Các kiến thức cơ bản về nhóm và biểu diễn

Chia sẻ: Tran Long Long | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:171

Thêm vào BST

Báo xấu

232
lượt xem 76
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của tài liệu gồm có: Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm, nhóm tuyến tính tổng quát, cấu trúc địa phương, cấu trúc chuẩn tắc, đại số nửa đơn, biểu diễn nhóm. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các kiến thức cơ bản về nhóm và biểu diễn

J.L. Alperin with Rowen B.Bell NHÓM VÀ BIỂU DIỄN Người dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường Hiệu đính: TS. Lê Minh Hà Springger
Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Nhắc lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. Tác động nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2. Nhóm tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4. Cấu trúc cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5. Nhóm con parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6. Nhóm tuyến tính đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3. Cấu trúc địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1. Định lí Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2. p-nhóm hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3. Định lí Schur-Zhassenhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4. Cấu trúc chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 10. Chuỗi hợp thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11. Nhóm giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5. Đại số nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 12. Môđun và biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 13. Lý thuyết Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6. Biểu diễn nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 14. Đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 15. Bảng đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 16. Cảm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Danh mục từ khóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4 MỤC LỤC Chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Chỉ mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1 Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm Trong chương này, chúng ta xem lại các khái niệm cơ bản của lí thuyết nhóm và giới thiệu các công cụ mà chúng ta sẽ sử dụng trong các chương còn lại. Phần 1 chủ yếu bao gồm các lập luận mà chúng ta giả sử rằng người đọc đã quen thuộc từ một nghiên cứu trước đó về lí thuyết nhóm, do vậy hầu hết các chứng minh trong chương này được lược bỏ. Trong Phần 2, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm quan trọng, ví dụ như tự đẳng cấu nhóm và tích nửa trực tiếp, những khái niệm mà có thể chưa được nhắc đến trong khóa học đầu tiên về lí thuyết nhóm. Phần 3 đề cập đến lí thuyết tác động nhóm, ở đây chúng tôi trình bày cả những ứng dụng cơ bản và kết quả mang tính chất kỹ thuật cần thiết cho các chương sau. 1. Nhắc lại Ta nhớ lại rằng, một nhóm bao gồm một tập không rỗng G và một phép toán hai ngôi trên G, thường kí hiệu theo lối nhân, thỏa mãn những tính chất sau: • Phép toán hai ngôi có tính kết hợp: (xy )z = x(yz ) với mọi x, y, z ∈ G. • Tồn tại duy nhất phần tử 1 ∈ G, gọi là phần tử đơn vị của G, sao cho x1 = x và 1x = x với mọi x ∈ G. • Với mọi x ∈ G có duy nhất một phần tử x−1 ∈ G, gọi là phần tử nghịch đảo của x, với tính chất xx−1 = 1 và x−1 x = 1. Tính chất kết hợp cho phép chúng ta dễ dàng định nghĩa tích của một số hữu hạn bất kỳ các phần tử của một nhóm. Trật tự các phần tử trong một tích là rất quan trọng, chẳng hạn nếu x, y là hai phần tử của nhóm G thì không nhất thiết phải có xy = yx. Trong trường hợp đẳng thức này xảy ra thì ta nói rằng x và y giao hoán. Thông thường, ta định nghĩa giao hoán tử của x và y là phần tử [x, y ] = xyx−1 y −1 , khi đó x và y giao hoán nếu và chỉ nếu [x, y ] = 1. (Nhiều tác giả định nghĩa [x, y ] = x−1 y −1 xy .) Chúng ta nói rằng G là một nhóm abel nếu tất cả các cặp phần tử của G đều giao hoán, trong trường hợp này thứ tự các phần tử trong một tích là không qua trọng; trái lại, chúng ta nói rằng G là không abel. Phép toán trên một nhóm abel thường được viết theo lối cộng, có nghĩa là tích của các phần tử x và y được viết thành x + y thay vì xy , nghịch đảo của x được kí hiệu bởi −x, và phần tử đơn vị kí hiệu là 0. Nếu x là một phân tử của một nhóm G thì với n ∈ N chúng ta sử dụng xn (tương
6 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM ứng, x−n ) để chỉ tích x · · · x (tương ứng, x−1 · · · x−1 ) gồm n số hạng. Chúng ta cũng định nghĩa x0 = 1. (Trong một nhóm abel mà được viết theo lối cộng, chúng ta viết nx thay vì xn với n ∈ Z.) Dễ dàng thấy rằng các công thức thông thường cho các lũy thừa cũng được thỏa mãn. Chúng ta nói rằng x có cấp hữu hạn nếu tồn tại n ∈ N sao cho xn = 1. Nếu x có cấp hữu hạn thì chúng ta định nghĩa cấp của x là số nguyên dương nhỏ nhất n mà xn = 1. Rõ ràng là, x có cấp n nếu và chỉ nếu 1, x, x2 , ..., xn−1 là các phần tử phân biệt của G và xn = 1. Một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu nó có một số hữu hạn các phân tử, trái lại nó là vô hạn. Chúng ta định nghĩa cấp của một nhóm hữu hạn, kí hiệu là |G|, là số các phần tử của G; chúng ta cũng có thể sử dụng |S | cho bản số của một tập hữu hạn S bất kỳ. Mọi phần tử của một nhóm hữu hạn đều có cấp hữu hạn và tồn tại các nhóm vô hạn cũng có tính chất này; các nhóm như vậy được gọi là tuần hoàn. Tuy nhiên, có các nhóm vô hạn mà ở đó phần tử đơn vị là phần tử duy nhất có cấp hữu hạn; các nhóm như vậy được gọi là không xoắn. Một tập con H của G được gọi là một nhóm con của G nếu nó tạo thành một nhóm với phép tính hai ngôi trên G được hạn chế trên H . Tương tự vậy, H ⊆ G là một nhóm con nếu và chỉ nếu thỏa mãn các điều kiện sau: • Phần tử đơn vị 1 của G nằm trong H . • Nếu x, y ∈ G thì tích xy trong G cũng ∈ H . • Nếu x ∈ H thì nghịch đảo của nó x−1 ∈ H . Rõ ràng, G là một nhóm con của chính nó. Tập {1} cũng là một nhóm con của G; nó được gọi là nhóm con tầm thường, và để đơn giản hóa chúng ta kí hiệu nó bởi 1. Mọi nhóm con của một nhóm hữu hạn là hữu hạn; tuy nhiên, một nhóm vô hạn luôn luôn có cả các nhóm con hữu hạn và vô hạn, đó lần lượt là nhóm con tầm thường của nó và chính nó. Tương tự vậy mọi nhóm con của một nhóm abel là abel, nhưng một nhóm không abel luôn luôn có cả các nhóm con abel và không abel. Nếu H là một nhóm con của G thì chúng ta viết H G; nếu H được chứa thực sự trong G thì chúng ta gọi H là nhóm con thực sự của G, và chúng ta có thể viết H < G. (Sự khác biệt về kí hiệu này là chung nhưng không phổ biến.) Nếu K H và H G thì hiển nhiên K H . Mệnh đề 1. Nếu H và K là các nhóm con của một nhóm G thì giao của chúng H ∩ K cũng vậy. Tổng quát hơn, giao của một tập bất kì các nhóm con của một nhóm cũng là một nhóm con của nhóm đó. Định lí dưới đây đưa ra thông tin quan trọng về bản chất của các nhóm con của một nhóm hữu hạn. Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1. NHẮC LẠI 7 Định lý Lagrange. Cho G là một nhóm hữu hạn và H G. Khi đó |H | chia hết |G|. Nếu X là một tập con của một nhóm G thì chúng ta định nghĩa < X > là giao của tất cả các nhóm con của G chứa X . Theo Mệnh đề 1, X là một nhóm con của G, mà chúng ta gọi là nhóm con của G sinh bởi X . Chúng ta thấy rằng < X > là nhóm con nhỏ nhất của G mà chứa X , theo nghĩa nó được chứa trong một nhóm con như thế bất kì; do vậy nếu X G thì < X >= X . Nếu X = {x} thì chúng ta viết < x > thay vì < X >; tương tự thế, nếu X = {x1 , ..., xn } thì chúng ta viết < x1 , ..., xn > thay cho < X >. Mệnh đề 2. Cho X là một tập con của một nhóm G. Khi đó < X > chứa đơn vị và tất cả các tích dạng xε1 · · · xεr , ở đó r ∈ N, xi ∈ X và εi = ±1 với mọi i. r 1 Một nhóm G được gọi là xyclic nếu G =< g > với g ∈ G; phần tử g được gọi là một phần tử sinh của G. Ví dụ, nếu G là một nhóm cấp n có một phần tử g cấp n thì G =< g > và g, ..., gn−1 , gn = 1 là các phần tử phân biệt của G. Theo Mệnh đề 2, < g >= {gn |n ∈ Z} và do đó từ tính chất của lũy thừa suy ra các nhóm xyclic là abel; tuy nhiên chúng ta thường viết các nhóm xyclic theo lối nhân thay vì lối cộng. Nếu g có cấp n thì < g >= {1, g, ..., gn−1 }, và do đó | < g > | = n. Nếu g không có cấp hữu hạn thì < g > là một nhóm abel vô hạn không xoắn. Hai nhóm xyclic hữu hạn bất kì có cùng một cấp là "tương đương" theo nghĩa sẽ được chính xác hóa trong phần này, và hai nhóm xyclic vô hạn bất kì cũng tương đương với cùng nghĩa như vậy. Nhóm xyclic vô hạn chính tắc là Z, tập các số nguyên với phép cộng, trong khi nhóm xyclic chính tắc cấp n là Z/nZ, tập các lớp còn lại của các số nguyên với phép cộng modulo n. Giả sử rằng G là một nhóm hữu hạn và g ∈ G có cấp n. Ta có < g > là một nhóm con của G có cấp n, vì thế theo định lý Sylow ta có n chia hết |G|. Do vậy, cấp của một phần tử của một nhóm hữu hạn chia hết cấp của nhóm đó. Vì thế, nếu |G| bằng một số nguyên tố p nào đó thì cấp của mọi phần tử của G phải là một ước không tầm thường của p, từ đó G là xyclic với mọi phần tử khác đơn vị đều là một phần tử sinh. Nếu X và Y là các tập con của một nhóm G thì chúng ta định nghĩa tích của X và Y trong G là XY = {xy |x ∈ X, y ∈ Y } ⊆ G. Chúng ta có thể mở rộng khái niệm này cho số hữu hạn bất kì các tập con của G. Chúng ta cũng có thể định nghĩa nghịch đảo của X ⊆ G bởi X −1 = {x−1 |x ∈ X } ⊆ G. Nếu H là một tập con của G thì H G nếu và chỉ nếu HH = H và H −1 = H . Mệnh đề 3. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Khi đó HK là một nhóm con của G nếu và chỉ nếu HK = KH .
8 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Nhận thấy rằng, nếu H và K là các nhóm con của G thì tích của chúng HK chứa cả H và K ; hơn nữa, nếu K H thì HK = H . (Các tính chất này không thỏa mãn nếu H và K là các tập con bất kì của G.) Nếu G là abel thì HK = KH với các nhóm con H và K bất kì của G, và do đó tích của hai nhóm con bất kì của một nhóm abel là một nhóm con. Bây giờ chúng ta có thể mô tả cấu trúc nhóm con của các nhóm xyclic vô hạn. Định lí 4. Cho G =< g > là một nhóm xyclic cấp n. Khi đó: n (i) Với mọi ước d của n, tồn tại đúng một nhóm con của G cấp d, đó là < g d >. (ii) Nếu d và e là cac ước của n thì giao của các nhóm con cấp d và e là nhóm con cấp gcd(d, e). (iii) Nếu d và e là các ước của n thì tích của các nhóm con cấp d và e là nhóm con cấp lcm(d, e). Nếu H G thì chúng ta viết xH thay vì {x}H , tập xH được gọi là một lớp kề trái của H trong G. Tương tự, chúng ta viết Hx thay vì H {x}, và chúng ta gọi Hx là một lớp kề trái của H trong G. Trong cuốn sách này chúng ta sẽ dùng các lớp kề trái, và do vậy từ bây giờ trở đi từ "lớp kề" sẽ được hiểu như là "lớp kề trái". Cách sử dụng lớp kề trái thay cho lớp kề phải của chúng ta không phải là bản chất, vì bất kỳ một phát biểu nào đúng cho lớp kề trái đều đúng cho lớp kề phải. Nhiều giáo trình về lý thuyết nhóm sử dụng lớp kề phải thay cho lớp kề trái. Tồn tại một tương ứng song ánh giữa các lớp kề trái và phải của H trong G, biến một lớp kề trái xH thành nghịch đảo của nó (xH −1 ) = Hx−1 . Cho H là một nhóm con của G. Hai lớp kề bất kỳ của H trong G hoặc là bằng hoặc là rời nhau, với các lớp kề xH và yH là bằng nhau nếu và chỉ nếu y −1 x ∈ H . Do đó, một phần tử x ∈ G nằm chính xác trong một lớp kề của H , đó là xH . Với mọi x ∈ G, tồn tại một tương ứng song ánh giữa H và xH ; một sự tương ứng như vậy biến h ∈ H thành xh. Chúng ta định nghĩa chỉ số của H trong G, được ký hiệu bởi |G : H |, là số các lớp kề của H trong G. (Nếu tồn tại một số vô hạn các lớp kề của H trong G thì chúng ta có thể định nghĩa |G : H | là bản số của nó mà không làm thay đổi giá trị của bất kỳ định đề nào được đưa ra dưới đây, bởi chúng ta có thể định nghĩa lại G như là bản số |G : 1|.) Các lớp kề của H trong G chia G thành |G : H | tập rời nhau với bản số |H | và do đó |G| = |G : H ||H |. (Điều này chứng minh cho định lý Lagrange; tuy nhiên, ta có thể chứng minh định lý Lagrange mà không cần sử dụng đến các lớp kề mà bằng cách sử dụng một lập luận tính toán đơn giản.) Thực tế, tất cả các nhóm con của một nhóm hữu hạn có chỉ số hữu hạn, trong khi các nhóm con của một nhóm vô hạn có thể có chỉ số vô hạn hoặc hữu hạn. Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1. NHẮC LẠI 9 Chúng ta ký hiệu tập các lớp kề (hoặc không gian lớp kề) của H trong G bởi G/H . Bây giờ, chúng ta có thể đưa ra một mô tả hoàn chỉnh về các nhóm con của các nhóm xyclic vô hạn. Chúng tôi mời độc giả phát biểu lại Định lí 4 theo cách sao cho sự tương ứng giữa Định lí 4 và 5 được rõ ràng hơn. Định lí 5. Cho G =< g > là một nhóm xyclic vô hạn. Khi đó: 1. Với mỗi d ∈ N, có chính xác một nhóm con của G chỉ số d, < gd >. Hơn nữa, mọi nhóm con không tầm thường của G đều có chỉ số hữu hạn. 2. Cho d, e ∈ N. Khi đó giao của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ số lcm(d, e). 3. Cho d, e ∈ N. Khi đó tích của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ số gcd(d, e). Kết quả dưới đây khái quát hóa định lí Lagrange và được xem như là "phép phân tích thành nhân tử của các chỉ số". Định lí 6. Nếu K G thì |G : K | = |G : H ||H : K |. H Cho H là một nhóm con của một nhóm G và cho I là một tập chỉ số tương ứng song ánh với tập các lớp kề của H trong G. Một tập con T = {ti |i ∈ I} được gọi là lớp ngang (trái) của H (hoặc một tập các biểu diễn lớp kề (trái) của H trong G) nếu các tập ti H là các lớp kề của H trong G sao cho không có một lớp nào bị lược bỏ hoặc bị lặp lại. Cho N là một nhóm con của một nhóm G. Ta nói rằng N là nhóm con chuẩn tắc của G (hay N là chuẩn tắc trong G) nếu xN = N x với mọi x ∈ G, hay tương đương với xN x−1 ⊆ N với mọi x ∈ G. Nếu G là abel thì mọi nhóm con của G đều là chuẩn tắc. Các nhóm con 1 và G luôn là chuẩn tắc trong G; nếu G chỉ có hai nhóm con chuẩn tắc này thì ta nói G là đơn. Chẳng hạn, một nhóm xyclic cấp nguyên tố là đơn. (Một nhóm chỉ có duy nhất một phần tử thông thường không được coi là đơn.) Nếu N là chuẩn tắc trong G thì chúng ta viết N G; nếu N là nhóm con thức sự của vừa là chuẩn tắc trong G thì ta viết N G. (Lưu ý rằng, nhiều tác giả không phân biệt điều này và chỉ viết N G để kí hiệu N là chuẩn tắc trong G.) Nếu N G và K H thì chưa chắc K G, chúng ta không đưa ra một phản ví dụ lúc này. Tuy nhiên, rõ ràng nếu K G và K H G thì K G. Mệnh đề 7. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Nếu K G thì HK G và H ∩ K H ; hơn nữa, nếu H G thì HK G và H ∩ K G.
10 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Mệnh đề 8. Mọi nhóm con chỉ chỉ số 2 đều là chuẩn tắc. Chứng minh. Cho H G và giả sử rằng |G : H | = 2. Khi đó có hai lớp kề trái của H trong G; một lớp là H và do vậy lớp kia phải là G − H . Tương tự, H và G − H là hai lớp kề phải của của H trong G. Từ đó, x ∈ H khi và chỉ khi xH = H = Hx và x ∈ H khi và chỉ khi xH = G − H = Hx. Vậy H G. / Các nhóm con chuẩn tắc quan trọng vì chúng giúp ta tạo ra nhóm mới từ nhóm cũ theo cách sau: Định lí 9. Nếu N G thì tập các lớp kề G/N tạo nên một nhóm với phép toán xác định bởi (xN )(yN ) = (xy )N . Nếu N G thì chúng ta gọi G/N với phép toán trên là nhóm thương của G bởi N . Khi đó phân tử đơn vị của G/N là N và phần tử nghịch đảo của xN ∈ G/N là x−1 N . Nếu G là abel thì G/N cũng là abel. Cho x và g là các phần tử của một nhóm G. Khi đó liên hợp của x bởi g được định nghĩa là phần tử gxg−1 của G. (Một vài tác giả định nghĩa liên hợp của x bởi g là g−1 xg. Các kí hiệu g x và xg đôi khi được sử dụng thay cho gxg−1 và g−1 xg.) Hai phần tử phần x và y của G được gọi là liên hợp nếu tồn tại một phần tử g ∈ G sao cho y = gxg−1 . Hai phần tử phân biệt của một nhóm abel đều liên hợp. Một nhóm con N của G là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu mọi liên hợp của một phần tử của N bởi một phần tử của G đều nằm trong N . Cho X là một tập. Một hoán vị của X là một song ánh từ X đến X . Tập các hoán vị của X , kí hiệu X , tạo thành một nhóm với phép hợp thành của các ánh xạ. Nếu X = {1, ..., n} với n ∈ N thì nhóm này đợc gọi là nhóm đối xứng bậc n và được kí hiệu là n . (Nhiều tác giả kí hiệu nhóm này là Sn hoặc Sn .) Nhóm X là hữu hạn và có cấp n! = n(n − 1) · · · 2 · 1. Một phần tử ρ của n được gọi là một xích có độ dài r (hay r -xích) nếu có các số nguyên phân biệt 1 ≤ a1 , ..., ar ≤ n sao cho ρ(ai ) = (ai+1 ) với mọi 1 ≤ i < r, ρ(ar ) = a1 và ρ(b) = b với mọi 1 ≤ b ≤ n mà b khác các ai . Xích ρ xác định như trên còn được viết là ρ = (a1 · · · ar ). Dĩ nhiên, việc kí hiệu này có thể được viết theo r cách khác nhau; chẳng hạn, (1 2 4), (2 4 1) và (4 2 1) đều là kí hiệu của cùng một 3-xích trong 4 . Xích ρ xác định như trên cũng được gọi là di chuyển mỗi ai và cố định mọi số khác. Hai xích được gọi là rời nhau nếu không có số nào bị di chuyển bởi cả hai xích đó. Tích của hai xích (a1 · · · ar ) và (b1 · · · bs ) được viết là (a1 · · · ar )(b1 · · · bs ); nếu ai = bj thì tích này biến bj −1 thành ai+1 . (Chúng ta tính từ "phải sang trái" trong cách viết này vì chúng ta luôn coi các xích như các hàm Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1. NHẮC LẠI 11 trên tập {1, ..., n}, và do đó tích của hai xích tương ứng với tích của hai ánh xạ, mà đối với tích hai ánh xạ ta thường tính từ phải sang trái. Trong nhiều giáo trình về lí thuyết nhóm tích hai xích được tính từ trái sang phải.) Mọi phần tử của n có thể viết như tích của các xích rời nhau; sự phân tích như vậy được gọi là sự phân tích thành các xích rời nhau của các hoán vị. Hai sự phân tích thành các xích rời nhau bất kì của cùng một hoán vị luôn có cùng các xích, tuy nhiên thứ tự của chúng có thể khác nhau. Do đó chúng ta có thể đặt tương ứng một tập số các số nguyên dương có tổng bằng n với mỗi phần tử của n theo cách các số hạng trong tổng bằng n là chiều dài của các xích xuất hiện trong sự phân tích thành các xích rời nhau của ρ và được gọi là cấu trúc xích của ρ. Chẳng hạn cấu trúc xích của một r -xích trong n là (r, 1, ..., 1), có n − r số 1; cấu trúc xích của (1 2 4)(3 5) trong 6 là (3, 2, 1). Chúng ta thường bỏ qua các 1-xích khi viết một hoán vị thành tích các xích rời nhau. Chúng ta cũng thường sử dụng 1 để kí hiệu cho phần tử đơn vị của n , sự phân tích thành các xích rời nhau của nó chỉ bao gồm các 1-xích. Mệnh đề 10. Cho n ∈ N. Khi đó hai phần tử của liên hợp với nhau nếu và n chỉ nếu chúng có cùng cấu trúc xích. Xem chứng minh [24, trang 46-7]. Một chuyển vị trong n là một 2-xích. Mọi phần tử của n đều có thể thành tích của các chuyển vị (không nhất thiết rời nhau) theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, ta có thể chứng minh được rằng hai sự phân tích như vậy của cùng một hoán vị phải có cùng số chuyển vị theo modulo 2. (Xem [24, trang 8-9].) Do vậy chúng ta có thể nói một hoán vị là chẵn (tương ứng, lẻ) nếu nó có thể được viết thành tích của một số chẵn (tương ứng, lẻ) các chuyển vị, một hoán vị có thể chẵn hoặc lẻ nhưng không thể vừa chẵn vừa lẻ. Chẳng hạn, vì một r -xích có thể viết thành tích của r − 1 chuyển vị nên một xích là một hoán vị chẵn nếu và chỉ nếu độ dài của nó là lẻ. Tập con của n bao gồm tất cả các hoán vị chẵn là một nhóm con chỉ số 2, và do đó nó là chuẩn tắc trong n , theo Mệnh đề 8; nó được gọi là nhóm thay phiên bậc n và kí hiệu là An . Xét H = {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} ⊆ A4 . Ta có thể chỉ ra rằng H A4 . (Thực ra, H là chuẩn tắc trong 4 . Nhóm H này, theo lịch sử tìm ra nó, có tên là bốn-nhóm Klein.) Cho K = {1, (1 2)(3 4)}. Khi đó K là nhóm con của H với |H : K | = |H |/|K | = 4/2 = 2 và do đó K H theo Mệnh đề 8. Tuy nhiên, bằng cách lấy liên hợp (1 2)(3 4) bởi hoán vị chẵn (1 2 3) ta thấy rằng K không chuẩn tắc trong A4 . Đây là phản ví dụ cho khẳng định ở trang 8.
12 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Cho G và H là các nhóm. Một đồng cấu là một ánh xạ ϕ : G → H với tính chất ϕ(xy ) = ϕ(x)ϕ(y ) với mọi x, y ∈ G; nghĩa là, một đồng cấu là một ánh xạ giữa các nhóm mà nó bảo tồn các cấu trúc nhóm tương ứng. Nếu ϕ là một đồng cấu thì ϕ(1) = 1 và ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 với mọi x. Đồng cấu tầm thường từ G vào H là ánh xạ biến mọi phần tử của G thành phần tử đơn vị của H . Nếu đồng cấu ϕ là đơn ánh thì chúng ta gọi ϕ là đơn cấu, nếu ϕ là toàn ánh thì chúng ta gọi ϕ là toàn cấu và chúng ta nói ϕ là đẳng cấu nếu ϕ là song ánh. (Nhắc lại rằng, một ánh xạ f : X → Y được gọi là đơn ánh nếu f (x) = f (x ) thì suy ra x = x , gọi là toàn ánh nếu với mọi y ∈ Y đều tồn tại x ∈ X để f (x) = y ; và gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh.) Nếu ϕ là một đẳng cấu thì ϕ−1 : H → G cũng vậy. Một đồng cấu ϕ : G → G được gọi là một tự đồng cấu của G; một tự đồng cấu song ánh được gọi là tự đẳng cấu. Nếu G và H là các nhóm và có một đẳng cấu ϕ : G → H thì chúng ta nói rằng G và H là đẳng cấu, hay G đẳng cấu với H và viết là G ∼ H . Đẳng cấu là một quan = hệ tương đương giữa các nhóm; tức là, nó phản xạ (G ∼ G), đối xứng (G ∼ H suy = = ra H ∼ G) và bắc cầu (G ∼ H và H ∼ K suy ra G ∼ K .) Do đó, chúng ta có thể = = = = nói "lớp đẳng cấu" mà một nhóm cho trước thuộc vào lớp này. Các nhóm đẳng cấu được coi là hoàn toàn đồng nhất theo nghĩa bất kì phát biểu nào về một nhóm là đúng (sau khi đưa ra các phép đồng nhất thích hợp) nó cũng đúng cho bất kì nhóm nào đẳng cấu với nhóm đó. Nếu chúng ta nói rằng một nhóm có các tính chất nhất định là "đơn nhất" thì chúng ta thường hàm ý rằng nó là "đơn nhất đến đẳng cấu", theo đó chúng ta hàm ý rằng hai nhóm có các tính chất xác định đó là đẳng cấu. Bây giờ, chúng ta xét một vài ví dụ cơ bản. • Cho G =< g > và H =< h > là hai nhóm xyclic cấp n. Chúng ta định nghĩa một ánh xạ ϕ : G → H bằng cách đặt ϕ(ga ) = ha với mọi 0 ≤ a < n. Ánh xạ này là một đẳng cấu. Do vậy, bất kì hai nhóm xyclic hữu hạn nào có cùng cấp đều đẳng cấu. Đặc biệt, mọi nhóm xyclic cấp n đều đẳng cấu với Z/nZ và có duy nhất một nhóm cấp p với mọi số nguyên tố p. Chúng ta sử dụng Zn để kí hiệu một nhóm xyclic cấp n và phép toán được viết theo lối nhân. Tương tự, chúng ta có thể chỉ ra rằng hai nhóm xyclic vô hạn là đẳng cấu; chúng ta sử dụng Z để kí hiệu một nhóm xyclic vô hạn và phép toán cũng được viết theo lối nhân. • Cho G là một nhóm, H G và g ∈ G. Liên hợp của H bởi g là tập gHg−1 = {ghg−1 |h ∈ H } chứa tất cả các liên hợp của các phần tử của H bởi g. Dễ thấy, gHg−1 G. Chúng ta nói rằng K G là một liên hợp của H trong G, hay K và H là liên hợp trong G nếu K = gHg−1 với g nào đó thuộc G. Cho H G Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1. NHẮC LẠI 13 và g ∈ G, chúng ta định nghĩa ánh xạ ϕ : H → gHg−1 bởi ϕ(h) = ghg−1 với h ∈ H . Dễ thấy ϕ là một đẳng cấu, do đó các nhóm con liên hợp với nhau đều đẳng cấu. Tuy nhiên, hai nhóm con đẳng cấu của một nhóm G chưa chắc liên hợp với nhau. Chẳng hạn, bốn-nhóm Klein có ba nhóm con cấp 2, chúng đẳng cấu với nhau nhưng đây đều là nhóm con của một nhóm abel nên không thể liên hợp với nhau. • Cho X = {x1 , ..., xn } và X là nhóm các hoán vị của X . Chúng ta định nghĩa ánh xạ ϕ : n → X bởi ϕ(ρ)(xi ) = xρ(i) với ρ ∈ n và 1 ≤ i ≤ n. Dễ thấy ánh xạ ϕ là một đẳng cấu. • Cho G là một nhóm và N G. Có một ánh xạ từ G đến nhóm thương G/N , đó là phép chiếu η : G → G/N xác định bởi η (x) = xN với x ∈ G. Chúng ta dễ thấy rằng ánh xạ này là toàn cấu. Chúng ta gọi η là ánh xạ tự nhiên từ G đến G/N . Nếu ϕ : G → H là một đồng cấu thì chúng ta định nghĩa hạt nhân của ϕ là tập con ker ϕ = {g ∈ G|ϕ(g) = 1} của G và ảnh của ϕ và tập con Im ϕ = {ϕ(g)|g ∈ G} của H . Chúng ta cũng thường sử dụng kí hiệu ϕ(G) để chỉ tập ảnh của ϕ và ϕ(K ) để chỉ tập {ϕ(g) = g ∈ K } với K G. Ví dụ, nếu N G và η : G → G/N là ánh xạ tự nhiên thì chúng ta có ker η = N và η (K ) = KN/N với mọi K G. (Dễ thấy η (K ) = K/N nếu K chứa N .) Mệnh đề 11. Cho G và H là các nhóm và ϕ : G → H là một đồng cấu. Khi đó ker ϕ G và ϕ(K ) H với mọi K G. Định lí sau là nền tảng của lí thuyết nhóm. Định lý cơ bản về đồng cấu. Nếu G và H là các nhóm và ϕ : G → H là đồng cấu thì có một một đẳng cấu ψ : G/K → ϕ(G) sao cho ϕ = ψ ◦ η , trong đó K = ker ϕ và η : G → G/K là ánh xạ tự nhiên; hơn nữa, ánh xạ ψ xác định duy nhất. (Nhiều tác giả gọi kết quả này là "định lí đẳng cấu thứ nhất"; các tác giả này cũng đặt số thứ tự cho các định lí đẳng cấu dưới đây.) Chứng minh. Nếu xK = yK , với x, y ∈ G, thì y −1 x ∈ K ; điều này kéo theo 1 = ϕ(y −1 x) = ϕ(y )−1 ϕ(x) và do đó ϕ(y ) = ϕ(x). Từ đó có thể định nghĩa ánh xạ ψ : G/K → ϕ(G) bằng cách đặt ψ (xK ) = ϕ(x) với xK ∈ G/K . Chúng tôi để bạn đọc kiểm tra lại rằng ψ có các tính chất như trong định lí.
14 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Theo kết quả của định lí cơ bản, chúng ta thấy rằng bất kì đồng cấu ϕ : G → H đều có thể coi như tích của một toàn cấu (từ G lên ϕ(G)) và đơn cấu (từ ϕ(G) đến H .) Ba kết quả cuối cùng của phần này cũng rất quan trọng. Định lý đẳng cấu thứ nhất. Cho G là một nhóm. Nếu N G và H G thì HN/N ∼ H/H ∩ N . = (Chú ý rằng HN G và H ∩ N H , theo Mệnh đề 7, do N G.) Chứng minh. Áp dụng định lí cơ bản cho ϕ là hạn chế xuống H của ánh xạ tự nhiên η : G → G/N . Chứng minh kết quả tiếp theo thì tương đối đơn giản nhưng hơi nhàm chán một chút. Định lý tương ứng. Cho G, H là các nhóm và ϕ : G → H là toàn cấu có hạt nhân N . Khi đó có một tương ứng song ánh sinh ra bởi ϕ giữa tập các nhóm con của G chứa N và tập các nhóm con của H . Nếu K là một nhóm con của G chứa N thì phép tương ứng này biến K thành ϕ(K ); nếu L là một nhóm con của H thì nhóm con của G là tạo ảnh của L đối với phép tương ứng này là ϕ−1 (L) = {x ∈ G|ϕ(x) ∈ L}. Hơn nữa, nếu K1 và K2 là các nhóm con của G chứa N thì: K1 nếu và chỉ nếu ϕ(K2 ) ϕ(K1 ), khi đó |K1 : K2 | = |ϕ(K1 ) : ϕ(K2 )|. • K2 K1 nếu và chỉ nếu ϕ(K1 ) ϕ(K2 ), khi đó ánh xạ từ K1 /K2 đến • K2 ϕ(K1 )/ϕ(K2 ) biến xK2 thành ϕ(x)ϕ(K2 ) là một đẳng cấu. Như một trường hợp đặc biệt của định lí tương ứng, chúng ta có kết quả sau: Nếu G là một nhóm và N G thì mọi nhóm con của G/N đều có dạng K/N với K là một nhóm con của G chứa N . (Ở đây chúng ta coi ϕ là ánh xạ tự nhiên từ G vào G/N .) Định lý đẳng cấu thứ hai. Cho H và K là các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G. Nếu H chứa K thì G/H ∼ (G/K )/(H/K ). = Chứng minh. Áp dụng định lí tương ứng cho ϕ là ánh xạ tự nhiên từ G vào G/K . BÀI TẬP 1. Hãy chứng minh, hoặc hoàn thành các phác họa chứng minh, cho mỗi kết quả trong phần này. Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1. NHẮC LẠI 15 2. Chúng ta nói một nhóm G có số mũ e nếu e là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho xe = 1 với mọi x ∈ G. Chứng minh rằng nếu G có số mũ 2 thì G là abel. Với các số nguyên e nào thì một nhóm có số mũ e là abel. 3. Cho G là một nhóm hữu hạn và giả sử rằng ánh xạ ϕ : G → G xác định bởi ϕ(x) = x3 , với x ∈ G, là một đồng cấu. Chứng minh rằng, nếu 3 không chia hết |G| thì G phải là nhóm abel. (Xem kết quả tổng quát ở [2].) 4. Cho g là một phần tử của một nhóm G và giả sử rằng |G| = mn với m và n nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng có duy nhất các phần tử x và y thuộc G sao cho xy = g = yx và xm = 1 = y n . (Trong trường hợp m là lũy thừa của một số nguyên tố p, chúng ta gọi x là p-phần của g và y là p -phần của g; tổng quát hơn, nếu π là tập các số nguyên tố chia hết m và không chia hết n thì x và y tương ứng được gọi là π -phần và π -phần của g.) 5. Cho r, s và t là các số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng có một nhóm G có các phần tử x và y sao cho x có cấp r , y có cấp s và xy có cấp t. 6. Cho X và Y là các tập con của một nhóm G. Các nhóm < X > ∩ < Y > và < X ∩ Y > có nhất thiết bằng nhau không? Các nhóm ∪ < Y >> và < X ∪ Y > có nhất thiết bằng nhau không? 7. Cho G là một nhóm hữu hạn và H G. Chứng minh rằng có một tập con T của G mà vừa là lớp ngang trái, vừa là lớp ngang phải của H . 8. Giả sử C là họ các tập con của một nhóm G tạo thành sự phân hoạch của G và giả sử rằng gC ∈ C với mọi g ∈ G và C ∈ C . (Nhắc lại, một sự phân hoạch của tập S là một tập hợp S các tập con của S sao cho mọi phần tử của S nằm trong đúng một phần tử của S .) Chứng minh rằng C là tập các lớp kề của một nhóm con nào đó của G. 9. Giả sử C là một họ các tập con của một nhóm G mà tạo thành một sự phân hoạch của G và giả sử rằng XY ∈ C với mọi X, Y ∈ C . Chứng minh rằng có đúng một trong số các tập hợp thuộc C là một nhóm con của G và nhóm con này là chuẩn tắc trong G, đồng thời C bao gồm các lớp kề của nó. 10. Chứng minh kết quả tổng quát hóa của Mệnh đề 8: Nếu G là một nhóm hữu hạn và H G sao cho |G : H | bằng ước nguyên dương nhỏ nhất của |G| thì H G. BÀI TẬP MỞ RỘNG
16 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM Nếu K G thì H/K được gọi là một thành phần của G. Chúng ta nói rằng H hai thành phần H1 /K1 và H2 /K2 là liên thuộc nếu mọi lớp kề của K1 trong H1 có giao khác rỗng với chính xác một lớp kề của K2 trong H2 và ngược lại. (Nói cách khác, hai thành phần là liên thuộc nếu quan hệ giao khác rỗng cho ta một tương ứng song ánh giữa các phần tử của chúng.) 11. Hãy chỉ ra rằng các thành phần liên thuộc là đẳng cấu. 12. (tiếp) Giả sử rằng N G và H G. Hãy chứng minh rằng HN/N và H/H ∩ N là liên thuộc. (Bài tập 11 và 12 đưa ra một chứng minh thay thế của định lí đẳng cấu thứ nhất.) Nếu L/M là một thành phần của G và H G thì hình chiếu của H lên L/M là một tập con của L/M bao gồm các lớp kề của M trong L mà chứa các phần tử của H. 13. (tiếp) Hãy chứng minh hình chiếu của H trên L/M là nhóm con (L ∩ H )M/M của L/M . Cho H1 /K1 và H2 /K2 là các thành phần của một nhóm G. 14. (tiếp) Hãy chỉ ra rằng hình chiếu của K2 trên H1 /K1 là nhóm con chuẩn tắc của hình chiếu của H2 trên H1 /K1 . Nhóm thương thu được bằng cách đó gọi là hình chiếu của H2 /K2 trên H1 /K1 . 15. (tiếp) Hãy chỉ ra rằng hình chiếu của H1 /K1 trên H2 /K2 và hình chiếu của H2 /K2 trên H1 /K1 là liên thuộc. Hãy suy ra kết quả sau: Định lý đẳng cấu thứ ba. Cho H1 , H2 , K1 H1 và K2 H2 . Khi đó (H1 ∩ H2 )K1 /(H1 ∩ K2 )K1 ∼ (H1 ∩ H2 )K2 /(K1 ∩ H2 )K2 . = (Kết quả này còn được gọi là định lí đẳng cấu thứ tư hay bổ đề Zassenhaus (đặt tên theo người đa tìm ra nó khi mà ông còn là một sinh viên 21 tuổi), hay còn có một tên khác nữa là bổ đề con bướm. Tên sau cùng này ám chỉ hình dạng của biểu đồ biểu diễn mối quan hệ bao hàm giữa nhiều nhóm con được bao hàm trong phát biểu của kết quả này, một biểu đồ như vậy xuất hiện trong [22, trang 62].) Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
2. TỰ ĐẲNG CẤU 17 2. Tự đẳng cấu Tập các tự đẳng cấu của một nhóm G được kí hiệu là Aut(G). Nếu ϕ và ρ là các tự đồng của G thì tích của chúng ϕ ◦ ρ cũng là một tự đẳng cấu của G và do đó tích của các ánh xạ là một phép toán hai ngôi trên Aut(G). Phép toán này cho ta một cấu trúc nhóm trên Aut(G); phần tử đơn vị là tự đẳng cấu tầm thường biến mỗi phần tử thành chính nó, và nghịch đảo của một tự đẳng cấu ϕ là nghịch ánh xạ ngược ϕ−1 của nó. Chúng ta gọi Aut(G) với phép toán này là nhóm tự đẳng cấu của G và có thể viết ϕρ thay cho ϕ ◦ ρ với ϕ, ρ ∈ Aut(G). Mọi phần tử g của một nhóm G xác định một đồng cấu liên hợp ϕg : G → G bởi ϕg (x) = gxg−1 . (Rõ ràng ta có ϕg (xy ) = ϕg (x)ϕg (y ) và ϕg (x−1 ) = ϕg (x)−1 .) Những ánh xạ như vậy thực ra là một tự đẳng cấu của G, bởi vì với x là một phần tử cho trước của G ta có x = ϕg (g−1 xg), và nếu ϕg (x)ϕg (y ) thì ta có x = y bằng cách giản ước. Các ánh xạ này được gọi là tự đẳng cấu trong của G. Chúng ta có ϕg ϕh = ϕgh với mọi g, h ∈ G, vì g(hxh−1 )g−1 = (gh)x(gh)−1 với mọi x ∈ G; do đó, có một đồng cấu từ G vào Aut(G) biến g ∈ G thành ϕg . Ảnh của đồng cấu này được gọi là nhóm tự đẳng cấu trong của G và được kí hiệu là Inn(G), đồng thời hạt nhân của nó được gọi là tâm của G và kí hiệu là Z (G). Chú ý rằng Z (G) = {g ∈ G|ϕg (x) = x với mọi x ∈ G} = {g ∈ G|gx = xg với mọi x ∈ G}, và do đó Z (G) bao gồm các phần tử của G mà nó giao hoán được với mọi phần tử của G. Rõ ràng, G là abel nếu và chỉ nếu Z (G) = G. Nếu σ ∈ Aut(G) và ϕg ∈ Inn(G) thì dễ dàng kiểm tra được rằng σϕg σ −1 = ϕσ(g) . Điều này chứng tỏ Inn(G) Aut(G); nhóm thương Aut(G)/ Inn(G) được gọi là nhóm tự đẳng cấu ngoài của G và được kí hiệu là Out(G). Tuy nhiên, thuật ngữ "tự đẳng cấu ngoài" thường không dùng để chỉ các phần tử của Out(G) mà thường được dùng để chỉ các tự đẳng cấu của G nhưng không phải là tự đẳng cấu trong và do đó chúng có ảnh không tầm thường trong Out(G) dưới ánh xạ tự nhiên. Khi đó, nếu G là abel thì tất cả các tự đẳng cấu không tầm thường của G đều là tự đẳng cấu ngoài, vì trong trường hợp này chúng ta có Inn(G) = 1. Cho trước một nhóm G, chúng ta luôn muốn xác định cấu trúc của nhóm tự đẳng cấu của nó. Đây thường là một bài toán khó. Bây giờ, chúng ta xét một vài tính chất của các nhóm tự đẳng cấu của các nhóm xyclic. Cho G =< x >∼ Z và cho ϕ là một tự đẳng cấu trong của G. Khi đó ϕ(x) phải = là phần tử sinh của G; nhưng các phần tử sinh của G chỉ có thể là x và x−1 . Do đó ϕ cố định mỗi phần tử hoặc biến mỗi phần tử thành nghịch đảo của nó, và do đó
18 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM chúng ta có Aut(G) ∼ Z2 . = Bây giờ, cho n ∈ N và G =< x >∼ Zn . Giả sử rằng ϕ là một tự đồng cấu của = G. Khi đó, ϕ(x) = x m với m nào đó, 0 ≤ m < n; và do đó ϕ biến mọi phần tử của G thành lũy thừa m của nó. Từ đó ta thấy rằng G có chính xác n tự đồng cấu, đó là các ánh xạ lũy thừa m, kí hiệu là σm , với 0 ≤ m < n. Mệnh đề 1. Cho G =< x >∼ Zn với n ∈ N và với mỗi số 0 ≤ m < n gọi σm là tự = đồng cấu của G biến x thành xm . Khi đó Aut(G) bao gồm các tự đồng cấu σm với m = 0 và gcd(m, n) = 1. Hơn nữa, Aut(G) là abel và đẳng cấu với nhóm (Z/nZ)× của các phần tử đơn vị của vành Z/nZ. Chứng minh. Ánh xạ σ0 có ảnh tầm thường và do đó nó không phải là một tự đẳng cấu. Bây giờ, giả sử 1 ≤ m < n, ta xét σm . Nếu gcd(m, n) = 1 thì tồn tại các số nguyên a, b sao cho am + bn = 1, từ đó σm (xa ) = xam = x1−bn = x(xn )−b = x, điều này chứng tỏ σm là toàn ánh. Vì G là hữu hạn nên một toàn ánh từ G vào G cũng là đơn ánh; do đó σm ∈ Aut(G). Ngược lại, nếu σm ∈ Aut(G) thì x = σm (xa ) = xam với a ∈ Z; suy ra xam−1 = 1, từ đó ta phải có am − 1 = bn với b ∈ Z, điều này chứng minh gcd(m, n) = 1. Như vậy, khẳng định thứ nhất đã được chứng minh. Giả sử 1 ≤ m1 , m2 < n. Khi đó σm1 σm2 = σt = σm2 σm1 , với 1 ≤ t < n sao cho m1 m2 ≡ t (mod n); do đó Aut(G) là abel. Vì (Z/nZ)× = {m + nZ|1 ≤ m < n, gcd(m, n) = 1} nên dễ thấy rằng ánh xạ biến σm thành m + nZ là một đẳng cấu từ Aut(G) vào (Z/nZ)× . Chúng ta định nghĩa giá trị hàm Ơle của n ∈ N là số các số nguyên dương vừa nhỏ hơn n vừa nguyên tố cùng nhau với n. (Giá trị này còn được gọi là giá trị tại n của hàm-phi Ơle.) Nếu chúng ta viết n = pa1 · · · par , ở đó pi là các số nguyên tố r 1 phân biệt, thì giá trị hàm Ơle của n là (pa1 − pa1 −1 ) · · · (par − par −1 ). Theo Mệnh r r 1 1 đề 1, cấp của Aut(Zn ) là giá trị hàm Ơle của n. Đặc biệt, | Aut(Zp )| = p − 1 với p là số nguyên tố. Mệnh đề 2. Cho p là số nguyên tố. Khi đó Aut(Zp ) ∼ Zp−1 . = Chứng minh. Cho F là trường có p phần tử. Theo Mệnh đề 1, Aut(Zp ) đẳng cấu với nhóm nhân F × các phần tử khác không của F . Với mỗi ước d của p − 1, gọi fd là số phần tử cấp d trong F × và zd là số phần tử cấp d trong Zp−1 . Giả sử d là một ước của p − 1. Nếu x ∈ F × là một phần tử có cấp chia hết d thì x phải là nghiệm phương trình X d − 1 ∈ F [X ] và phương trình này có nhiều nhất d nghiệm. Ngược lại, nếu x có cấp d thì các lũy thừa của x là các phần tử của F × mà nghiệm đúng phương trình X d − 1, và do đó mọi phần tử của của F × có cấp d Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
2. TỰ ĐẲNG CẤU 19 phải chứa trong < x >∼ Zd . Vậy hoặc fd = 0 hoặc fd bằng số các phần tử cấp d = trong Zd . Theo Định lí 4, nếu d là một ước tùy ý của p − 1 thì tất cả các phần tử cấp d của Zp−1 được chứa trong một nhóm con xyclic đơn cấp d; do đó zd bằng số phần tử cấp d của Zd . Từ lập luận ở trên chỉ suy ra fd ≤ zd với mọi d|(p − 1). Nhưng ta có fd = |F × | = p − 1 = |Zp−1 | = zd , d|(p−1) d|(p−1) điều này kéo theo fd = zd với mọi d|(p − 1). Đặc biệt, fd−1 = zd−1 > 0 và do đó F × ∼ Zp − 1 . = Cho G =< x >∼ Zn với n ∈ N và xét tự đẳng cấu lũy thừa m (σm ) của G, = trong đó 1 ≤ m ≤ n và gcd(m, n) = 1. Bằng lập luận quy nạp ta chứng minh được (σm )k (x) = xm với mọi k ∈ N; do đó cấp của σm là số nguyên dương k nhỏ nhất k mà xm = x, hay là số k ∈ N nhỏ nhất sao cho mk ≡ 1 (mod n). Nếu cấp của σm k bằng giá trị hàm Ơ le của n thì chúng ta nói rằng m là căn nguyên thủy modulo n. (Thuật ngữ này xuất phát từ lí thuyết số cổ điển.) Rõ ràng, Aut(Zn ) là xyclic nếu và chỉ nếu tồn tại một căn nguyên thủy modulo n. Với hợp số n, việc xác định cấu trúc của nhóm Aut(Zn ) thuộc về lĩnh vực lí thuyết số hơn là lí thuyết nhóm. Kết quả sau đây, mà chúng ta sẽ không chứng minh, cho biết dạng của n mà làm cho nhóm Aut(Zn ) là xyclic. Định lí 3. Aut(Zn ) là xyclic nếu và chỉ nếu n = 2 hoặc 4, hoặc n = pk hay 2pk với p là số nguyên tố lẻ và k ∈ N. Một kết quả tương đương về sự tồn tại và không tồn tại của căn nguyên thủy modulo n được chứng minh trong [9, Phần 8.3]. Cho ϕ là một tự đẳng cấu của một nhóm G và H là một nhóm con của G. Khi đó ϕ làm H đẳng cấu với một nhóm con ϕ(H ) của G; chúng ta nói rằng H bị cố định bởi ϕ nếu ϕ(H ) = H . Trong trường hợp đó, hạn chế của ϕ lên H là một tự đẳng cấu của H . Nếu L là một nhóm con của của Aut(G) thì chúng ta nói rằng H bị cố định bởi L nếu H bị cố định bởi mọi ϕ ∈ L. Với thuật ngữ này, chúng ta thấy rằng H là chuẩn tắc trong G nếu và chỉ nếu H bị cố định bởi Inn(G). Chúng ta nói rằng H là nhóm con đặc trưng của G (hay H là đặc trưng trong G) nếu H bị cố định bởi Aut(G). (Một vài tác giả kí hiệu nhóm H này bởi char G.) Ví dụ, tâm Z (G) luôn luôn là một nhóm con đặc trưng của của G, vì nếu x ∈ Z (G) và ϕ ∈ Aut(G) thì chúng ta có ϕ(x)y = ϕ(xϕ−1 (y )) = ϕ(ϕ−1 (y )x) = yϕ(x) với mọi
20 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM y ∈ G, điều này chứng tỏ ϕ(x) ∈ Z (G). Rõ ràng rằng các nhóm con đặc trưng là chuẩn tắc nhưng ngược lại thì không chắc đúng. Đặc biệt, một nhóm abel vô hạn có thể không có một nhóm con đặc trưng khác tầm thường; xem Bài tập 5. Trong Phần 1, chúng ta đã biết rằng chuẩn tắc không có tính chất bắc cầu giữa các nhóm con. Tuy nhiên, tính đặc trưng thì lại có tính chất bắc cầu. Bổ đề 4. Nếu K là một nhóm con đặc trưng của H và H là một nhóm con đặc trưng của G thì K là một nhóm con đặc trưng của G. Chứng minh. Nếu ϕ ∈ Aut(G) thì hạn chế của ϕ xuống H là một phần tử của Aut(H ) vì H là đặc trưng trong G, và do đó hạn chế của ϕ xuống K là một phần tử của Aut(K ) vì K là đặc trưng trong H . Do đó mọi tự đẳng cấu của G đều cố định K , từ đó suy ra điều phải chứng minh. Lí do mà chuẩn tắc không có tính bắc cầu xuất phát từ thực tế nếu N G thì hạn chế xuống N của một phần tử của Inn(G) chắc chắn nằm trong Aut(N ) nhưng không nhất thiết nằm trong Inn(N ). Nhắc lại rằng nếu x và y là các phần tử của một nhóm G thì giao hoán tử của x và y là [x, y ] = xyx−1 y −1 . Chúng ta định nghĩa, nhóm con giao hoán tử của G là nhóm con G của G sinh bởi tập tất cả các giao hoán tử trong G; tức là G =< {[x, y ]|x, y ∈ G} >. Rõ ràng, G là abel nếu và chỉ nếu G = 1, đồng thời nếu H G thì H G . Một điều quan trọng là nên nhớ là, G bao gồm nhiều hơn chứ không chỉ là các giao hoán tử của G. Vì với mọi phần tử x, y ta có [x, y ]−1 = (xyx−1 y −1 )−1 = yxy −1 x−1 = [y, x] nên theo Mệnh đề 2, một phần tử bất kì của G là tích của các giao hoán tử của các phần tử của G. Bổ đề 5. Cho G là một nhóm. Khi đó G là đặc trưng trong G. Chứng minh. Cho ϕ ∈ Aut(G). Ta có ϕ([x, y ]) = [ϕ(x), ϕ(y )] với mọi x, y ∈ G. Nếu g ∈ G thì g là một tích của các giao hoán tử; suy ra ϕ(g) cũng vậy, và do đó ϕ(g) ∈ G . Vậy ϕ(G ) G ; bằng lập luận tương tự ta cũng có ϕ−1 (G ) G và do đó G = ϕ(ϕ−1 (G )) ϕ(G ). Từ đó ϕ(G ) = G , bổ đề được chứng minh. Nhóm con giao hoán tử có tính chất quan trọng sau: Mệnh đề 6. Cho G là một nhóm và N G. Khi đó G/N là abel nếu và chỉ nếu N. G Chứng minh. Với mọi x, y ∈ G, ta có [xG , yG ] = [x, y ]G = G ; do vậy nhóm con giao hoán tử của G/G là tầm thường, và do đó G/G là abel. Giả sử N G. Nếu Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà