PH N I: ĐI SẦ Ạ Ố
CH Đ 1: Ủ Ề CĂN TH C – BI N ĐI CĂN TH CỨ Ế Ổ Ứ .
D ng 1: Tìm đi u ki n đ bi u th c có ch a căn th c có nghĩa.ạ ề ệ ể ể ứ ứ ứ
Bài 1: Tìm x đ các bi u th c sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ c a các bi u th c sau).ể ể ứ ủ ể ứ
D ng 2: Bi n đi đn gi n căn th c.ạ ế ổ ơ ả ứ
Bài 1: Đa m t th a s vào trong d u căn.ư ộ ừ ố ấ
Bài 2: Th c hi n phép tính.ự ệ
Bài 3: Th c hi n phép tính.ự ệ
Bài 4: Th c hi n phép tính.ự ệ
Bài 5: Rút g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
Bài 6: Rút g n bi u th c:ọ ể ứ
Bài 7: Rút g n bi u th c sau:ọ ể ứ
Bài 8: Tính giá tr c a bi u th cị ủ ể ứ
D ng 3: Bài toán t ng h p ki n th c và k năng tính toán.ạ ổ ợ ế ứ ỹ
Bài 1: Cho bi u th c ể ứ
a) Rút g n P.ọ
b) Tính giá tr c a P n u x = 4(2 - ).ị ủ ế
c) Tính giá tr nh nh t c a P.ị ỏ ấ ủ
Bài 2: Xét bi u th c ể ứ
a) Rút g n A.ọ
b) Bi t a > 1, hãy so sánh A v i .ế ớ
c) Tìm a đ A = 2.ể
d) Tìm giá tr nh nh t c a A.ị ỏ ấ ủ
Bài 3: Cho bi u th c ể ứ
a) Rút g n bi u th c C.ọ ể ứ
b) Tính giá tr c a C v i .ị ủ ớ
c) Tính giá tr c a x đ ị ủ ể
Bài 4: Cho bi u th c ể ứ
a) Rút g n M.ọ
b) Tính giá tr M n u ị ế
c) Tìm đi u ki n c a a, b đ M < 1.ề ệ ủ ể
Bài 5: Xét bi u th c ể ứ
1
a) Rút g n P.ọ
b) Ch ng minh r ng n u 0 < x < 1 thì P > 0.ứ ằ ế
c) Tìm giá tr l n nh t c a P.ị ơ ấ ủ
Bài 6: Xét bi u th c ể ứ
a) Rút g n Q.ọ
b) Tìm các giá tr c a x đ Q < 1.ị ủ ể
c) Tìm các giá tr nguyên c a x đ giá tr t ng ng c a Q cũng là s nguyên.ị ủ ể ị ươ ứ ủ ố
Bài 7: Xét bi u th c ể ứ
a) Rút g n H.ọ
b) Ch ng minh H ≥ 0.ứ
c) So sánh H v i .ớ
Bài 8: Xét bi u th c ể ứ
a) Rút g n A.ọ
b) Tìm các giá tr c a a sao cho A > 1.ị ủ
c) Tính các giá tr c a A n u .ị ủ ế
Bài 9: Xét bi u th c ể ứ
a) Rút g n M.ọ
b) Tìm các giá tr nguyên c a x đ giá tr t ng ng c a M cũng là s nguyên.ị ủ ể ị ươ ứ ủ ố
Bài 10: Xét bi u th c ể ứ
a) Rút g n P.ọ
b) Tìm các giá tr c a x sao cho ị ủ
c) So sánh P v i .ớ
Ch đ 2: PH NG TRÌNH B C HAI – ĐNH LÝ VI-ÉTủ ề ƯƠ Ậ Ị .
D ng 1: Gi i ph ng trình b c hai.ạ ả ươ ậ
Bài 1: Gi i các ph ng trìnhả ươ
1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ;
3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ;
5) x2 – 4x + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ;
7) x2 + 2x + 4 = 3(x + ) ; 8) 2x2 + x + 1 = (x + 1) ;
9) x2 – 2( - 1)x - 2 = 0.
Bài 2: Gi i các ph ng trình sau b ng cách nh m nghi m:ả ươ ằ ẩ ệ
1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ;
3) x2 – (1 + )x + = 0 ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + 1 + 3 = 0 ;
5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
7) ( + 1)x2 + 2x + - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ;
9) x2 – 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0.
D ng 2: Ch ng minh ph ng trình có nghi m, vô nghi m.ạ ứ ươ ệ ệ
Bài 1: Ch ng minh r ng các ph ng trình sau luôn có nghi m.ứ ằ ươ ệ
1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;
22
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ;
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ;
7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Bài 2:
a) Ch ng minh r ng v i a, b , c là các s th c thì ph ng trình sau luôn có nghi m:ứ ằ ớ ố ự ươ ệ
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
b) Ch ng minh r ng v i ba s th c a, b , c phân bi t thì ph ng trình sau có hai nghi m phânứ ằ ớ ố ứ ệ ươ ệ
bi t: ế
c) Ch ng minh r ng ph ng trình: cứ ằ ươ 2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = 0 vô nghi m v i a, b, c là đ dài baệ ớ ộ
c nh c a m t tam giác.ạ ủ ộ
d) Ch ng minh r ng ph ng trình b c hai: ứ ằ ươ ậ
(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghi m phân bi t.ệ ệ
Bài 3:
a) Ch ng minh r ng ít nh t m t trong các ph ng trình b c hai sau đây có nghi m:ứ ằ ấ ộ ươ ậ ệ
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (3)
b) Cho b n ph ng trình ( n x) sau:ố ươ ẩ
x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1)
x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2)
x2 - 4ax + b2 = 0 (3)
x2 + 4bx + a2 = 0 (4)
Ch ng minh r ng trong các ph ng trình trên có ít nh t 2 ph ng trình có nghi m.ứ ằ ươ ấ ươ ệ
c) Cho 3 ph ng trình ( n x sau):ươ ẩ
v i a, b, c là các s d ng cho tr c.ớ ố ươ ướ
Ch ng minh r ng trong các ph ng trình trên có ít nh t m t ph ng trình có nghi m.ứ ằ ươ ấ ộ ươ ệ
Bài 4:
a) Cho ph ng trình axươ 2 + bx + c = 0.
Bi t a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, ch ng minh r ng ph ng trình đã cho có hai nghi m.ế ứ ằ ươ ệ
b) Ch ng minh r ng ph ng trình axứ ằ ươ 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghi m n u m t trong hai đi uệ ế ộ ề
ki n sau đc tho mãn:ệ ượ ả
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
D ng 3: Tính giá tr c a bi u th c đi x ng, l p ph ng trình b c hai nh nghi m c a ạ ị ủ ể ứ ố ứ ậ ươ ậ ờ ệ ủ
ph ng trình b c hai cho tr c.ươ ậ ướ
Bài 1: G i xọ1 ; x2 là các nghi m c a ph ng trình: xệ ủ ươ 2 – 3x – 7 = 0.
Tính:
L p ph ng trình b c hai có các nghi m là .ậ ươ ậ ệ
Bài 2: G i xọ1 ; x2 là hai nghi m c a ph ng trình: 5xệ ủ ươ 2 – 3x – 1 = 0. Không gi i ph ng trình, tính giáả ươ
tr c a các bi u th c sau:ị ủ ể ứ
3
Bài 3:
a) G i p và q là nghi m c a ph ng trình b c hai: 3xọ ệ ủ ươ ậ 2 + 7x + 4 = 0. Không gi i ph ng trình hãyả ươ
thành l p ph ng trình b c hai v i h s b ng s mà các nghi m c a nó là .ậ ươ ậ ớ ệ ố ằ ố ệ ủ
b) L p ph ng trình b c hai có 2 nghi m là .ậ ươ ậ ệ
Bài 4: Cho ph ng trình xươ 2 – 2(m -1)x – m = 0.
a) Ch ng minh r ng ph ng trình luôn luôn có hai nghi m xứ ằ ươ ệ 1 ; x2 v i m i m.ớ ọ
b) V i m ≠ 0, l p ph ng trình n y tho mãn .ớ ậ ươ ẩ ả
Bài 5: Không gi i ph ng trình 3xả ươ 2 + 5x – 6 = 0. Hãy tính giá tr các bi u th c sau:ị ể ứ
Bài 6: Cho ph ng trình 2xươ 2 – 4x – 10 = 0 có hai nghi m xệ1 ; x2. Không gi i ph ng trình hãy thi t ả ươ ế
l p ph ng trình n y có hai nghi m yậ ươ ẩ ệ 1 ; y2 tho mãn: yả1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1
Bài 7: Cho ph ng trình 2xươ 2 – 3x – 1 = 0 có hai nghi m xệ1 ; x2. Hãy thi t l p ph ng trình n y có ế ậ ươ ẩ
hai nghi m yệ1 ; y2 tho mãn:ả
Bài 8: Cho ph ng trình xươ 2 + x – 1 = 0 có hai nghi m xệ1 ; x2. Hãy thi t l p ph ng trình n y có hai ế ậ ươ ẩ
nghi m yệ1 ; y2 tho mãn:ả
Bài 9: Cho ph ng trình 2xươ 2 + 4ax – a = 0 (a tham s , a ≠ 0) có hai nghi m xố ệ 1 ; x2. Hãy l p ph ng ậ ươ
trình n y có hai nghi m yẩ ệ 1 ; y2 tho mãn:ả
D ng 4: Tìm đi u ki n c a tham s đ ph ng trình có nghi m có nghi m kép,vô nghi m.ạ ề ệ ủ ố ể ươ ệ ệ ệ
Bài 1:
a) Cho ph ng trình (m – 1)xươ 2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( n x).ẩ
Xác đnh m đ ph ng trình có nghi m kép. Tính nghi m kép này.ị ể ươ ệ ệ
b) Cho ph ng trình (2m – 1)xươ 2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m đ ph ng trình có nghi m.ể ươ ệ
a) Cho ph ng trình: (m – 1)xươ 2 – 2mx + m – 4 = 0.
-Tìm đi u ki n c a m đ ph ng trình có nghi m.ề ệ ủ ể ươ ệ
-Tìm đi u ki n c a m đ ph ng trình có nghi m kép. Tính nghi m kép đó.ề ệ ủ ể ươ ệ ệ
b) Cho ph ng trình: (a – 3)xươ 2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0.
Tìm a đ ph ng trình có hai nghi m phân bi t.ể ươ ệ ệ
Bài 2:
a) Cho ph ng trình: . ươ
Xác đnh m đ ph ng trình có ít nh t m t nghi m.ị ể ươ ấ ộ ệ
b) Cho ph ng trình: (mươ 2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác đnh m đ ị ể
ph ng trình có ít nh t m t nghi m.ươ ấ ộ ệ
44
D ng 5: Xác đnh tham s đ các nghi m c a ph ng trình axạ ị ố ể ệ ủ ươ 2 + bx + c = 0 tho mãn đi uả ề
ki n cho tr c.ệ ướ
Bài 1: Cho ph ng trình: xươ 2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác đnh m đ ph ng trình có nghi m kép. Tìm nghi m kép đó.ị ể ươ ệ ệ
2) Xác đnh m đ ph ng trình có m t nghi m b ng 4. Tính nghi m còn l i.ị ể ươ ộ ệ ằ ệ ạ
3) V i đi u ki n nào c a m thì ph ng trình có hai nghi m cùng d u (trái d u)ớ ề ệ ủ ươ ệ ấ ấ
4) V i đi u ki n nào c a m thì ph ng trình có hai nghi m cùng d ng (cùng âm).ớ ề ệ ủ ươ ệ ươ
5) Đnh m đ ph ng trình có hai nghi m sao cho nghi m này g p đôi nghi m kia.ị ể ươ ệ ệ ấ ệ
6) Đnh m đ ph ng trình có hai nghi m xị ể ươ ệ 1 ; x2 tho mãn 2xả1 – x2 = - 2.
7) Đnh m đ ph ng trình có hai nghi m xị ể ươ ệ 1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nh n giá tr nh ậ ị ỏ
nh t.ấ
Bài 2: Đnh m đ ph ng trình có nghi m tho mãn h th c đã ch ra:ị ể ươ ệ ả ệ ứ ỉ
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x12 + x22) = 5x12x22
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0.
Bài 3: Đnh m đ ph ng trình có nghi m tho mãn h th c đã ch ra:ị ể ươ ệ ả ệ ứ ỉ
a) x2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x1 – 3x2 = 1
b) x2 – 4mx + 4m2 – m = 0 ; x1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – 4 = 0 ; 2x1 + x2 + 1 = 0
d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 ; x1 = x22
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = 0 ; x1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = 0 ; x12 + x2 = 6.
Bài 4:
a) Cho ph nmg trình: (m + 2)xươ 2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm đi u ki n c a m đ ph ng trìnhề ệ ủ ể ươ
có hai nghi m phân bi t xệ ệ 1 ; x2 sao cho nghi m này g p đôi nghi m kia.ệ ấ ệ
b) Ch ph ng trình b c hai: xư ươ ậ 2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m xể ươ ệ 1 ; x2
sao cho bi u th c đt giá tr l n nh t. Tìm giá tr l n nh t đó.ể ứ ạ ị ớ ấ ị ớ ấ
c) Đnh m đ hi u hai nghi m c a ph ng trình sau đây b ng 2.ị ể ệ ệ ủ ươ ằ
mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bài 5: Cho ph ng trình: axươ 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đ ph ng trình có hai nghi m mà nghi m này g p đôiứ ằ ề ệ ầ ủ ể ươ ệ ệ ấ
nghi m kia là 9ac = 2bệ2.
Bài 6: Cho ph ng trình b c hai: axươ ậ 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Ch ng minh r ng đi u ki n c n và đ đứ ằ ề ệ ầ ủ ể
ph ng trình có hai nghi m mà nghi m này g p k l n nghi m kia (k > 0) là :ươ ệ ệ ấ ầ ệ
kb2 = (k + 1)2.ac
D ng 6: So sánh nghi m c a ph ng trình b c hai v i m t s .ạ ệ ủ ươ ậ ớ ộ ố
Bài 1:
a) Cho ph ng trình xươ 2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0. Xác đnh m đ ph ng trình có hai nghi m xị ể ươ ệ 1
; x2 tho mãn 1 < xả1 < x2 < 6.
b) Cho ph ng trình 2xươ 2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác đnh m đ ph ng trình có hai nghi m ị ể ươ ệ
phân bi t xệ1 ; x2 tho mãn: - 1 < xả1 < x2 < 1.
5
