zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Chuyên đề bất đẳng thức trong tam giác

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:92

Báo xấu

652
lượt xem 101
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

nhưng lại thường bắt gặp trong những kì thi quan trọng như tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi các cấp, các kì thi Olympic trong và ngoài nước… Nhất là đối với phần Bất Đẳng Thức Trong Tam giác, nó là một dạng toán logic, người làm các bài toán này cần có những hiểu biết

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề bất đẳng thức trong tam giác

Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 n .v h 4 2 c o ih u V www.vuihoc24h.vn - Kênh h c t p Online Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 0
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 n .v h 4 2 c o ih u V Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 1
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình toán THPT, Bất Đẳng Thức là một phân môn khó nhưng lại thường bắt gặp trong những kì thi quan trọng như tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi các cấp, các kì thi Olympic trong và ngoài nước… Nhất là đối với phần Bất Đẳng Thức Trong Tam giác, nó là một dạng toán logic, người làm các bài toán này cần có những hiểu biết sâu về hình học, lượng giác và cả đại số.Chính vì thế, tác giả đã tập hợp, phân loại, biên soạn nên cuốn “Chuyên đề Bất Đẳng Thức Trong Tam Giác”. Cuốn sách trên tay các bạn là tâm huyết của chúng tôi cùng với sự giúpđở của các thầy cô, nó là n một hệ thống kiến thức từ cơ bản đến chuyên sâu, tập hợp nhiều bài toán khác nhau thuộc nhiều chuyên đề. Quyển sách gồm 3 phần: .v I.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ II.BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC h III.BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Trong đó, mở đầu bẳng phần kiến thức cơ bản và nâng cao, sau đó là 4 phần bài tập tham khảo, sau cùng là phần bài tập đề nghị có kèm hướng dẫn 2 giải. Do là lần đầu tiên biên soạn chuyên đề, dù đã cố gắng hết sứi cố gắng c cũng không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong các bạn thông cảm.Mọi góp ý xin gởi về địa chỉ ngohoangtoan1994@gmail.com. Cuối lời, tác giả o chúc tất cả các bạn một mùa thi 2013 thành công và thắng lợi.Thân ái! ih Thành Phố Cần Thơ, ngày 25 tháng 09 năm 2012 Ngô Hoàng Toàn u V Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 2
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 MỤC LỤC Chương Trang I.BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 4 II.BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 30 III.BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 51 n .v h 4 2 c o ih u V Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 3
www.vuihoc24h.vn - Kênh h c t p Online - CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 1. Định lí hàm số Cosin. a2 = b2 + c2 - 2bc cosA n b2 = a2 + c2 – 2ac cosB c2 = a2 + b2 – 2ab cosC .v 2. Định lí hàm số Sin a b c    2R h sin A sin B sin C (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 4 3. Định lí trung tuyến. 2 BC 2 AB 2  AC 2  2 AM 2  2 c 4. Công thức về diện tích 1 1 1 o S aha  bhb  chc 2 2 2 ih 1 1 1 S bc sin A  ac sin B  ab sin C 2 2 2 abc u S 2R abc V S pr ( p  ) 2 S p ( p  a)( p  b)( p  c) S  ( p  a )ra  ( p  b)rb  ( p  c)rc ( với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC; ra, rb, rc lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C ). 5. Công thức bán kính đường tròn nội tiếp Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 4
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 A B C r  ( p  a ) tan  ( p  b) tan  ( p  c ) tan 2 2 2 S ( p  a )( p  b)( p  c) A B C r   4 R sin sin sin p p 2 2 2 B C C A A B a sin sin b sin sin c sin sin r 2 2  2 2  2 2 A B C cos cos cos 2 2 2 6. Công thức về bán kính đường tròn bàng tiếp B C a cos cos A 2 2 ra  p. tan  n 2 A cos 2 .v A C b cos cos B 2 2 rb  p tan  h 2 A cos 2 4 A B c cos cos C 2 2 rc  p tan  2 2 C cos 2 c 7. Công thức tính độ dài đường phân giác trong o A 2bc cos 2  2 la  bcp ( p  a ) ih bc bc B 2ac cos 2  2 u lb  acp ( p  b) ac ac V C 2ab cos 2  2 lc  abp( p  c ) ab ab Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 5
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1: Cho ABC nhọn, M nằm trong ABC , x, y, z là khoảng cách từ M đến ba cạnh BC, AC, AB . CMR: a2  b2  c2 x y z 2R Hướng dẫn giải Ta có n 1 1 1 abc S  ax  by  cz  2 2 2 4R .v abc  ax  by  cz  2R h 2 2 a b  c 2 ax  by  cz ab  bc  acax  by  cz  2R   a2  b2  c2 abc   4 abc   1 1 1     ax  by  cz 2 a b c c a b  a c  b c   x  y  z   x  y    x  z    y  z   x  y  z  2 xy  2 xz  2 yz  b a  c a  c b  o   x y z  2 ih Vậy a2  b2  c2 x y z u 2R V Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh ABC có chu vi là 2p. Chứng minh rằng: a)  p  a  p  b  p  c   abc 8 1 1 1 1 1 1 b)    2    pa pb pc a b c Hướng dẫn giải Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 6
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 a)Theo BĐT Cauchy pa pc b  p  a  p  c    (1) 2 2  p  a  p  b   p  a  p  b  c (2) 2 2  p  b  p  c   p  b  p  c  a (3) 2 2 abc Lấy (1)(2)(3) ta được  p  a  p  b  p  c   Dấu “=” xảy ra khi a=b=c 8 n b) Theo BĐT Cauchy .v a  pb pc  2  p  b  p  c  1 1 2 h   pb pc  p  b  p  c  4  1 1   a  pb  pc  4  2    1 1  4 c   pb  pc  a    o Chứng minh tương tự ih  1 1  4   pa  pc  b  u    1 1  4 V   pb  pa  c    1 1 1 1 1 1 Vậy    2    pa pb pc a b c Bài 3: Cho ABC có S là diện tích và a,b,c là độ dài các cạnh. Chứng minh 1 rằng S 2  16 a 4  b 4  c 4  Hướng dẫn giải Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 7
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Theo công thức Hê rông 1 S2  16 b  c  2   a 2 a 2  b  c  2  1  16 b 2    c 2  a 2  2bc 2bc  b 2  c 2  a 2    1 16 4b c 2 2   b 2 c 2 a 2  2 1  16 4b c  a 2 2 4  b 4  c 4  2a 2 b 2  2a 2 c 2  2b 2 c 2  1   a 4  b 4  c 4  2a 2 b 2  2a 2 c 2  2b 2 c 2  n 16 1 a 4  b4  c4  a4  b4  c4  a4  b4  c4  .v  16 1 4  S2   a  b4  c4  h 16 4 Dấu “=” xảy ra khi a=b=c 2 Bài 4: Cho ha , hb, hc là độ dài ba đường cao của tam giác có bán kính đường c tròn nội tiếp là r o ih ha hc hb 1 Chứng minh rằng 2  2  2  hc hb ha r u Hướng dẫn giải V Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 8
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 2S  aha  bhb  chc  a  b  c r ha hc hb a2 b2 c2  2  2  2    hc hb ha 2Sb 2 Sc 2Sa 1  a2 b2 c2     b b c  a  a  b  c  2S  c a  Ta có 1  2a  2b  2c  a  b  c  2S abc 1   2S r h h h 1  a2  c2  b2  n hc hb ha r .v Dấu “=” xảy ra khi ABC đều h Bài 5: Chứng minh rằng không tồn tại tam giác có độ dài các đường cao là 1, 5 ,1  5 4 Hướng dẫn giải 2 Cách 1 c Giả sử tồn tại tam giác có độ dài các đường cao là ha  1, h b  5 , h c  5  1 , các cạnh tương ứng là a, b, c o 2S 2S 2S Ta có : a  , b , c ih ha hb hc 2 S 2 S 2S 1 1 1       u ha hb hc ha hb hc 1 1 1 5 5 1 V    1  1 5 1 5 5 4  20  4 5  5 5  5  25  9 5  25 2  (9 5 ) 2  625  405 (Vô lí) Vậy không tồn tại một tam giác mà độ dài ba đường cao là 1, 5 ,1  5 Cách 2 Tương tự trên ta có : 2S  a.1  b. 5  c.(1  5 ) Do đó Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 9
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 2a  a  a  b 5  c(1  5 )  b 4  c 4 2a  2( b  c )  a  b  c (Vô lí!) Vậy không tồn tại một tam giác mà độ dài ba đường cao là 1, 5 ,1  5 Bài 6: Gọi H là đường cao ứng với cạnh huyền và r là bán kính đường tròn nội tiếp h tam giác vuông. Chứng minh rằng  2,5 r Hướng dẫn giải n .v OAD vuông cân  OA  OD 2  r 2 h AH  AM ( AH  HM ) 4 AM  OA  OM Do đó h  r 2  r  r ( 2  1) 2 Mà 2  2,25  1,5 c Do đó h o h  2,5r   2,5 r Cách 2: ih OA  r 2 Vẽ OK  AH ( K  OH ) tứ giác KOMH Là u hình chữ nhật V  KH  OM  r AK  OA ( AK  OK ) r 2  r  2,5 mà h Do đó AH  AK  KH  r 2  r   2,5 r Cách 3: (b  c) 2  0  2bc  b 2  c 2  a 2  (b  c ) 2  2 a 2  b  c  a 2 a bc  a  b  c  a( 2  1)   2 1 a Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 10
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 h a bc Chứng minh được  ; 2  1  2,5 r a h Do đó  2,5 r Bài 7: Cho ABC có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích) . Trên các cạnh BC,CA,AB lấy lần lượt các điểm A’,B’,C’ Chứng minh rằng : trong tất cả các tam giác AB’C’,A’BC’,A’B’C có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hay bằng 1 (đơn vị diện tích). Hướng dẫn giải  S A  S AB'C '  AC ' n  a  AB  (0,1)  S B  S A'BC '  .v   BA Đặt S  S và b   (0,1)  C A 'B 'C  BC S  S  4 c  CB  (0,1) h  ABC   CA 4 Lúc đó: 1 2 AC '.AB '.sin A SA 2 AB'  a  a (1  c) S 1 AC c AB. AC.sinA 2 o  SA  4a(1 - c) tương tự ta có : ih S B  4b(1  a) S c  4c(1  b) u Giả sử S A , S B , S C  1 Cách 1 V Lúc đó : S A .S B .S C  64a (1  a ).b(1  b).c(1  c)  1 (1) nhưng S A .S B .S C  4a(1  a) 4b(1  b) 4c (1  c )      1  (2a  1) 2 1  (2b  1) 2 1  (2c  1) 2  1.1.1  1 (2) Từ 1 và 2 =>vô lý S A  1 vậy :  S B  1  SC  1  Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 11
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Cách 2 Vì vai trò a,b,c như nhau , nên ta có thể xem 0  a  b  c  1 Vì vậy: S A  4a(1  c )  4c (1  c )  1  (2c  1) 2  1  S A  1  (dpcm) Bài 8 : Cho k, l, m là độ dài các trung tuyến và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . R Chứng minh : k l m  9 2 Hướng dẫn giải n Ta có : .v (k  l  m) 2  k 2  l 2  m 2  2(kl  lm  mk )  3(k 2  l 2  m 2 ) (1) mà 1   h k2  2(b 2  c 2 )  a 2 4 4 1  l 2  2( c 2  a 2 )  b 2 4  2 1  m 2  2( a 2  b 2 )  c 2 4  c 3  k 2  l 2  m 2  (a 2  b 2  c 2 ) (2) o 4 và ih a 2  b 2  c 2  4 R 2 (sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C )  2 R 2 (2  2 cos 2 A  1  cos 2 B  1  cos 2C ) u  2 R 2 (4  2 cos 2 A  2 cos( B  C ). cos( B  C ))  4 R 2 (2  cos 2 A  cos A.. cos( B  C )) V 9 1 1   4 R 2   cos 2 A  cos A cos( B  C )  cos 2 ( B  C) - sin 2 ( B  C )  4 4 4  9 1 1  9  4 R 2   (cos A  cos( B  C )) 2  sin 2 ( B  C )   4 R 2 .  9 R 2 (3) 4 2 4  4 3 9 từ (1), (2), (3)  (k  l  m) 2  3. .9 R 2  k  l  m  R 4 2 dấu “=” xảy ra khi ABC đều Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 12
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Bài 9 : Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác bất kỳ , S là diện tích . Hãy tìm số thực q nhỏ nhất thỏa mãn : S 2  q(a 4  b 4  c 4 ) Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 3 2  p a  p b  p c S  p( p  a )( p  b)( p  c )  p   3  p4 1  S2   S2  ( a  b  c) 4 27 16.27 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 4 abc a4  b4  c4    (*) n  3  3 Lúc này .v 1 (a  b  c ) 4  a 4  b 4  c 4 27 h 1  S 2  (a 4  b 4  c 4 ) 16 4 Dấu “=” xảy ra  ABC đều Chú ý : 2 Có hai cách chứng minh bất đẳng thức (*) c 1/ Nếu dùng BCS hai lần (a  b  c ) 2  3(a 2  b 2  c 2 )  3 3(a 4  b 4  c 4 ) o 4 abc a4  b4  c4 ih 4 4 4 4  (a  b  c )  27(a  b  c )      3  3 Dấu “=” xảy ra  a  b  c (bất đẳng thức đúng cho a, b, c  R ) u 2/ Nếu dùng Cauchy : (a  b  c ) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca V  a 2  b 2  c 2  ( a 2  b 2 )  (b 2  c 2 )  ( a 2  c 2 )  3(a 2  b 2  c 2 ) Tương tự : (a 2  b 2  c 2 )  3(a 4  b 4  c 4 ) Vậy  (a  b  c) 4  a  b  c    3(a 2 2 2  b2  c2 )  2  9(a 2  b 2  c 2 ) 2  9.3(a 4  b 4  c 4 )  (a  b  c) 4  27(a 4  b 4  c 4 ) Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 13
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 4 a bc a 4  b4  c 4 Hay :      3  3 Bài 10: Cho ABC . Gọi ma , mb , mc lần lượt là 3 trung tuyến của tam giác, xuất phát từ A,B,C và BC  a, CA  b, AB  c . Chứng minh rằng : a b c a)   2 3 ma mb mc ma mb mc 3 3 b)    a b c 2 n Hướng dẫn giải a) Ta có .v 2 4m a  2(b 2  c 2 )  a 2  ( 2 m a ) 2  ( a 3 ) 2  2( a 2  b 2  c 2 ) h  2m a .a 3  2(a 2  b 2  c 2 ) (BĐB cauchy) 4 a 2 3a 2   2 ma a  b 2  c 2 2 a 3 Dấu “=” xảy ra  ma  c 2 Chứng minh tương tự o b 2 3b 2  2 ih mb a  b 2  c 2 c 2 3c 2  2 u mc a  b 2  c 2 a b c V    2 3 ma mb mc Dấu “=” xảy ra  C đều b) Theo câu (a): 2 ma 2 3ma 2m a .a 3  a 2  b 2  c 2   2 a a  b2  c2 Chứng minh tương tự Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 14
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 2 mb 2 3mb  2 b a  b2  c2 2 mc 2 3mc  2 c a  b2  c2 2 2 2 ma mb mc 2 3 (m a  mb  mc ) 3 3      a b c a2  b2  c2 2 3 (Vì ma 2  mb 2  mc 2  (a 2  b 2  c 2 ) ) 4 Dấu “=” xảy ra  C đều Chú ý : n ma mb mc 3    a b c 2 .v 2 2  4 m a  3a 2(b 2  c 2 )  a 2  3a 2 b 2  c 2  2a 2   2    4mb  3b 2  2(c 2  a 2 )  b 2  3b 2  c 2  a 2  2b 2 h  2 2 2(a 2  b 2 )  c 2  3c 2  a 2  b 2  2c 2 4mc  3c    4  a2  b2  c2  a  b  c  C đều 2 Do : c 4m a 2  2(b 2  c 2 )  a 2   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o 4mb  2(c  a )  b  4(ma  mb  mc )  3(a  b  c )  2 2 2 2  4m c  2( a  b )  c ih  2 2 2 3  ma  mb  mc  (a 2  b 2  c 2 ) 4 u Bài toán tổng quát bài 10 là : Chứng minh rằng trong mọi ABC , ta luôn có : V n n n n  a   b   c   2  a)  m     m    m   3 3        a   b  c   n n n n  m a   mb   mc   3 b)          3   2   a   b   c    với n  Z n  1 Bài 11: Cho a,b,c là 3 cạnh C . Chứng minh rằng : a b c a/   3 (1) bca acb abc Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 15
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 1 1 1 3 b/    a b c 2 Rr (với R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp C tương ứng ) Hướng dẫn giải a/ C1: Đặt:  yz a  2 x  b  c  a  0    zx  y  c  a  b  0  b  z  a  b  c  0  2   x y n c  2  .v Suy ra yz z x x y 1 x y 1 y z 1z x VT BÐT               111  3 2x 2y 2z 2 y x 2 z y 2 x z h     C2: 4 Theo BĐT BCS 2  a b c  2 2 (a  b  c)    b  c  a a (b  c  a )  c  a  b b (c  a  b )  a  b  c c ( a  b  c )     c 1   VT (1) . (2ab  2bc  2ca  a 2  b 2  c 2 )  VT (1). (a  b  c ) 2  2(a  b) 2  2(b  c) 2  2(c  a) 2 3  o 1  VT (1). (a  b  c ) 2  VT (1)  3  (dpcm) 3 ih b/ Ta có : abc abc S  pr  2 Rr  u 4R abc 1 1 1 3 1 1 1 3(a  b  c)         V a b c 2 Rr a b c abc 2  1 1 1  1 1 1       3    (1) a b c  ab bc ca  Theo BĐT Cauchy : 2 1 1 1 1 1 1  1 1 1      2   2  2  2    a b c a c b  ab bc ca  1 1 1  1 1 1  1 1 1   1 1 1    2  2    2  2    2  2   2    2a b  2b c  2c a   ab bc ca  1 1 1  1 1 1   1 1 1      2     3     ĐPCM ab bc ca  ab bc ca   ab bc ca  Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 16
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Bài 12 : Cho a,b,c là dộ dài 3 cạch của C , S là diện tích . p q r Nếu p, q, r  0 thì .a 2  b2  c 2  2 3S qr r p pq Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT BCS: 2  a b c  ( a  b  c)   2 qr  r p pq  qr r p pq     a2 b2 c2   2 q  r  r  p  p  q ( p  q  r )    n  p 2 q 2 r 2 2 2 2 2  2  q  r a  r  p b  p  q c   2( a  b  c )  ( a  b  c ) .v    p 2 q r 1  a  b2   c 2   2( a 2  b 2  c 2 )  ( a  b  c ) 2  h qr r p pq 2 4 1 Ta sẽ chứng minh : 2    2(a 2  b 2  c 2 )  (a  b  c) 2  2 3S (1) 2 c Thật vậy o       (1)  a 2 - (b - c) 2  b 2 - (c - a) 2  c 2 - (a - b) 2  4S 3 ih  (a  b  c)(a  b  c )  (a  b  c )( a  b  c )  (a  b  c )( a  b  c)  4S 3 (*)  x  a  b  c  0 u Đặt  y  a  b  c  0  V z  a  b  c  0  (*)  yz  zx  yx  4 S 3  yz  zx  yx  3xyz ( x  y  z ) x yz x y z 1 (vì s  p( p  a)( p  b)( p  c)   xyz( x  y  z ) ) 2 222 4  ( xy  yz  zx ) 2  3xyz ( x  y  z )  ( xy  yz ) 2  ( yz  xz ) 2  ( zx  xy ) 2  0 (hnd) Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 17
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012  x y z abc Dấu “=” xảy ra  (1) Đúng p q r  .a 2  b2  c 2  2 3S qr rp pq a  b  c Dấu “=” xảy ra   p  q  r Bài 13 : Gọi ma , mb , mc là độ dài tương ứng của các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C của C và ha , hb , hc là dộ dài 3 đường cao kẻ từ A, B, C tương ứng n Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 (ma  mb  mc )(ha  hb  hc )  27 S 2 với S là diện tích C .v Hướng dẫn giải Ta có : h  2 1 2 2 2 ma  4 (2b  2c  a ) 4   2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 mb  (2c  2a  b )  ma  mb  mc  (a  b  c ) 2  4 4  2 1 2 2 2 c mc  4 (2a  2b  c )  o Không giảm tính tổng quát , ta xem a  b  c 2S 2S 2S     ha  hb  hc ih a b c  2 2 a  b  c 2 Vậy :  2 u ha  hb 2  hc 2  Theo BĐT Trêbưsép: V 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 (ma  mb  mc )(ha  hb  hc )  (a  b 2  c 2 )(ha  hb  hc ) 4 3 2 2 2 9  .3(a 2 ha  b 2 hb  c 2 hc )  12S 2  27 S 2 4 4 Dấu “=” xảy  C đều Chú ý : ta có thể áp dụng BĐT Cauchy trực tiếp : 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 (ma  mb  mc )(ha  hb  hc )  (a  b 2  c 2 )(ha  hb  hc ) 4 3 27 3 27 3  33 (abc) 2 .33 (ha hb hc ) 2  (aha .bhb .chc ) 2  (2 S ) 6  27 S 2 4 4 4  ĐPCM Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 18
Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Dấu “=” xảy  C đều Bài 14 : Cho ABC .Chứng minh 9 a/ sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  4 9R b/ m a  m b  m c  2 với ma , mb , mc là độ dài 3 trung tuyến xuất phát từ A, B, C của ABC và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC Hướng dẫn giải a/ Xét n 9 f ( x)  sin 2 A  sin 2 B  sin 2  .v 4 1 9  1  cos 2 A  (cos 2 B  cos 2C )  2 4 h 1   cos 2 A  cos( B  C ). cos( B  C )  4 4 1  t 2  cos( B  C ).t  (t  cosA) 2 4   cos 2 (B - C) - 1  sin 2 ( B  C )  0  f (t )  0 t  R c 9  sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  o 4 b/ Theo BĐT BCS : ih 2 2 2 9 2 (ma  mb  mc ) 2  3(m a  mb  mc )  (a  b 2  c 2 )  9 R 2 (sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C ) 4 u 9 81 9R  9 R 2 .  R 2  ma  mb  mc  4 4 2 V Dấu “=” xảy ra  ABC đều Bài 15 : Cho C và x, y, z  0 chứng minh rằng : 1 1 1 x2  y2  z2 cos A  cos B  cos C  x y z 2 xyz Hướng dẫn giải Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp BC Ta có : ( xOM  yON  zOP) 2  0 (1) Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện Page 19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.