Chương3: Biến đổi Z

Chia sẻ: Nguyendang Hung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

205
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tổngquát – Một cách biểu diễn t/h khác về mặt toán học – Biến đổi t/h từ miền thời gian sang miềnZ – Dễ khảo sát t/h và h/t trong nhiều trường hợp(dựavàocáct/c củaBĐZ).Ý nghĩa – T/h RRTG x(n) được xác định duy nhất bởi biểu thức BĐ Z và ROC của nó – ROC củat/h nhân quảlà phần ngoài của vòng tròn bán kính r2, trong khi ROC của t/h phản nhân quả là phần trong của vòng tròn bán kính r1...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương3: Biến đổi Z

dce 2011 Chương 3 Biến đổi Z BK TP.HCM ©2011, TS. Đinh Đ ức Anh Vũ
dce Nội dung 2011 Biến đổi Z • – BĐ thuận – BĐ ngược Các tính chất của BĐ Z • BĐ Z hữu tỉ • – Điểm không (Zero) – Điểm cực (Pole) – Pole và t/h nhân quả trong miền thời gian – Mô tả h/t LTI bằng hàm hệ thống Biến đổi Z ngược • – Phương pháp tích phân – Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa – Phương pháp phân rã thành các hữu tỉ Biến đổi Z một phía (Z+) • – Tính chất – Giải PTSP bằng BĐ Z+ Phân tích hệ LTI • – Đáp ứng của hệ – Đáp ứng tức thời, quá độ – Tính ổn định và nhân quả DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 2
dce Biến đổi Z 2011 Tổng quát • – Một cách biểu diễn t/h khác về mặt toán học – Biến đổi t/h từ miền thời gian sang miền Z – Dễ khảo sát t/h và h/t trong nhiều trường hợp (dựa vào các t/c của BĐZ) Định nghĩa +∞ • ∑ x(n)z − n X (z ) = – Công thức n = −∞ x(n) ← X (z) → z – Quan hệ – Ký hiệu X(z) ≡ Z{x(n)} – Biến z Điểm thuộc mặt phẳng z z = a + jb hay z = rejδ – Miền hội tụ (ROC) {z │ |X(z)| < ∞} Chỉ quan tâm X(z) tại những điểm z thuộc ROC DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 3
dce Ví dụ về BĐZ 2011 – x1(n) = δ(n)  X1(z) = 1 ROC = mặt phẳng z (mpz) – x2(n) = {8 10 1^ 9 7 2}  X2(z) = 8z2 + 10z + 1 + 9z–1 + 7z–2 + 2z–3 ROC = mpz \ (∞, 0) – x3(n) = δ(n – k)  X3(z) = z–k ROC = mpz \ {0 nếu k>0, ∞ nếu k
dce BĐZ của t/h nhân quả và không nhân quả 2011 T/h nhân quả x(n) = anu(n) • +∞ +∞ ∑ x(n) z = ∑ ( az −1 ) n −n X ( z) = n = −∞ n =0 1 Khi az −1 < 1 (i.e. z > a ), X ( z) = 1 − az −1 ⇒ ROC : z > a T/h phản nhân quả x(n) = –anu(–n–1) • +∞ −1 ∞ ∑ x ( n) z ∑ (−a = −∑ (a −1 z ) l −n −n X ( z) = = n )z n = −∞ n = −∞ l =1 a −1 z 1 −1 Khi a z < 1 (i.e. z < a ), X ( z) = − = 1 − a −1 z 1 − az −1 ⇒ ROC : z < a Ý nghĩa • – T/h RRTG x(n) được xác định duy nhất bởi biểu thức BĐ Z và ROC của nó – ROC của t/h nhân quả là phần ngoài của vòng tròn bán kính r2, trong khi ROC của t/h phản nhân quả là phần trong của vòng tròn bán kính r1 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 5
dce Miền hội tụ của các t/h 2011 T/h hữu hạn T/h vô hạn T/h ROC T/h ROC Nhân quả (t/h Nhân quả bên phải) │z│> r2 Mpz \ {0} [x(n)=0 n0] Vành khuyên Mpz \ {0, ∞} 2 bên 2 bên r1 >│z│> r2 Img Re DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 6
dce BĐZ một phía 2011 +∞ ∑ x(n)z − n X (z ) = n = −∞ +∞ X ( z ) = ∑ x ( n) z − n + n =0 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 7
dce BĐZ ngược 2011 k =n 1 • Tích phân Cauchy 1 ∫ z dz = 0 n −1− k 2πj C k≠n  • Biến đổi Z ngược +∞ ∑ X ( z) = – Từ x ( k ) z −k k = −∞ – Nhân 2 vế với zn–1 – Tích phân 2 vế theo đường cong kín C bao gốc O thuộc ROC của X(z) +∞ ∑ ∫ dz = ∫ n −1 x(k ) z n−1−k dz X ( z) z C C k = −∞ – Áp dụng tích phân Cauchy +∞ ∑ ∫ x(k ) ∫ z n−1−k dz = 2πjx(n) n −1 dz = X ( z) z C C k = −∞ 1 ∫ X ( z ) z n −1dz x ( n) = ⇒ 2πj C DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 8
dce BĐZ – Tính chất (1) 2011 • ROC = ROC1 ∩ ROC2 ∩ … ∩ ROCn x1 (n) ← Z X 1 ( z ) → • Tuyến tính x2 ( n ) ← Z X 2 ( z ) → ⇒ x( n) = ax1 ( n) + bx2 ( n) ←→ X ( z ) = aX 1 ( z ) + bX 2 ( z ) Z – Ví dụ: x(n) = anu(n) + bnu(–n–1) 1 x1 (n) = a u (n) ← → X 1 ( z ) = ROC : z > a Z n −1 1 − az 1 x2 (n) = −b u (−n − 1) ← → X 2 ( z ) = ROC : z < b Z n −1 1 − bz 1 1 Do đó x( n) = x1 ( n) − x2 ( n) ← Z → X ( z ) = X 1 ( z ) − X 2 ( z ) = − −1 1 − bz −1 1 − az ROC : a < z < b DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 9
dce BĐZ – Tính chất (2) 2011 • Dịch theo thời gian x ( n) ← Z X ( z ) → x(n − k ) ← Z z − k X ( z ) → ⇒ 0 k > 0 ROC = ROC x ( n ) \  ∞ k < 0 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 10
dce BĐZ – Tính chất (3) 2011 • Co giãn trong miền Z x ( n) ← z X ( z ) → ROC : r1 < z < r2 a n x ( n ) ← z X ( a −1 z ) → ∀a (thuc hay phuc ) ⇒ ROC : a r1 < z < a r2 • Ý nghĩa Im(z) z r ω a = r0 e jω 0 Z {x(n)} = X ( z ) Re(z) z = re jω ⇒ Z {a n x(n)} = X ( w) w = a −1 z w=a–1z  j (ω −ω 0 ) 1 w=a z = r e −1 Im(w) r  w  0 r/r0 ω–ω0 r0 > 1  co Re(w)  + quay mpz Thay bien ⇔   gian r0 < 1 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 11
dce Bài tập BĐZ 2011 Tìm biến đổi Z của: a. x(n) = anu(n), từ BĐZ của u(n) b. x(n) = 3.2n-2.(1/4)n u(n-3) c. x(n) = ancos(ω0n)u(n) d. x(n) = ansin(ω0n)u(n) e. x(n) = 3.2nu(n) – 4.3nu(n) f. x(n) = Acos(ω0n)u(n) g. x(n) = Asin(ω0n)u(n) h. x(n) = –anu(–n–1), từ BĐZ của u(-n) i. x(n) = 3.3-n-2.(1/4)n u(-n-3) DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 12
dce BĐZ – Tính chất (4) 2011 • Đảo thời gian x ( n) ← Z X ( z ) → ROC : r1 < z < r2 1 1 Z x ( − n) ←→ X ( z ) ROC : < z < −1 ⇒ r2 r1 • Ý nghĩa – ROCx(n) là nghịch đảo của ROCx(–n) – Nếu z0 ∈ ROCx(n), 1/z0 ∈ ROCx(–n) • Ví dụ xác định BĐZ của x(n) = u(–n) 1 u ( n) ← Z → ROC : z > 1 1 − z −1 1 ⇒ u ( − n) ←→ ROC : z < 1 Z 1− z DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 13
dce BĐZ – Tính chất (5) 2011 • Vi phân trong miền Z dX ( z ) nx(n) ← − z → x ( n) ← → X ( z ) z z ⇒ dz • Ví dụ x(n) = nanu(n) – Biểu diễn x(n) = nx1(n) với x1(n) = anu(n) 1 x1 (n) = a nu (n) ← z X 1 ( z ) = → ROC : z > a −1 1 − az az −1 dX 1 ( z ) x(n) ≡ nx1 (n) = na nu (n) ← z X ( z ) = − z → = ROC : z > a (1 − az −1 ) 2 dz – Nếu a = 1, BĐZ của hàm bậc thang đơn vị z −1 x(n) = nu (n) ← z X ( z ) = → ROC : z > 1 (1 − z −1 ) 2 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 14
dce BĐZ – Tính chất (6) 2011 x1 (n) ← Z X 1 ( z ) → • Tổng chập x2 ( n ) ← Z X 2 ( z ) → ⇒ x(n) = x1 (n) * x2 (n) ← Z X ( z ) = X 1 ( z ) X 2 ( z ) → • Tính tổng chập của 2 t/h dùng phép BĐZ – Xác định BĐ Z của 2 t/h Miền thời gian → miền Z X1(z) = Z{x1(n)} X2(z) = Z{x2(n)} – Nhân 2 BĐ Z với nhau Xử lý trong miền Z X(z) = X1(z)X2(z) – Tìm BĐ Z ngược của X(z) Miền Z → miền thời gian x(n) = Z-1{X(z)} DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 15
dce BĐZ – Tính chất (7) 2011 x1 (n) ← Z X 1 ( z ) → Tương quan • x2 ( n ) ← Z X 2 ( z ) → ∞ ∑ x1 (n) x2 (n − l ) ← Z Rx1x2 ( z ) = X 1 ( z ) X 2 ( z −1 ) rx1x2 (l ) = → ⇒ n = −∞ Việc tính tương quan giữa 2 t/h được thực hiện dễ dàng nhờ BĐ Z • Ví dụ: xác định chuỗi tự tương quan của t/h x(n) = anu(n) (|a| < 1) • 1 x ( n) = a u ( n) ← → X ( z ) = ROC : z > a z n −1 1 − az 1 1 X ( z −1 ) = ROC : z < 1 − az a 1 1 1 Rxx ( z ) = X ( z ) X ( z −1 ) = = 1 − az −1 1 − az 1 − a ( z + z −1 ) + a 2 1 ROC : a < z < 1 ⇒ rxx (l ) = −∞ < l < ∞ l a a 1− a2 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 16
dce BĐZ – Tính chất (8) 2011 • Nhân 2 chuỗi x1 (n) ← Z X 1 ( z ) → x2 ( n ) ← Z X 2 ( z ) → 1 z −1 ∫C X 1 (v) X 2 ( v )v dv x(n) = x1 (n) x2 (n) ←→ X ( z ) = Z 2πj C : bao dong quanh goc O, thuoc ROC chung cua X 1 (v) va X 2 (1 / v) • Cách xác định miền hội tụ X 1 (v) hoi tu r1l < v < r1u X 2 ( z ) hoi tu r2l < z < r2u z ⇒ X 2 ( z / v) hoi tu r2l < < r2u v Do do, X ( z ) hoi tu r1l r2l < z < r1u r2u DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 17
dce BĐZ – Tính chất (9) 2011 • Định lý giá trị đầu – Nếu x(n) nhân quả ∀n
dce BĐZ hữu tỉ – Điểm zero & pole 2011 Zero của BĐZ X(z): các giá trị z sao cho X(z) = 0 • Pole của BĐZ X(z): các giá trị của z sao cho X(z) = ∞ • ROC không chứa bất kỳ pole nào • Ký hiệu trên mpz: zero – vòng tròn (o) và pole – chữ thập (x) • 1 − z −1 1 X ( z) = X ( z) = 1 − z −1 − 2 z − 2 1 − 0.9 z −1 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 19
dce BĐZ hữu tỉ – Biểu diễn 2011 • BĐZ dạng hữu tỉ – Rất hữu ích để phân tích hệ LTI RRTG – Việc xét tính chất hay thiết kế hệ có tính chất nào đó → chỉ cần quan tâm trên vị trí của các điểm zero-pole • Các cách biểu diễn M ∑ bk z − k – Dạng mũ âm N ( z ) b0 + b1 z −1 +  + bM z − M X ( z) = = = k =0 −1 −N D( z ) a0 + a1 z +  + a N z M ∑ ak z − k k =0 – Dạng mũ dương z M + b1 z M −1 +  + bM b b0 N − M X ( z) = b0 z 0 z N + a1 z N −1 +  + aN a a0 a0 M 0 ∏ (z − z – Dạng Zero-Pole ) ( z − z1 )( z − z 2 )  ( z − z M ) k N −M = Gz N − M X ( z ) = Gz k =1 ( z − p1 )( z − p2 )  ( z − p N ) N ∏ (z − p ) b0 k G≡ k =1 a0 DSP – Biến đổi Z ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 20