www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
1
Chuyên đề
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ
A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị
, ,
i j k
1
i j k
.
B.
1 2 3 1 2 3
; ; a
a a a a a i a j a k
; M(x;y;z)
OM xi y j zk
C. Tọa độ của vectơ: cho
( ; ; ), ( '; '; ')
u x y z v x y z
1.
'; '; '
u v x x y y z z
2.
'; '; '
u v x x y y z z
3.
( ; ; )
ku kx ky kz
4.
. ' ' '
u v xx yy zz
5.
' ' ' 0
u v xx yy zz
6.
2 2 2
u x y z
7.
' ' ; ' ' ; ' '
; ;
' ' ' ' ' '
yz y z zx z x xy x y
y z z x x y
u v y z z x x y
8.
,
u v
cùng phương
[ , ] 0
u v
9.
cos ,
.
.
u v
u v
u v
.
D. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)
1.
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
2.
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z
3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
xG=
3
ABC
x x x
;yG=
3
ABC
y y y
; zG=
3
ABC
z z z
4. M chia AB theo tỉ số k:
; ; ;
1 1 1
A B A B A B
MMM
x kx y ky z kz
x y z
k k k
Đặc biệt: M là trung điểm của AB:
; ; .
2 2 2
A B A B A B
MMM
x x y y z z
x zy
5. ABC là một tam giác
AB AC
0
khi đó S=1
2
AB AC

6. ABCD là một tứ diện
AB AC
.
AD
0, VABCD=
1,
6
AB AC AD

, VABCD=1
.
3
BCD
S h
(h là đường
cao của tứ diện hạ từ đỉnh A)
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG & MẶT
I. Mặt phẳng
Mặt phẳng
được xác định bởi: M(x0;y0;z0),
( ; ; )
n A B C
. Phương trình tổng quát của mặt
phẳng
: Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax0+By0+Cz0+D=0
hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Ax+By+Cz+D=0.
một số mặt phẳng thường gặp:
a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0.
b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có ( )
[ , ]
ABC
n AB AC
 
c/

n n
d/
n u
và ngược lại e/
d
d
u u
f/
d
d
n u
.
1;0;0
i
0;1;0
j
0;0;1
k
O
z
x
y
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
2
II. Đường thẳng
Đường thẳng được xác định bởi: M(x0;y0;z0),
u
=(a;b;c)
i.Phương trình tham số:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
;
ii.Phương trình chính tắc:
0 0 0
x x y y z z
abc
iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
trong đó
1 1 1 1
( ; ; )
n A B C
,
2 2 2 2
( ; ; )
n A B C
là hai VTPT và VTCP
1 2
[ ]
u n n

.
†Chú ý: a/ Đường thẳng Ox:
0
0
y
z
; Oy:
0
0
x
z
; Oz:
0
0
x
y
b/ (AB): AB
u AB
; c/ 12
1 2
u u
; d/ 12
1 2
u n
.
III. Góc- Kh/C
Góc giữa hai đường thẳng
*cos(,’)=cos
=
. '
. '
u u
u u
;
Góc giữa hai mp
*cos(
,
’)=cos=
. '
. '
n n
n n
;
Góc giữa đường thẳng và mp
*sin(,
)=sin=
.
.
n u
n u
.
KHOẢNG CÁCH
Cho M (xM;yM;zM),
:Ax+By+Cz+D=0,:M0(x0;y0;z0),
u
,
’ M’0(x0';y0';z0'),
'
u
* Khoảng cách từ M đến mặt phẳng : d(M,
)= 2 2 2
M M M
Ax By CZ D
A B C
* Khoảng cách từ M đến đường thẳng : d(M,)= 1
[ , ]
MM u
u
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d(,’)=
0 0
[ , ']. '
[ , ']
u u M M
u u

III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S)I(a;b;c),bán kính R
Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S)
Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R=2 2 2
a b c d

1. d(I,
)>R:
(S)=
2. d(I,
)=R:
(S)=M (M gọi là tiếp điểm)
*Điều kiện để mặt phẳng
tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng
là tiếp diện của mặt cầu (S) tại M
khi đó
n
=
IM
)
3. Nếu d(I,
)<R thì
sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của
và (S). Để tìm tâm H
và bán kính r của (C) ta làm như sau:
a. Tìm r = 2 2
- ( , )
R d I
b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng qua I, vuông góc với
+H=
(toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình với
)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
3
B. BÀI TẬP
1. (Khối D_2009)
Chuẩn
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z20=0.
Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Nâng cao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 22
:
1 1 1
y
x z
vặt phẳng (P):x+2y3z+4=0. Viết
phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng .
ĐS: Chuẩn 5 1
; ; 1
2 2
D
, Nâng cao
3
1 2
1
x t
d y t
z t
2. (Khối D_2008)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
4
ĐS: a. x2+y2+z23x3y3z=0, b. H(2;2;2).
3. (Khối D_2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(1;2;4) và đường thẳng 21
:
1 1 2
y
x z
.
a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng
(OAB).
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
5
ĐS: a. 2
2
:
2 1 1
yx z
d
, b. M(1;0;4).
4. (Khối D_2006)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng
1
2
2 3
:
2 1 1
yx z
d
, 1
1
1 1
:
1 2 1
yx z
d
.
a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d1.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2.
ĐS:
a. A’(1;4;1), b. 2
1 3
:
1 3 5
yx z
.
5. (Khối D_2005)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1
2
1 1
:
3 1 2
yx z
d
và 2
12 3
:
10 2
x t
d y t
z t
.
a. Chứng minh d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và
d2.
b. Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O
là gốc tọa độ).