Các loại số
Các số có thể phân chia thành các tập hợp số theo các hệ thống số khác
nhau.
Số dương
Bài chi tiết: Số dương
Số dương là số có giá trị lớn hơn 0.
Số âm
Bài chi tiết: Số âm
Số âm là số có giá trị nhỏ hơn 0
Số tự nhiên
Bài chi tiết: Số tự nhiên
Loại số quen thuộc nhất với hầu như tất cả mọi người là số tự nhiên,
trước kia nó được hiểu như số nguyên dương (không kể số không),
nhưng ngày nay đa số các tài liệu toán học thống nhất nó bao gồm cả số
không (số nguyên không âm). Các số nguyên dương được xem như là
các số để đếm.
Trong hệ thập phân được dùng rộng rãi, các kí hiệu dùng để viết số tự
nhiên là các chữ số từ 0 đến 9. Trong hệ này, mỗi vị trí tương ứng với
một lũy thừa của 10, các số lớn hơn 9 được biểu diễn bởi hai hoặc nhiều
hơn các chữ số.
Còn có thể ghi theo các hệ cơ số khác như hệ nhị phân, hệ bát phân, hệ
thập lục phân,...
Tập các số tự nhiên thường được ký hiệu là .
Số nguyên
Bài chi tiết: Số nguyên
Số nguyên bao gồm các số tự nhiên và các số đối của các số tự nhiên
dương. Số đối của một số tự nhiên dương n là một số khi cộng với n cho
kết quả bằng không, nó thường được viết bằng cách thêm dấu "trừ" đằng
trước số n. Về ý nghĩa, nếu một số dương là một khoản tiền gửi ngân
hàng thì số âm là số biểu thị khoản tiền rút ra. Tập các số nguyên thường
được ký hiệu là (viết tắt của từ Zahl trong tiếng Đức).
Số nguyên tố, hợp số
Số nguyên tố là số nguyên dương chỉ có hai ước là 1 và chính nó: VD:
2,3,5,7,11,13,17
Hợp số là số có nhiều hơn hai ước: VD: 4,6,8,9,10,12,14,15,...
1 và 0 không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số
Số hữu tỉ
Bài chi tiết: Số hữu tỉ
Một số hữu tỉ là một số có thể biểu diễn như một thương (hay phân số)
của phép chia một số nguyên cho một số tự nhiên khác 0. Thường m/n là
diễn tả việc chia một khối lượng nào đó thành n phần bằng nhau và chọn
lấy m phần. Hai phân số khác nhau có thể biểu diễn cho cùng một số,
chẳng hạn ½ và 2/4 là như nhau. Nếu giá trị tuyệt đối của m lớn hơn n
thì giá trị tuyệt đối của phân số lớn hơn một. Phân số có thể dương âm
hoặc bằng 0.
Số vô tỉ
Bài chi tiết: Số vô tỉ
Số vô tỉ là số không thể biểu diễn được thành tỉ số với tử số và mẫu số
nguyên. Số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
Số thực
Bài chi tiết: Số thực
Các số hữu tỉ (các phân số trong đó , ) không đủ
dùng để biểu diện các độ đo trong hình học, chẳng hạn độ dài đường
chéo của một hình vuông có cạnh là 1 là . Có thể chứng minh rằng,
không có số hữu tỉ nào bình phương bằng 2.
Tổng quát hơn, người ta mở rộng tập hợp số hữu tỷ thành tập hợp số
trong đó mọi dãy Cauchy đều có giới hạn, tập hợp đó được gọi là tập
hợp số thực.
(Dãy {xn}n được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi số r > 0 tồn tại số
nguyên dương N sao cho với mọi m,n > N luôn có | xm − xn | < r.)
Các số thực biểu diễn được dưới dạng phân số được gọi là các số hữu tỉ
(rational). Các số thực không biểu diễn được dưới dạng phân số được
gọi là các số vô tỷ (irrational).
Tập các số thực được ký hiệu là , tập các số vô tỉ là .
Như vậy và .
Tập các số thực còn được phân chia thành tập các số đại số và tập các số
siêu việt.
Số phức
Bài chi tiết: Số phức
Tập các số phức là mở rộng đại số của tập các số thực với việc bổ sung
một số mới là căn bậc hai của -1, số này được gọi là đơn vị ảo và kí hiệu
là i. Khi đó tập các số phức là tập các số dạng z=a+b×i.
Trong tập các số phức, mọi phương trình đại số bậc n có đúng n nghiệm.
Tập các số phức được ký hiệu là , như vậy quan hệ bao hàm giữa các
tập hợp số đã biết là:
.
Số siêu phức
Bài chi tiết: Số siêu phức
Khái niệm mở rộng của số phức từ dạng tổ hợp tuyến tính 2 chiều z = a
+ b.i với các hệ số thực a, b của hai đơn vị cơ sở 1 và i sang không gian
vectơ n chiều với n hệ số thực x0, x1, x2, ..., xn-&, của n dơn vị cơ sở 1, e1,
e2, e3, ..., en-1:
z = x0.1 + x1.e1 + x2.e2 + ... + xn-1.en-1
Số đại số
Bài chi tiết: Số đại số
Số đại số là số có thể thỏa mãn (nghiệm) một phương trình đại số. Số đại
số có thể là số thực hoặc số phức.
Số siêu việt
Bài chi tiết: Số siêu việt
Số siêu việt là số vô tỉ (thực hoặc phức) không là nghiệm của bất ký một
phương trình đại số nào. Nói theo ngôn ngữ toán tập hợp, trường số siêu
việt là phần bù của trường số đại số.