
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ
PHÉP CHIA HẾT, PHÉP CHIA CÓ DƯ
Thanh Hóa, tháng 9 năm 2019
Website:tailieumontoan.com
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
1
CHUYÊN ĐỀ: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ
BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH THỪA SỐ ĐỂ CHỨNG MINH CÁC
BÀI TOÁN CHIA HẾT
A. LÝ THUYẾT
1. Phép chia hết
Với a, b là số TN và b khác 0. Ta nói a chia hết b nếu tồn tại số TN q sao cho a = b.q
2. Tính chất chung
a ⋮ b và b ⋮ c thì a ⋮ c
a ⋮ a với mọi a khác 0
0 ⋮ b với mọi b khác 0
Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
3. Tính chất chia hết của tổng , hiệu
- Nếu a, b cùng chia hết cho m thì a + b chia hết cho m và a - b chia hết cho m
- Tổng của 2 số chia hết cho m và 1 trong 2 số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết
cho m
- Nếu 1 trong 2 số a, b chia hết cho m số kia không chia hết cho m thì tổng , hiệu của chúng
không chia hết cho m
4. Tính chất chia hết của 1 tích
- Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m
- Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
- Nếu a chia hết cho b thì: an ⋮ bn
*) Chú ý
+)
( ) 2
nn
a b a b n
+)
()
nn
a b a b n
chẵn
B. BÀI TẬP
Bài 1: Chứng minh rằng
a. A= 2727 + 377 chia hết cho 82 b. B =
( 0) 7,11,13abcabc a
Lời giải:
a. A=
3 27 77 81 77 77 4 77
(3 ) 3 3 3 3 (3 1) 82.3 82
b.
000 1000. 1001. 7.11.13. ( )abcabc abc abc abc abc abc abc dpcm
Bài 2: Chứng minh rằng
a.
b.
67
10 5 59
c.
7 9 13
81 27 9 45

d.
9 8 7
10 10 10 555 222va

e.
22
3 2 3 2 10
n n n n
f.
5 15
16 2 33
Website:tailieumontoan.com
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
2
Lời giải:
a.
5 4 3 3 2 3
5 5 5 5 (5 5 1) 5 .21 7
b.
6 7 6 7 6 6 6
10 5 (2.5) 5 5 (2 5) 59.5 59
c.
7 9 13 28 27 26 26 2 26 2
81 27 9 3 3 3 3 (3 3 1) 5.3 5.3
d.
9 8 7 7 2 7 7 6 7 7 6
10 10 10 10 (10 10 1) 111.10 111.(2.5) 222.2 .5 222( 555.2 .5 555)
e.
2 2 2 2
10 10
3 2 3 2 3 (3 1) 2 (2 1) 10.3 5.2
n n n n n n n n
f.
5 15 20 15 15 5 15
16 2 2 2 2 (2 1) 33.2 33
Bài 3: Cho A =
2 3 99
1 2 2 2 ... 2
hoặc = 2100 – 1. Chứng minh rằng: A chia hết cho 3,
15, 31
Lời giải:
A có 100 số hạng
a. A=
2 3 98 99 2 98 2 4 98
(1 2) (2 2 ) ... (2 2 ) 3 2 (1 2) ... 2 (1 2) 3.(1 2 2 ... 2 ) 3
b. A =
2 3 4 5 6 7 96 99 4 96
(1 2 2 2 ) (2 2 2 2 ) ...(2 ... 2 ) 15(1 2 ... 2 ) 15
Bài 4: Cho
2 3 118 119
1 3 3 3 ... 3 3 . : 13M CMR M
Lời giải:
Ta có:
2 3 4 5 117 118 119 2 3 2 117 2
3 117 3 117
(1 3 3 ) (3 3 3 ) ... (3 3 3 ) (1 3 3 ) 3 (1 3 3 ) ... 3 (1 3 3 )
13 3 .13 ... 13.3 13.(1 3 ... 3 ) 13
M
Bài 5: a. Chứng minh rằng: Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 còn tổng của 4
số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4
b. Tổng của 5 số chẵn liên tiếp chia hết cho 10 , tổng của 5 số lẻ liên tiếp chia 10 dư 5
Lời giải:
a.
1 2 (3 3) 3
4 6 / 4
n n n n n N
n n N
b.
2 2 2 2 4 2 6 2 8 10 20 10k k k k k k k N
Bài 6 : Cho S =
2 4 998 1000
3 3 ...3 3
Website:tailieumontoan.com
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3
a. Tính S b. Chứng minh rằng : S chia cho 7
dư 6
Lời giải:
a. S=
2 4 998 1000
3 3 ...3 3 (100 )sohang
1002 2
2 4 6 998 1000 1002 2 1002 2
2
33
3 . 3 3 ...3 3 3 (3 1). 3 3 31
S S S
b. Nhóm 3 hạng tử với nhau vậy dư 2 hạng tử
S=
2 4 6 8 10 96 98 100
90 7 6 7 7
(3 3 ) (3 3 3 ) ... (3 3 3 )
du
c. A =
2 3 4 95 99 5 9 95
(1 2 2 2 2 ) ... (2 ..... 22 ) 31(1 2 2 ... 2 ) 31
Bài 7: Cho B =
2 3 100
3 3 3 ... 3
( có 100 số hạng )
a. Chứng minh rằng B chia hết cho 120 b. Tìm số dư khi chi B cho 82.
Lời giải:
a. B =
2 3 4 97 98 99 100
120 120
(3 3 3 3 ) ... (3 3 3 3 )
b. Nhận xét: 30 + 34 = 82
Tổng hai lũy thừa cách nhau 4 số hạng chia hết cho 82
Ta nhóm 8 số hạng một nhóm dư 4 số hạng
Lời Giải:
B =
2 3 4 5 12 93 100
(3 3 3 3 ) (3 ...3 ) ... (3 ... 3 )
Ta đi chứng minh:
17
3 3 ... 3 82
k k k
Thật vậy:
4 1 5 3 2 7 1 2 3 4
(3 3 ) (3 3 ) (3 3 ) (3 3 3 3 )(1 3 ) 82( )
k k k k k k k k k k dung
Vậy số dưu khi chia B cho 82 là số dư của 4 hạng tử còn lại là:
234
3 3 3 3
cho 82.
Kết luận: số dư là 38
Bài 8 : Chứng minh rằng :
a. Nếu
ab cd eg
chia hết cho 11 thì
degabc
cũng chia hết cho 11, điều ngược lại có
đúng không?
b. Nếu
deg 7abc
thì
degabc
cũng chia hết cho 7
Lời giải:
Ta có:
11
11 11
deg 10000. 100. 9999. 99. deg 11abc ab cd eg ab cd ab cd eg abc
Website:tailieumontoan.com
Sưu tầm
TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4
Điều ngược lại cũng đúng
b.
77
deg 1000 deg 1001 deg 1001 ( deg) deg 7abc abc abc abc abc abc abc
Điều ngược lại cũng đúng.
Bài 9: Cho n là STN khác 0, CMR:
3 3 3
( 1) ( 2) 9n n n
Lời giải:
9
2
9
3
3 ( 1)( 1) 9 18 9( )A n n n n n dpcm
Bài 10 : Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho khi viết tiếp số đó vào 2015 ta được một
số chia hết cho 113
Lời giải:
Giả sử n có k chữ số
Theo bài ra ta có :
2015 113n
Có :
0
2015 2015. 10 (17.13 94).10 2015 13 94.10 113(1)
k k k
kchuso
n n n n n
+) Nếu k = 1
(1) 94.10 113 8.113 36 113 36 113n n n
Mà 0 < n ≤ 9
36 /113( ai)n lo
+) Nếu k = 2
2
(1) 94.10 113 8.113 21 113 21 113n n n
Mà 10 ≤ n ≤ 99
21 113 92nn
Vậy n = 92.
Bài 11: Cho C =
2 3 11
1 3 3 3 ... 3 , :CMR
a. C chia hết cho 13 b. C chia hết cho 40
Lời giải:
a.
2 3 4 5 9 10 11 3 9
(1 3 3 ) (3 3 3 ) ... (3 3 3 ) 13(1 3 ... 3 ) 13C
b. Nhóm 4 số hạng = 40 ( 1 + 34 + 38 ) chia hết cho 40 ( đpcm)
Bài 12: Chứng minh rằng, nếu:
37abc
thì
;bca cab
đều chia hết cho 37
Lời giải:
A =
2 3 2 2
( .10 .10 ) 37 10 ( .10 .10 10. ) 37 10 1000 10 10.abc a b c A a b c A a b c