Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Hệ thức lượng trong tam giác

Chia sẻ: Hoàng Xuân Nguyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

823
lượt xem 497
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo sách 'chuyên đề ôn thi đại học môn toán - hệ thức lượng trong tam giác', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Hệ thức lượng trong tam giác

HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC Chuyeân ñeà 9: TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I. Caùc kyù hieäu: • A, B, C: laø caùc goùc ñænh A, B, C • a, b, c : laø ñoä daøi caùc caïnh ñoái dieän vôùi caùc ñænh A, B, C • ha, hb, hc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng cao haï töø caùc ñænh A, B, C • ma, mb, mc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng trung tuyeán keû töø A, B, C • la, lb, lc : laø ñoä daøi caùc ñöôøng phaân giaùc trong keû töø A, B, C • R : laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC • r : laø baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ABC 1 • p = (a+b+c) : laø nöõa chu vi tam giaùc ABC 2 • S : laø dieän tích tam giaùc ABC A c b ha la ma a M H D B C II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng : Trong tam giaùc vuoâng ABC . Goïi b', c' laø ñoä daøi caùc hình chieáu caùc caïnh goùc vuoâng leân caïnh huyeàn ta coù caùc heä thöùc: & c 2 = a.c ' 1. b 2 = a.b ' a2 = b2 + c2 2. h 2 = b ' .c ' 3. 1 1 1 = 2+ 2 4. 2 h b c ⎧b = a. sin B = a. cos C ⎧b = c.tgB = c. cot gC a.h = b.c ⎨ ⎨ 5. 6. 7. ⎩c = a. sin C = a. cos B ⎩c = b.tgC = b. cot gB 46
A c b h c' b' C H B a II. Caùc heä thöùc löôïng trong tam giaùc thöôøng 1. Ñònh lyù haøm soá COÂSIN: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù : a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C A b c C a B Ghi nhôù: Trong moät tam giaùc, bình phöông moãi caïnh baèng toång bình phöông hai caïnh kia tröø ñi hai laàn tích hai caïnh aáy vôùi coâsin cuûa goùc xen giöõa chuùng. Heä quaû: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù : b2 + c2 − a2 a2 + c2 − b2 a2 + b2 − c2 , cos B = , cos C = cos A = 2bc 2ac 2ab 2. Ñònh lyù haøm soá SIN: Trong tam giaùc ABC ta coù : a b c = = = 2R sin A sin B sin C Heä quaû: Vôùi moïi tam giaùc ABC, ta coù: a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C 47
A b c O C B a Ghi nhôù: Trong moät tam giaùc, tyû soá giöõa moät caïnh cuûa tam giaùc vaø sin cuûa goùc ñoái dieän vôùi caïnh ñoù baèng ñöôøng kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc. 3. Ñònh lyù veà ñöôøng trung tuyeán: Trong tam giaùc ABC ta coù : b2 + c2 a2 ma = − 2 2 4 a +c 2 2 b2 mb = − 2 2 4 a +b 2 2 c2 mc2 = − 2 4 A c b ma a M B C 4. Ñònh lyù veà dieän tích tam giaùc: Dieän tích tam giaùc ABC ñöôïc tính theo caùc coâng thöùc sau: 1 1 1 S= aha = bhb = chc 1. 2 2 2 1 1 1 S = ab sin A = ac sin B = bc sin A 2. 2 2 2 abc S= 3. 4R S = pr 4. S= p ( p − a )( p − b)( p − c) 5. 48
A b c ha H a C B 5. Ñònh lyù veà ñöôøng phaân giaùc: A B C 2bc. cos 2ac. cos 2ab cos 2 2 ;l = 2 ;l = la = b+c a+c a+b b c CAÙC DAÏNG TOAÙN CÔ BAÛN Daïng 1: CHÖÙNG MINH ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A=B ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông phaùp sau Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi veá naøy thaønh veá kia Phöông phaùp 2: Xuaát phaùt töø moät moät heä thöùc ñuùng ñaõ bieát ñeå suy ra ñaúng thöùc caàn chöùng minh VÍ DUÏ MINH HOÏA: Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau: A B C a) sin A + sin B + sin C = 4.cos .cos .cos 2 2 2 2 2 2 b) sin A + sin B + sin C = 2 + 2 cos A.cos B.cos C Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh caùc ñaúng thöùc sau: a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC ( Δ ABC khoâng vuoâng) AB BC CA b) tg .tg + tg .tg + tg .tg = 1 2 2 2 2 2 2 Daïng 2: CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC I. Baát ñaúng thöùc trong tam giaùc : Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì : • a > 0, b > 0, c > 0 • b−c < a < b+c c−a < b< c+a • a−b < c < a+b • a>b>c⇔ A> B >C • II. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn : 1. Baát ñaúng thöùc Cauchy: 49
a+b Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù : ≥ ab 2 Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b Toång quaùt : Cho n soá khoâng aâm a1,a2,...an ta coù : a1 + a2 + ... + an n ≥ a1 .a2 ...an n Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 =...= an 2 . Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski : Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù : (ax + by )2 ≤ (a 2 + b2 )( x 2 + y 2 ) Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay = bx Toång quaùt : Cho hai boä soá (a1 , a2 ,...an ) vaø (b1 , b2 ,..., bn ) ta coù : (a1b1 + a2 b2 + ... + an bn )2 ≤ (a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) a a1 a2 Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi = ... = n vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng 0 thì töû cuõng baèng = b1 b2 bn 3) Baát ñaúng thöùc cô baûn: 1 11 1 a) Cho hai soá döông x, y ta luoân coù: ≤(+) x+y 4 x y Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y b) Vôùi moïi soá thöïc x, y ta luoân coù: x 2 + y 2 ≥ 2 xy Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x = y III. Baát ñaúng thöùc JENSEN : 1) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) < 0 ∀x ∈ ( a; b) (f laø haøm loài) thì Vôùi moïi x1 , x 2 ,..., x n ∈ (a; b) ta coù: f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) x + x 2 + ...x n ≤ f( 1 ( n ≥ 2) ) n n Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x1 = x 2 = ... = x n 2) Neáu haøm soá y=f(x) coù ñaïo haøm caáp hai f''(x) > 0 ∀x ∈ ( a; b) (f laø haøm loõm) thì Vôùi moïi x1 , x 2 ,..., x n ∈ (a; b) ta coù: 50
f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) x + x 2 + ...x n ≥ f( 1 ( n ≥ 2) ) n n Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi x1 = x 2 = ... = x n Ñeå chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc A < B (>, ≤, ≥ ) ta coù theå thöïc hieän theo moät trong caùc phöông phaùp sau: Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán ñeán moät baát ñaúng thöùc hieån nhieân ñuùng Phöông phaùp 2: Söû duïng caùc baát ñaúng thöùc cô baûn ñaõ bieát (Coâ si, BCS,...) ñeå suy ra baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh VÍ DUÏ MINH HOÏA: A B C1 Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: sin . sin . sin ≤ 2 2 28 Ví duï 2: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: A B C 33 a) cos + cos + cos ≤ 2 2 2 2 33 b) sin A + sin B + sin C ≤ 2 A B C c) tg + tg + tg ≥ 3 2 2 2 Ví duï 3: Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng: C 33 A B a) cos . cos . cos ≤ 2 2 2 8 b) tgA + tgB + tgC ≥ 3 3 ABC 1 c) tg .tg .tg ≤ 2 2 2 33 Daïng 3: NHAÄN DAÏNG TAM GIAÙC KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 1: ⎧laø tam giaùc vuoâng ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎪ laø tam giaùc vuoâng caân ⎢ ⎥ ⎪ ⎡Cho tam giaùc ABC thoûa maõn ⎤ ⎢ΔABC⎪laø tam giaùc caân ⎥ ⇒ ⎨ ⎢ ⎥ ⎣ " Ñieàu kieän cho tröôùc" ⎢ ⎥ THÌ ⎦ ⎪laø tam giaùc ñeàu ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎪laø tam giaùc coù goùc ñaëc bieät....⎥ ⎩ ⎣ ⎦ KIEÅU ÑEÀ TOAÙN 2: ⎧laø tam giaùc vuoâng ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪laø tam giaùc vuoâng caân ⎢ ⎥ ⎡Cho tam giaùc ABC thoûa maõn ⎤ ⎢ΔABC⎪laø tam giaùc caân ⎥ ⇔ ⎨ ⎢ ⎥ ⎣ " Ñieàu kieän cho tröôùc" ⎢ ⎥ CAÀN VAØ ÑUÛ ⎦ ⎪laø tam giaùc ñeàu ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎪laø tam giaùc coù goùc ñaëc bieät....⎥ ⎩ ⎣ ⎦ 51
"Ñieàu kieän cho tröôùc" coù theå laø: • Ñaúng thöùc löôïng giaùc veà goùc • Ñaúng thöùc löôïng giaùc + ñoä daøi (caïnh, trung tuyeán, phaân giaùc,...) • Ñaúng thöùc ñoä daøi • Heä ñaúng thöùc 1) Nhaän daïng tam giaùc vuoâng Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc 2) Nhaän daïng tam giaùc caân Phöông phaùp: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc heä quaû ñeå bieán ñoåi "Ñieàu kieän cho tröôùc" ñeán moät ñaúng thöùc maø töø ñoù ta deå daøng keát luaän ñöôïc tính chaát cuûa tam giaùc 3) Nhaän daïng tam giaùc ñeàu Ngoaøi phöông phaùp ñaõ neâu treân ta coù theå giaûi quyeát baøi toaùn theo caùch sau Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc: Goàm 2 böôùc (aùp duïng khi "Ñieàu kieän cho tröôùc" coù daïng ñaúng thöùc A = B Böôùc 1: CM baát ñaúng thöùc A ≥ B hoaëc A ≤ B (1) Böôùc 2: Laäp luaän ñeå ñaúng thöùc ôû (1) xaõy ra maø khi ñaúng thöùc (1) xaûy ra thì tam giaùc ABC ñeàu VÍ DUÏ MINH HOÏA: sin A + cos B Ví duï 1: Tam giaùc ABC coù = tgA . Chöùng minh raèng Δ ABC vuoâng sin B + cos A Ví duï 2: Chöùng minh raèng neáu ΔABC thoûa maõn ñieàu kieän cos 2 A + cos 2 B + cos 2C + 1 = 0 thì tam giaùc ñoù laø tam giaùc vuoâng Ví duï 3: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc caân C sin A + sin B + sin C A C 1) tgA + tgB = 2.cot g 2) = cot g .cot g 2 sin A + sin B − sin C 2 2 Ví duï 4: Chöùng minh raèng neáu tam giaùc ABC thoaû maõn moät trong caùc ñieàu kieän sau laø tam giaùc ñeàu A B C cos cos cos 1 2+ 2+ 2=3 1) cos A.cos B.cos C = 2) 1 + cos A 1 + cos B 1 + cos C 8 A B C 1 1 1 1 1 1 3) cos A + cos B + cos C = sin + sin + sin 4) + + = + + cos A cos B cos C sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 Ví duï 5: Xaùc ñònh daïng cuûa tam giaùc ABC bieát: C 1) a + b = tg (a.tgA + b.tgB) 2 b c a 2) + = cos B cos C sin B.sin C b+c 3) cos B + cos C = a a.cos A + b.cos B + c.cos C 1 4) = a+b+c 2 Ví duï 6: Haõy tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC neáu trong tam giaùc ñoù ta coù : 9 sin2 A + sin 2 B + sin 2 C = + 3 cos C + cos2 C 4 52
Ví duï 7: Tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC bieát raèng ⎧4 p( p − a) ≤ bc ⎪ ⎨A C 2 3 −3 B ⎪sin sin sin = ⎩2 2 2 8 a+b+c trong ñoù BC = a, AB = c, p = 2 --------------------------------Heát--------------------------- 53