CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Chia sẻ: Nguyen Nam Hoang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

791
lượt xem 222
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình mũ nằm trong lớp bài toán Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình của chương trình Toán học Phổ thông. Việc rèn luyện cho các em phương pháp giải phương trình mũ sẽ giúp các em có những kĩ năng và định hướng tốt trong việc giải quyết những bài toán trong lớp bài toán này. Chuyên đề trình bày các phương pháp giải và phân loại phương trình mũ theo các phương pháp giải đó....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Đinh Văn Trường. Tổ Toán – Trường THPT Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh. SĐT: 01677.10.19.15 Phương trình mũ nằm trong lớp bài toán Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình của chương trình Toán học Phổ thông. Việc rèn luyện cho các em phương pháp giải phương trình mũ sẽ giúp các em có những kĩ năng và định hướng tốt trong việc giải quyết những bài toán trong lớp bài toán này. Chuyên đề trình bày các phương pháp giải và phân loại phương trình mũ theo các phương pháp giải đó. Phương pháp 1. Đưa về cùng cơ số Biến đổi phương trình đưa các số hạng về cùng cơ số a: a f  x   a g x   f  x   g  x  Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: x 3 x 1 x 2 1  32 4 x a) 9     x 1 x3 c) 10  3  10  3 1 1 x x 2 x 2 x 2 2 b) 5 9  3 5 Bài giải:    10  3  1 2 a)  9 x 1  91 2x  x 2  1  1  2x c) Nhận xét: 10  3 1  x 3 x 1 x   PT   10  3   10  3 x 1 x3   x 0. 2 3x  4x  0 2 x  1  x 3 x 1 . Điều kiện:    x 9x 5x x  3 x 1 x 3 5 5 5 b)  5.5 x  9 x      2 2 9 9 27 5  x  3  1 x  x   2 3 x  5   5 2 3       x  . 9 9 2 Phương pháp 2. Đặt ẩn phụ f x  * Đặt ẩn phụ dạng 1: Đặt t  a , t 0 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 2 2 x 2 3 x2 3 x  2 2 x  x  3 (ĐH D - 2003) b) 2 x  3  28.31 a) 9 Bài giải: 2 x 2 3 x b) Đặt t  2x , t  1 vì 3  x 2  0 , t 0 a) Đặt t  3 4 28 PT trở thành: t   3  t 2  3t  4  0 t  3t 2  28t  9  0 PT trở thành: t 2  3  t 3  t  1 L   x  1 t  9  x2  x  2     1  x2  3  2  x   7 x  2 t  4 t  L 3 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a) 8 x  18 x  2.27 x x b) 3x 1  22 x 1  12 2  0 1
x x 3x x  8  2  2 2 x Bài giải: a) Chia cả 2 vế của PT cho 27 , ta thu được PT:       2        2  0  27   3   3  3 x x 2 2 Đặt t    , t  0 . PT trở thành: t 3  t  2  0  t  1     1  x  0 3 3 x x x x x x  3 2  4 2 2 2 2 2 b)  3.9  2.16  12  0 .Chia cả 2 vế của PT cho 12 , ta thu được PT: 3.    2.    1  0 4 3 t  1 x x 3 3 2 Đặt t    , t  0 . PT trở thành: 3t   1  0  3t  t  2  0   2    1 x  0 t   2  L  4  4 t 3  Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: x x x x    4        2 x 3 a) 4  15  62 b) 5  21  7 5  21 15 Bài giải: b) Chia cả 2 vế của PT cho 2x , ta thu được PT:    a) Nhận xét: 4  15 4  15  1 x x  5  21   5  21  1 x x  15    4     7  2  8  Đặt t  4   , t 0 15 2  t     1 x x PT trở thành: t   62  t 2  62t  1  0  5  21   5  21  1 Đặt t     2   t , t 0 t 2      2    t  31  8 15  t  4  15 7 PT trở thành: t   8  t 2  8t  7  0 x 2    4   t  4  15  x  2 15  5  21  x   1 x  0  2  t  1     x  log   7 x t  7  5 21  5  21   2  2  7      * Đặt ẩn phụ dạng 2: Đặt 2 ẩn phụ u  a f  x  và v  a g x  , với u, v  0 Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: 2 2 2 a) 4 x  x  21 x  2 x 1 x 1 1  4.32 x  x 1 b) 34 x  32 (Thi thử ĐHV năm 2011) 1 Bài giải: 2 u  32 x 2 x 1  x2 x 2 x 2  2x , u, v  0 . PT trở thành: a) Nhận xét: 4 2  b) Đặt  2 21 x x 1 v  3  2 u  2 x 1 u  v  u 2  3v 2  4uv   u  v   u  3v   0   , u, v  0 . PT trở thành: Đặt  2  u  3v v  21 x  32 x  3 x 1  2x  x  1 v  1 u  u    v  u  1   v  1  1    0   u 32x  3 x 11  2x  1  x  1   1  v  v v  1  17 x  2  21 x  1 x  0 8  2    4x  x  1  x  1 5   x  4  2
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: 8 1 18 b) 22 x  2 x  6  6  1 x  x 1 1 x a) x 1 2 1 2  2 2  2  2 Bài giải: u  2 x u  2x 1  1   , u, v  1 . PT trở thành: a) Đặt  b) Đặt  , u  0, v  6 . PT trở thành: 1 x v  2  1 x v  2  6   8 1 18 u2  v  6   u v 1 u  v Nhận xét: v 2  2x  6  u  6  v 2  u  6 . Ta có hệ Nhận xét: 2 u 2  v  6 u  v  6       uv  2 x 1  1 2 x 1  1  2x 1  1  2 x 1  1  u  v . phương trình:  2   u  v   u  v  1  0 v  u  6   Ta có hệ: Do điều kiện của u, v nên hệ u  v  2 8 1 18 u  8v  18   u  v  3  x  log 2 3  u v u  v    u  9; v  9 uv  u  v uv  u  v 8   Từ đó, nghiệm của PT là: x  1 hoặc x  4 Phương pháp 3. Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Dạng 1: Phương trình có dạng: f  x   k (1) hoặc f  x   g  x  (2). Ta có hai mệnh đề sau: Mệnh đề 1. Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập K thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Mệnh đề 2. Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (nghịch biến) và hàm số y  g  x  nghịch biến (đồng biến) trên tập K thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất. Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: a) 3x  4 x  5x b) 7 x  6 x  11x  2 Bài giải: x x 3  4 a) Chia cả 2 vế của phương trình cho 5x , ta được:       1 5 5 x x  3  4 Nhận xét: VT của phương trình là tổng của hai hàm số nghịch biến trên R nên y       là hàm số 5 5 nghịch biến trên R. Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x  2 . Thật vậy 2 2 2 2 3  4 3  4 + Với x  2 thì VT        1  VP . + Với x  2 thì VT        1  VP . 5  5 5  5 2 2 3  4 + Với x  2 thì       1 . 5  5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x  2 . b) Nhận xét: VT của phương trình là tổng của hai hàm số đồng biến trên R nên y  7 x  6x là hàm số đồng biến trên R và VP của phương trình là hàm số bậc nhất có hệ số a  11  0 nên y  11x  2 là hàm số nghịch biến trên R. Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x  0 . Thật vậy + Với x  0 thì VT  70  60  2  11.0  2  VP . + Với x  0 thì VT  70  60  2  11.0  2  VP . + Với x  0 thì VT  VP  2 . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x  0 . 3
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:     b) 25x  2  3  x  5x  2 x  7  0 a) x 2  2 x  1 x  2 2 x  3  0 Bài giải: a) Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai b) (Đặt ẩn phụ không hoàn toàn) ẩn x. Ta có: Đặt t  5x , điều kiện t  0  x  2 Khi đó phương trình tương đương với: 2 2    2 x  1  8  2 x  3   2 x  5   t 2  2 3  x  t  2x  7  0 x x  3 2 t  1 Xét phương trình: x  3  2 x  2 x  3  x 2 2  '  3  x    2 x  7   x  4   Hàm số y  2 x đồng biến trên R t  7  2 x x và hàm số y  3  x nghịch biến trên R Ta có: 5  7  2x có nghiệm duy nhất x  1 Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x  1 . Vậy phương trình có 2 nghiệm x  2; x  1 Dạng 2: Phương trình có dạng: f  x   f  y  (3). Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3. Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập K thì phương trình (3)  x  y . Ví dụ 9. Giải các phương trình sau: 2 2 2 a) 2 x 3 x 1  2 x  2  x 2  4 x  3  0 (*) b) ecos x  esin x  cos2 x (**) Bài giải:   b) Ta có: cos2x  cos2 x  sin 2 x a) Ta có: x 2  4x  3  x 2  3x  1   x  2  2 2 (**)  ecos x  cos 2 x  esin x  sin 2 x 2    3x 1  x 2  3x  1  2x  2   x  2  (*)  2 x Xét hàm số: f  t   e t  t . t Xét hàm số: f  t   2  t . Ta có: f '  t   e t  1  0, t  0 . Do đó f  t  đồng biến t Ta có: f '  t   2 ln 2  1  0, t  R . Do đó f  t  đồng trên  0;   . biến trên R.    PT  f cos 2 x  f sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x   PT  f x 2  3x  1  f  x  2   x 2  3x  1  x  2  x  1  x    k  4 x  3 Phương pháp 4. Đánh giá hai vế của phương trình + Nếu VT  M và VP  M thì VT  VP  M . + Nếu VT  VP thì tìm dấu = xảy ra theo đánh giá. Ví dụ 10. Giải các phương trình sau: a) 2 x  2 x  4 16  x 2 2.6 x  4 x  3 3.12 x  2.8x  2.3x b) (Đề thi thử trên Tuhoctoan.net) Bài giải: a) Ta có: VT  2x  2 x  2 2x.2 x  2 và VP  4 16  x 2  4 16  2 . Do đó, PT  VT  VP  2  x  0 x x x  3 3 3 x 2.    1  3 3.    2  2.   b) Chia cả hai vế của phương trình cho 2 ta thu được PT:  2 2 2 x x 3 3 2.    1  1 3.    2  1  1 x x x x 3 3 3 3 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 2.    1     và   2    3 3. 2 2 2 2 3 2 Do đó, VT  VP . Dấu = xảy ra  x  0 . 4
Phương pháp 5. Đưa về phương trình tích: A  0 Biến đổi phương trình đưa về dạng A.B  0   B  0 Ví dụ 11. Giải các phương trình sau: a) x 2 .2 x 1  2 x 5  2  x 2 .2 x 5  4  2 x 1 b) 2  5 x  3x 2  2 x  2 x.3x 2  5 x  3x 2  4 x 2 .3x Bài giải: 1  x   2  2 1  x 1 1      x 5  4 x 5  4 x 5  4 x 1  2x 1  2 2  x   2 2 0 a)  x . 2  2  4 4  x 1  x  5  4  Giải PT chứa dấu giá trị tuyệt đối ta được x  4 1 Vậy PT có 3 nghiệm: x  4 ; x   2 1 b) Điều kiện: 2  x  3         2  5 x  3x 2 1  2 x.3x  2 x 1  2 x.3x  0  1  2 x.3x 2  5x  3x2  2 x  0 1  2 x.3x  0  .  2  5 x  3x 2  2 x  0  Nhận xét: + Với 2  x  0 thì 1  2x.3x  0 21 1 x + Với 0  x  thì 1  2x.3  1  .33  0 3 3 x Do đó PT 1  2x.3  0 vô nghiệm. 4  22 Giải phương trình chứa căn  x  là nghiệm của PT. 9 Phương pháp 6. Lôgarit hóa Lấy lôgarit hai vế của phương trình với cơ số thích hợp. Ví dụ 12. Giải các phương trình sau: x 1 x x b) 32  23 x x a) 5 .8  500 Bài giải: a) Lấy lôgarit cơ số 5 hai vế của phương trình, ta b) Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế của phương trình, ta được: được: x x 1 2 x log 5 8  log 5 500 2x  3x.log 3 2     log 3 2  x  log 2  log 3 2  x 3 3 2  x   x  1 log54 8  x  3  log 5   x  log 5 2  x 2   log 5 2  3 x  3log5 2  0    x  3 5
MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ 2 2 2 2 23. 9 x 1  36.3 x 3  3  0 1. 4 x  x 2  5.2 x 1 x 2  6  0 2 2 2. 43 2cos x  7.41cos x  2  0 24. 9 x 1  3 x 1  6  0 x x x 3  26  15 3   2  7  4 3    x 2 2 3 1 3. 25. 4 2  9 x  6 x 1 2 2 2 2 x x 26. 2 x 1  3 x  3 x 1  2 x  2  2  3    2  3   14 4. 1 27. 2 x.5 x1  10 2 x 5. 5.23 x 1  3.253 x  7  0 5 8  1      x x 6.  23 x  3 x   6  2 x  x 1   1 28. 3  5  16 3  5  2 x3 2  2  29. 3.16 x  2.81x  2.36 x 7. 4.9 x 1  3 22 x 1 log 2 x   lo2 x  x 2  2   1 x2 30. 2  2   2 8. 2 x  2 x.3x  1, 5     2 x 1 2 x x2  4  x  2  4 x2  4  4x  8 31. 9. 5 x.2 x 1  50 x log 2 9  x 2 .3log 2 x  x log 2 3 32. 3x 10. 3x.2 x  2  6 2.x log 2 x  2 x 3 log8 x  5  0 33. x x  x log 2 3  x log 2 5 34. 11. 2 x  1  3 2 x  2log 2 4 x  2   4x  2 3 35. 12. 2 3 x   x 2  8 x  14 13. 25x  2  3  x  5x  2 x  7  0 36. 4 lg10 x  6 lg x  2.3lg100 x x x x 14. 8  x.2 x  23 x  x  0 1 1 1 37. 3     2 x        2 x  6 x 15. x 2 .3x  3x 12  7 x    x 3  8 x 2  19 x  12  3 2 6 16. 4 x 1  2 x  4  2 x  2  6 38. 5.32 x 1  7.3 x 1  1  6.3 x  9 x 1  0 17. 34 x 8  4.32 x 5  27  0 39. 12.3 x  3.15 x  5 x1  20 x 2 40. 4 log 2 2 x  x log 2 6  2.3log 2 4 x 18. 4.3 x  9.2 x  5.6 2 41. 3 x  5 x  6 x  2 19. 8.3 x  3.2 x  24  6 x 2 42. 2 x 1  2 x  x   x  1 2 72x  6.0.7   7 x 20. 101 x 2  2 x 1 x 2  2 x 1     x 100 43. 2  3  2 3    21. 125 x  50 x  2 3 x 1 10 2  3 22. 4 x 2  x.3 x  31 x  2 x 2 .3 x  2 x  6 x 1 x2 x x 44. 5  2  5  2  0 6