CHUYÊN Đ HÌNH H C GI I TÍCH TRONG M T PH NGỀ Ọ Ả Ặ Ẳ
D NG 1: ĐI M – ĐNG TH NG Ạ Ể ƯỜ Ẳ
Bài 1. Cho hai đi m A(1; 1) , B(4;-3). Tìm đi m C thu c đng th ng ể ể ộ ườ ẳ
: 2 1 0d x y− − =
sao cho kho ng cáchả
t C đn AB b ng 6. Đs: ừ ế ằ
43 27
(7;3); ( ; )
11 11
C C − −
Bài 2. Cho các đng th ng l n l t có ph ng trình dườ ẳ ầ ượ ươ 1:
3 0x y++=
, d2:
4 0x y− − =
và d3:
2 0x y− =
.
Tìm t a đ đi m M n m trên đng th ng dọ ộ ể ằ ườ ẳ 3 sao cho kho ng cách t M đn dả ừ ế 1 b ng hai l n kho ng cáchằ ầ ả
t M đn dừ ế 2. Đs: M(-22; -11), M(2; 1).
Bài 3. Vi t ph ng trình đng th ng đi qua đi m M và ch n trên hai tr c to đ 2 đo n b ng nhau, v i:ế ươ ườ ẳ ể ắ ụ ạ ộ ạ ằ ớ
a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1)
Đs:
6; 14 0x y x y+ − − − =
Bài 4. Tìm hình chi u c a đi m M lên đng th ng ế ủ ể ườ ẳ d và đi m Mể đi x ng M qua ố ứ d v i:ớ
a) M(2; 1),
d x y:2 3 0+ − =
Đs:
2 1
( ; )
5 5
b) M(3; – 1),
d x y:2 5 30 0+ − =
Bài 5. L p ph ng trình đng th ng ậ ươ ườ ẳ d
đi x ng v i đng th ng ố ứ ớ ườ ẳ d qua đng th ng ườ ẳ , v i:ớ
a)
d x y x y:2 1 0, :3 4 2 0
∆
− + = − + =
b)
d x y x y: 2 4 0, :2 2 0
∆
− + = + − =
Bài 6. L p ph ng trình đng th ng ậ ươ ườ ẳ d
đi x ng v i đng th ng ố ứ ớ ườ ẳ d qua đi m I, v i:ể ớ
a)
d x y I:2 1 0, (2;1)− + =
b)
d x y I: 2 4 0, ( 3;0)− + = −
Bài 7. Cho hai đng th ng dườ ẳ 1 :
1 0x y− + =
, d2 :
2 1 0x y+ + =
và đi m M(2: 1). Vi t ph ng trình đngể ế ươ ườ
th ng d đi qua M và c t hai đng th ng trên t i A, B sao cho M là trung đi m AB. ẳ ắ ườ ẳ ạ ể
Bài 8. Cho hai đng th ng dườ ẳ 1 :
2 5 0x y− + =
, d2 :
3 0x y+ − =
và đi m M(2: 1). Vi t ph ng trình đngể ế ươ ườ
th ng d đi qua M và c t hai đng th ng trên t i A, B sao cho ẳ ắ ườ ẳ ạ
2MA MB=
uuur uuur
Đs: 7x -3y +14 = 0
D NG 2: ĐNG TH NG VÀ TAM GIÁC Ạ ƯỜ Ẳ
Bài 1. Vi t ph ng trình đng th ng đi qua đi m M và cùng v i hai tr c to đ t o thành m t tam giác cóế ươ ườ ẳ ể ớ ụ ạ ộ ạ ộ
di n tích S, v i:ệ ớ
a) M(–4; 10), S = 2 b) M(2; 1), S = 4 b) M(–3; –2), S = 3 d) M(2; –
1), S = 4
Bài 2. Cho tam giác ABC, bi t ph ng trình m t c nh và hai đng cao. Vi t ph ng trình hai c nh và đngế ươ ộ ạ ườ ế ươ ạ ườ
cao còn l i, v i ạ ớ
AB x y BB x y CC x y:4 12 0, :5 4 15 0, :2 2 9 0
+ − = − − = + − =
Bài 3. Cho tam giác ABC, bi t to đ m t đnh và ph ng trình hai đng cao. Vi t ph ng trình các c nhế ạ ộ ộ ỉ ươ ườ ế ươ ạ
c a tam giác đó, v i: ủ ớ
A BB x y CC x y(3;0), :2 2 9 0, :3 12 1 0
+ − = − − =
Bài 4. Cho tam giác ABC, bi t to đ m t đnh và ph ng trình hai đng trung tuy n. Vi t ph ng trình cácế ạ ộ ộ ỉ ươ ườ ế ế ươ
c nh c a tam giác đó, v i: ạ ủ ớ
A BM x y CN y(1;3), : 2 1 0, : 1 0
− + = − =
Bài 5. Cho tam giác ABC, bi t ph ng trình m t c nh và hai đng trung tuy n. Vi t ph ng trình các c nhế ươ ộ ạ ườ ế ế ươ ạ
còn l i c a tam giác đó, v i: ạ ủ ớ
AB x y AM x y BN x y: 2 7 0, : 5 0, :2 11 0− + = + − = + − =
Bài 6. Cho tam giác ABC, bi t ph ng trình hai c nh và to đ trung đi m c a c nh th ba. Vi t ph ng trìnhế ươ ạ ạ ộ ể ủ ạ ứ ế ươ
c a c nh th ba, v i: ủ ạ ứ ớ
AB x y AC x y M:2 2 0, : 3 3 0, ( 1;1)
+ − = + − = −
Bài 7. Cho tam giác ABC, bi t to đ m t đnh, ph ng trình m t đng cao và m t trung tuy n. Vi tế ạ ộ ộ ỉ ươ ộ ườ ộ ế ế
ph ng trình các c nh c a tam giác đó, v i: ươ ạ ủ ớ
A BH x y BM x y(4; 1), :2 3 12 0, :2 3 0
− − + = + =
Bài 8. Cho đi m A(2 ; -2) và đng th ng d đi qua đi m M(3; 1) và c t các tr c t a đ t i B,C .ể ườ ẳ ể ắ ụ ọ ộ ạ
Gv: Phan H u Thữ ế Page 1
I. PH NG TRÌNH ĐNG TH NG ƯƠ ƯỜ Ẳ
I. PH NG TRÌNH ĐNG TH NG ƯƠ ƯỜ Ẳ
CHUYÊN Đ HÌNH H C GI I TÍCH TRONG M T PH NGỀ Ọ Ả Ặ Ẳ
Vi t ph ng trình đng th ng d , bi t r ng tam giác ABC cân t i A. ĐS: ế ươ ườ ẳ ế ằ ạ
1 2
: 1; : 1
6 2 2 2
x y x y
d d+ = + =
−
Bài 9. Cho đi m A(2 ;1).Tìm to đ đi m B trên tr c hoành, đi m C trên tr c tung sao cho tam giác ABCể ạ ộ ể ụ ể ụ
vuông t i A và có di n tích l n nh t, bi t đi m B có hoành đ không âm.ạ ệ ớ ấ ế ể ộ
Bài 10. Cho tam giác ABC có di n tích b ng ệ ằ
3
2
và hai đi m A(2; -3), B(3; -2). Tr ng tâm G n m trên đngể ọ ằ ườ
th ng d: ẳ
3 8 0x y−−=
.Tìm t a đ đnh C c a tam giác.ọ ộ ỉ ủ
Bài 11. Cho đi m A(-1; 2) và đng th ng d: ể ườ ẳ
2 3 0x y− + =
.Tìm trên đng th ng d hai đi m B,C sao cho tamườ ẳ ể
giác ABC vuông t i C và AC =3BC. Đs: B(ạ
13 16
;
15 15
−
); C(
1 4
; )
3 3
−
Bài 12. Cho tam giác ABC có tr c tâm H(1; 0) chân đng cao h t B là K(0; 2) và trung đi m c nh AB làự ườ ạ ừ ể ạ
M(3; 1). Vi t ph ng trình ba c nh c a tam giác ABC.ế ươ ạ ủ
Bài 13. Cho tam giác ABC có tr c tâm H(-1; 4) và tâm đng tròn ngo i ti p tam giác I(-3; 0), trung đi m c nhự ườ ạ ế ể ạ
BC là M(0; -3).Vi t ph ng trình đng th ng AB bi t B có hoành đ d ng.ế ươ ườ ẳ ế ộ ươ
Bài 14. Cho tam giác ABC cân t i A có ph ng trình hai c nh AB: ạ ươ ạ
1 0y+ =
; BC:
2 0x y+ − =
.Tính di n tíchệ
tam giác ABC bi t AC đi qua đi m M(-1; 2).ế ể
Bài 15. Cho tam giác ABC, đng cao k t đnh B và đng phân giác trong góc A có ph ng trình là dườ ẻ ừ ỉ ườ ươ 1:
3 4 10 0x y+ + =
và d2:
1 0x y− + =
.Đi m M(0; 2) thu c đng th ng AB đng th i cách C m t kho ngể ộ ườ ẳ ồ ờ ộ ả
b ng ằ
2
.Tìm t a đ các đnh c a tam giác ABC.ọ ộ ỉ ủ
Bài 16. Cho tam giác ABC vuông t i A. Bi t A(-1; 4), B(1; -4) và đng th ng BC đi qua đi m I(2; ạ ế ườ ẳ ể
1
2
).Tìm t aọ
đ đnh C. Đs: C(3;5).ộ ỉ
Bài 17. Cho tam giac ABC có đng phân giác trong AD: ườ
0x y− =
, đng cao CH: ườ
2 3 0,x y++=
c nh AC điạ
qua M(0; -1), AB = 2AM. Vi t ph ng trình ba c nh c a tam giác ABC.ế ươ ạ ủ
Bài 18. Cho đi m M(-1;1) và hai đng th ng dể ườ ẳ 1 :
1 0x y− − =
, d2 :
2 5 0x y+ − =
. G i A là giao đi m c a dọ ể ủ 1
và d2. Vi t ph ng trình đng th ng d đi qua M c t dế ươ ườ ẳ ắ 1 và d2 l n l t t i B và C sao cho A, B, C t o thànhầ ượ ạ ạ
tam giác có BC =3AB.
Bài 19. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hai đng th ng dặ ẳ ọ ộ ườ ẳ 1 :
7 17 0x y
− + =
, d2 :
5 0x y+ − =
. Vi t ph ngế ươ
trình đng th ng d qua M(0;1) t o v i dườ ẳ ạ ớ 1 ,d2 m t tam giác cân t i giao đi m c a dộ ạ ể ủ 1 ,d2 .
Bài 20. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho đi m M(1;1). L p ph ng trình đng th ng d đi qua M và c t haiặ ẳ ọ ộ ể ậ ươ ườ ẳ ắ
đng th ng dườ ẳ 1 :
3 5 0x y− − =
, d2 :
4 0x y+ − =
, l n l t t i A, B sao cho 2MA -3MB = 0.ầ ượ ạ
Bài 21. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có tr ng tâm ặ ẳ ọ ộ ọ
4
( ;1)
3
G
, trung đi m BC là M(1;1) ,ể
ph ng trình đng th ng ch a đng cao k t B là x+y -7 = 0. Tìm t a đ A, B, C.ươ ườ ẳ ứ ườ ẻ ừ ọ ộ
Đs:
(2;1), (3;4), ( 1;2).A B C −
Bài 22. Cho tam giác ABC cân t i A, đnh B thu c d: ạ ỉ ộ
4 2 0,x y− − =
c nh AC song song v i d. Đng cao kạ ớ ườ ẻ
t A có ph ng trình ừ ươ
3 0x y+ + =
, đi m M(1; 1) n m trên AB. Tìm t a đ các đnh c a tam giác ABC.ể ằ ọ ộ ỉ ủ
Đs:
− − −2 1 8 11
(0;3), ( ; ), ( ; ).
3 3 3 3
A B C
Gv: Phan H u Thữ ế Page 2
CHUYÊN Đ HÌNH H C GI I TÍCH TRONG M T PH NGỀ Ọ Ả Ặ Ẳ
Bài 23. Cho tam giác ABC cân t i A có AB: ạ
2 2 0x y+ − =
, AC:
2 1 0x y+ + =
, đi m M(1;2) thu c đo n BC.ể ộ ạ
Tìm t a đ các đnh tam giác.ọ ộ ỉ
Bài 24. Trong m t ph ng Oxy cho đi m A(3; 2), đng th ng ặ ẳ ể ườ ẳ
1
: 3 0x y
∆
+ − =
và đng th ng ườ ẳ
2
: 9 0x y
∆
+ − =
Bi t đi m B thu c ế ể ộ
1
∆
và đi m C thu c ể ộ
2
∆
sao cho tam giác ABC vuông cân t i A. Tìm t a đ đi m B, C.ạ ọ ộ ể
Đs:
(0;3), (4;5)C
ho c ặ
(4; 1), (6;3)B C−
Bài 25. Trong m t ph ng Oxy cho đi m C(2; -5) và đng th ng ặ ẳ ể ườ ẳ
:3 4 4 0x y
∆
− + =
. Tìm trên đng th ng ườ ẳ
∆
Hai đi m A và B đi x ng nhau qua đi m ể ố ứ ể
5
(2; )
2
I
sao cho di n tích tam giác ABC b ng 15.ệ ằ
Đs:
(0;1), (4;4)A B
ho c ặ
(4;4), (0;1)A B
.
Bài 26. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC . Đng cao k t A, trung tuy n k t B, trung tuy n k tặ ẳ ườ ẻ ừ ế ẻ ừ ế ẻ ừ
C l n l t n m trên các đng th ng co ph ng trình ầ ượ ằ ườ ẳ ươ
6 0, 2 1 0, 1 0.x y x y x+ − = − + = − =
Tìm t a đ A, B,ọ ộ
C.
Đs:
(5;1), ( 3; 1), (1;3).A B C− −
Bài 27. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân t i A, ph ng trình BC: ặ ẳ ạ ươ
2 7 0x y−−=
, đngườ
th ng AC đi qua đi m M(-1;1), đi m A n m trên đng th ng ẳ ể ể ằ ườ ẳ
: 4 6 0x y
∆
− + =
. Tìm t a đ các đnh c aọ ộ ỉ ủ
tam giác ABC bi t r ng đi m A có hoành đ d ng.ế ẳ ể ộ ươ
Đs:
(2;2), (3; 1), (5;3).A B C−
Bài 28. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC, ph ng trình các đng th ng ch a đng cao và đngặ ẳ ươ ườ ẳ ứ ườ ườ
trung tuy n k t đnh A l n l t là : ế ẻ ừ ỉ ầ ượ
2 13 0x y− − =
và
13 6 9 0x y− − =
. Tìm t a đ các đnh B và C bi tọ ộ ỉ ế
tâm đng tròn ngo i ti p tam giác ABC là I(-5; 1).ườ ạ ế
Đs:
(4;3), (2;7)B C
ho c ặ
(2;7), (4;3)B C
Bài 29. Trong m t ph ng Oxy, cho các đi m A(1;2), B(4;3). Tìm t a đ đi m M sao cho ặ ẳ ể ọ ộ ể
ﾷ
135
O
MAB =
và
kho ng cách t M đn Ab b ng ả ừ ế ằ
10
2
. Đs: M(0;0) ho c M(-1; 3).ặ
Bài 30. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có tr ng tâm G(1;1), đng cao đnh A có ph ng trình ặ ẳ ọ ườ ỉ ươ
2 1 0x y− + =
và các đnh B, C thu c đng th ng ỉ ộ ườ ẳ
: 2 1 0x y
∆
+ − =
. Tìm t a đ các đnh A, B, C bi t di nọ ộ ỉ ế ệ
tích tam giác ABC b ng 6. Đs: ằ
2 13 0x y− − =
Bài 31. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC cân t i A. Đng th ng AB và BC l n l t có ph ng trình:ặ ẳ ạ ườ ẳ ầ ượ ươ
7 6 24 0; 2 2 0x y x y+ − = − − =
. Vi t ph ng trình đng cao k t B c a tam giác ABC. Đs:ế ươ ườ ẻ ừ ủ
4 18 3 0x y− − =
Bài 32. Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC vuông t i B, có ph ng trình đng cao qua C : ặ ẳ ạ ươ ườ
2 4 0x y+ + =
Đng phân giác giác trong góc A có ph ng trình d: ườ ươ
1 0x y− − =
. G i M((0;-2) n m trên c nh AC. Tìm t aọ ằ ạ ọ
đ các đnh c a tam giác đó. Đs: ộ ỉ ủ
1
(1;0), ( 3; 2), ( ; 3).
2
A B C− − − −
Bài 33. Tam giác ABC có trung tuy n BM : ế
2 3 0x y+ − =
, phân giác BN :
2 0x y+−=
. Đi m P(2;2) thu c AB,ể ộ
bán kính đng tròn ngo i ti p tam giác ABC là ườ ạ ế
5R=
. Xác đnh t a đ các đnh c a tam giác.ị ọ ộ ỉ ủ
Gv: Phan H u Thữ ế Page 3
CHUYÊN Đ HÌNH H C GI I TÍCH TRONG M T PH NGỀ Ọ Ả Ặ Ẳ
Đs:
(3;1), (1;1), (1; 8).A B C −
ho c ặ
( 1;1), (1;1), (1;8).A B C−
Bài 34. Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC có A thu c d: ặ ẳ ộ
2 6 0x y− + =
, đng trung tuy n BM:ườ ế
3 0x y+ + =
, trung đi m c nh BC là N(1;2). Tính di n tích tam giác ABC bi t BC song song v i d. Đs:ể ạ ệ ế ớ
3
20
S
=
Bài 35. Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC có c nh AB = ặ ẳ ạ
4 2S
=
và đnh C(1;5). Đng th ng AB cóỉ ườ ẳ
ph ng trình ươ
2 0,x y− + =
đng th ng d: ườ ẳ
3 16 0x y+ − =
đi qua tr ng tâm G c a tam giác. Tìm t a đ cácọ ủ ọ ộ
đnh A, B. Đs: ỉ
9 13 1 5 1 5 9 13
( ; ), ( ; ); ( ; ), ( ; )
2 2 2 2 2 2 2 2
A B A B
Bài 36. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC cân t i A, c nh BC: ặ ẳ ạ ạ
1 0x y− + =
, đng cao h t đnh B:ườ ạ ừ ỉ
3 5 0x y+ + =
, đng cao h t đnh C đi qua M(3;0). Tìm t a đ các đnh c a tam giác ABC.ườ ạ ừ ỉ ọ ộ ỉ ủ
Đs:
(1;0), ( 2; 1), (2;3).A B C− −
Bài 37. * Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có tr c tâm H(2;0), ph ng trình đng trung tuy n CM:ặ ẳ ự ươ ườ ế
3 7 8 0x y+ − =
, ph ng trình đng trung tr c c a BC: ươ ườ ự ủ
3 0x− =
. Tìm t a đ đnh A. Đs: ọ ộ ỉ
1
(2; ).
7
A
Bài 38. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có B(1;2) phân giác trong AK: ặ ẳ
2 1 0x y+ − =
. Kho ng cách t ả ừ
C đn AK b ng 2 l n kho ng cách t B đn AK . Tìm t a đ đnh A, C bi t C thu c tr c tung. Đs:ế ằ ầ ả ừ ế ọ ộ ỉ ế ộ ụ
14 43
( ; )
15 15
A−
Bài 39. Trong m t ph ng oxy cho ặ ẳ
ABC
∆
có A(2;1) . Đng cao qua đnh B có ph ng trình x- 3y - 7 = 0 ườ ỉ ươ
.Đng trung tuy n qua đnh C có ph ng trình : x + y +1 = 0 . Xác đnh t a đ B và C . Tính di n tíchườ ế ỉ ươ ị ọ ộ ệ
ABC
∆
. Đs:
( )
1 1 12
. , 10. 6
2 2 10
ABC
S AB h C AB= = =
Bài 40. Trong m t ph ng v i h t a đ ặ ẳ ớ ệ ọ ộ Oxy , cho tam giác ABC bi t ếA(5; 2). Ph ng trình đng trung tr c ươ ườ ự
c nh ạBC, đng trung tuy n ườ ế CC’ l n l t là ầ ượ x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm t a đ các đnh c a tam ọ ộ ỉ ủ
giác ABC
Đs:
( ) ( )
37;88 , 20; 31B C = − −
Bài 46. Cho tam giác ABC cân t i A, bi t ph ng trình đng th ng AB, BC l n l t là:ạ ế ươ ườ ẳ ầ ượ
x + 2y – 5 = 0 và 3x – y + 7 = 0. Vi t ph ng trình đng th ng AC, bi t r ng AC đi qua đi m F(1; - 3).ế ươ ườ ẳ ế ằ ể
Đs:
( )
: 8 23 0AC x y+ + =
;
( )
: 4 7 25 0AC x y+ + =
Bài 41. Cho tam giác ABC có trung đi m AB là I(1;3), trung đi m AC là J(-3;1). Đi m A thu c Oy , và đng ể ể ể ộ ườ
th ng BC đi qua g c t a đ O . Tìm t a đ đi m A , ph ng trình đng th ng BC và đng cao v t B ?ẳ ố ọ ộ ọ ộ ể ươ ườ ẳ ườ ẽ ừ
Đs: A(0;5). C(-6;-3) ,B(0;1).
( )
: 4 3 3 0BH x y− + =
Gv: Phan H u Thữ ế Page 4
CHUYÊN Đ HÌNH H C GI I TÍCH TRONG M T PH NGỀ Ọ Ả Ặ Ẳ
D NG 3: ĐNG TH NG VÀ T GIÁCẠ ƯỜ Ẳ Ứ
Bài 1.
Bài 2.
Đs:
(2;1), (5; 4), (7;2), (4; 1)A B C D −
Bài 3.
Đs:
2 10 0x y+ − =
Bài 4.
Đs:
: 2 5 0; : 2 5 0; : 2 5 0; : 2 5 0.AB x y AD x y CD x y BC x y− + = + − = − − = + + =
Bài 5.
Đs:
(4; 5); (6; 1); (2;1); (4; 5); (6; 1); (2;1);A D C C D A− − − −
Bài 6.
Đs:
(3;5); (2;1); ( 2; 0); ( 1; 4).A B C D− −
Bài 7.
Đs:
( 1;0); (0; 2)C D− −
ho c ặ
5 8 8 2
( ; ); ( ; )
3 3 3 3
C D
Bài 8.
Gv: Phan H u Thữ ế Page 5
