zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Chuyên đề Bài tập bất đẳng thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Báo xấu

21
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Chuyên đề Bài tập bất đẳng thức" có nội dung gồm 102 bài toán bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chọn lọc, giúp các em học sinh ôn luyện và củng cố kiến thức, nâng cao tư duy và khả năng giải nhanh các bài tập. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Bài tập bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC BÀI TẬP VẬN DỤNG 1 Bài 1. Với x, y , z là các số thực dương sao cho x. y.z  . 6 1 1 1 Chứng minh:  3   1. x  8 y 1 8 y  27 z 1 27 z  x 3 1 3 3 3 3 Lời giải 1 Có: x. y.z   6 x. y.z  1 6 Ta có: x3   2 y   x.2 y  x  2 y  3 1 1  x 3   2 y   1  2 xy  x  2 y  3 z   3  x  2 y 1 3 3 2 xy  x  2 y  3 z  1 1 Chứng minh tương tự:   2 y   3z  3 3 1 6 yz  x  2 y  3 z  1 1  3z  3  x 1 3 3 xz  x  2 y  3 z  1 1 1 1  1 1 1        x3   2 y   1 3  2 y    3z  3 3 1  3z  3  x3  1  x  2 y  3z   2 xy 6 yz 3zx   1 1 1   3   1. x  8 y 1 8 y  27 z 1 27 z  x 3 1 3 3 3 3 Bài 2. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x  y  3 . 2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A   3 xy y 1 Lời giải 2 3 2 3 A    3xy y  1 3xy 3  y  1 2 6 2 xy 6 y4 1 2         xy  y   3xy 3  y  1 3xy 6 y  4 6 6 3      2 2  3 1  A 2 y.  x  1 6   3 y 1 1 1 1 2 4 1 y.  3  y  1  2  y.  4  y   2   y 2  4 y  4      y  2  2  2 6 6 6 3 3 6 4  A với mọi x, y . 3 4 Vậy AMin  khi x  1; y  2 . 3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 95 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1 3 3 Bài 3. Cho các số dương a , b thoả mãn 3  a  b  a  b   ab  a 2  b 2  1 . a 2  8 b2  2 Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: M   . a b Lời giải Ta có 1 3 3 1 3  a  b  a  b   ab  a 2  b 2  1   a  b   a 2  b 2  ab  1  a 2  b 2  ab  1 3 Vì a 2  b 2  ab  1  0 a,b  R 1  a  b  1  a  b  3 3 Khi đó ta có a 2  8 b2  2 8 2 4 1 4 1 M   a b  a b   a b a b a b a b  4  1 4 1  M   a    b        a  b a b Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho các cặp số dương ta có:  4 4 a   2 a.  2 4  4  a a  1 1 b   2 b.  2 1  2  b b  4 1  2  12 9     3  a b ab 3 GTNN của M là 4  2  3  9 .  4 a  a   1 a  2 Dấu “  ” xảy ra khi  b     b b 1 a  2b   Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi a  2; b  1 . Bài 4. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x 2  y 2  1 . 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  x   y  . x y Lời giải  x , y  0:  x  y  0  x 2  2 xy  y 2  0  2  x 2  y 2   x 2  2 xy  y 2  2  x 2  y 2    x  y  2 2  x  y  2  x2  y 2  . DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 96 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC x y 4  x  y  0  x 2  2 xy  y 2  0  x 2  2 xy  y 2  4 xy   x  y   4 xy  2 2  xy x y 1 1 4    . x y x y 1 1 1 1 11 1 1 1 1 4 2 P  x  y  x  y      2 x.  2 y.  . = 2 2 x y 2x 2y 2  x y  2x 2y 2 x  y x y 2 2 P2 2 2 2 3 2 . 2 x  y 2 2  2.1 2 Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y  . 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 2 khi x  y  . 2 Bài 5. Chứng minh rằng: Với mọi x  1 ,ta luôn có 3  x 2  2   2  x 3  3  1 1 x   x   Lời giải Ta có 3  x 2  2   2  x 3  3  1 1 x   x   1  1   2  x3  3   3  x 2  2   0  x   x   1  2 3    x    2 x 2  2  3x   2   0  x  x x   1  2 1 4    x    2 x 2  2  x  2  2   4 x   2  0  x  x x x   1   2  1 2   2    x    x  2 x   1   2 x   1  2  2 x   1   0  x   x  x x   x   1  1  2    x    x   2   2 x   1  0  x  x  x  1    x  1   2  2    x     2 x   1  0   x  x   x   1  x x 0    x  1 2 Vì x  1 nên  0 .  x  2 2 x  x  1  0  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 97 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab  bc  ac  3abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của a2 b2 c2 biểu thức K    . c  c2  a 2  a  a 2  b2  b  b2  c 2  Lời giải 1 1 1 ab  bc  ac  3abc    3 (1) a b c a2 a2  c2 c2 1 ac Cauchy 1 1 Ta có       . c c  a  c c  a  c c  a  c a c  a  2 2 2 2 2 2 2 2 c 2a b2 1 1 c2 1 1 Tương tự,   ,   . a  a  b  a 2b b  b  c  b 2c 2 2 2 2 11 1 1  1 3 Khi đó K       . 2a b c 2 3 Vậy Min K   a  b  c  1. a ,b , c  0 2 Bài 7. điểm) Cho a , b là các số khác 0 thỏa mãn điều kiện:  a  b  ab   a  b   ab . Tìm giá 2 1 1 trị lớn nhất của biểu thức P    2. a3 b3 Lời giải Theo giả thiết:  a  b  ab   a  b  2  ab  a 2b  ab 2  a 2  ab  b 2 1 1 1 1 1 Do a  0 ; b  0 nên chia cả hai vế cho a 2b 2 ta được:   2  2. a b a ab b 1 1 Đặt x  ; y  ta được : a b x  y  x 2  xy  y 2 (1)  x  y   x  y   3 xy 2  x  y 2 x y  xy   3 3  x  y 2 Mà  x  y   4 xy 2 hay xy  4  x  y x  y  x  y 2 2 Suy ra   3 3 4   x  y  4x  y  0 2  0 x y  4 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 98 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1 1  3  2  x 3  y 3  2   x  y   x 2  xy  y 2   2   x  y   2 (do 1) 2 Ta có: P  3 a b Mà 0  x  y  4 nên 2   x  y   2  18 . 2 1 Vậy giá trị lớn nhất của P là 18 khi x  y  2 và a  b  . 2 Bài 8. Cho các số thực thỏa mãn x 2  y 2 – xy  4 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P  x 2  y 2 . Lời giải +) Tìm GTLN của P : Ta có x 2  y 2 – xy  4    2 x 2  2 y 2 – 2 xy  8  x 2  y 2   x  y   8  P   x  y   8  P  8   x  y  2 2 2 Ta có  x  y   0 với mọi x, y 2 Suy ra P  8 x  y  0 Max P  8   2  x  y  2 .  x  y  xy  4 2 Vậy Max P  8 khi x  y  2 . +) Tìm GTNN của P : Ta có x 2  y 2 – xy  4  2 x 2  2 y 2 – 2 xy  8    3 x 2  y 2   x  y   8  3P  8   x  y  2 2 Ta có  x  y   0 với mọi x, y 2 8 Suy ra 3P  8  P  3  2  x   y  x   3   2  2  y x  y  0  y  x  x   8 Min P    2      3   3 3  x  y  xy  4 3x  4  2 2   2  2   x  x     3   3  2  y   3 8 2 2 2 2 Vậy Min P  khi x  ;y hoặc x   ; y  . 3 3 3 3 3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 99 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 9. Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn ab  bc  ca  1 a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A    ab bc ca Lời giải a 2 b2 c 2  a  b  c  2 Áp dụng bất đẳng thức:    , ta được x y z x yz a  b  c  2a  b  c 2 a2 b2 c2 A    a  b b  c c  a 2 a  b  c 4   a  b   b  c    c  a   2  ab  bc  ca 1 4 4 2 Dấu "  " xảy ra khi a  b  c  1 . a2 b2 c2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A    là khi a  b  c  1 . ab bc ca 2 3 Bài 10. Cho x 2  y 2  z 2  . Chứng minh: 8 14 x  8  14 y  8 14 z  3  3 7 . 7 Lời giải 4 ĐKXĐ: x, y, z  . 7 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số không âm 8  2 7  và 8  14x , ta có: 8  2 7 8 14 x  8  2 7  8  14 x 2   7  1 8  14 x   8  7  7 x 2  8  7  7x  8  14 x  . (1) 7 1 Chứng minh tương tự, ta có: 8 7 7y 8  14 y  . (2) 7 1 8  7  7z  8  14 z  (3) 7 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 24  3 7  7  x  y  z  8  14 x  8  14 y  8  14 z  . 7 1 Ta có: DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 100 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  x  y  z   x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx . 2 Mà: 2 xy  2 yx  2 zx  2  x 2  y 2  z 2  . Suy ra:  x  y  z   3 x 2  y 2  z 2   3.  . 2 3 9 7 7 3 Do đó: x  y  z  . 7 Suy ra: 3 8  14 x  8  14 y  8  14 z  24  3 7  7.  7  24  6 7  3 8  2 7  3  3 7 . 7 1 7 1 7 1 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  . 7 Bài 11. Tìm cặp số (x ; y) với y là số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện x2 + 5y2 + 2y – 4xy – 3 = 0 Lời giải Phương trình có nghiệm ẩn x khi và chỉ khi   4 y 2   5 y 2  2 y  3  0   y2  2 y  3  0   y  1  4  2  y  1  2  3  y  1 2 Giá trị nhỏ nhất của y là 3 khi đó phương trình  x 2  12 x  36  0  x  6 Bài 12. Cho 3  x  5. 2 2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A    x 3 5 x ( x  3)(5  x) Lời giải Ta có 3  x  5 nên x  3  0;5  x  0 2 2 4 4 Áp dụng BĐT Cauchy:   2.  x 3 5 x  x  3 5  x   x  3 5  x  3 A  x  3 5  x  x 35 x Áp dụng BĐT Cauchy:  x  3 5  x   1 2 1 Suy ra 1  x  3 5  x  Suy ra A  3. Vậy GTNN A  3 khi và chỉ khi x  3  5  x  x  4. DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 101 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 13. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 6 24 biểu thức: P  x  y   . x y Lời giải 6 24 4 16 2 8 Ta có: P  x  y    x  y   x y x y x y 1  2  2 9 2 4 2 16  2  4  8  2.  15 x y 6 Vậy giá trị nhỏ nhất của P  15 . Dấu bằng xảy ra khi x  2; y  4 Bài 14. Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng a2 b2 c2    a 2  ab  b 2  b 2  bc  c 2  c 2  ca  a 2 . b c a Lời giải 2 2 2 a b c Đặt    a 2  ab  b 2  b 2  bc  c 2  c 2  ca  a 2 (*). b c a a 2 b2 c2 Vì a, b, c  0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm a, b, c, , , ta được b c a a2 a2 b2 b2 c2 c2 b  2 .b  2a , c  2 .c  2b , a2 .a  2c b b c c a a a2 b2 c2  a 2 b2 c2  a 2 b2 c2 Suy ra    a  b  c  2        a  b  c (1) b c a  b c a  b c a a2 b2 c2 a 2  ab  b 2 b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2 Ta có   abc     a  b  c . (2) b c a b c a a 2  ab  b 2 b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm , b, , c, ,a b c a ta được a 2  ab  b 2 b 2  bc  c 2 c 2  ca  a 2  b  2 a 2  ab  b 2 ,  c  2 b 2  bc  c 2 ,  a  2 c 2  ca  a 2 b c a (3)  a2 b2 c2  Từ (1), (2) và (3) suy ra 2      2 a 2  ab  b 2  2 b 2  bc  c 2  2 c 2  ca  a 2 hay  b c a  a 2 b2 c2    a 2  ab  b 2  b 2  bc  c 2  c 2  ca  a 2 b c a Do đó (*) được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi dấu bằng tại (1) và (4) xảy ra. Tức là DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 102 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  a2 b2 c2  b  b ,  c , a c a a 2  b2 , b2  c2 , c2  a2  2   2  a  ab  b  b, b  bc  c  c, c  ca  a  a a  ab  b  b , b  bc  c  c , c  ca  a  a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  b c a a 2  b2 , b2  c 2 , c 2  a 2  .  a( a  b)  0, b(b  c )  0, c (c  a )  0 Vì a, b, c  0 nên suy ra dấu bằng xảy ra khi a  b  c. Bài 15. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b c P   2b  2c  a 2 2 2 2 a  2c  b 2 2 2 2a  2b 2  c 2 2 Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên 2a 2  2c 2  b 2 , 2a 2  2b 2  c 2 , 2b 2  2c 2  a 2 đểu là các số dương. Áp dụng công thức Cauchy ta có: 3a  2b  2c  a 2 2 2 2 3a 2  2b 2  2c 2  a 2    a2  b2  c2 2 a a2 3 a2 3 Ta có:   2b 2  2c 2  a 2 3a 2  2b 2  2c 2  a 2  a 2  b2  c 2 a b c 3  a 2  b2  c 2  P     3 2b 2  2c 2  a 2 2a 2  2c 2  b 2 2a 2  2b 2  c 2 a 2  b2  c 2 Vậy GTNN P  3 khi và chỉ khi a  b  c hay là tam giác đều. 2) Ta coi như hình vẽ thành bài toán đường tròn tâm  O  nội tiếp tam giác đều ABC vậy tâm  O  của đường tròn sẽ trùng với trọng tâm tam giác ABC vậy nên đường cao của tam giác đều là 3R (với R là bán kinh đường tròn  O  ) 2.3R Suy ra BC   2 3R. 3 1 1   2 Thể tích hình nón là: V   R 2 .h   3 R .3R  3 R 3 3 3 4 Thể tích hình cầu là: V   R 3 3 Vậy tính thể tích theo R phần hình nón nằm bên ngoài quả cầu kem là 4 5 V  3 R 3   R 3   R 3 . 3 3 Bài 16. Cho ba số dương a , b , c thoả mãn ab  bc  ca  1 . 2 a b2 c2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A    . ab bc ca DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 103 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Lời giải Áp dụng bất đăng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có  a2 b2 c2  2  a  b  c A   a  b  b  c  c  a      (a  b  c ) 2  a  b b  c c  a  abc Suy ra A  2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có a  b  2 ab b  c  2 bc c  a  2 ca Suy ra a  b  b  c  c  a  2   ab  bc  ca  2.1  2 abc 1 Suy ra 2  a  b  c   2 , hay  2 2 abc 1 Vậy nên A   2 2 1 1 Khi a  b  c  thì A  3 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . 2 a 2  2b 2 Bài 17. Cho a, b  0 thỏa mãn 2a  ab  4  0. Tính giá trị nhỏ nhất của T  . ab Lời giải Ta có 2a  ab  4  0  a  2  b   4 . 4 Kết hơp với a  0 ta suy ra b  2  a  . 2b a 2b 7 a a 2b 7 a Ta có T       1 b a 8b 8b a 8b 7 4 7 1 9 T  . 1  . 1  . 8 b 2  b 2  2b b  2 2    2  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 104 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC   4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  2  b  ba  14 .  2  b  b 9 , đạt được khi a  4 và b  1 . Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 Bài 18. ) Cho các số thực x ; y ; z thỏa mãn 2  x  3; 4  y  6; 4  z  6 và x  y  z  12 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  xyz . Lời giải 2 yz Ta có P  x  yz   x  1   x 12  x 12  x  .  2  4 3 3 1 1  x  24  1  3  24  243   3 x 12  x 12  x         . 12 12  3  12  3  4 243 9 Vậy MaxP  khi x  3; y  z  . 4 2 Bài 19. Cho x , y là các số thực thỏa mãn x  xy  y 2  3 . 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P  x2  y 2 . Lời giải Ta có x 2  xy  y 2  3  2  x 2  xy  y 2   6 x 2  y2    x  y   6  P  6   x  y   6 2 2  x y x y  x y 3 Dấu “” xảy ra        x  xy  y  3  x  3 2 2 2  x  y   3  x y 3 GTLN của P là 6 khi và chỉ khi   x  y   3 +) Có 6  2  x 2  xy  y 2   3  x 2  y 2    x  y  2 1  3P   x  y   6  3 P  6   x  y   P  x  y  2  2 2 2 2 3  x  1   x  y x  y  y  1 Dấu “” xảy ra   2  2   x  xy  y  3 3 x  3 2   x  1    y  1  x 1  x  1 Vậy GTNN của P là 2 khi và chỉ khi  hoặc   y  1  y 1 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 105 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 20. Cho biểu thức M  x 2  y 2 với x, y là các số thực thỏa mãn 0  y  x  4 và x  y  7 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M Lời giải Ta có M  x  y  x  xy  xy  y  x  x  y   y  x  y  2 2 2 2 Do 0  y  x  4 và x  y  7 nên M  4  x  y   7 y M  4x  3y M  3  x  y   x  3.7  4 M  25 Dấu “=” xảy ra  x  4; y  3 Vậy Max M  25 khi và chỉ khi x  4; y  3 Bài 21. Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x  y  5 . Chứng minh 25 12,5 rằng:   4. x y 2 2 xy Lời giải 1 1 4 Dễ dàng chứng minh được với a  0, b  0 ta có   (1). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ a b ab khi a  b . 1 1 4 4 25 12,5 Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:     2   4. x y 2 2 2 xy  x  y  2 25 x y 2 xy Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  2, 5 ( thỏa mãn). Bài 22. Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn x  7 , x  y  12 và x  y  z  15 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x 2  y 2  z 2 . Lời giải Ta có: x  7 , x  y  12 và x  y  z  15  x  7 2  0, x  x 2  14 x  49  0  x 2  14 x  49  y  5 2  0, y  y 2  10 x  25  0  y 2  10 y  25  z  3 2  0, z  z 2  6 z  9  0  z 2  6 x  9  A  x 2  y 2  z 2  14 x  10 y  6 z  83  A   6 x  6 y  6 z    4 x  4 y   4 x  83  A  6  x  y  z   4  x  y   4 x  83  A  6.15  4.12  4.7  83 (vì x  7 , x  y  12 và x  y  z  15 ) A  83 . Dấu “ = ” xảy ra khi x  7 , y  5 , z  3 (thỏa mãn) Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 83 khi x  7 , y  5 , z  3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 106 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1 1 1 Bài 23. Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn    2020 . Tìm giá trị lớn ab bc ca 1 1 1 nhất của biểu thức P    . 2a  3b  3c 3a  2b  3c 3a  3b  2c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương a, b, c, d ta có : a  b  c  d  4 4 abcd 1 1 1 1 1     44 a b c d abcd 1 1 1 1   a  b  c  d        16 a b c d  1 1 1 1 16      a b c d abcd 1 1 Ta có :  2a  3b  3c (a  b)  (a  c)  (b  c)  (b  c) Áp dụng bất đằng thức phía trên ta có : 1 1  1 1 1 1   .     ( a  b)  (a  c)  (b  c )  (b  c ) 16  a  b a  c b  c b  c  1 1  1 1 2    .    2a  3b  3c 16  a  b a  c b  c  Chứng minh tương tự ta có: 1 1  1 1 2   .    3a  2b  3c 16  a  b b  c a  c  1 1  1 1 2   .    3a  3b  2c 16  a  c b  c a  b  1  1 1 1  P .4     16  a  b a  c b  c  1  P  .2020  505 4 3 Dấu ‘’= “ xảy ra khi a  b  c  4040 . Bài 24. Cho biểu thức M  x  y với x, y là các số thực thỏa mãn 0  y  x  4 và x  y  7 . 2 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M Lời giải Ta có M  x 2  y 2  x 2  xy  xy  y 2  x  x  y   y  x  y  Do 0  y  x  4 và x  y  7 nên M  4  x  y   7 y DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 107 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC M  4x  3y M  3  x  y   x  3.7  4 M  25 Dấu “=” xảy ra  x  4; y  3 Vậy Max M  25 khi và chỉ khi x  4; y  3 Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  x  2 y  2 x  1  5 4 y  1  16 . Lời giải A  x  2 y  2 x  1  5 4 y  1  16  2 A  2 x  4 y  2 2 x  1  10 4 y  1  32  2 A   2 x  1  2 2 x  1  1   4 y  1  2 4 y  1.5  25  8     1 3 2 2  2A  2x 1 1  4 y  1  5  8  8 (với mọi x  ; y  ). 2 4  A 4.  2x 1 1  0 Min A  4    4 y  1  5  0  2x 1 1  0   4 y  1  5  0 4 y  1  25  1 2 3  2 x  1  1 (với mọi x  ; y  ). 4  x  1  13 (nhận). y  2  x  1 Vậy Min A  4   13 . y  2 Bài 26. Cho a , b , c  0 thỏa mãn a  2b  3c  20 . Tìm GTNN của biểu thức A . Biết 3 9 4 A abc   . a 2b c Lời giải Ta có: 3 9 4  3a 3   b 9   c 4  1 A abc                 a  2b  3c  a 2b c  4 a   2 2b   4 c  4 Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số không âm, ta được 3a 3 3a 3  2 . 3 4 a 4 a b 9 b 9  2 . 3 2 2b 2 2b c 4 c 4  2 . 2 4 c 4 c DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 108 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1 Do đó A  3  3  2   a  2b  3c   13 . 4 Dấu “  ” xảy ra khi a  2 ; b  3 ; c  4 . Vậy GTNN của biểu thức A bằng 13 khi a  2 ; b  3 ; c  4 .  x 3  2 y 2  4 y  3  0 1 Bài 27. Cho hai số thực x , y thoả mãn hệ điều kiện:  ..  x  x y  2 y  0 2 2 2  2 Tính giá trị của biểu thức: P  x 2020  y 2020 . Lời giải Từ 1 ta có: x 3  2  y  1  1  1  x  1 .  3 2 2y 2y y2  1 Từ  2  ta có: x 2   x 2    1  1  x  1 . 4 y2  1 y2  1 y2  1 Từ  3 và  4  , suy ra x  1  y  1 . Vậy P  2 . Bài 28. Cho đường thẳng d : y   m2  1 x  4 . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d lớn nhất. Lời giải y A H B O 1 x (d) Vì m 2  1  0 với mọi m nên đường thẳng d luôn xác định. Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy , B là giao điểm của đường thẳng d với 4 trục Ox . Khi đó tọa độ của A và B là A  0; 4  ; B  2 ; 0  .  m 1  Vẽ OH  AB , khi đó OH là khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d . 4 Ta có OA  4 ; OB  . m 1 2 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 109 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Xét tam giác OAB vuông tại O , vì OH  AB nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta 1  m  1  m 2  1  1 2 2 2 1 1 1 4 có:       OH  . OH 2 OA2 OB 2 16 16 16  m 2  1  1 2 Ta có m2  0 với mọi m   m 2  1  1 với mọi m 2 4 4   m 2  1  1  2  m  1  1  2 với mọi m  OH  2 2 2  2 2. m  1  1 2 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m  0 . Vậy với m  0 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất là 2 2 . Bài 29. Một doanh nghiệp xuất khẩu gạo ước tính rằng , trong tháng 2/2020 , nếu doanh nghiệp xuất khẩu gạo với giá là 500 USD/tấn thì họ sẽ xuất khẩu được khoảng 860 tấn gạo. Tuy nhiên nếu hạ giá gạo và cứ mỗi lần giảm giá 25 USD/tấn thì sẽ xuất khẩu thêm được 50 tấn gạo. Hỏi doanh nghiệp cần bán gạo với giá bao nhiêu USD mỗi tấn để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất? Lời giải Doanh thu dự kiến xuất khẩu trong tháng 2 là 860  500  430 000 (USD) Gọi số lần giảm giá là x (lần), điều kiện x  * , 0  x  20 Giá gạo sau khi giảm giá là 500  25x (USD/tấn) Số gạo xuất khẩu được sau khi giảm giá là 860  50x (tấn) Doanh thu sau khi giảm giá gạo là P   500  25 x 860  50 x  (USD) Để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất thì P phải lớn hơn 430 000 P  430000  0   500  25 x  860  50 x   430000  0  1250 x 2  3500 x  0  50 x  70  25 x   0  0  x  2,8 . Vì x  *  x  1; 2 . Với x  1  P  432 250 . Với x  2  P  432 000 . Vậy doanh nghiệp bán gạo với giá 475 USD/tấn để doanh thu trong tháng 2/2020 lớn nhất . DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 110 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 30. Cho x , y là hai số không âm thỏa mãn x2  y 2  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A  x 2 y  x  5 y   y 2x  y  5x  . Lời giải Với mọi a , b ta có  a  b   0   a  b   2  a 2  b 2   a  b  2  a2  b2  2 2 Áp dụng kết quả trên ta được  A  x 2 y  x  5 y   y 2 x  y  5 x   2 2 x 2  xy  5 y 2   2 y 2  xy  5 x 2     2 2 xy  x 2  y 2   20  xy  2  2  8 xy  20  xy   2  x2  y2 Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm x , y ta có xy  nên 2 4 ta có xy   2. 2 Vậy nên A  2 8 xy  20  xy   2    2 8.2  20.22  8 3 . Khi x  y  2 thì A  8 3 , do đó giá trị lớn nhất của A là 8 3 . Bài 31. Giải phương trình 2 x  5  7  2 x  3 x 2  18 x  29 Lời giải Đặt a  2 x  5, b  7  2 x  a, b  0 Ta có:  a  b  2 ab  35 Phương trình có dạng: a  b  3. 4  29  4   a  b  3ab  11 Bình phương hai vế phương trình ta có:   16 a  b  2 ab  9a 2b 2  66ab  121  16 2  2 ab  9a 2b 2  66ab  121    9a 2b 2  66ab  32 ab  89  0  ab  1 9    9ab  57 ab  89  0 3  ab    ab  1    3  9 ab  9ab  57 ab  89  0  +) Với ab  1  ab  1 thế b  2  a vào ta có a  2  a   1  a 2  2a  1  0  a  1  x  3   3 +) Với 9 ab  9ab  57 ab  89  0 ab   3 Do ab   1 nên 9 ab  9ab  57 ab  89  9  9  0  89  71 nên phương trình vô 2 nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  3 . DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 111 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 32. Cho ba số dương x, y , z thỏa mãn điều kiện x  y  z 1. xy yz xz 3 Chứng minh:    . xy  z yz  x xz  y 2 Lời giải Sử dụng giả thiết x  y  z  1 và bất đẳng thức AM-GM ta có: xy yz zx LHS    xy  z  x  y  z  yz  x  x  y  z  zx  y  x  y  z  xy yz zx     z  x  y  z   x  y  z  x   y  z  x  y  1 x y  1 y z  1 z x            2 z x y z  2 x y z x 2 y z x y 1  x z   y z   y x  3          2  z  x z  x   y  z y  z   x  y x  y   2 1 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  . 3 Bài 33. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a  3, b  7, c  7 và a 2  b 2  c 2  122 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  8a  15b  17c . Lời giải Có a  122  b  c  122  7  7  24  a  5 2 2 2 2 2  3  a  5   a  3 a  5   0  8a  a 2  15 1 b 2  122  a 2  c 2  122  32  7 2  64  b  8  7  b  8   b  7  b  8  0  15b  b 2  56  2  c 2  122  a 2  b 2  122  32  7 2  64  c  8  10  7  c  10   c  7  c  10   0  17c  c 2  70  3 Từ 1 ,  2  ,  3 suy ra 8a  15b  17c  a  b  c  15  56  70  122  141  263 2 2 2 a 2  b 2  c 2  122 a  3   Xảy ra dấu “=” khi 8a  15b  17c  263  b  8 3  a  5; 7  b  8; 7  c  8   c  7 GTNN P  263  a  3 , b  8 , c  7 . DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 112 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 34. Một doanh nghiệp xuất khẩu gạo ước tính rằng , trong tháng 2/2020 , nếu doanh nghiệp xuất khẩu gạo với giá là 500 USD/tấn thì họ sẽ xuất khẩu được khoảng 860 tấn gạo. Tuy nhiên nếu hạ giá gạo và cứ mỗi lần giảm giá 25 USD/tấn thì sẽ xuất khẩu thêm được 50 tấn gạo. Hỏi doanh nghiệp cần bán gạo với giá bao nhiêu USD mỗi tấn để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất? Lời giải Doanh thu dự kiến xuất khẩu trong tháng 2 là 860  500  430 000 (USD) Gọi số lần giảm giá là x (lần), điều kiện x  * , 0  x  20 Giá gạo sau khi giảm giá là 500  25x (USD/tấn) Số gạo xuất khẩu được sau khi giảm giá là 860  50x (tấn) Doanh thu sau khi giảm giá gạo là P   500  25 x 860  50 x  (USD) Để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất thì P phải lớn hơn 430 000 P  430000  0   500  25 x 860  50 x   430000  0  1250 x 2  3500 x  0  50 x  70  25x   0  0  x  2,8 . Vì x  *  x  1; 2 . Với x  1  P  432 250 . Với x  2  P  432 000 . Vậy doanh nghiệp bán gạo với giá 475 USD/tấn để doanh thu trong tháng 2/2020 lớn nhất . Bài 35. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x  y  3 . 2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A   . xy y 1 Lời giải 2 3 2 6 A    3y 3  y  3  y  1 3 y  3  y  3  y  1  2  6 2 2 6 4 36     3 y  3  y  3  y  1 6 y  3  y  6  y  4  18 y  6 y 2  6 y  24  2  6 2 64 64 4    18 y  6 y  6 y  24 48  6  y  2  2 2 48 3 4 ⇒ GTNN của A  khi x  1 , y  2 3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 113 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 36 Cho ba số a , b , c dương. 1 1 1 abc Chứng minh rằng:  2  2  a  bc b  ac c  ab 2 2abc Lời giải + Vì a, b, c  0 nên theo BĐT Cô si ta có: a  b  2 ab   b  c  2 bc   a  b  c  ab  bc  ca  c  a  2 ac  + Vì a, b, c  0 nên ta có: a 2  bc  2a bc 1 1   a  bc 2a bc 2 abc bc   a  bc 2 2 Chứng minh tương tự ta có: abc ac  b  ac 2 2 abc ab  c  ab 2 2 abc  abc abc  2  2 abc a  bc b  ac c  ab 2  bc 2  ac 2  ab 1 2  2  bc  ac  ab   2 1 1 1 abc   2  2  a  bc b  ac c  ab 2 2abc Bài 37. Cho a,b,c là hai số thực không âm thỏa mãn a  b  c  1. Chứng minh rằng: a  b  b  c  c  a  6. Lời giải 2 Vì x, y  0 :  x y   0  2 x y  x  y và a  b  c  1 nên ta có: 2  a b  bc  c  a   2 a  b  c  2 a  b b  c  2 b  c c  a  2 c a a b  2 a  b  c  a  b  b  c  b  c  c  a  c  a  a  b  6 a  b  c  6 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  . 3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 114 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.