Chương 3 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT

Chia sẻ: Le Van Truyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

460
lượt xem 62
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

TÀI LIỆU THAM KHẢO VỀ TOÁN HỌC - GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 3 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT

Chương 3 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT I.Tìm nghiệm thực của một phương trình. a. Nghiệm thực của phương trình một ẩn – Ý nghĩa hình h ọc. f(x) = 0; (1) y f(x) f – hàm cho trước của đối số x α - nghiệm thực của ( 1 ) M O α f(α) = 0; (2) x - Vẽ đồ thị y = f(x) y g(x) - hoặc (1) ~ g(x) = h(x) M h(x) đồ thị y1 = g(x) và y2 = h(x) O Hoành độ điểm M nghiệm α. α x
b. Sự tồn tại của nghiệm thực. Định lý. Nếu có hai số thực a, b y (a < b) sao cho f(a) và f(b) trái B dấu, tức là f(a).f(b) < 0 (3) Oa x b đồng thời f(x) liên tục trên [a, b] thì trong khoảng [a, b] ít nhất có A một nghiệm thực của phương trình f(x) = 0. c. Khoảng phân ly nghiệm (tách nghiệm) Định nghĩa. Khoảng [a, b] nào y đó gọi là khoảng phân ly nghiệm B của phương trình f(x) = 0 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm a O của phương trình đó. Muốn thế: x b - hàm f(x) đơn điệu A trong [a, b] : f’(x) không đổi dấu
Định lý. Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b], đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghi ệm của phương trình f(x) = 0. II. Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của một phương trình. 1. Phương pháp đồ thị 2. Phương pháp thử. Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình: f(x) = xlogx – 1,2 = 0; x 1 2 3 4 - 1,2 - 0,5980 0,2313 1,2084 f(x) - [2, 3] - khoảng phân ly nghiệm; - tiếp tục chia nhỏ khoảng [a, b]; - Tính thử giá trị ở các nút; khoảng ch ứa nghi ệm m ới; - Lặp lại các bước trên cho đến khi đạt độ chính xác cần thi ết.
3. Phương pháp chia đôi. Cho phương trình f(x) = 0; - Giả sử [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình. a+b - Chia đôi khoảng [a, b] c= ; 2 c = α (nghiệm); f(c) = 0 - Tính f(c) Xét dấu f(c).f(a) và f(c).f(b); f(c) ≠ 0 Khoảng phân ly nghiệm mới [a1, b1]; 1 b1 − a1 = (b − a ); 2 [a2, b2] - Tiếp tục quá trình chia đôi 1 1 b2 − a2 = (b1 − a1 ) = 2 (b − a ); 2 2 ......... ................ 1 bn − an = (b − a); Với an ≤ α ≤ bn. 2n
- Lấy an hoặc bn làm giá trị gần đúng của nghiệm; - Sai số: b−a b−a α − an ≤ bn − an = n ; ( 4 ) α − bn ≤ bn − an = n ; ( 5 ) 2 2 Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình f(x) = x4 + 2x3 –x – 1 = 0; α ∈ [ 0,1]; f(0) = -1; f(1) = 1 α ∈ [ 0,5,1]; f(0,5) = -1,9 α ∈ [ 0,75,1]; f(0,75) = -0,59 α ∈ [ 0,75,0,875]; f(0,875) = +0,05 α ∈ [ 0,8125,0,875]; f(0,8125) = -0,304 α ∈ [ 0,8348,0,875]; f(0,8438) = -0,135 α ∈ [ 0,8594,0,875]; f(0,8594) = -0,043 [ 0,8594 + 0,875] = 0,867; Lấy α ≈ 2 b−a 1 − (−1) 2 1 α − an ≤ = = = ; Sai số mắc phải: n 7 7 6 2 2 2 2
Các bước tính: Cho phương trình f(x) = 0; - Ấn định sai số cho phép; - Xác định khoảng phân ly nghiệm (p2 đồ thị, p2 thử . . .); - Giải theo sơ đồ: c = (a+b)/2; f(c) đ s f(c).f(a)
4. Phương pháp lặp. Cho phương trình f(x) = 0 có nghiệm thực trong khoảng [a, b]; - Viết lại x + f(x) – x = 0; Đặt φ(x) = x + f(x); x = φ(x); (6) - Sơ bộ chọn giá trị gần đúng đầu tiên của nghiệm: xo ∈ [ a, b ]; ( 6 ): x1 = φ(xo); x2 = φ(x1); ......... xn = φ(xn-1); n = 1, 2, . . . (7) - Hàm φ(x) gọi là hàm lặp. Sự hội tụ của quá trình tính. ∞ xn - Giả sử khi n nghiệm α của ph/trình (1) ; phương pháp lặp hội tụ, có thể coi xn là nghiệm gần đúng của ( 1 ). -Quá trình tính cũng có thể phân kỳ, xn ngày càng đi xa khỏi nghiệm.
y y =x ) x (x y y= y=φ(x) φ y= O O α x3 x2 x1 xo x α x0 x1 x2 x3 x Định lý về sự hội tụ. Giả sử: - [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình f(x) = 0; [ ] - Mọi xn tính theo ( 7 ) đều ∈ a, b ; - Hàm φ(x) có đạo hàm hạng nhất thoả mãn điều kiện: ϕ ' ( x) ≤ q < 1, a < x < b; ( 8 ) q - hằng số; [ ] Phương pháp lặp ( 6) hội tụ với mọi x ∈ a, b ; - ∞ xn α khi n α − xn ≤ (b − a )q n ; (9)
Sai số của phép tính: Có thể dùng ( 9 ) nhưng công thức này thường cho sai s ố quá lớn so với thực tế ước lượng sai số theo công th ức: f ( xn α − xn ≤ ( 10 ) ; m m = min f ' ( x) ; a < x < b; [ ] Chú ý: - Nếu φ’(x) > 0; Có thể chọn xo bất kỳ ∈ a, b ; - Nếu φ’(x) < 0: a+ b xo = a khi a < α < ; a+b 2 xét dấu f (a ). f   a+b 2 < α < b; xo = b khi 2 Các bước tính. - Tìm khoảng phân ly nghiệm [a, b]. x = φ(x) đảm bảo điều kiện hội tụ: - f(x) =0 φ’(x) < 1 ; a ≤ x ≤ b
Để đảm bảo điều kiện hội tụ, có thể làm như sau: Đặt ϕ ( x ) = x − λ f ( x ); ϕ ' ( x) = 1 − λf ' ( x) = 0; (
Sơ đồ tính: a +b đ s 
Sơ đồ tính: x=xo y = φ(x) s x=y y–x
5. Phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Niutơn). Nội dung: thay ( 1 ) = phương trình gần đúng, tuy ến tính x. Cơ sở : khai triển Taylo: - Hàm F(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại xo và lân cận xo. - Khai triển Taylo bậc n của F(x) tại xo: ( x − xo ) 2 F ( x) = F ( xo ) + ( x − xo ) F ' ( xo ) + F " ( xo ) + ⋅ ⋅ ⋅ + 2! ( x − xo ) n +1 ( n +1) ( x − xo ) n ( n ) + F ( xo ) + F (c); ( 11 ) (n + 1)! n! c = xo + θ ( x − xo ); 0 < θ < 1; - Giả sử f(x) =0 : - Có nghiệm thực α phân ly trong [a, b]; - Có đạo hàm f’(x) ≠ 0 tại x∈ [a, b]; - Có đạo hàm cấp hai f’’(x) tại x ∈ [a, b]; - Chọn xo ∈[a,b] khai triển Taylo bậc nhất của f(x) t ại x o: 1 f ( x) = f ( xo ) + ( x − xo ) f ' ( xo ) + ( x − xo ) 2 f " (c); ( 12 ) 2
f ( xo ) + ( x − xo ) f ' ( xo ) = 0; ( 13 ) Bỏ qua số hạng cuối, (1) f ( xn ) f ( x1 ) f ( xo ) ; . . . xn+1 = xn − ; ( 14 ) ; x2 = x1 − x1 = xo − f ' ( xn ) f ' ( x1 ) f ' ( xo ) lim xn = α ; n→∞ •Ý nghĩa hình học: thay đường cong y = f(x) bằng tiếp tuyến kẻ từ A(a,f(a)) hay B(b,f(b)), coi hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm gần đúng của ( 1 ). Đặt: - xo = a, nếu tiếp tuyến kẻ từ A; - xo = b, nếu tiếp tuyến kẻ từ B; Phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại [xo, f(xo)] : y − f ( xo ) = f ' ( xo )( x − xo ); (a) Giao điểm với trục hoành (x1, y1 =0) − f ( xo ) = f ' ( xo )( x − xo ); (b)
f ( xo ) x1 = xo − ; f ' ( xo ) Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x1, f(x1) ] f ( x1 ) x2 = x1 − ; ... f ' ( x1 ) f ( xn ) xn+1 = xn − ; f ' ( xn ) y y A OA x2 x1 xo=b b O α xo=a x1 x2 x a x α B B
* Định lý về sự hội tụ. Giả sử: - [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của f(x) = 0; - f có đạo hàm f’, f” với f’ và f” : + liên t ục trên [a, b]; + không đổi dấu trên [a, b]; - xấp xỉ xo chọn f(xo).f”(xo) > 0; α khi n → ∞ - xn theo (14) * Sai số. Lấy xn nghiệm gần đúng sai số: f ( xn ) ; với 0 < m ≤ f ' ( x) ; a ≤ x ≤ b; α − xn ≤ ( 15 ) m Trong thực tế, thường dừng quá trình tính khi: xn – xn-1 < ε (sai số cho phép) ( 16 ) * Chú ý. -Phương trình (13) thay cho (1) là tuyến tính đối v ới x nên phương pháp Niutơn cũng gọi là phg pháp tuyến tính hoá; p/pháp Niutơn cũng là p/pháp lặp với hàm l ặp: - (14) f ( x) ϕ ( x) = x − ; f ' ( x)
Sơ đồ tóm tắt các bước giải: 1/ Cho phương trình f(x) = 0; 2/ Ấn định sai số cho phép ε; 3/ Tìm khoảng phân ly nghiệm; 4/ Chọn đầu tính xo f(xo).f”(xo) > 0; f ( xo ) x1 = xo − ; f ' ( xo ) e = x1 − xo ; e
6. Phương pháp dây cung. * Giả sử: - ( 1 ) có nghiệm α duy nhất trên [a, b]; - f’(x) và f”(x) không đổi dấu trên [a, b]; * Thay đường cong f(x) bằng dây cung nối A[a,f(a)], B[b,f(b)]; * Hoành độ giao điểm của dây cung AB với trục hoành nghiệm gần đúng. y * Phương trình dây cung AB: X − xa Y − f (a) B = ; f (b) − f (a ) b−a x1 x2 a Tại giao điểm: Y = 0; X = x1; (b − a ) f (a ) O α bx x1 = a − ; ( 17 ) A f (b) − f (a ) af (b) − bf (a ) x1 = ; ( 18 ) f (b) − f (a) * Xét dấu f(a).f(x1) khoảng phân ly nghiệm mới, tiếp t ục tính đến khi: a – b < ε – sai số cho phép. * Sai số tính theo ( 15 ).
Các bước tính: 1/ Cho f(x) = 0; 2/ Ấn định sai số cho phép; 3/ Tìm khoảng phân ly nghiệm; af (b) − bf (a ) x1 = 4/ Tính theo sơ đồ: ; f (b) − f (a ) 5/ Tính sai số theo (15). s đ f(x1).f(a)
Ví dụ. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình Với sai số cho phép ε =10-3 f(x) = x3 – x – 1 = 0; 1. Điều kiện phương trình có nghiệm thực và tìm khoảng phân ly nghiệm. 1 1 − + -Hàm số xác định và liên tục x −∞ +∞ 3 3 tại mọi x +0_0 f’(x) + - f’(x) = 3x2 – 1 = 0 tại M f(x) x = ±1 / 3 m - Bảng biến thiên hàm số: 1 1 1 M = f (− )=− + − 1 < 0; 3 33 3 đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại một điểm, phương trình [ ] có một nghiệm thực trong khoảng 1 / 3 , ∞ - Chọn khoảng chứa nghiệm [1, 2] f(1) = 1 – 1 – 1 = - 1 0 chứa nghiệm.