CHƯƠNG 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHÍNH XÁC LẬP LỘ TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG

Chia sẻ: Nguyen Thi Thu Thuy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

69
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Những cách tiếp cận tổ hợp tới việc lập lộ trình chuyển động để tìm thấy những đường đi xuyên qua không gian cấu hình liên tục mà không dùng đến những thuật toán xấp xỉ. Nhờ có tính chất này nên cách tiếp cận này còn gọi là giải thuật lập lộ trình chính xác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHÍNH XÁC LẬP LỘ TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG

Ch¬ng 3 Mét sè ph¬ng ph¸p chÝnh x¸c lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng 3.1.Giíi thiÖu chung Nh÷ng c¸ch tiÕp cËn tæ hîp tíi viÖc lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng ®Ó t×m thÊy nh÷ng ®êng ®i xuyªn qua kh«ng gian cÊu h×nh liªn tôc mµ kh«ng dïng ®Õn nh÷ng thuËt to¸n xÊp xØ. Nhê cã tÝnh chÊt nµy nªn c¸ch tiÕp cËn nµy cßn gäi lµ gi¶i thuËt lËp lé tr×nh chÝnh x¸c. Khi nghiªn cøu nh÷ng gi¶i thuËt nµy ®iÒu quan träng lµ viÖc xem xÐt cÈn thËn ®Þnh nghÜa ®Çu vµo : - M« h×nh nµo ®îc sö dông ®Ó m« h×nh ho¸ robot vµ chíng ng¹i vËt? - TËp hîp nh÷ng biÕn ®æi nµo ®îc ¸p dông cho Robot? - Sè chiÒu cña kh«ng gian? - Robot vµ kh«ng gian cã tho¶ m·n tÝnh chÊt låi kh«ng? - Chóng cã lµ c¸c ph©n ®o¹n tuyÕn tÝnh? ChØ ®Þnh râ ®îc c¸c ®Çu vµo cã thÓ x¸c ®Þnh tËp c¸c thÓ hiÖn cña bµi to¸n mµ trªn ®ã c¸c thuËt to¸n sÏ t¸c nghiÖp. NÕu nh÷ng thÓ hiÖn cã nh÷ng tÝnh chÊt thuËn lîi nhÊt ®Þnh (sè chiÒu cña kh«ng gian thÊp, nh÷ng m« h×nh thÓ hiÖn lµ kh«ng gian låi…) th× mét gi¶i thuËt tæ hîp cã thÓ cung cÊp mét gi¶i ph¸p rÊt tèt vµ thùc tÕ. NÕu tËp hîp cña nh÷ng thÓ hiÖn qu¸ réng, th× mét yªu cÇu ph¶i tho¶ m·n c¶ tÝnh chÊt trän vÑn lÉn nh÷ng gi¶i ph¸p thùc hµnh cã thÓ lµ mét ®iÒu v« lý. ViÖc x©y dùng nh÷ng c«ng thøc chung cña vÊn ®Ò lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng cã thÓ kh«ng ®¹t ®îc. Tuy vËy, vÉn tån t¹i mét sè ®iÓm chung ®Ó hoµn thµnh nh÷ng gi¶i thuËt lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng. T¹i sao cÇn ph¶i nghiªn cøu ph¬ng ph¸p chÝnh x¸c lËp lé tr×nh tæ hîp 49
Cã hai lý do cÇn nghiªn cøu nh÷ng ph¬ng ph¸p tæ hîp ®Ó tiÕp cËn tíi viÖc lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng, ®ã lµ : Thø nhÊt, trong nhiÒu øng dông, viÖc lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng cã thÓ chØ quan t©m ®Õn mét líp ®Æc biÖt, vÝ dô kh«ng gian chØ lµ kh«ng gian hai chiÒu 2D, vµ robot chØ cã kh¶ n¨ng tÞnh tiÕn. Khi tËp hîp nhiÒu líp ®Æc biÖt th× nh÷ng gi¶i thuËt thanh lÞch vµ cã hiÖu lùc cã thÓ ®îc ph¸t triÓn. Nh÷ng gi¶i thuËt nµy lµ ®Çy ®ñ, kh«ng phô thuéc vµo sù xÊp xØ, vµ tá ra thùc hiÖn tèt h¬n h¬n nh÷ng ph¬ng ph¸p lËp lé tr×nh lÊy mÉu c¬ së. Thø hai, nh÷ng ph¬ng ph¸p tæ hîp võa ®¸ng chó ý l¹i võa tho¶ m·n cho mét líp réng nh÷ng gi¶i thuËt lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng. Tuy nhiªn, còng cÇn ph¶i chó ý víi ®a sè c¸c ph¬ng ph¸p cã hiÖu lùc vµ dÔ ®Ó thùc hiÖn, nhng ngîc l¹i nhiÒu cßn mét sè gi¶i thuËt cã thÓ qu¸ phøc t¹p vµ khã øng dông trong thùc tÕ. Dï mét gi¶i thuËt trong lý thuyÕt cho phÐp gi¶ ®Þnh chi phÝ vÒ thêi gian thùc hiÖn nhá mét c¸ch ®¸ng ng¹c nhiªn, nhng trong thùc tÕ th× nã kh«ng thÓ ®¹t ®îc thêi gian nh vËy khi thùc thi. §«i khi ngêi ta chÊp nhËn trêng hîp nh÷ng gi¶i thuËt cã thêi gian ch¹y xÊu h¬n nhiÒu so víi gi¶i thuËt lý thuyÕt nhng dÔ hiÓu vµ dÔ thùc hiÖn h¬n. §©y còng vÉn lµ mét vÊn ®Ò më ®Ó nh÷ng ngêi lËp tr×nh cÇn cè g¾ng x©y dùng nh÷ng gi¶i thuËt ngµy cµng hiÖu qu¶ h¬n cho dï kÕt qu¶ chñ yÕu vÉn lµ trªn lý thuyÕt. Nã lu«n thóc ®Èy mäi ngêi t×m kiÕm nh÷ng gi¶i thuËt ®¬n gi¶n vµ hiÖu qu¶ h¬n trong thùc tÕ. Roadmaps HÇu hÕt c¸ch tiÕp cËn cña viÖc lËp lé tr×nh chÝnh x¸c lµ x©y dùng mét ®êng ®i theo mét c¸ch nµo ®ã ®Ó gi¶i quyÕt nh÷ng truy vÊn. Kh¸i niÖm nµy ®îc giíi thiÖu. Nhng trong ch¬ng nµy yªu cÇu Roadmaps ph¶i ®îc ®Þnh nghÜa chÝnh x¸c h¬n bëi v× c¸c gi¶i thuËt ë ®©y cÇn x©y dùng trän vÑn. Mét sè gi¶i thuËt lËp lé tr×nh tæ hîp ®îc tiÕp cËn theo ý tëng tríc hÕt x©y dùng mét sù ph©n ly Cfree vµ tõ ®ã sÏ 50
x©y dùng lªn ®êng ®i. Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c l¹i trùc tiÕp x©y dùng mét ®êng ®i mµ kh«ng xem xÐt ®Õn sù ph©n ly «. §Þnh nghÜa: Cho G lµ mét ®å thÞ t«p« ¸nh x¹ vµo trong C free. L¸t c¾t S ⊂ Cfree lµ tËp hîp cña tÊt c¶ c¸c ®iÓm trong tÇm víi cña G, ( S=  e([0,1] ) trong ®ã e([0,1]) ∈ Cfree lµ ¶nh cña ®êng ®i e). §å thÞ G ®îc e∈£ gäi mét Roadmap nÕu nã tháa m·n hai ®iÒu kiÖn quan träng : 1. TÝnh dÔ tiÕp cËn : Tõ bÊt kú q ∈ Cfree, nã ph¶i tÝnh to¸n ®îc mét ®- êng ®i hiÖu qu¶ vµ ®¬n gi¶n τ : [ 0, 1 ] → Cfree sao cho τ (0) = q vµ τ (1) = s, trong ®ã s lµ mét ®iÓm bÊt kú trong S. Th«ng thêng, s lµ ®iÓm gÇn nhÊt víi q, víi gi¶ thiÕt C lµ mét kh«ng gian metric. 2. Duy tr× kÕt nèi : Thø nhÊt, lu«n lu«n cã thÓ nèi ®îc mét vµi qI vµ qG tíi mét vµi s1 vµ s2, theo thø tù trong S. Thø hai yªu cÇu r»ng nÕu tån t¹i mét ®êng ®i τ : [ 0,1] → Cfree sao cho τ (0) = qI vµ τ (1) = qG, th× ë ®ã còng tån t¹i mét ®êng ®i τ ' : [0,1] → S, mµ τ '(0) = s1 vµ τ '(1) = s2. Nh vËy, nh÷ng gi¶i ph¸p kh«ng lçi bëi v× G lu«n gi÷ liªn kÕt víi C free. §iÒu nµy b¶o ®¶m r»ng nh÷ng gi¶i thuËt hoµn chØnh th× ph¸t triÓn. ViÖc tháa m·n nh÷ng thuéc tÝnh nµy, mét ®êng ®i lµ mét sù biÓu diÔn rêi r¹c cho mét lé tr×nh chuyÓn ®éng liªn tôc mµ kh«ng lµm mÊt bÊt without losing any of the original connectivity information needed cÇn thiÕt to solve it kú th«ng tin kÕt nèi nguyªn b¶n nµo ®Ó t×m ra lêi gi¶i. Mét truy vÊn, (qI, qG), ®îc gi¶i quyÕt bëi viÖc nèi cho mçi truy vÊn ®iÓm ®Ó x©y dùng nªn Roadmap vµ sau ®ã biÓu diÔn mét t×m kiÕm ®å thÞ rêi r¹c trªn G. Duy tr× tÝnh chÊt ®Çy ®ñ, ®iÒu kiÖn ®Çu tiªn b¶o ®¶m r»ng bÊt kú truy vÊn nµo còng cã thÓ ®îc nèi tíi G, vµ ®iÒu kiÖn thø hai b¶o ®¶m r»ng sù t×m kiÕm lu«n lu«n thµnh c«ng nÕu tån t¹i mét gi¶i ph¸p. 3.2 vïng Chíng ng¹i §a gi¸c 51
Tríc khi nghiªn cøu mÉu chung nhÊt cña vÊn ®Ò lËp lé tr×nh tæ hîp, chóng ta nªn tiÕp cËn nh÷ng trêng hîp ®¬n gi¶n vµ trùc quan, ®ã lµ mét sè gi¶i thuËt thanh lÞch, minh b¹ch cho trêng hîp C = R 2 vµ Cobs lµ ®a gi¸c. HÇu hÕt nh÷ng ®iÒu nµy kh«ng thÓ trùc tiÕp ®îc më réng tíi nh÷ng kh«ng gian cã sè chiÒu cao h¬n nhng mét sè nguyªn lý chung th× vÉn t¬ng tù; Bëi vËy, rÊt cÇn thiÕt ®Ó tiÕp cËn viÖc lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng chÝnh x¸c trong kh«ng gian hai chiÒu. Nh÷ng gi¶i thuËt nµy còng cã thÓ trùc tiÕp ¸p dông trong mét sè c¸c øng dông. ViÖc lËp lé tr×nh cho mét Robot di ®éng cã thÓ ®îc m« h×nh ho¸ nh mét ®iÓm di ®éng trong mét toµ nhµ mµ b¶n ®å sµn nhµ ®· ®îc m« h×nh b»ng mét sè ®a gi¸c 2D. H×nh 3.1 : Mét m« h×nh ®a gi¸c ®îc chØ râ bëi bèn ®a gi¸c cã híng ®¬n gi¶n. 3.2.1 BiÓu diÔn Representation Gi¶ thiÕt : • W = R2; • Nh÷ng chíng ng¹i O lµ c¸c ®a gi¸c; • Robot A lµ mét robot ®iÓm chØ cã kh¶ n¨ng tÞnh tiÕn. Gi¶ sö Cobs còng lµ ®a gi¸c. Cho trêng hîp ®Æc biÖt A lµ mét ®iÓm trong W, nh÷ng ¸nh x¹ trùc tiÕp tõ O tíi Cobs kh«ng cã bÊt kú sù biÕn d¹ng nµo. 52
Nh vËy, nh÷ng vÊn ®Ò ë ®©y ®îc xem xÐt nh viÖc lËp lé tr×nh cho mét robot ®iÓm. NÕu A kh«ng lµ robot ®iÓm th× hiÖu Minkowski cña O vµ A ®îc tÝnh to¸n. Cho trêng hîp nµy c¶ hai A vµ O lµ låi, gi¶i thuËt m« h×nh Cobs râ rµng trong trêng hîp tÞnh tiÕn cã thÓ ®îc ¸p dông tÝnh to¸n mçi thµnh phÇn cña Cobs. Trong trêng hîp tæng qu¸t, c¶ hai A vµ O cã thÓ lµ kh«ng låi vµ thËm chÝ chóng cã thÓ chøa ®ùng nh÷ng lç, nh nh÷ng Cobs trong h×nh 3.1. Trong trêng hîp nµy, A vµ O ®îc ph©n ly vµo trong nh÷ng thµnh phÇn låi, vµ hiÖu Minkowski ®îc sö dông ®Ó tÝnh to¸n cho mçi cÆp cña nh÷ng thµnh phÇn. Nh÷ng sù ph©n ly vµo trong nh÷ng thµnh phÇn låi thËt sù ®îc thùc hiÖn bëi viÖc pháng theo gi¶i thuËt ph©n ly « mµ sÏ ®îc giíi thiÖu trong môc 3.2.2. Mçi lÇn hiÖu Minkowski ®îc tÝnh to¸n, chóng cÇn hîp nhÊt ®Ó thu ®îc mét c¸ch biÓu diÔn díi d¹ng nh÷ng ®a gi¸c ®¬n gi¶n, nh nh÷ng ®a gi¸c trong H×nh 3.1. To implement the algorithms described in this section, it will be helpful to have a data structure that allows convenient tiÖn läi access to the information contained bao gom in a model such as Figure 3.1. How is the outer boundary represented? Thùc thi c¸c gi¶i thuËt trong phÇn nµy sÏ gióp chóng ta cã mét cÊu tróc d÷ liÖu ®Ó cho phÐp truy cËp thuËn tiÖn vµo c¸c th«ng tin bao gåm c¸c mÉu nh H×nh 3.1. §Ó biÓu diÔn ®îc chóng ta cÇn ph¶i tr¶ lêi ®îc nh÷ng c©u hái: - BiÓu diÔn ®êng biªn ngoµi nh thÕ nµo? - Nh÷ng lç ë trong nh÷ng chíng ng¹i ®îc biÓu diÔn ra sao? - Lµm thÕ nµo chóng ta biÕt nh÷ng lç nµo bªn trong nh÷ng chíng ng¹i vËt? Nh÷ng truy vÊn nµy cã thÓ ®îc tr¶ lêi hiÖu qu¶ bëi viÖc sö dông cÊu tróc d÷ liÖu danh s¸ch liªn th«ng hai ®Çu. Chóng ta sÏ cÇn biÓu diÔn nh÷ng m« h×nh, nh trong H×nh 3.1, vµ mäi th«ng tin kh¸c cña nh÷ng gi¶i 53
thuËt lËp lé tr×nh ®Ó duy tr× trong thêi gian thùc hiÖn. Cã ba b¶n ghi kh¸c nhau : §Ønh : Mçi ®Ønh v chøa ®ùng mét con trá tíi mét ®iÓm ( x, y) ∈ C = R2 vµ mét con trá tíi nöa –c¹nh nµo ®ã mµ v gèc cña nã. MÆt : Mçi mÆt cã mét con trá tíi mét nöa – c¹nh trªn biªn giíi bao quanh mÆt; .gi¸ trÞ con trá lµ NIL nÕu mÆt lµ biªn giíi ë ngoµi cïng. MÆt còng chøa ®ùng mét danh s¸ch nh÷ng con trá cho mçi thµnh phÇn cã quan hÖ (nh c¸c lç) mµ chøa ®ùng ë trong mÆt ®ã. Mçi con trá trong danh s¸ch trá cho mét nöa –c¹nh cña ranh giíi thµnh phÇn. Nöa c¹nh: Mçi nöa c¹nh ®îc ®Þnh híng ®Ó phÇn chíng ng¹i lu«n lu«n ë bªn tr¸i nã. Nã chøa ®ùng n¨m con trá kh¸c nhau. Cã mét con trá tíi ®Ønh gèc cña nã. Cã mét con trá híng tíi nöa c¹nh kÕ tiÕp, con trá trá vµo mét nöa c¹nh trong ph¬ng ®èi diÖn. NÕu nöa c¹nh lµ biªn cña mét chíng ng¹i, th× con trá nµy lµ NIL. C¸c nöa c¹nh lu«n lu«n ®îc xÕp trong nh÷ng vßng khÐp kÝn ®Ó h×nh thµnh ranh giíi cña mét mÆt. Nh÷ng vßng nh vËy lu«n ®Þnh híng ®Ó phÇn chíng ng¹i (hoÆc mét nöa c¹nh kÕ tiÕp) lu«n lu«n ë bªn tr¸i nã. Mçi nöa c¹nh lu gi÷ mét con trá tíi mÆt trong. Nã còng chøa ®ùng nh÷ng con trá nöa c¹nh tiÕp theo vµ nöa c¹nh tríc ®ã trong chuçi nh÷ng nöa c¹nh. VÝ dô trong H×nh 3.1, cã bèn vßng khÐp kÝn cña nh÷ng nöa c¹nh mµ mçi vßng lµ giíi h¹n cña mét mÆt kh¸c nhau. B¶n ghi mÆt cña lç h×nh tam gi¸c nhá trá vµo mÆt chíng ng¹i chøa ®ùng lç. Mçi chíng ng¹i chøa ®ùng mét con trá tíi mÆt biÓu diÔn ®êng biªn ngoµi cña nã. Bëi sù ®Þnh híng kiªn ®Þnh cho nöa c¹nh, nh÷ng vßng nöa c¹nh gianh giíi cña nh÷ng chíng ng¹i vËt lu«n lu«n ch¹y ngîc chiÒu kim ®ång hå (bªn tr¸i), vµ nh÷ng vßng nöa c¹nh ranh giíi lç lu«n theo chiÒu thuËn chiÒu kim ®ång hå. {$There are no twin half-edges because all half-edges bound part of Cobs.$}Kh«ng cã nöa c¹nh ghÐp ®«i v× tÊt c¶ mét nöa c¹nh lµ nh÷ng bé phËn ranh giíi cña C obs. CÊu tróc d÷ liÖu danh s¸ch 54
c¹nh liªn th«ng hai chiÒu th× ®ñ tæng qu¸t ®Ó cho phÐp ®îc chÌn thªm c¹nh lµ nh÷ng l¸t máng xuyªn qua Cfree. Nh÷ng c¹nh nµy sÏ kh«ng trªn biªn cña Cobs, nhng chóng cã thÓ ®îc qu¶n lý sö dông nh÷ng con trá c¹nh nöa ghÐp ®«i. §iÒu nµy sÏ h÷u Ých cho gi¶i thuËt bªn trong Môc 3.2.2. 3.2 Mét sè gi¶i thuËt lËp lé tr×nh chÝnh x¸c cho robot Trong vÊn ®Ò lËp tr×nh cho robot cã rÊt nhiÒu nh÷ng gi¶i thuËt lËp lé tr×nh, mçi gi¶i thuËt cã nh÷ng tiÒm n¨ng vµ øng dông nhÊt ®Þnh. C¸c ph¬ng ph¸p cã thÓ kÓ ®Õn nh : • Randomized Potential Fields • Heuristics for Improving Roadmaps • Hybrid local/global • Visibility Graph • Voronoi Diagram (Maximum-Clearance Roadmaps) • Cell decomposition ë ®©y chóng ta tËp chung vµo c¸c gi¶i thuËt lËp lé tr×nh chÝnh x¸c nh Cell decomposition, Visibility Graph ,Voronoi Diagram. 3.2.1. Vertical Cell Decomposition (sù ph©n ly ¤ däc ) Nh÷ng ph¬ng ph¸p tæ hîp ph¶i x©y dùng mét cÊu tróc d÷ liÖu h÷u h¹n ®Ó m· ho¸ chÝnh x¸c vÊn ®Ò lËp lé tr×nh. Nh÷ng gi¶i thuËt ph©n ly « híng tíi viÖc chia c¾t Cfree thµnh mét tËp hîp h÷u h¹n nh÷ng vïng gäi lµ nh÷ng «. Sù ph©n ly « cÇn ph¶i tháa m·n ba thuéc tÝnh : 1.ViÖc tÝnh to¸n mét ®êng ®i tõ mét ®iÓm bªn trong mét « ph¶i dÔ dµng. VÝ dô, nÕu mçi « låi, th× bÊt kú cÆp ®iÓm nµo trong mét « ®Òu cã thÓ nèi ®- îc bëi mét ®o¹n th¼ng. 2. Sù cung cÊp th«ng tin cho nh÷ng « liÒn kÒ cã thÓ dÔ dµng ®îc rót trÝch ®Ó x©y dùng roadmap. 55
3. Cho tríc mét qI vµ qG, sù ph©n ly « cÇn ph¶i x¸c ®Þnh ®îc nh÷ng « nµo chøa chóng. NÕu mét sù ph©n ly « tháa m·n nh÷ng thuéc tÝnh nµy, th× vÊn ®Ò lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng ®îc biÕn ®æi thµnh vÊn ®Ò t×m kiÕm ®å thÞ. Tuy nhiªn, trong sù thiÕt ®Æt hiÖn thêi, toµn bé ®å thÞ, G, th«ng thêng ®îc biÕt tr- íc. §iÒu nµy kh«ng gi¶ thiÕt riªng cho nh÷ng vÊn ®Ò lËp lé tr×nh. 3.2.1.1. §Þnh nghÜa sù ph©n ly däc: PhÇn nµy chóng ta giíi thiÖu mét gi¶i thuËt mµ x©y dùng mét sù ph©n ly « däc. Cfree ®îc ph©n chia vµo trong mét tËp hîp h÷u h¹n cña nh÷ng 2-cell vµ 1- cell. Mçi 2 - cell lµ mét h×nh thang cã nh÷ng c¹nh däc hoÆc lµ mét h×nh tam gi¸c (lµ mét h×nh thang suy biÕn). Víi lý do nµy, ph¬ng ph¸p ®«i khi ®îc gäi sù ph©n ly h×nh thang. Sù ph©n ly ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: Cho P biÓu thÞ tËp hîp cña ®Ønh ®Þnh nghÜa Cobs. T¹i mçi p ∈ P, dïng nh÷ng tia th¼ng híng híng lªn hoÆc xuèng xuyªn qua Cfree, cho ®Õn khi va ph¶i Cobs th× dõng l¹i. H×nh 3.2 : Bèn trêng hîp tæng qu¸t : 1) Cã thÓ theo hai híng xuèng xu«i hoÆc híng lªn, 2) ChØ híng lªn, 3) ChØ xu«i xuèng, vµ 4) Kh«ng thÓ më réng. Khi ph©n ly sÏ cã bèn trêng hîp, nh trong H×nh 3.2, phô thuéc vµo lµ nã cã thÓ ®Ó më réng theo hai ph¬ng híng hay kh«ng. NÕu Cfree ®îc ph©n chia theo nh÷ng tia nµy, th× kÕt qu¶ lµ mét sù ph©n ly däc. VÝ dô víi C obs trong H×nh 3.3 a sö dông sù ph©n ly däc Cfree ta ®îc h×nh H×nh3.3 b. 56
H×nh 3.2 : Ph¬ng ph¸p ph©n ly « däc sö dông ®Ó x©y dùng mét roadmap, ®îc t×m kiÕm ®Ó sinh ra mét gi¶i ph¸p cho mét truy vÊn. Chó ý r»ng chØ nh÷ng h×nh thang vµ nh÷ng h×nh tam gi¸c thu ®îc gäi lµ nh÷ng 2- cell trong Cfree. Mçi 1-cell lµ mét ®o¹n däc ®¸p øng nh mét c¹nh gi÷a hai 2 - cell. Khi ph©n ly chóng ph¶i b¶o ®¶m r»ng topology cña Cfree ®îc biÓu diÔn chÝnh x¸c. Ta ®· biÕt r»ng Cfree ®· ®îc ®Þnh nghÜa lµ mét tËp hîp më. Mçi 2- cell thËt sù còng ®îc ®Þnh nghÜa lµ mét tËp hîp më trong R 2; nh vËy, nã lµ phÇn trong cña mét h×nh thang hoÆc h×nh tam gi¸c vµ 1- cell lµ nh÷ng ®iÓm trªn c¸c ®o¹n th¼ng. 3.2.1.2 §Þnh nghÜa roadmap trong ph¬ng ph¸p §Ó ®iÒu khiÓn nh÷ng truy vÊn lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng, mét roadmap ®îc x©y dùng tõ sù ph©n ly däc: Cho mçi « Ci, gäi qi lµ mét ®Ønh sao cho qi ∈ Ci khi ®ã qi ®îc gäi lµ ®iÓm mÉu. Nh÷ng ®iÓm mÉu cã thÓ ®îc lùa chän theo nhiÒu c¸ch, vÝ dô nh nh÷ng träng t©m trong c¸c «, nhng sù lùa chän ®Æc biÖt kh«ng ph¶i lµ qu¸ quan träng, cã thÓ tån t¹i nhiÒu c¸ch lùa chän ®iÓm mÉu kh¸c. 57
H×nh 3.4 : Roadmap b¾t nguån tõ sù ph©n ly « däc. Cho G(V,E) lµ mét ®å thÞ t«p« ®Þnh nghÜa nh sau: Víi mçi «, Ci, ®Þnh nghÜa mét ®Ønh qi∈ V. Víi mçi 2- cell, ®Þnh nghÜa mét c¹nh tõ ®iÓm mÉu ®· lùa chän cña nã ®Õn ®iÓm mÉu ®· lùa chän cña mçi 1- cell n»m däc theo ranh giíi cña nã. Mçi c¹nh lµ mét ®o¹n th¼ng nèi gi÷a c¸c ®iÓm lùa chän cña c¸c «. §å thÞ kÕt qu¶ lµ mét roadmap (H×nh 3.4). §iÒu kiÖn dÔ tiÕp cËn ®îc tháa m·n bëi v× mçi ®iÓm mÉu cã thÓ ®¹t ®îc bëi mét ®êng ®i nhê vµo tÝnh låi cña mçi «. §iÒu kiÖn kÕt nèi còng ®îc tháa m·n v× G nhËn ®îc tõ sù ph©n ly «, mµ khi ph©n ly vÉn gi÷ quan hÖ thuéc Cfree. Mçi lÇn roadmap x©y dùng xong, c¸c th«ng tin vÒ « kh«ng cÇn ®îc lu gi÷ n÷a. §èi víi viÖc tr¶ lêi cho nh÷ng truy vÊn lËp lé tr×nh chÝnh lµ roadmap ®· x©y dùng. 3.2.1.3. T×m lêi gi¶i cho mét truy vÊn Mét lÇn roadmap thu ®îc, nã cã thÓ tr¶ lêi râ rµng cho mét truy vÊn cña vÊn ®Ò lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng tõ qI ®Õn qG. Cho C 0 vµ Ck biÓu thÞ nh÷ng « chøa ®ùng qI vµ qG t¬ng øng. Trong ®å thÞ G, t×m kiÕm mét ®êng ®i cã thÓ nèi tõ ®iÓm mÉu cña C0 tíi ®iÓm mÉu cña Ck. NÕu kh«ng cã ®êng ®i nh vËy nµo tån t¹i, th× gi¶i thuËt tuyªn bè kh«ng tån t¹i gi¶i ph¸p. NÕu tån t¹i mét ®êng ®i th× cho C1, C2, . . ., Ck-1 lÇn lît ®i qua tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm mÉu cña c¸c 1 - cell vµ 2- cell tõ C0 ®Õn Ck. Mét ®êng ®i gi¶i ph¸p cã thÓ ®îc h×nh thµnh mét c¸ch ®¬n gi¶n b»ng c¸ch “Nèi nh÷ng ®iÓm”, q0, q1, q2, . . ., qk-1, qk biÓu thÞ nh÷ng ®iÓm mÉu däc theo ®êng ®i bªn trong G. §êng ®i gi¶i ph¸p, τ : [ 0, 1 ] → Cfree, ®îc h×nh thµnh bëi viÖc ®Æt τ (0) = qI, τ (1) = qG, vµ viÖc ®Õn th¨m mçi ®iÓm trong d·y c¸c ®iÓm tõ q0 ®Õn qk ®i theo mét ®êng ®i ng¾n nhÊt. VÝ dô, gi¶i ph¸p trong H×nh 3.5. Trong viÖc lùa chän nh÷ng ®iÓm mÉu, ®iÒu ®ã quan träng ®Ó b¶o ®¶m r»ng mçi ®o¹n ®êng ®i tõ ®iÓm mÉu cña mét « ®Õn ®iÓm mÉu cña nh÷ng « l¸ng giÒng cña nã kh«ng cã va ch¹m x¶y ra. 58
H×nh 3.5 : VÝ dô mét ®êng ®i gi¶i ph¸p 3.2.1.4 . §¸nh gi¸ gi¶i thuËt: HiÖu qu¶ tÝnh to¸n sù ph©n ly sÏ ®îc xem xÐt. Thùc chÊt trong vÊn ®Ò nµy c¸c bíc ®Òu ®¬n gi¶n vµ thùc hiÖn bëi ph¬ng ph¸p brute-force ( b¾t Ðp th« b¹o) . NÕu Cobs cã n ®Ønh, th× c¸ch tiÕp cËn nµy cÇn Ýt nhÊt thêi gian lµ O(n2) v× ph¶i kiÓm tra sù giao nhau gi÷a mçi tia däc vµ mçi c¹nh cña Cobs. NÕu tæ chøc cÈn thËn c¸c bíc tÝnh to¸n th× kÕt qu¶ ch¹y thêi gian chØ cßn lµ O(nlgn). 3.2.1.5. Nguyªn lý quÐt mÆt ph¼ng: C¬ së cña gi¶i thuËt lµ nguyªn lý mÆt- quÐt (hoÆc ®êng - quÐt) tõ mÉu h×nh häc trªn m¸y tÝnh, ®©y còng lµ c¬ së cña nhiÒu gi¶i thuËt lËp lé tr×nh tæ hîp vµ nhiÒu gi¶i thuËt chung kh¸c. NhiÒu vÊn ®Ò h×nh häc tÝnh to¸n bëi m¸y tÝnh cã thÓ ®îc xem xÐt nh sù ph¸t triÓn cña nh÷ng cÊu tróc d÷ liÖu vµ gi¶i thuËt mµ kh¸i qu¸t hãa ph©n lo¹i cho vÊn ®Ò nhiÒu chiÒu. Nãi c¸ch kh¸c, nh÷ng gi¶i thuËt cÈn thËn “ s¾p xÕp ” c¸c th«ng tin h×nh häc. Tõ “QuÐt” ®îc sö dông khi tr×nh bµy nh÷ng gi¶i thuËt nµy v× cã thÓ h×nh dung ®ã lµ mét ®êng (hoÆc mÆt ph¼ng) quÐt ngang qua kh«ng gian, chØ dõng khi ®¹t ®Õn tr¹ng th¸i thay ®æi nµo ®ã khi t×m thÊy th«ng tin. Trªn ®©y míi lµ sù miªu t¶ trùc quan, cßn viÖc quÐt cha ®îc biÓu diÔn râ rµng b»ng gi¶i thuËt. §Ó x©y dùng sù ph©n ly däc, h×nh d¹ng mét ®êng däc lµ ®êng quÐt tõ x = - ∞ tíi x = ∞ , gi¶ sö (x, y) lµ mét ®iÓm trong C = R 2. D÷ liÖu ®Çu vµo lµ tËp hîp P cña ®Ønh Cobs. Bëi vËy chóng ta chØ quan t©m ®Õn nh÷ng vÊn ®Ò xuÊt hiÖn ë nh÷ng ®iÓm nµy. S¾p xÕp nh÷ng ®iÓm trong P theo thø tù to¹ ®é x t¨ng dÇn. Gi¶ thiÕt th«ng thêng kh«ng cã hai ®iÓm nµo cã 59
cïng täa ®é x. Nh÷ng ®iÓm trong P sÏ ®îc th¨m theo thø tù ®· s¾p xÕp. Mçi lÇn th¨m mét ®iÓm sÏ ®îc coi lµ mét sù kiÖn. Tríc, sau, vµ gi÷a mçi sù kiÖn, mét danh s¸ch L chøa mét vµi c¹nh Cobs sÏ ®îc x¸c nhËn. Danh s¸ch nµy ph¶i ®îc duy tr× trong suèt thêi gian theo thø tù nh÷ng c¹nh ®Õn khi nµo va ph¶i ®êng quÐt däc. Danh s¸ch ®îc s¾p xÕp theo thø tù t¨ng dÇn. H×nh 3.6 : VÝ dô cã 14 sù kiÖn. H×nh 3.7 : T×nh tr¹ng cña L ®îc chØ ra sau mçi 14 sù kiÖn xuÊt hiÖn. Tríc hÕt lµ L trèng rçng. Nh÷ng bíc thùc hiÖn gi¶i thuËt H×nh 3.6 vµ 3.7 thÓ hiÖn sù tr×nh diÔn gi¶i thuËt. §Çu tiªn, L trèng rçng, sau ®ã víi mçi sù kiÖn sÏ ®a vµo danh s¸ch nh÷ng c¹nh biÓu diÔn cña Cfree cã liªn quan ®Õn sù kiÖn. Mçi thµnh phÇn liªn quan 60
cña Cfree sinh ra mét face ®¬n trong cÊu tróc d÷ liÖu. Sau vµi bíc lÆp ta x©y dùng ®îc L chÝnh x¸c. Mçi sù kiÖn sÏ xuÊt hiÖn lµ mét trong sè bèn trêng hîp trong H×nh 3.2. ViÖc duy tr× L trong mét c©y t×m nhÞ ph©n c©n ®èi, cã thÓ ®îc x¸c ®Þnh trong thêi gian O(lg n), tèt h¬n rÊt nhiÒu so víi thêi gian O(n) cña trêng hîp b¾t buéc ph¶i kiÓm tra mäi ®o¹n. ViÖc phô thuéc vµo bèn trêng hîp xuÊt hiÖn tõ H×nh 3.2, dÉn tíi nhng cËp nhËt kh¸c nhau cña L ®îc thùc hiÖn. NÕu trêng hîp xuÊt hiÖn ®Çu tiªn, th× hai c¹nh kh¸c nhau ®îc chÌn vµo, vµ thÓ hiÖn ®ã trªn p lµ hai nöa ®o¹n. Hai trêng hîp tiÕp theo trong H×nh 3.2 th× ®¬n gi¶n h¬n; chØ mét thÓ hiÖn ®¬n ®îc thùc hiÖn.Trêng hîp cuèi cïng, kh«ng xuÊt hiÖn viÖc ph©n ly. Mét lÇn thùc hiÖn thao t¸c ph©n ly bÒ mÆt cña Cfree th× L ®îc cËp nhËt. Khi tia quÐt qua p, lu«n lu«n cã hai c¹nh bÞ ¶nh hëng. {$For example, in the first and last cases of Figure 3.2, two edges must be inserted into L (the mirror images of these cases cause two edges to be deleted from L).$} VÝ dô, trong trêng hîp ®Çu tiªn vµ cuèi cïng cña H×nh 3.2, hai c¹nh ph¶i ®îc chÌn vµo trong L (¶nh ®èi xøng cña nh÷ng trêng hîp nµy lµ nguyªn nh©n hai c¹nh sÏ ®îc xãa ®i tõ L). NÕu hai trêng hîp gi÷a xuÊt hiÖn, th× mét c¹nh ®îc thay thÕ bëi ®èi tîng kh¸c trong L. Nh÷ng thao t¸c thªm vµo vµ xãa ®i nµy cã thÓ ®îc thùc hiÖn trong thêi gian O(lgn). Tõ ®ã khi cã sù kiÖn n, thêi gian cho x©y dùng gi¶i thuËt lµ O(nlgn). The roadmap G can be computed from the face pointers of the doubly connected edge list Roadmap G cã thÓ ®îc tÝnh to¸n tõ nh÷ng con trá thÓ hiÖn cña hai c¹nh cã quan hÖ trªn danh s¸ch. Mét c¸ch tiÕp cËn tèt h¬n lµ x©y dùng gia t¨ng G ë mçi sù kiÖn. Trªn thùc tÕ, tÊt c¶ yªu cÇu duy tr× mét con trá ®ang tån t¹i mét c¸ch ch¾c ch¾n hai c¹nh liªn quan trong danh s¸ch cã thÓ ®îc lê ®i nÕu mong muèn, kÐo dµi G ®îc x©y dùng chÝnh x¸c vµ ®iÓm mÉu thu ®îc cho mçi « däc. Chóng ta cã thÓ ®i lµ mét bíc xa h¬n n÷a, bëi quªn ®i kho¶ng sù ph©n ly « vµ trùc tiÕp x©y dùng mét 61
®å thÞ t«p« cña nh÷ng ®o¹n ®êng ®i gi÷a tÊt c¶ ®iÓm mÉu cña nh÷ng « liÒn kÒ. 3.2.2 . Roadmap §êng ®i ng¾n nhÊt ShortestPath Roadmaps • Thay vµo ®ã cña viÖc ph¸t sinh nh÷ng ®êng ®i lµm cùc ®¹i kho¶ng trèng, cÇn cã môc ®Ých t×m thÊy nh÷ng ®êng ®i ng¾n nhÊt. §iÒu nµy dÉn tíi ph¬ng ph¸p Roadmap ®êng ®i ng¾n nhÊt (Shortest-Path Roadmaps), vµ còng ®îc gäi ®å thÞ tÇm nh×n thu nhá (Visibility Graph ). ý tëng cña nã tríc hÕt ®îc coi lµ vÝ dô ®Çu tiªn cña mét gi¶i thuËt lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng. Roadmap ®êng ®i ng¾n nhÊt ®èi lËp trùc tiÕp víi Roadmap kho¶ng trèng cùc ®¹i bëi v× nh÷ng ®êng ®i ng¾n nhÊt cho phÐp lít qua nh÷ng gãc cña Cobs. Trong thùc tÕ, ®©y lµ mét vÊn ®Ò ®a ra t¬ng ®èi khã bëi v× Cfree lµ mét tËp hîp më. Bëi v× víi bÊt kú ®êng ®i nµo τ : [0,1] → Cfree, lu«n lu«n cã thÓ ®Ó t×m thÊy mét ®êng ng¾n h¬n. Do lý do nµy, chóng ta ph¶i xem xÐt vÊn ®Ò x¸c ®Þnh nh÷ng ®êng ®i ng¾n nhÊt trong cl(Cfree) – tËp ®ãng cña Cfree. §iÒu nµy cã nghÜa r»ng robot ®îc cho phÐp “ ch¹m nhau ” hoÆc “ lít qua ” nh÷ng chíng ng¹i, nhng nã kh«ng ®îc cho phÐp ®Ó xuyªn qua chóng. Trªn thùc tÕ khi sö dông tÝnh to¸n nh÷ng ®êng ®i gi¶i ph¸p cho mét vÊn ®Ò lËp lé tr×nh chuyÓn ®éng, chóng ta cÇn ®iÒu chØnh mét lîng nhá ®Ó chóng ®Õn rÊt gÇn Cobs nh- ng kh«ng tiÕp xóc. §iÒu nµy lµm t¨ng thªm ë møc ®é kh«ng ®¸ng kÓ ®é dµi ®- êng ®i. Lîng ®iÒu chØnh cã thÓ ®îc lµm nhá tïy ý ®Ó cho ®êng ®i cã thÓ ®Õn gÇn Cobs tuú ý. Roadmap §êng ®i ng¾n nhÊt, G ®îc x©y dùng nh sau. Cho mét ®Ønh ph¶n x¹ lµ mét ®Ønh ®a gi¸c vÒ phÝa gãc trong (cña Cfree) lín h¬n π. 62
H×nh 3.10 : Mét c¹nh tiÕp tuyÕn ch¹m vµo hai ®Ønh ph¶n n»m trong tÇm nh×n cña nhau, vµ ®êng kÐo dµi cña chóng ra ngoµi c¸c ®Ønh cña chóng mµ kh«ng xuyªn vµo trong Cobs. TÊt c¶ ®Ønh cña mét ®a gi¸c låi (víi gi¶ thiÕt r»ng kh«ng cã ba ®Ønh liªn tiÕp nµo lµ céng tuyÕn) ®Òu lµ ®Ønh ph¶n x¹. NÕu c¸c ®Ønh cña G lµ ®Ønh ph¶n x¹, nh÷ng c¹nh cña G ®îc h×nh thµnh tõ hai nguån kh¸c nhau : - §Ønh ph¶n x¹ liªn tiÕp : NÕu hai ®Ønh ph¶n x¹ lµ hai ®iÓm cuèi cña mét c¹nh cña Cobs, th× mét c¹nh gi÷a chóng ®îc x©y dùng bªn trong G. - TiÕp tuyÕn c¹nh : NÕu mét ®êng tiÕp tuyÕn cã thÓ ®îc vÏ xuyªn qua mét cÆp cña ®Ønh ph¶n x¹, th× mét c¹nh t¬ng øng ®îc x©y dùng bªn trong G. Mét ®êng tiÕp tuyÕn, ®îc miªu t¶ trong H×nh 3.10, lµ mét ®êng liªn quan tíi hai ®Ønh ph¶n x¹ vµ kh«ng ®i vµo trong Cobs t¹i bÊt kú ®Ønh nµy nµo. H¬n n÷a, c¸c ®Ønh nµy ph¶i nh×n thÊy lÉn nhau. Mét vÝ dô cña Roadmap kÕt qu¶ ®îc cho thÊy trong H×nh 3.11. H×nh 3.11 : Roadmap -®êng ®i ng¾n nhÊt bao gåm c¸c c¹nh gi÷a ®Ønh ph¶n x¹ liªn tiÕp trªn Cobs vµ c¶ nh÷ng c¹nh tiÕp tuyÕn. 63
H×nh 3.12 : §Ó gi¶i quyÕt mét truy vÊn, qI vµ qG ®îc nèi tíi tÊt c¶ ®Ønh cã thÓ thÊy cña roadmap, vµ thùc hiÖn t×m kiÕm trªn ®å thÞ. Gi¶i quyÕt mét truy vÊn, qI vµ qG ®îc nèi tíi tÊt c¶ ®Ønh cã thÓ nh×n thÊy ®îc cña Roadmap ( H×nh 3.12), chÝnh ®iÒu nµy lµm cho roadmap më réng cã thÓ t×m kiÕm ®îc mét ®êng ®i gi¶i ph¸p. NÕu gi¶i thuËt cña Dijkstra ®îc sö dông, vµ mçi c¹nh ®îc ®a vµo mét gi¸ trÞ t¬ng øng th× gi¸ cña ®êng ®i chÝnh lµ ®é dµi cña ®êng ®i ®ã, ®êng ®i gi¶i ph¸p kÕt qu¶ lµ ®êng ®i ng¾n nhÊt gi÷a qI vµ qG. §êng ®i ng¾n nhÊt cho vÝ dô trong H×nh 3.12 ®îc cho thÊy trong H×nh 3.13. H×nh 3.13 : §êng ®i ng¾n nhÊt trong Roadmap më réng lµ ®êng ®i ng¾n nhÊt gi÷a qI vµ qG. §¸nh gi¸ gi¶i thuËt: NÕu tiÕp tuyÕn kiÓm tra ®îc thùc hiÖn ®¬n gi¶n, th× kÕt qu¶ gi¶i thuËt yªu cÇu thêi gian O(n3), trong ®ã n lµ sè ®Ønh cña Cobs. 64
Cã O(n2) nh÷ng cÆp cña ®Ønh ph¶n x¹ cÇn kiÓm tra, vµ mçi sù kiÓm tra yªu cÇu O(n) thêi gian kiÓm tra nhÊt ®Þnh ®Ó ®¶m b¶o r»ng kh«ng cã bê nµo kh¸c ng¨n chóng nh×n thÊy nhau. Nguyªn lý planesweep cã thÓ ®îc lµm thÝch nghi ®Ó thu ®îc mét gi¶i thuËt tèt h¬n víi thêi gian cÇn thiÕt chØ lµ O(n2lg n). ý tëng thùc hiÖn nguyªn lý planesweep : Dïng mét tia quay quÐt tõ mçi ®Ønh ph¶n x¹, v. Mét tia ®îc khëi ®éng t¹i θ = 0, vµ nh÷ng sù kiÖn xuÊt hiÖn khi tia ch¹m ®Ønh. Mét tËp hîp cña tiÕp tuyÕn xuyªn qua v cã thÓ ®îc tÝnh to¸n bªn trong theo c¸ch nµy trong thêi gian O(nlgn). Tõ ®ã cã O(n) ®Ønh ph¶n x¹, tæng thêi gian thùc hiÖn lµ O(n2lgn). Ta thÊy mét gi¶i thuËt cã thÓ tÝnh to¸n shortest-path roadmap trong thêi gian O(nlgn + m), trong ®ã m lµ tæng sè c¹nh trong roadmap. NÕu vïng chíng ng¹i ®îc m« t¶ bëi mét ®a gi¸c ®¬n gi¶n, th× sù nhãm thêi gian cã thÓ ®îc gi¶m tíi O(n). 3.2.3. Voronoi diagram - roadmap kho¶ng trèng Cùc ®¹i Mét roadmap kho¶ng trèng cùc ®¹i lµ cè g¾ng gi÷ cµng xa cµng tèt tõ C obs, nh ®îc cho thÊy cho hµnh lang trong H×nh 3.8. H×nh 3.8 : Kho¶ng trèng cùc ®¹i cho roadmap lµ gi÷ cµng xa ra khái tõ nh÷ng Cobs cµng tèt. Nh÷ng ®êng ®ikÕt qu¶ cña gi¶i ph¸p nµy ®«i khi ®îc a chuéng h¬n trong nh÷ng øng dông cña kü thuËt r«b«t di ®éng bëi v× thËt khã ®Ó ®o vµ ®iÒu khiÓn chÝnh x¸c vÞ trÝ cña mét r«b«t di ®éng. ViÖc ®i däc theo roadmap kho¶ng trèng cùc ®¹i lµm gi¶m bít nh÷ng nguy c¬ va ch¹m v× nh÷ng ®iÒu kh«ng ch¾c ch¾n nµy. Ph¬ng ph¸p Roadmap nµy cßn nh÷ng tªn kh¸c lµ Voronoi diagram vµ Retraction method (ph¬ng ph¸p thu gän). 65
H×nh : C¸c ®o¹n th¼ng lµm nªn Voronoi Diagram c¸ch ly mét tËp hîp ®iÓm. H×nh: Generalized Voronoi Graph (GVG)- §å thÞ Voronoi tæng qu¸t §å thÞ Voronoi tæng qu¸t lµ quü tÝch cña nh÷ng ®iÓm cã kho¶ng c¸ch b»ng nhau tõ hai hay nhiÒu ®êng biªn cña chêng ng¹i vËt bao gåm c¶ ®êng biªn cña vïng lµm viÖc. 66
H×nh : §å thÞ Voronoi tæng qu¸t ( GVG ) lµ h×nh d¹ng ®êng ®i x©y dùng bëi kho¶ng c¸ch b»ng nhau tõ hai ®èi tîng ®ãng lµ kho¶ng hë lín nhÊt gi÷a hai ch- íng ng¹i vËt Nã lµ ®îc xem xÐt nh mét sù kh¸i qu¸t cña s¬ ®å Voronoi tõ trêng hîp nh÷ng ®iÓm cña ®a gi¸c. Mçi ®iÓm tõ mét c¹nh roadmap c¸ch ®Òu hai ®iÓm trªn ranh giíi cña Cobs. Mçi ®Ønh Roadmap t¬ng øng víi ®iÓm giao nhau cña hai hoÆc nhiÒu h¬n hai c¹nh cña Roadmap vµ c¸ch ®Òu hai ®iÓm trªn ranh giíi cña Cobs. Kh«ng gian con: S lµ mét sù biÕn d¹ng thu gän cña mét kh«ng gian t«p« X nÕu liªn tôc sau homotopy, H : X × [0, 1 ] → X, cã thÓ ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: 1. h(x, 0) = x víi mäi x∈ X. 2. h(x, 1) lµ mét hµm liªn tôc mµ ¸nh x¹ mçi phÇn tö cña X tíi phÇn tö nµo ®ã cña S. 3. Víi mäi t ∈ [ 0, 1 ], h(s, t) = s víi bÊt kú s ∈ S. Trùc quan lµ Cfree dÇn dÇn ®îc lµm máng suèt qu¸ tr×nh homotopy, cho ®Õn khi thu ®îc mét khung S. Mét sù xÊp xØ cã thÓ co l¹i ®îc h×nh dung nh sù bµo 67
mßn tõng líp máng xung quanh toµn bé ranh giíi cña Cfree. NÕu nã ®îc lÆp l¹i lÆp ®i lÆp l¹i, th× kho¶ng trèng cùc ®¹i Roadmap lµ phÇn duy nhÊt cßn l¹i. (Gi¶ thiÕt r»ng sù bµo mßn lu«n lu«n dõng khi thu ®îc “l¸t” máng). §Ó x©y dùng maximum-clearance roadmap. Cho bÊt kú hai ®a gi¸c låi kh«ng giao nhau. ChØ cã cã thÓ cã ba sù kÕt hîp : §Ønh - §Ønh, C¹nh - §Ønh, C¹nh - C¹nh. Cho tËp ®Æc tÝnh ®Æt tham chiÕu tíi tËp hîp cña tÊt c¶ c¸c c¹nh vµ ®Ønh cña Cobs. Nh÷ng ®êng ®iøng cö viªn cho roadmap ®îc s¶n sinh bëi mçi cÆp cña nh÷ng ®Æc tÝnh. §iÒu nµy dÉn tíi mét gi¶i thuËt thêi gian lµ O(n4) H×nh 3.9. Nh÷ng m¶nh roadmap Voronoi ®îc ph¸t sinh trong mét trong sè ba tr- êng hîp cã thÓ. Trêng hîp thø ba dÉn tíi mét ®êng cong bËc hai. Mçi cÆp ®Æc tÝnh c¹nh- c¹nh, ph¸t sinh mét ®êng th¼ng nh thÊy trong H×nh 3.9a. Mçi cÆp ®Ønh - ®Ønh, còng ph¸t sinh mét ®êng th¼ng nh trong H×nh 3.9b. §êng kho¶ng trèng cùc ®¹i gi÷a mét ®iÓm vµ mét ®êng lµ mét parab«n nh trong H×nh 3.9c. Nh÷ng phÇn cña nh÷ng ®êng ®imµ thùc sù n»m trªn maximum-clearance roadmap ®îc x¸c ®Þnh bëi nh÷ng phÇn giao nhau cña nh÷ng ®êng cong. 68