. “Giải bất phương trình<br /> 2 x 2 − 6 x + 4 ≤ 2 x + 2 (1)”.<br /> Một số HS giải như sau:<br /> Lời giải thứ nhất: Từ (1) ta có<br /> *<br /> <br /> Tel: 0978 626727, Email: tranvietcuong2006@gmail.com<br /> <br /> 2x2 − 6x + 4 ≤ ( 2x + 2)<br /> <br /> 2<br /> <br /> ⇔ x2 + 7 x ≥ 0<br /> <br /> x ≥ 0<br /> ⇔<br />  x ≤ −7<br /> <br /> Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≥ 0 và<br /> x ≤ −7 .<br /> Lời giải thứ hai: Từ (1) ta có<br />  x ≤ −7<br />  2 x 2 − 6 x + 4 ≥ 0<br /> ⇔  0 ≤ x ≤ 1 (*).<br />  2<br /> 2<br />  2 x − 6 x + 4 ≤ ( 2 x + 2 )<br />  x ≥ 2<br /> Vậy nghiệm của bất phương trình (1) là<br /> những giá trị của x thỏa mãn (*)”.<br /> Hãy nhận xét hai lời giải trên, chỉ ra chỗ chưa<br /> hợp lý trong mỗi cách giải và trình bày lại lời<br /> giải đúng của bài giải.<br /> Qua việc GV cho HS nghiên cứu hai lời giải<br /> trên và phân tích tính đúng sai của hai lời giải<br /> bài toán đó, HS sẽ nhận thấy được:<br /> Ở lời giải thứ nhất, HS đó đã không nắm rõ<br /> về bất phương trình tương đương, các phép<br /> biến đổi tương đương và việc HS đó làm<br /> được như vậy gần như là bản năng tự nhiên.<br /> Do đó, lời giải thứ nhất chưa chính xác.<br /> Ở lời giải thứ hai, HS đó đã lập luận như trên<br /> bởi họ nghĩ, với bất phương trình dạng<br /> f ( x ) ≤ g ( x ) , điều kiện của x là f ( x) ≥ 0 .<br /> Do vế trái không âm, mà vế phải không nhỏ<br /> hơn vế trái nên vế phải cũng không âm. Vì<br /> vậy, hai vế đều không âm, do đó có thể bình<br /> 151<br /> <br /> 154Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Trần Việt Cường và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> phương hai vế để được bất phương trình<br />  f ( x) ≥ 0<br /> tương đương <br /> . Với lập luận<br /> 2<br />  f ( x) ≤ [ g ( x) ]<br /> như<br /> thế,<br /> HS<br /> sẽ<br /> đã<br /> tìm<br /> được<br /> x ≤ −7; 0 ≤ x ≤ 1; x ≥ 2 . Ở lời giải thứ hai, dễ<br /> thấy khi x ≤ −7 không thỏa mãn bất phương<br /> trình (1) do khi đó 2x + 2 < 0. Do đó, lời giải<br /> thứ hai là chưa chính xác.<br /> Những HS có mức độ nhận thức cao hơn sẽ<br /> nhận ra, nguyên nhân sai lầm là “Nếu vế trái<br /> dương, vế trái nhỏ hơn hoặc bằng vế phải thì<br /> vế phải sẽ dương” chỉ đúng với những giá trị<br /> của x là nghiệm của bất phương trình, do đó<br />  f ( x) ≥ 0<br /> f ( x) ≤ g ( x) tương đương với <br /> 2<br />  f ( x) ≤ [ g ( x) ]<br /> <br /> trên tập nghiệm của bất phương trình chứ<br /> không phải là tương đương trên tập xác định.<br /> Trong bài toán trên thực ra hệ điều kiện đầy<br /> đủ như sau:<br />  f ( x) ≥ 0<br /> <br /> f ( x) ≤ g ( x) ⇔ g ( x) ≥ 0<br /> <br /> 2<br />  f ( x) ≤ g ( x) .<br /> <br /> Lời giải đúng: Tập xác định của bất phương<br /> trình (1) là:  x ≤ 1 .<br /> x ≥ 2<br /> <br /> 2 x 2 − 6 x + 4 ≥ 0<br /> <br /> Ta có (1)  2 x + 2 ≥ 0<br /> .<br />  2<br /> 2<br />  2 x − 6 x + 4 ≤ ( 2 x + 2 )<br /> <br />  x ≥ 2<br /> <br />  x ≤ 1<br /> 0 ≤ x ≤ 1<br /> <br /> ⇔  x ≥ −1 ⇔ <br /> x ≥ 2<br />  x≥0<br /> <br /> <br />   x ≤ −7<br /> <br /> 103(03): 151 - 154<br /> <br /> Một số HS giải như sau:<br /> <br /> uuur uuur<br /> Lời giải thứ nhất: Ta có AB. AC = 3.5 = 15 .<br /> uuur uuur<br /> AB. AC<br /> Suy ra cos A = uuur uuur = 1 .<br /> | AB | . | AC |<br /> <br /> Vậy số đo của góc A bằng 00 hay góc giữa hai<br /> đường thẳng AB và AC là 00.<br /> Lời giải thứ hai. Ta có<br /> uuur uuur 1<br /> 15<br /> AB. AC = ( AB 2 + AC 2 − BC 2 ) = −<br /> 2<br /> 2<br /> uuur uuur<br /> AB. AC<br /> 1<br /> Suy ra cosA = uuur uuur = − .<br /> 2<br /> | AB | . | AC |<br /> Vậy góc A bằng 1200 hay góc giữa hai đường<br /> thẳng AB và AC bằng 1200”.<br /> Hãy bình luận về hai lời giải trên, chỉ ra chỗ<br /> chưa hợp lý trong mỗi cách giải và trình bày<br /> lại lời giải đúng cho bài giải.<br /> Qua việc GV tiến hành tổ chức cho HS<br /> nghiên cứu hai lời giải trên và phân tích tính<br /> đúng sai của hai lời giải bài toán đó, HS sẽ<br /> nhận thấy được:<br /> Nếu HS có khả năng về giải toán sẽ nhận thấy<br /> ở lời giải thứ nhất, HS đó đã không nắm chắc<br /> các kiến thức về vectơ, độ dài véctơ và tích<br /> vô hướng của hai vectơ. Do đó lời giải thứ<br /> nhất là chưa chính xác.<br /> Nếu HS có khả năng về giải toán sẽ nhận thấy<br /> ở lời giải thứ hai, HS đó đã có sự nhầm lần về<br /> cách xác định góc giữa hai vectơ và góc giữa<br /> hai đường thẳng. Do đó lời giải thứ hai là<br /> chưa chính xác.<br /> Lời giải đúng: Ta có<br /> uuur uuur 1<br /> 15<br /> AB. AC = ( AB 2 + AC 2 − BC 2 ) = −<br /> 2<br /> 2<br /> uuur uuur<br /> 1<br /> AB. AC<br /> Suy ra cos A = uuur uuur = − .<br /> 2<br /> | AB | .| AC |<br /> <br /> Vậy nghiệm của bài toán là 0 ≤ x ≤ 1 và<br /> x ≥ 2.<br /> <br /> Vậy góc A bằng 1200 hay góc giữa hai đường<br /> thẳng AB và AC bằng 600.<br /> <br /> Ví dụ 2. “Cho ∆ABC biết AB = 3cm, AC =<br /> 5cm<br /> và BC = 7cm. Tính giá trị tích vô hướng<br /> uuur uuur<br /> AB. AC , độ lớn góc A và độ lớn góc giữa hai<br /> đường thẳng AB và AC.<br /> <br /> Ví dụ 3. Cho ∆ABC biết CA<br /> = b. Lấry<br /> uuur= a, CB<br /> r uuur<br /> hai điểm A’, B’ sao cho CA ' = ma, CB ' = nb .<br /> Gọi I là giao điểm của A’B vàrB’A. Hãy biểu<br /> uur<br /> r<br /> thị vectơ CI theo hai vectơ a , b .<br /> <br /> 152<br /> <br /> 155Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Trần Việt Cường và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 103(03): 151 - 154<br /> <br /> Một HS giải như sau:<br /> uuur<br /> r<br /> uuur<br /> uuur<br /> Ta có CA ' = ma ⇔ CA ' = mCA<br /> CA '+ A ' A 1<br /> => CA ' = m ⇒<br /> =<br /> CA '<br /> m<br /> CA<br /> <br /> định nhầm: Từ tỉ số của hai đoạn thẳng<br /> BB '<br /> = 1 − n đã suy ra ngay điểm B chia đoạn<br /> CB<br /> thẳng B’C theo tỉ số 1 - n và cũng làm tương<br /> tự như thế đối với điểm A’.<br /> <br /> CA '<br /> m<br /> =<br /> A' A 1− m .<br /> uuur<br /> r<br /> uuur<br /> uuur<br /> Ta có CB ' = nb ⇔ CB ' = nCB<br /> <br /> Lời giải đúng: Vì I nằm trên A’B và AB’ nên<br /> tồn tại các số x và y sao cho:<br /> uur<br /> uuur<br /> uuur<br /> CI = x.CA ' + (1 − x)CB<br /> <br /> ⇒<br /> <br /> =><br /> <br /> CB '<br /> CB − BB '<br /> =n⇒<br /> =n<br /> CB<br /> CB<br /> <br /> ⇒<br /> <br /> BB ' 1<br /> = .<br /> CB n<br /> <br /> Vậy B chia đoạn B’C theo tỉ số 1 - n, A’ chia<br /> <br /> uuur<br /> uuur<br /> = yCA + (1 − y )CB '<br /> r<br /> r<br /> r<br /> r<br /> hay x.m.a + (1 − x)b = ya + (1 − y ) nb<br /> r r<br /> Vì hai vectơ a , b không cùng phương nên<br /> ta có<br /> <br /> đoạn AC theo tỉ số m và I chia đoạn AB’<br /> 1− m<br /> <br /> mx = y<br /> 1− n<br /> hay x =<br /> <br /> 1 − mn<br /> 1 − x = n(1 − y )<br /> <br /> theo tỉ lệ x.<br /> Ta có B, I, A’ thẳng hàng, áp dụng định lý<br /> Mênêlaúyt, ta có:<br /> m<br /> 1 − m AI<br /> (1 − n).<br /> .x = 1 ⇒ x =<br /> 1− m<br /> m(1 − n) IB '<br /> <br /> uur m(1 − n) r <br /> 1− n  r<br /> Vậy: CI =<br /> a + 1 −<br /> b<br /> 1 − mn<br />  1 − mn <br /> <br /> uur<br /> m − 1 uuur<br /> Hay IA =<br /> .IB '<br /> m(1 − n)<br /> <br /> Tóm lại, qua phân tích một vài ví dụ trên<br /> bước đầu cho chúng ta thấy, bồi dưỡng cho<br /> HS khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề<br /> trong giải bài tập toán sẽ giúp cho việc học<br /> tập môn toán trở nên hiệu quả, HS sẽ khắc<br /> phục được những sai lầm trong giải bài tập<br /> toán và giúp HS nắm vững các tri thức, phát<br /> triển tư duy, hình thành các kĩ năng, kĩ xảo<br /> cần thiết cho bản thân.<br /> <br /> uuur<br /> m − 1 uuur<br /> CA<br /> −<br /> .CB '<br /> uur<br /> m(1 − n)<br /> ⇒ CI =<br /> m −1<br /> 1−<br /> m(1 − n)<br /> <br /> =<br /> <br /> m(1 − n) uuur m(1 − m) uuur<br /> CA +<br /> CB<br /> 1 − mn<br /> 1 − mn<br /> <br /> Hãy bình luận về lời giải bài toán trên, chỉ ra<br /> chỗ chưa hợp lý trong lời giải bài toán và<br /> trình bày lại lời giải bài giải cho hoàn chỉnh.<br /> Qua việc GV cho HS nghiên cứu và phân tích<br /> tính đúng sai của lời giải bài toán trên, HS sẽ<br /> nhận thấy được:<br /> Trong quá trình giải bài toán trên, HS đó đã<br /> xác định nhầm vị trí điểm I (I nằm trong<br /> ∆ABC). Mặc dù kết quả cuối cùng trong lời<br /> giải là đúng, nhưng lời giải này vẫn chưa<br /> chính xác, vì đã làm “thu hẹp” điều kiện của<br /> m, n là m > 0, n > 0. Mặt khác, HS đã xác<br /> <br /> =<br /> <br /> m(1 − n) r n(1 − m) r<br /> a+<br /> b<br /> 1 − mn<br /> 1 − mn<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1]. Lê Thị Thu Hà (2007), Rèn luyện kỹ năng giải<br /> toán cho HS bằng phương pháp véctơ trong<br /> chương trình hình học 10 (chương I, II - Hình học<br /> 10, sách giáo khoa nâng cao), Luận văn Thạc sỹ<br /> Giáo dục học.<br /> [2]. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học<br /> môn Toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.<br /> [3]. Từ Đức Thảo (2012), Bồi dưỡng năng lực<br /> phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trung<br /> học phổ thông trong dạy học Hình học, Luận án<br /> Tiến sĩ Giáo dục học.<br /> <br /> 153<br /> <br /> 156Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Trần Việt Cường và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 103(03): 151 - 154<br /> <br /> SUMMARY<br /> FOSTERING THE ABILITY TO DETECT AND REPAIR MISTAKES<br /> IN MATH SOLUTION FOR STUDENTS<br /> Tran Viet Cuong1*, Le Van Tuyen2<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> College of Education - TNU<br /> Education and Trainning Department of Tuyenquang<br /> <br /> If the student has the ability to detect and repair errors in computing will overcome the mistakes in<br /> the settlement and development of intellectual capacity for themselves. This paper, we present<br /> some examples in the direction of fostering the ability to detect and correct mistakes in solving the<br /> exercises for students.<br /> Keyword. Students, mistakes, fostering, math, correct mistakes.<br /> <br /> Ngày nhận bài:31/1/2013, ngày phản biện:22/2/2013, ngày duyệt đăng:26/3/2013<br /> *<br /> <br /> Tel: 0978 626727, Email: tranvietcuong2006@gmail.com<br /> <br /> 154<br /> <br /> 157Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br />