Các nghiệm không bị chặn của phương trình logistic và dáng điệu tiệm cận của chúng

Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)<br /> http://www.simpopdf.com<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM<br /> <br /> Nguyễn Bích Huy, Trần Đình Thanh<br /> <br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> CÁC NGHIỆM KHÔNG BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH<br /> LOGISTIC VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CHÚNG<br /> NGUYỄN BÍCH HUY *, TRẦN ĐÌNH THANH **<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Trong bài báo chúng tôi xét phương trình logistic chứa toán tử p-Laplace và hàm<br /> trọng m( x) Î Lq với q nhỏ. Chúng tôi chứng minh sự tồn tại các nghiệm yếu lớn nhất (có<br /> thể không bị chặn) và nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của chúng.<br /> ABSTRACT<br /> Unbounded solutions of the logistic equation and their asymptotic behaviors<br /> In the paper we consider the logistic equation involving the p-Laplace operator and<br /> the weight function m( x) Î Lq with small q. We prove the existence of maximal weak<br /> solutions (may be unbounded) and study their asymptotic behaviors.<br /> <br /> Mở đầu<br /> Trong bài báo này, chúng tôi xét sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm<br /> lớn nhất, không bị chặn của phương trình logistic sau:<br /> <br /> 1.<br /> <br /> -D p u = l m( x)ua - u b trong W, u = 0 trên ¶W ,<br /> <br /> trong đó W Ì R N là miền bị chặn, có biên trơn, D p u = div( Ñu<br /> <br /> (1)<br /> p-2<br /> <br /> Ñu ) là toán tử<br /> <br /> p_Laplace, m( x) Î Lq (W) với q thích hợp và a £ p - 1 < b .<br /> Khi hàm m( x) là hằng số và toán tử -D p u được thay bằng một toán tử tuyến<br /> tính elliptic bậc 2 thì với mỗi l ³ l0 bài toán (1) có duy nhất nghiệm trơn và dáng<br /> điệu tiệm cận của nghiệm được nghiên cứu trong [3]. Khi q đủ lớn thì (1) có duy<br /> nhất nghiệm bị chặn (thuộc W01,2 Ç L¥ ) và sự phụ thuộc của nghiệm vào tham số l<br /> có thể nghiên cứu bằng phương pháp của [4]. Khi q nhỏ nghiệm của (1) có thể<br /> không bị chặn và không duy nhất, do đó việc nghiên cứu sự phụ thuộc của nghiệm<br /> theo tham số trở nên phức tạp. Trong [6] chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại nhánh<br /> liên tục không bị chặn trong tập nghiệm của (1) khi p = 2 và q nhỏ. Trong bài này,<br /> chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm lớn nhất (khi l cố định), có thể<br /> không bị chặn và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi l ® 0 hoặc l ® ¥ .<br /> 2.<br /> *<br /> **<br /> <br /> Các kết quả được sử dụng<br /> <br /> PGS TS, Khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Sư phạm TP HCM<br /> TS, Trường Đại học Y Dược TP HCM<br /> <br /> 3<br /> <br /> Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)<br /> http://www.simpopdf.com<br /> Số 21 năm 2010<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM<br /> <br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> 2.1. Phương trình không gian có thứ tự<br /> Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K. Ta nói ánh xạ<br /> F : M Ì X ® X là tăng nếu u, v Î M , u £ v thì F (u ) £ F (v) .<br /> Định lý A [5]<br /> Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón, M Ì X là tập đóng,<br /> F : M ® M là ánh xạ tăng thỏa mãn các điều kiện<br /> Tập M 0 = {u Î M : u £ F (u )} ¹ f và có tính chất<br /> "u, v Î M 0 , $w Î M 0 : u £ w, v £ w .<br /> <br /> (i)<br /> <br /> (ii) Nếu {un } Ì M 0 là dãy tăng thì dãy {F (un )} hội tụ.<br /> Khi đó F có điểm bất động lớn nhất trong M.<br /> 2.2. Nghiệm yếu của một lớp phương trình elliptic tựa tuyến tính<br /> Giả sử W Ì R N là miền bị chặn, có biên trơn, D p u là toán tử p-Laplace với<br /> 1 < p < N và f : W ´ R ® R là hàm thỏa điều kiện Caratheodory. Ta xét bài toán<br /> biên sau:<br /> (2)<br /> -D p u = f ( x, u ) trong W , u = 0 trên ¶W<br /> Ta xét các không gian W01, p (W), Lp (W) thông thường, chuẩn trong chúng được<br /> ký hiệu tương ứng là . và . p . Đặt p* =<br /> <br /> pN<br /> p<br /> và p ' =<br /> . Dưới đây các tích<br /> N-p<br /> p -1<br /> <br /> phân đều được lấy trên W .<br /> Định nghĩa:<br /> 1)<br /> <br /> *<br /> <br /> Ta nói hàm u Î W01, p (W) là nghiệm yếu của (2) nếu f ( x, u ) Î L( p )' (W)* và<br /> <br /> ò Ñu<br /> 2)<br /> <br /> p-2<br /> <br /> ÑuÑj = ò f ( x, u )j , "j Î W01, p (W)<br /> <br /> (3)<br /> *<br /> <br /> Ta nói hàm u0 Î W01, p (W) là một nghiệm dưới của (2) nếu f ( x, u0 ) Î L( p ) ' (W) ,<br /> <br /> ò Ñu<br /> <br /> p-2<br /> 0<br /> <br /> Ñu0 Ñj £ ò f ( x, u0 )j ,<br /> <br /> "j Î W01, p (W), j ³ 0<br /> <br /> và u0 £ 0 trên ¶W theo nghĩa vết.<br /> Định lý B [2]<br /> Giả sử hàm g : W ´ R ® R thỏa điều kiện Caratheodory và<br /> (i)<br /> <br /> g ( x, 0) = 0, g ( x, u ) tăng theo biến u<br /> <br /> (ii)<br /> <br /> "t > 0, $jt Î L1 (W) : sup | g ( x, u ) |£ jt ( x) .<br /> |u|£t<br /> <br /> 4<br /> <br /> "x Î W<br /> <br /> Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)<br /> http://www.simpopdf.com<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM<br /> <br /> Nguyễn Bích Huy, Trần Đình Thanh<br /> <br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> Khi đó với mỗi h Î W -1, p ' (W) tồn tại duy nhất hàm z Î W01, p (W) sao cho<br /> g ( x, z ) Î Lloc (W), g ( x, z ).z Î L1 (W) và<br /> <br /> ò | Ñz |<br /> <br /> p-2<br /> <br /> ÑzÑj + ò g ( x, z )j = ò hj<br /> <br /> (4)<br /> <br /> đúng cho mọi j Î C0¥ (W) và j = z .<br /> Ghi chú 1:<br /> 1) Nếu hàm z nói trong định lý B thỏa thêm điều kiện g ( x, z ) Î L( p*)' (W) thì (4)<br /> cũng đúng cho mọi j Î W01, p (W) do tập C0¥ (W) trù mật trong W01, p (W) . Do đó z cũng<br /> là nghiệm yếu của bài toán<br /> -D p u + g ( x, u ) = h trên W , u = 0 trên ¶W .<br /> <br /> 2)<br /> <br /> Dưới đây, để ngắn gọn ta sẽ kí hiệu vế trái của (3) là < Au, j ><br /> <br /> 3.<br /> <br /> Kết quả chính<br /> Ta xét phương trình (1) với các giả thiết sau:<br /> <br /> (H1) m( x) ³ 0, m( x) Î Lq (W) với q > 1 thích hợp và tồn tại miền trơn W ' Í W , tồn<br /> tại số m0 > 0 sao cho m( x) ³ m0<br /> "x Î W '<br /> (H2) a < b £ p * -1<br /> Đầu tiên ta sẽ đưa bài toán (1) về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ<br /> tăng trong không gian có thứ tự.<br /> 1+ b<br /> > ( p*) ' , do đó nếu z1+ b Î L1 (W) thì z b Î L( p*) ' (W) .<br /> Do điều kiện (H2) ta có<br /> b<br /> Áp dụng định lý B và ghi chú 1 cho hàm g ( x, u ) = u b ta có với mọi<br /> h Î L( p*)' (W) Ì W -1, p ' (W) tồn tại duy nhất hàm z Î W01, p (W) thỏa z Î L1+ b (W) và<br /> < Az, j > + ò z b j = ò hj<br /> <br /> "j Î W01, p (W)<br /> <br /> (5)<br /> <br /> Gọi P là ánh xạ đặt tương ứng mỗi h Î L( p*)' (W) với nghiệm z của (5) thì P có<br /> các tính chất sau [4]<br /> (a)<br /> <br /> P (h) Î W01, p (W) Ç L1+ b (W) , P là ánh xạ tăng.<br /> <br /> Nếu M là một tập bị chặn trong L( p*) ' (W) thì P(M) là một tập bị chặn trong<br /> W01, p (W) và do đó là tập compắc tương đối trong Lg (W) với g < p * .<br /> <br /> (b)<br /> (c)<br /> <br /> P liên tục nếu p ³ 2 .<br /> Giả sử số r ³ 1 thỏa điều kiện<br /> <br /> 5<br /> <br /> Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)<br /> http://www.simpopdf.com<br /> Số 21 năm 2010<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM<br /> <br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> qr<br /> ³ ( p*) '<br /> qa + r<br /> <br /> (6)<br /> <br /> Khi đó nếu u Î Lr+ (W) ta có m( x)ua Î Lt (W) với t =<br /> <br /> qr<br /> qa + r<br /> <br /> Do đó ánh xạ Nemyskii N (l , u ) = l m( x)ua tác động từ Lr (W) vào L( p*)' (W) và<br /> liên tục, biến tập bị chặn vào tập bị chặn.<br /> Đặt F (l , u ) = PoN (l , u ) thì sự tồn tại nghiệm yếu của (1) được đưa về bài toán<br /> tìm nghiệm của phương trình<br /> u = F (l , u )<br /> <br /> (7)<br /> <br /> Bổ đề 1<br /> Giả sử (6) được thỏa mãn thì F là ánh xạ từ [0, ¥) ´ Lr+ (W) vào<br /> W01, p (W) Ç L1+ b (W) và<br /> <br /> (i)<br /> <br /> F là ánh xạ tăng; nếu u0 là nghiệm dưới của (1) thì u0 £ F (l , u0 )<br /> <br /> (ii) Nếu p ³ 2 và<br /> <br /> qp *<br /> > ( p*) ' thì F là ánh xạ hoàn toàn liên tục từ<br /> qa + p *<br /> <br /> [0, ¥) ´ W01, p (W) vào W01, p (W) .<br /> <br /> Chứng minh :<br /> Tính chất (i) đã được chứng minh trong [4]. Để chứng minh (ii) ta chọn số<br /> r < p * thỏa (6). Phép nhúng W01, p ® Lr là compắc, ánh xạ N : Lr ® L( p*)' liên tục và<br /> P : L( p*)' ® W01, p liên tục nếu F là ánh xạ hoàn toàn liên tục.<br /> <br /> Bổ đề 2<br /> Gọi l1 là giá trị riêng đầu và u1 là hàm riêng tương ứng của bài toán biên<br /> -D p u = l u p -1 trong W ' , u0 = 0<br /> <br /> trên ¶W ' .<br /> <br /> Ta định nghĩa u0 = cu1 trong W ' , u0 = 0 trong W \ W ' với c > 0 đủ nhỏ thì u0 là<br /> nghiệm dưới của (1) trong các trường hợp sau :<br /> 1)<br /> <br /> a < p - 1, l > 0,<br /> <br /> 2)<br /> <br /> a = p - 1, l ><br /> <br /> l1<br /> m0<br /> <br /> Chứng minh :<br /> Trong [1] đã chứng minh rằng -D p u0 £ l1u0p -1 theo nghĩa yếu.<br /> Với j Î W01, p , j ³ 0 ta có<br /> 6<br /> <br /> Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)<br /> http://www.simpopdf.com<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM<br /> <br /> Nguyễn Bích Huy, Trần Đình Thanh<br /> <br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> a<br /> b<br /> a<br /> b<br /> < Au0 , j > - ò (l m( x)u0 - u0 )j =< Au0 - l1u0p -1 , j > - ò (l m( x)u0 - l1u0p -1 - u0 )j (8)<br /> <br /> Vì<br /> b<br /> a<br /> b<br /> v := l m( x) - l1u0p -1 - u0 ³ u0 (l m0 - l1u0p -1-a - u0 -a ) trên W ' và u1 bị chặn trên W '<br /> <br /> l1<br /> thì v ³ 0 . Vậy ta có vế<br /> m0<br /> phải của (8) là không dương và do đó u0 là nghiệm dưới của (1)<br /> <br /> ta thấy nếu c nhỏ và a < p - 1, l > 0 hoặc a = p - 1, l ><br /> <br /> Định lý 1<br /> Giả sử các điều kiện (H1), (H2) và (H3) sau được thỏa mãn<br /> æ q * ö¢<br /> ÷<br /> è1+a ø<br /> <br /> (H3) a < p - 1, q ³ ç<br /> <br /> Khi đó với mỗi l > 0 bài toán (1) có nghiệm yếu lớn nhất.<br /> Chứng minh :<br /> Từ điều kiện (H3) ta thấy (6) đúng với r = p * . Do đó ánh xạ F trong (7) tác<br /> động từ Lp* vào chính nó và ta sẽ xét phương trình (7) trong Lp* . Cố định l > 0 , ta<br /> kí hiệu F (u ) thay cho F (l , u ) . Theo bổ đề 1,2 ta có u0 £ F (u0 ) . Nếu u1 £ F (u1 ) ,<br /> u2 £ F (u2 ) thì hàm u = max(u1 , u2 ) thỏa u £ F (u ) do F là ánh xạ tăng. Vậy điều kiện<br /> (i) của định lý A đúng. Để kiểm tra điều kiện (ii) của định lý A ta chỉ cần chứng<br /> minh tập F ( M 0 ) là bị chặn trong Lp* . Lấy u Î M 0 , đặt v = F (u ) và lấy v là hàm thử,<br /> ta có<br /> < Av, v > + ò v1+ b = l ò m( x)ua v £ l ò m( x)v1+a £ l m q . v<br /> <br /> Vì q '(1 + a ) £ p * theo (H3) nên từ (9) ta suy ra v<br /> <br /> p<br /> p*<br /> <br /> £c v<br /> <br /> 1+a<br /> (1+a ) q '<br /> <br /> (9)<br /> <br /> 1+a<br /> p*<br /> <br /> Vậy tập F ( M 0 ) bị chặn. Định lý được chứng minh.<br /> Định lý 2<br /> Gọi l1 là số được định nghĩa trong bổ đề 2. Giả sử các điều kiện (H1), (H2) và<br /> (H4) sau được thỏa mãn<br /> ö¢<br /> (1 + b ) p*<br /> ÷.<br /> è 1 + b + ( p - 1) p * ø<br /> <br /> æ<br /> <br /> (H4) a = p - 1, q ³ ç<br /> <br /> Khi đó với l ><br /> <br /> l1<br /> bài toán (1) có nghiệm lớn nhất.<br /> m0<br /> <br /> 7<br /> <br />