Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 4, 5 (Có lời giải)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 4, 5 (Có lời giải)" trình bày các bài toán về số và chữ số; bốn phép tính với số tự nhiên, phân số và số thập phân; tính giá trị của biểu thức; dãy số; dấu hiệu chia hết; các bài toán dùng chữ thay số; phân số, tỉ số phần trăm; so sánh phân số...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 4, 5 (Có lời giải)

PHÇN I: c¸C BµI TO¸N VÒ Sè Vµ CH÷ Sè phÇn i: sè Vµ CH÷ Sè Tạ Văn Khôi I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí 1. Dïng 10 ch÷ sè ®Ó viÕt sè lµ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9. 2. Cã 10 sè cã 1 ch÷ sè: (Tõ sè 0 ®Õn sè 9) Cã 90 sè cã 2 ch÷ sè: (tõ sè 10 ®Õn sè 99) Cã 900 sè cã 3 ch÷ sè: (tõ sè 100 ®Õn 999) … 3. Sè tù nhiªn nhá nhÊt lµ sè 0. Kh«ng cã sè tù nhiªn lín nhÊt. 4. Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp h¬n (kÐm) nhau 1 ®¬n vÞ. 5. C¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0, 2, 4, 6, 8 gäi lµ sè ch½n. Hai sè ch½n liªn tiÕp h¬n (kÐm) nhau 2 ®¬n vÞ. 6. C¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1, 3, 5, 7, 9 gäi lµ sè lÎ. Hai sè lÎ liªn tiÕp h¬n (kÐm) nhau 2 ®¬n vÞ. II. Bµi tËp Bµi 1: Cho 4 ch÷ sè 2, 3, 4, 6. a) Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn? §ã lµ nh÷ng sè nµo? b) Cã bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn? H·y viÕt tÊt c¶ c¸c sè ®ã? Bµi gi¶i LËp b¶ng sau ta ®-îc: Hµng Hµng chôc Hµng ®¬n vÞ ViÕt ®-îc sè tr¨m 2 3 4 234 2 3 6 236 2 4 3 243 2 4 6 246 2 6 3 263 2 6 4 264 NhËn xÐt: Mçi ch÷ sè tõ 4 ch÷ sè trªn ë vÞ trÝ hµng tr¨m ta lËp ®-îc 6 sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau. Vëy cã tÊt c¶ c¸c sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau lµ: 6 x 4 = 24 (sè). T-¬ng tù phÇn (a) ta lËp ®-îc: 4 x 6 = 24 ( sè) C¸c sè ®ã lµ: 2346; 2364; 2436; 2463; 2643; 2634; 3246; 3264; 3426; 3462; 3624; 3642; 4236; 4263; 4326; 4362; 4623; 4632; 6243;6234; 6432; 6423. Bµi 2: Cho 4 ch÷ sè 0, 3, 6, 9. a) Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn? b) T×m sè lín nhÊt vµ sè bÐ nhÊt cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®-îc viÕt tõ 4 ch÷ sè trªn? Bµi gi¶i a, Chän ch÷ sè hµng tr¨m cã ba c¸ch: ( kh«ng chän sè 0) Chän ch÷ sè hµng chôc cã ba c¸ch : Chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cã hai c¸ch: Sè c¸c sè cã ba ch÷ sè lµ:3  3  2  18 (sè) b, Sè lín nhÊt lµ: 9630; sè bÐ nhÊt lµ: 3069 Bµi 3: a) H·y viÕt tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè mµ tæng c¸c ch÷ sè cña nã b»ng 3? Bµi gi¶i V× 3 = 3+0+0 ta cã c¸c sè :300;120;102;210;201;111 = 1+2+0 =2+1+0 =1+1+1 1
Bµi 4: Cho sè 1960. Sè nµy sÏ thay ®æi nh- thÕ nµo? H·y gi¶i thÝch? a) Xo¸ bá ch÷ sè 0. b) ViÕt thªm ch÷ sè 1 vµo sau sè ®ã. c) §æi chç hai ch÷ sè 9 vµ 6 cho nhau. Bµi gi¶i a, Xãa bá ch÷ sè 0 sè ®ã gi¶m 10 lÇn; b, ViÕt thªm ch÷ sè 1 vµo bªn ph¶i sè ®ã sè ®ã gÊp lªn 10 lÇn vµ 1 ®¬n vÞ; c,Khi ®æi ch÷ sè 9 vµ sè 6 cho nhau ta cã : 1960 - 1690 = 270 (®¬n vÞ) Bµi 5: Hái cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè mµ mçi sè cã: a) 1 ch÷ sè 5 b) 1 ch÷ sè 6. Bµi gi¶i a, Chän ch÷ sè 5 ë hµng tr¨m: Cã 1 c¸ch chän : chän 5 ( L-u ý v× bµi to¸n kh«ng yªu cÇu c¸c ch÷ sè kh¸c nhau) -Chän ch÷ s« hµng chôc cã 9 c¸ch:( chän 0;1;2;3;4;6;7;8;9) - Chän Ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cã 9 cÊch : ( chän 0;1;2;3;4;6;7;8;9) Ta cã : 1  9  9  81 (sè) b, Chän ch÷ sè 5 ë hµng chôc 1 c¸ch : ( chän 5) - Chän ch÷ sè hµng tr¨m cã 8 c¸ch: - Chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ 9 c¸ch: Ta cã : 1  8  9  72 (sè) c, Chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 5 cã 1 c¸ch.T-¬ng tù ta cã : 1  8  9  72 (sè) Tæng c¸c sè lËp ®-îc lµ: 81+72+72= 225 (sè) §¸p sè: 225 sè. Bµi 6: Cho ba ch÷ sè: a, b, c kh¸c ch÷ sè 0 vµ a > b; b > c. a) Víi ba ch÷ sè ®ã, cã thÓ lËp ®-îc bao nhiªu sè cã ba ch÷ sè? (trong c¸c sè, kh«ng cã ch÷ sè nµo lÆp l¹i hai lÇn) b) TÝnh nhanh tæng cña c¸c sè võa viÕt ®-îc, nÕu tæng cña ba ch÷ sè a, b, c lµ 18. c) NÕu tæng cña c¸c sè cã ba ch÷ sè võa lËp ®-îc ë trªn lµ 3330, hiÖu cña sè lín nhÊt vµ sè bÐ nhÊt trong c¸c sè ®ã lµ 594 th× ba ch÷ sè a, b, c lµ bao nhiªu? Bµi gi¶i a) 6 sè b) 222  (a  b  c) =222  18=3996 c) Theo kÕt qu¶ ý b) ta cã: 222  (a  b  c) =3330 Hay a+b+c =3330:222=15 abc MÆt kh¸c : abc > cba nªn abc - cba =595 . §Æt cét däc ta cã : - V× cb>c. NÕu a=7 th× c=1 khi ®ã b=15-7-1=7 lo¹i PhÇn hai Bèn phÐp tÝnh víi sè tù nhiªn, ph©n sè vµ sè thËp ph©n A. PhÐp céng I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí 1. a + b = b + a 2. (a + b) + c = a + (b + c) 3. 0 + a = a + 0 = a 4. (a - n) + (b + n) = a + b 5. (a - n) + (b - n) = a + b - n x 2 6. (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2 2
7. NÕu mét sè h¹ng ®-îc gÊp lªn n lÇn, ®ång thêi c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®-îc gi÷ nguyªn th× tæng ®ã ®-îc t¨ng lªn mét sè ®óng b»ng (n - 1) lÇn sè h¹ng ®-îc gÊp lªn ®ã. 8. NÕu mét sè h¹ng bÞ gi¶m ®i n lÇn, ®ång thêi c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®-îc gi÷ nguyªn 1 th× tæng ®ã bÞ gi¶m ®i mét sè ®óng b»ng (1 - ) sè h¹ng bÞ gi¶m ®i ®ã. n 9. Trong mét tæng cã sè l-îng c¸c sè h¹ng lÎ lµ lÎ th× tæng ®ã lµ mét sè lÎ. 10. Trong mét tæng cã sè l-îng c¸c sè h¹ng lÎ lµ ch½n th× tæng ®ã lµ mét sè ch½n. 11. Tæng cña c¸c sè ch½n lµ mét sè ch½n. 12. Tæng cña mét sè lÎ vµ mét sè ch½n lµ mét sè lÎ. 13. Tæng cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ mét sè lÎ. II. Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh: a) 4823 + 1560 + 5177 + 8440) b) 10556 + 8074 + 9444 + 926 + 1000 c) 576 + 789 + 467 + 111 Bµi gi¶i: (4823 + 5177) + ( 1560 + 8440) = 10.000 + 10.000 = 20.0000 (10556 + 94444) + ( 8074 + 926) + 1000 = 19500 + 9000 + 1000 = 29500 576 + 467 + 789 +111 = 1043 + 900 = 1943 Bµi 2: TÝnh nhanh: 5 7 19 6 9 9 1 20 300 4000 a)      d)    7 13 13 5 7 5 10 100 1000 10000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b)          11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1 2 3 4 5 17 18 19 20 c)      ...     21 21 21 21 21 21 21 21 21 Bµi gi¶i: 5 7 19 6 9 9 a)      7 13 13 5 7 5 5 9 7 19 6 9       7 7 13 13 5 5 14 26 15    7 13 5  223 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b)          11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 (1  10)  (2  9)  (3  8)  (4  7)  (5  6)  11 11  11  11  11  11  11 11x5 55   5 11 11 3
1 2 3 4 5 17 18 19 20 c)      ...     21 21 21 21 21 21 21 21 21 (1  20)  (2  19)  ...  (10  11)  21 21x10 210    10 21 21 Bµi 3: T×m hai sè cã tæng b»ng 1149, biÕt r»ng nÕu gi÷ nguyªn sè lín vµ gÊp sè bÐ lªn 3 lÇn th× ta ®-îc tæng míi b»ng 2061. Bµi gi¶i Khi gÊp sè bÐ lªn ba lÇn th× tæng sÏ t¨ng:3-1 = 2 ( lÇn sè bÐ) Hai lÇn sè bÐ øng víi: 2061- 1149 =912 Sè bÐ lµ : 912 : 2 = 456 Sè lín lµ : 1149 – 456 = 693 §¸p sè : 693; 456 Bµi 4: Khi céng mét sè thËp ph©n víi mét sè tù nhiªn, mét b¹n ®· quªn mÊt dÊu phÈy ë sè thËp ph©n vµ ®Æt tÝnh nh- céng hai sè tù nhiªn víi nhau nªn ®· ®-îc tæng lµ 807. Em h·y t×m sè tù nhiªn vµ sè thËp ®ã? BiÕt tæng ®óng cña chóng lµ 241,71. Bµi gi¶i Nh×n vµo tæng ®óng sè thËp ph©n cã hai ch÷ sè phÇn thËp ph©n, khi viÕt nhÇm nh- vËy sè thËp ph©n ®· t¨ng lªn 100 lÇn. VËy tæng t¨ng lªn 100 -1 = 99 (lÇn sè thËp ph©n) 99 lÇn sè thËp ph©n øng víi : 807 – 241,71 = 565,29 Sè thø hai lµ : 565,29 : 99 = 5,71 Sè lín lµ : 241,71 – 5,71 = 236 §¸p sè :236; 5,71 Bµi 5 : Cho sè cã hai ch÷ sè. NÕu viÕt sè ®ã theo thø tù ng-îc l¹i ta ®-îc sè míi bÐ h¬n sè ph¶i t×m. BiÕt tæng cña sè ®ã víi sè míi lµ 143. Bµi gi¶i V× a+b =13 Mµ b 1). 4. NÕu sè bÞ trõ gi÷ nguyªn, sè trõ ®-îc gÊp lªn n lÇn th× hiÖu bÞ gi¶m ®i (n - 1) lÇn sè trõ. (n > 1) 5. NÕu sè bÞ trõ ®-îc t¨ng thªm n ®¬n vÞ, sè trõ gi÷ nguyªn th× hiÖu t¨ng lªn n ®¬n vÞ. 6. NÕu sè bÞ trõ gi¶m ®i n ®¬n vÞ, sè trõ gi÷ nguyªn th× hiÖu gi¶m ®i n ®¬n vÞ. II. Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh: 4
a) 32 - 13 - 17 c) 45 - 12 - 5 – 23 b) 1732 - 513 - 732 d) 2834 - 150 – 834 Bµi gi¶i a, 32 – 13 -17 = 32 – (13+17 ) = 2 b, 1732 – 513 -732 = 1732 -732 - 513 = 1000 -513 = 487 c, 45 -12 -5 -23= 45 – 5-( 12+23 ) = 40 - 30 = 10 Bµi 2: TÝnh nhanh: 34 19 3 19 9 7 11 4 11 16 a)   =1   c)   =1 +  31 28 31 28 28 3 5 3 5 5 18 55 5 b)   =1 +  55 101  27 4   2 5  d)        =0 13 46 13 46 46  25 9   25 9  Bµi 3: TÝnh nhanh Bµi gi¶i a,46,55 - (20,33+25,67 )=0,55 b, 20- (0,5+5,5) –( 1,5+4,5) - (2,5+3,5) = 20 – 6 - 6 – 6 = 2 Bµi 4: HiÖu hai sè lµ 3,8. NÕu gÊp sè trõ lªn hai lÇn th× ®-îc sè míi h¬n sè bÞ trõ lµ 4,9. T×m hai sè ®· cho. (VÏ s¬ ®å ®Ó gi¶i) Bµi gi¶i C¸ch gi¶i kh«ng vÏ s¬ ®å Gäi sè trõ lµ ¢, th× s« bÞ trõ lµ A+3,8. Theo bµi ra ta cã : A  2  ( A  3,8)  4,9 Hay : A – 3,8 = 4,9 A = 4,9 +3,8 = 8,7 Sè bÞ trõ lµ : 8,7+3,8 =12,5 §¸p sè : 12,5; 8,7 Bµi 5: Mét m¶nh v-ên h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi h¬n chiÒu réng 6,8m. NÕu ta bít mçi chiÒu ®i 0,2m th× chu vi míi gÊp 6 lÇn chiÒu réng míi. TÝnh diÖn tÝch m¶nh v-ên ban ®Çu. Bµi gi¶i Khi bít mçi chiÒu ®i 0,2 m th× nöa chu vi gÊp chiÒu réng sè lÇn lµ: 6: 2 = 3 (lÇn chiÒu réng) Coi nöa chu vi lµ ba phÇn th× chiÒu réng lµ 1 phÇn nh- thÕ .V©y chiÒu dµi sÏ øng víi: 3 – 1 = 2 (phÇn) MÆt kh¸c khi cïng bít ®i ë chiÒu dµi vµ chiÒu réng cïng 1 sè th× hiÖu gi÷a chiÒu réng vµ chiÒu dµi kh«ng ®æi.Nªn 1 phÇn lóc sau (hay chiÒu réng lóc sau ) øng víi : 6,8  1  6,8(m) ChiÒu dµi lóc ®Çu lµ : 6,8  2  0,2  13,8(m) ChiÒu réng lóc ®Çu lµ: 6,8 +0,2 =7 ( m) DiÖn tÝch m¶nh v-ên lµ : 13,8  7 = 96,6 (m2) 2 §¸p sè : 96,6 (m ) Bµi 6: Thay c¸c ch÷ a, b, c b»ng c¸c ch÷ sè thÝch hîp trong mçi phÐp tÝnh sau: (mçi ch÷ kh¸c nhau ®-îc thay bëi mçi ch÷ sè kh¸c nhau) BiÕt a + b = 11. 5
Bµi gi¶i a,XÐt ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ab – c = 0 nªn suy ra hµng phÇn m-êi b – c = a cã nhí vµ nhí nhiÒu nhÊt lµ 1. ab – (c+1) = 0 Suy ra c = 9 . tõ ®ã suy ra ab= 10=> a= 1; b= 0 b, V× a+b =11 nªn b,a +a,b =12,1 MÆt kh¸c b,a – a,b =2,7 (ý b) Suy ra b,a > a,b §-a vÒ bµi to¸n tæng hiÖu ta cã b,a lµ: (12,1+2,7 ) : 2 = 7,4 a,b lµ : 7,4 -2,7 =4,7 Tõ ®Êy suy ra a= 4 ; b= 7 §¸p sè a, a= 1; b=0; c=9 B, a= 4; b= 7 C.PhÐp nh©n I. KiÕn thøc cÇn nhí 1. a x b = b x a 2. a x (b x c) = (a x b) x c 3. a x 0 = 0 x a = 0 4. a x 1 = 1 x a = a 5. a x (b + c) = a x b + a x c 6. a x (b - c) = a x b - a x c 7. Trong mét tÝch nÕu mét thõa sè ®-îc gÊp lªn n lÇn ®ång thêi cã mét thõa sè kh¸c bÞ gi¶m ®i n lÇn th× tÝch kh«ng thay ®æi. 8. Trong mét tÝch cã mét thõa sè ®-îc gÊp lªn n lÇn, c¸c thõa sè cßn l¹i gi÷ nguyªn th× tÝch ®-îc gÊp lªn n lÇn vµ ng-îc l¹i nÕu trong mét tÝch cã mét thõa sè bÞ gi¶m ®i n lÇn, c¸c thõa sè cßn l¹i gi÷ nguyªn th× tÝch còng bÞ gi¶m ®i n lÇn. (n > 0) 9. Trong mét tÝch, nÕu mét thõa sè ®-îc gÊp lªn n lÇn, ®ång thêi mét thõa sè ®-îc gÊp lªn m lÇn th× tÝch ®-îc gÊp lªn (m x n) lÇn. Ng-îc l¹i nÕu trong mét tÝch mét thõa sè bÞ gi¶m ®i m lÇn, mét thõa sè bÞ gi¶m ®i n lÇn th× tÝch bÞ gi¶m ®i (m x n) lÇn. (m vµ n kh¸c 0) 10. Trong mét tÝch, nÕu mét thõa sè ®-îc t¨ng thªm a ®¬n vÞ, c¸c thõa sè cßn l¹i gi÷ nguyªn th× tÝch ®-îc t¨ng thªm a lÇn tÝch c¸c thõa sè cßn l¹i. 11. Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè ch½n th× tÝch ®ã ch½n. 12. Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè trßn chôc hoÆc Ýt nhÊt mét thõa sè cã tËn cïng lµ 5 vµ cã Ýt nhÊt mét thõa sè ch½n th× tÝch cã tËn cïng lµ 0. 13. Trong mét tÝch c¸c thõa sè ®Òu lÎ vµ cã Ýt nhÊt mét thõa sè cã tËn cïng lµ 5 th× tÝch cã tËn cïng lµ 5. II. Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh: a. 8 x 4 x 125 x 25 d. 500 x 3,26 x 0,02 b. 2 x 178 x 5 e. 0,5 x 0,25 x 0,2 x 4 c. 2,5 x 16,27 x 4 g. 2,7 x 2,5 x 400 Bµi gi¶i a,8 (125)  (4  25)  1000 100  100000 d, 500  0,02  3,26  32,6 b,2  5 178  1780 e,0,5  0,2  0,25  4  c,2,5  4 16,27  16,27 Bµi 2: TÝnh nhanh: 4 5 3 5 5 1 4 3 a) x  x b) x  x 7 6 7 6 9 4 9 12 7 8 7 3 2006 3 3 1 c) x  x d) x  x 9 5 9 5 2005 4 4 2005 Bµi gi¶i 5 4 3 5 1 5 4 1 a,  (  )  , b, (  )  6 7 7 6 4 9 9 4 6
7 8 3 7 c,  (  )  d, 1 9 5 5 9 Bµi 3: TÝnh b»ng c¸ch thuËn tiÖn nhÊt: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a) x x x x b) x x x x x x x x 2 3 4 5 6 10 9 8 7 6 5 4 3 2 Bµi gi¶i 1 1 a, b, 6 10 Bµi 4: TÝnh nhanh: a) (81,6 x 27,3 - 17,3 x 81,6) x (32 x 11 - 3200 x 0,1 - 32) b) (13,75 - 0.48 x 5) x (42,75 : 3 + 2,9) x (1,8 x 5 - 0,9 x 10) c) (792,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x (109 - 900 x 0,1 - 9) Bµi gi¶i 1 a,81,26  (27,3  17,3)  (32  11  32  100   32) 10 = 81,26 10  (32  (11  10  1)  0 Bµi 5: T×m 2 sè cã tÝch b»ng 5292, biÕt r»ng nÕu gi÷ nguyªn thõa sè thø nhÊt vµ t¨ng thõa sè thø hai thªm 6 ®¬n vÞ th× ®-îc tÝch míi b»ng 6048. Bµi gi¶i S¸u lÇn thõa sè thø nhÊt lµ:6048 -5292=756 Thõa sè thø nhÊt lµ: 756 : 6 =126 Thõa sè thø hai lµ:5292 :126 =42 Bµi 6: Mét h×nh ch÷ nhËt nÕu gi¶m chiÒu dµi ®i 25% chiÒu dµi th× chiÒu réng ph¶i thay ®æi nh- thÕ nµo ®Ó diÖn tÝch cña h×nh kh«ng thay ®æi? Bµi gi¶i 1 1 Ta ®æi 25% = .NÕu chiÒu dµi bít ®i tøc lµ chiÒu dµi chia cho 4 .®Ó diÖn tÝch 4 4 kh«ng ®æi th× chiÒu réng ph¶i gÊp lªn 4 lÇn. Th©t vËy ta cã: 1 S = a  b S =a   b  4  a  b .Bµi to¸n chøng minh xong. 4 1 Bµi 7: T×m 2 sè, biÕt tæng gÊp 5 lÇn hiÖu vµ b»ng tÝch cña chóng.(50 ®Ò NguyÔn 6 ¸ng) Bµi gi¶i BiÓuthÞ HiÖu lµ 1 phÇn , th× tæng sÏ lµ 5 phÇn b»ng nhau nh- thÕ. Nh- vËy th× tÝch sÏ øng víi 6 phÇn .§-a vÒ bµi to¸n tæng hiÖu ta cã: Sè lín øng víi sè phÇn lµ:(5+1): 2 = 3 ( phÇn) Do vËy, Sè bÐ øng víi:3 - 1 = 2 ( phÇn) Nh- thÕ ,tÝch sÏ b»ng 3 lÇn sè bÐ .Mµ tÝch b»ng sè lín nh©n víi sè bÐ. Nªn sè lín b»ng : 6: 2 = 3. Sè bÐ lµ : 6: 3= 2 . Thö l¹i ta cã :Tæng : 3+ 2= 5 HiÖu: 3-2= 1 TÝch :3  2  6 Râ rµng tæng gÊp 5 lÇn hiÖu vµ b»ng nöa tÝch: (1  5  5; 6 :1 = 6) Bµi 8: T×m 2 sè, biÕt tæng gÊp 3 lÇn hiÖu vµ b»ng nöa tÝch cña chóng.(50 ®Ò ,®Ò sè 3 ) Bµi gi¶i BiÓuthÞ HiÖu lµ 1 phÇn , th× tæng sÏ lµ 3 phÇn b»ng nhau nh- thÕ. Nh- vËy th× tÝch sÏ øng víi 6 phÇn .§-a vÒ bµi to¸n tæng hiÖu ta cã: Sè lín øng víi sè phÇn lµ:(3+1): 2 = 2 ( phÇn) Do vËy, Sè bÐ øng víi:3-2 = 1 ( phÇn) 7
Nh- thÕ ,tÝch sÏ b»ng 6 lÇn sè bÐ .Mµ tÝch b»ng sè lín nh©n víi sè bÐ. Nªn sè lín b»ng 6. Sè bÐ lµ : 6:2 =3 . Thö l¹i ta cã :Tæng : 3+6 = 9 HiÖu:6-3= 3 TÝch :3  6  18 Râ rµng tæng gÊp ba lÇn hiÖu vµ b»ng nöa tÝch: (3  3  9; 18 :2 = 9) D. PhÐp chia I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí (®äc kÜ tr-íc khi lµm bµi tËp ) 1. a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0) 2. 0 : a = 0 (a > 0) 3. a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0) 4. a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0) 5. Trong phÐp chia, nÕu sè bÞ chia t¨ng lªn (gi¶m ®i) n lÇn (n > 0) ®ång thêi sè chia gi÷ nguyªn th× th-¬ng còng t¨ng lªn (gi¶m ®i) n lÇn. 6. Trong mét phÐp chia, nÕu t¨ng sè chia lªn n lÇn (n > 0) ®ång thêi sè bÞ chia gi÷ nguyªn th× th-¬ng gi¶m ®i n lÇn vµ ng-îc l¹i. 7. Trong mét phÐp chia, nÕu c¶ sè bÞ chia vµ sè chia ®Òu cïng gÊp (gi¶m) n lÇn (n > 0) th× th-¬ng kh«ng thay ®æi. 8. Trong mét phÐp chia cã d-, nÕu sè bÞ chia vµ sè chia cïng ®-îc gÊp (gi¶m) n lÇn (n > 0) th× sè d- còng ®-îc gÊp (gi¶m ) n lÇn. II. Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh: a) 1875 : 2 + 125 : 2 b) 20,48 : 3,2 + 11,52 : 3,2 c) 62,73 : 8,4 + 21,27 : 8,4 d) 43,3 : 2,5 - 19,3 : 2,5 Bµi gi¶i a, (1875+125):2= 1000 b,(20,48 +11,52 ):2 = 16 c,(62,73 +21,27 ) : 2 =42 d,(43,3 +19,3 ):2,5=31.3 Bµi 2: Nam lµm mét phÐp chia cã d- lµ sè d- lín nhÊt cã thÓ cã. Sau ®ã Nam gÊp c¶ sè bÞ chia vµ sè chia lªn 3 lÇn. ë phÐp chia míi nµy, sè th-¬ng lµ 12 vµ sè d- lµ 24. T×m phÐp chia Nam thùc hiÖn ban ®Çu. Bµi gi¶i Trong mét phÐp chia ,nÕu gÊp c¶ sè bÞ chia;sè chia lªn ba lÇn th× th-¬ng kh«ng thay ®æi nh-ng sè d- còng t¨ng lªn ba lÇn. Do ®ã th-¬ng trong phÐp chia cña Nam lµ 12 vµ sè d- ban ®Çu lµ: 24 : 3 = 8 Sè chia lµ ban ®Çu lµ : 8 + 1 = 9 Sè bÞ chia lµ : 9  12 +8= 116 §¸p sè : 116; 9 Bµi 3: Sè A chia cho 12 d- 8. NÕu gi÷ nguyªn sè chia th× sè A ph¶i thay ®æi nh- thÕ nµo ®Ó th-¬ng t¨ng thªm 2 ®¬n vÞ vµ phÐp chia kh«ng cã d-? Bµi gi¶i NÕu phÐp chia t¨ng 1 ®¬n vÞ th× sè A cÇn t¨ng: 12 – 8 = 4 §Ó th-¬ng t¨ng 2 ®¬n vÞ th× sè A cÇn t¨ng: 12 +4 = 16 §¸p sè : 16 Bµi 4: Mét sè chia cho 18 d- 8. §Ó phÐp chia kh«ng cßn d- vµ th-¬ng gi¶m ®i 2 lÇn th× ph¶i thay ®æi sè bÞ chia nh- thÕ nµo? Bµi gi¶i §Ó phÐp chia kh«ng cã d- vµ th-¬ng kh«ng ®æi th× sè bÞ chia cÇn bít 8 ®¬n vÞ. §Ó th-¬ng gi¶m ®i 2 lÇn th× sè bÞ chia gi¶m ®i 2 lÇn. VËy sè bÞ chia ph¶i gi¶m ®i 2 lÇn vµ 8 ®¬n vÞ. Bµi 5: NÕu chia sè bÞ chia cho 2 lÇn sè chia th× ta ®-îc 6. NÕu ta chia sè bÞ chia cho 3 lÇn sè th-¬ng th× còng ®-îc 6. T×m sè bÞ chia vµ sè chia trong phÐp chia ®Çu tiªn. Bµi gi¶i 8
NÕu chia mét lÇn sè chia ta cã th-¬ng lµ: 6  2 = 12 Chia mét lÇn cho 12 ta cã sè chia lµ: 6: 3=2 VËy sè bÞ chia lµ: 12  2 =24 §¸p sè : 24 Bµi 6: Mét phÐp chia cã th-¬ng lµ 6, sè d- lµ 3. Tæng sè bÞ chia, sè chia vµ sè d- b»ng 195T×m sè bÞ chia vµ sè chia? Bµi gi¶i V× sè d- lµ 3 vµ th-¬ng b»ng 6 nªn sè bÞ chia gÊp 6 lÇn sè chia vµ 3 ®¬n vÞ.Bít ®i 3+3 =6 ta ®-a vÒ bµi to¸n tæng tØ ta cã: tæng lµ 195 -6 = 189 Tæng sè phÇn b»ng nhau lµ: 6 +1 =7 ( phÇn ) Sè bÞ chia lµ : 189 : 7  6 +3 = 165 Sè chia lµ ( 165 -3) : 6 = 27 §¸p sè : 165 ;27 Bµi 7: Cho 2 sè, lÊy sè lín chia cho sè nhá ®-îc th-¬ng lµ 7 vµ sè d- lín nhÊt cã thÓ cã®-îc lµ 48. T×m 2 sè ®ã. Bµi gi¶i V× sè d- lµ sè lín nhÊt cã thÓ cã nªn sè chia lµ: 48 +1 = 49 V©y sè lín lµ 49  7 = 343 §¸p sè : sè lín :343 ; sè bÐ : 49 Bµi 8: HiÖu 2 sè lµ 33. LÊy sè lín chia cho sè nhá ®-îc th-¬ng lµ 3 vµ sè d- lµ 3. T×m 2 sè ®ã. Bµi gi¶i Coi sè bÐ lµ 1 phÇn th× sè lín lµ 3 phÇn vµ 3 ®¬n vÞ . V¹y hiÖu sè phÇn gi÷a sè lín vµ sè bÐ (hay 33 øng víi )lµ: 3 phÇn + 3 – 1 phÇn = 2 phÇn + 3 ®¬n vÞ VËy 2 phÇn øng víi : 33 -3 = 30 VËy 1 phÇn lµ : 30 :2 = 15 Sè lín lµ : 15  3 +3 = 48 Sè bÐ lµ 48 – 33 = 15 §¸p sè : 48 ; 15 PHẦN III. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc I. KiÕn thøc cÇn ghi nhí 1. BiÓu thøc kh«ng cã dÊu ngoÆc ®¬n chØ cã phÐp céng vµ phÐp trõ (hoÆc chØ cã phÐp nh©n vµ phÐp chia) th× ta thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh theo thø tù tõ tr¸i sang ph¶i. VÝ dô: 542 + 123 - 79 482 x 2 : 4 = 665 - 79 = 964 : 4 = 586 = 241 2. BiÓu thøc kh«ng cã dÊu ngoÆc ®¬n, cã c¸c phÐp tÝnh céng, trõ, nh©n, chia th× ta thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh nh©n, chia tr-íc råi thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh céng trõ sau. VÝ dô: 27 : 3 - 4 x 2 =9-8 =1 3. BiÓu thøc cã dÊu ngoÆc ®¬n th× ta thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh trong ngoÆc ®¬n tr-íc, c¸c phÐp tÝnh ngoµi dÊu ngoÆc ®¬n sau VÝ dô: 25 x (63 : 3 + 24 x 5) = 25 x (21 + 120) =25 x 141 =3525 II. Bµi tËp Bµi 1: ViÕt d·y sè cã kÕt qu¶ b»ng 100: a) Víi 5 ch÷ sè 1 . b) Víi 5 ch÷ sè 5. Bµi gi¶i a, 111 -11 =100 b,( 5+5+5+5)  5 =20  5 = 100 Bµi 4: Cho d·y tÝnh: 128 : 8 x 16 x 4 + 52 : 4. H·y thªm dÊu ngoÆc ®¬n vµo d·y tÝnh ®ã sao cho: 9
a) KÕt qu¶ lµ nhá nhÊt cã thÓ? b) KÕt qu¶ lµ lín nhÊt cã thÓ ? Bµi gi¶i a,128 : (8  16 )  (4 + 52 ) : 4 = 1  14 = 14 32 8 HoÆc 128 : (8  16  4 + 52 ) : 4 =128 : 564 :4 = :4  141 141 b,128:8  16  (4 +52:4) = 3328 Bµi 5: H·y ®iÒn thªm dÊu ngoÆc ®¬n vµo biÓu thøc sau: A = 100 - 4 x 20 - 15 + 25 : 5 a) Sao cho A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt lµ bao nhiªu? b) Sao cho A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã lµ bao nhiªu? Bµi gi¶i a,(100- 4)  20 – (15 + 25) : 5 =1920- 8=1912 b,100- (4  20) – (15 +25 : 5 )= 20 -20 = 0 Bµi 6: T×m gi¸ trÞ sè tù nhiªn cñ a ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt , gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã lµ bao nhiªu? A = (a - 30) x (a - 29) x …x (a - 1) Bµi gi¶i a= 30 th× A =0 thËt vËy A =( 30 – 30 )  (30  29)  ...  (30  1)  0 1 2  ...  29  0 Bµi 7: T×m gi¸ trÞ cña sè tù nhiªn a ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã lµ bao nhiªu? A = 2006 + 720 : (a - 6) Bµi gi¶i §Ó A lín nhÊt th× 720 : ( a- 6) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi ®ã a -6 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín h¬n 0. Hay a- 6 = 1 => 720 : (a – 6 ) = 720 => 2006 +720 : ( a – 6 ) = 2006 + 720 = 2726 Bµi 8: TÝnh: 1 1 a) 1  b) 1  Quy ®ång tõ d-íi vµ gi¶i ng-îc 1 1 1 1 1 1 1 1 2 tõ d-íi 2 1 1 c) 1  d) 2  1 1 2 1  3 1  4 1 Ph©n sè tØ sè cã nhiÒu bµi tËp kiÓu nµy. NÕu trong ®Ò thi e) 1  cã kÕt qu¶ th× nªn gi¶i ng-îc tõ cuèi. 2 VÝ dô d-íi ®©y sÏ chøng tá ®iÒu ®ã: 1  2  3 52 1 Bµi 8b,T×m c¸c sè tù nhiªn a,b,c sao cho: A= =5+ 9 1 a 1 b 52 7 c A=  5+ (®æi ra hçn sè) 9 9 1 1 1 1 1 =5+ =5+ =5+ =5+ =5+ =.> a=1;b=3;c=2 9 2 1 1 1 1 1 1 a 7 7 7 1 1 3 b 2 2 c 10
61 1 52 1 Bµi tËp t-¬ng tù S= =8+ B= =7+ 7 1 7 1 a a 1 1 b b c c Bµi 9: 3 1 157 2+ =7 b, 2+ = 1 1 4 3 68 2 y 1 3 4 =7 -2 =5( t×m sè y 1 1 157 21 4 = -2 = (t×m sè 2 y 1 68 68 h¹ng) 3 1 4 - 1 3 =3:5= (t×m sè 4 2 y 5 y h¹ng) chia) 1 21 68 3+  1: = (t×m sè 1 68 21 1 3 17 =4 - = (t×m sè 4 2 y 5 5 chia) y trõ) 17 5 1 68 5 2 – y =1 : = (t×m  -3= 1 21 21 5 17 4 sè chia) y 5 y= 2 - (t×m sè trõ) 1 21 21  20 1 17  4  (PSTS) y 5 5 5 29 y= 17 Bµi 10 a,TÝnh tæng S = 1+ 4+ 9+...+1 00 = 1 1  2  2  3  3  ...  10 10 = 10  (10+1)  (2  10 +1 ) : 6=385 b,§iÒn dÊu ngoÆc vµo chç thÝch hîp ®Ó A= 1004, biÕt A= 11  91  24 : 5  3 Ta cã A= 11  91  24 : (5  3) =1004 Bµi 11: a, T×m sè tù nhiªn n sao cho: 121 54 100 25 121 54 100 25  n : Ta cã :  n : 27 11 21 126 27 11 21 126 = 22 < n < 24 => n =23 Bµi 12: T×m x lµ sè tù nhiªn biÕt: x 60 6 x 7 a)  V× 207:17=12nªn ta cã b)  17 204 33 11 x 60 5  12 5 6  x 7 7  3 21  = = =>x =5  =  =>6+x=21 17 204 17  12 17 33 11 11  3 33 12  x 2 x 3 11 11 c)  d)  e) 1   2 g1   2 43  x 3 5 7 x x 1 1 2 ba 2 2 h,   (a  b) v×   => b-a =2 nªn a
Bµi 17 TÝnh: 253  75  161  37  253  25  161  63 a, 100  47  12  3,5  5,8 : 0,1 253  (75  25)  161  (37  63) 100  (253  161) 9200 =   4700  42  58 4600 4600 2004  37  20040  2  2004  2004  59  2004 27  45  55  27 c, d, A= 334  321  201  324  324  101  18  324 2  4  6  ...  14  16  18 Bµi 18 C¸c bµi to¸n t×m x,y 1 1 1 1 1 1 a, T×m y, biÕt:(y - ) : (    ...  )  2 2 6 12 90 3 Gi¶i:TÝnh trong ngoÆc tr-íc. 1 1 1 1 1933 b,T×m x,biÕt 1+    ...  1 3 6 10 x  ( x  1) : 2 1935 1 1 1 1933 Ph©n sè cã d¹ng:1 +   ...   1 (bít 1 c¶ 2 vÕ) (1  2)  2 (1  3)  3 x  ( x  1) 1935 2 2 2 1 1 1 1933 =   ...   (1  2)  2 (1  3)  3 x  ( x  1) 1935 2 2 2 2 2 2 2 1933 =    ......+ = 2  3 3 4 4  5 x  ( x  1) 1935 1 1 1 1 1933 =2  (    ...+ )= 2  3 3 4 4  5 x  ( x  1) 1935 1 1 1933 = 2(  )= 2 x  1 1935 x 1 1933 x  1 1933 =2  ( ) => ) =>x=1934 ( x  1)  2 1935 x  1 1935 1 1 1 1 2011 Bµi tËp t-¬ng tù : 1+    ...  1 3 6 10 x  ( x  1) : 2 2013 1 1 1 1 933 1+    ...  1 3 6 10 x  ( x  1) : 2 935 x 2 6 c,   ( §Ò thi ks HSG VÜnh T-êng 2011) 27 9 18 x 6 2 15   = => x= 15 27 18 9 27 Bµi 19: T×m y:  3 1 2 1 7 4 1   3 :  2  1     1 :   4 4 5 4 2 5 5 2 =64  1 3 1    y  2 4 B=x+ x  2  x  3  ...  x  5  x  6  18090 (kh¶o s¸t huyÖn S«ng L«) Cïng bít c¶ hai vÕ x  6 ta cã x  9 = 18090 x = 18090 : 9 = 2010 Bµi 20 Tim x,biÕt 32 44 76 3 2 5 a, x -  =>x = b, x -10  11 => x =21 43 43 43 7 7 7 x  125 100  x  0,5  2 c,  100  125 d,  0,5  0 5 2 12
Bµi 21 a, TÝnh A= 1,1 +2,2+ 3,3 + ...+8,8 +9,9 =(1,1 +9,9)  9 : 2 =49,5 1 1 1 1 B= 1  1  1  ...  1 (®æi ra PS ) 2 3 4 7 b, Ta cã : 1+2=3 (1) 4+5+6= 7+ 8 (2) 9 +10+11 +12 =13 +14 +15 (3) a,Em h·y viÕt tiÕp hµng thø t-. b,Trong « thø 100 cã bao nhiªu sè,sè cuèi cïng b»ng bao nhiªu ? (§Ò thi HSG n¨m 2009) Gi¶i a,16+17+18+19+20 =21+22+23+24 (4) b, XÐt nhãm (1) bªn ph¶i cã 1 sè h¹ng ,bªn tr¸i cã(1+1 =)2 sè h¹ng XÐt nhãm (2) bªn ph¶i cã 2 sè h¹ng, bªn tr¸i cã(2+1 =) 3 sè h¹ng XÐt nhãm (3) bªn ph¶i cã 3 sè h¹ng, bªn tr¸i cã(3+1 =) 4 sè h¹ng Suy ra nhãm thø 100 bªn ph¶i cã 100 sè h¹ng , bªn tr¸i cã 100+1 = 101 (sè h¹ng ) VËy nhãm thø 100 cã tÊt c¶ c¸c sè h¹ng lµ : 100+101 =201 (sè h¹ng ) Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (1)cã d¹ng :1  1 = 1 Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (2)cã d¹ng :2  2 = 4 Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (3)cã d¹ng :3  3 = 9 VËy Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn tr¸i nhãm (100)cã d¹ng :100  100 =10000 Sè h¹ng cuèi cïng trong nhãm thø 100 lµ : 1000 +1  (201 -1) =10200 §¸p sè :a, 16+17+18+19+20 =21+22+23+24 (4 b, 201 :10200 Bµi tËp t-¬ng tù (§Ò thi KSCL HSG VÜnh Phóc) Ng-êi ta cã 10 bao g¹o nh- sau : 1kg ; 3kg ; 6kg ; 10kg ; ... a,Em h·y ghi tiÕp khèi l-îng cña c¸c bao cßn l¹i. b. NÕu ng-êi ta muèn lÊy 1 t¹ tõ c¸c bao nguyªn th× cã thÓ chän nh÷ng bao nµo ? Gi¶i a, Ta cãbao sè 1 lµ 1=1 Ta cãbao sè 2 lµ 3=1+2 Ta cãbao sè 3 lµ 6=1+2+3 Ta cãbao sè 4 lµ 10=1+2+3+4 nªn ta cã c¸c bao tiÕp theo lµ : Ta cãbao sè 5 lµ 15=1+2+3+4+5 Ta cãbao sè 6 lµ 21=1+2+3+4+5+6 Ta cãbao sè 7 lµ 28=1+2+3+4+5+6+7 Ta cãbao sè8 lµ 36=1+2+3+4+5+6+7+8 Ta cãbao sè 9 lµ 45=1+2+3+4+5+6+7+8+9 Ta cãbao sè 10 lµ 55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 b, 1 t¹ = 100kg mµ 100= 45+55=45+36+15+3+1=.... Bµi 22 §iÒn dÊu ngoÆc vµo phÐp tÝnh ®Ó ®-îc kÕt qu¶ lµ 2009 a, 34  59  24 : 6  2 Gi¶i a, 34  59  24 : (6  2) =2009 b, §iÒn dÊu ngoÆc ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ lín nhÊt B=34  59  6 : 2 §Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt th× B = 34  (59+ 6 : 2) =34  62 = 2108 1 3 8 21 c,XÐt d·y sè sau : ; ; ; ;... ViÕt sè h¹ng thø 5 trong d·y 2 5 13 34 13
Gi¶i Quy luËt cña d·y sè lµ : 1+2=3 2+3=5 5+8=13 8+13 =21 VËy tö cña ph©n sè tiÕp theo lµ : 13+21=34 VËy mÉu cña ph©n sè tiÕp theo lµ : 21+34 =55 6765 - BiÕt lµ mét sè h¹ng trong d·y , viÕt sè h¹ng ®øng tr-íc nã(§Ò thi HSG 10964 2008) Gi¶i MÉu sè cña ph©n sè tr-íc nã lµ : 10964 -6765=4199 Tö sè cña ph©n sè tr-íc nã lµ : 6765 –4199=2566 VËy ph©n sè cÇn t×m 2566 lµ : 4199 Bµi 23 §Ò thi HSG n¨m 2010 -2011 A, TÝnh A = 12,3  3,5  12,3  2,4  12,3  4,1 = 12,3  (3,5 +2,4 +4,1 )=12,3  10=123 b, ViÕt tÊt c¶ ph©n sè cã tæng tö sè vµ mÉu sè b»ng 10 vµ nhá h¬n 1. 0 1 2 3 4 gi¶i v× 10=0+10 ;1+9 ; 2+8 ;3+7 ;4+6 =>ta cã ; ; ; ; . 10 9 8 7 6 Bµi tËp t-¬ng tù :ViÕt tÊt c¶ c¸c PS cã tæng tö vµ mÉu b»ng 11 vµ lín h¬n 1 Bµi 24 Cho nhãm sè (1) ; (2,3) ; (4,5,6) ; ...a, ViÕt nhãm thø 4 b, Nhãm thø 100 cã bao nhiªu sè h¹ng. c, Sè h¹ng thø 2 trong nhãm thø 100 lµ sè nµo ? Bµi gi¶i + Nhãm 4 cã d¹ng :(7,8,9,10) +Nhãm 1 cã 1 sè h¹ng ; nhãm 2 cã 2 sè h¹ng ; nhãm 3 cã 3 sè h¹ng ;... ; nhãm 100 cã 100 sè h¹ng. +Sè h¹ng cuèi cïng cña nhãm 1 lµ :1 - Sè cuèi cïng cña nhãm 2 lµ :1+2=3 - Sè cuèi cïng cña nhãm 3 lµ :1+2+3 =6 ... - Sè h¹ng cuèi cïng cña nhãm 99 lµ :1+2+3+...+99=(1+99)  99 :2=4950 VËy sè h¹ng thø hai trong nhãm thø 100 lµ :4950+2 =4952. 1 1 1 1 Bµi tËp t-¬ng tù : Cho d·y sè:    .  ..... 1 5 15 34 a, ViÕt tiÕp 3 ph©n sè tiÕp theo. b,Ph©n sè thø 100 mÉu cã bao nhiªu sè h¹ng. c, Sè h¹ng thø 2 trong mÉu sè cña PS thø 100 lµ sè nµo? (§Ò to¸n Kh«i s¸ng t¸c) Gi¶i a,XÐt tö cña tÊt c¶ c¸c ph©n sè ®Òu b»ng 1. XÐt mÉu cña tõng ph©n sè ta cã: MÉu sè cña ph©n sè thø nhÊt lµ:1=1 MÉu sè cña ph©n sè thø hai lµ: 5=2+3 MÉu sè cña ph©n sè thø ba lµ:15=4+5+6 vËy MÉu sè cña ph©n sè thø t- lµ: 7+8+9+10=34 MÉu sè cña ph©n sè thø n¨m lµ: 11+12+13+14+15=65 MÉu sè cña ph©n sè thø s¸u lµ: 16+17+18+19+20+21=91 1 1 1 VËy ta cã 3 ph©n sè tiÕp theo lµ: ; ; 34 65 91 b,XÐt mÉu cña phÊn thø nhÊt cã 1 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a) XÐt mÉu cña phÊn thø haicã 2 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a) XÐt mÉu cña phÊn thø ba cã 3 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a) .... XÐt mÉu cña phÊn thø 100 cã 100 sè h¹ng.(Theo c¸ch gi¶i ý a) c/+Sè h¹ng cuèi cïng cña mÉu PS 1 lµ :1 - Sè cuèi cïng cña PS 2 lµ :1+2=3 - Sè cuèi cïng cña PS 3 lµ :1+2+3 =6 14
... - Sè h¹ng cuèi cïng cña PS 99 lµ :1+2+3+...+99=(1+99)  99 :2=4950 VËy sè h¹ng thø hai trong nhãm thø 100 lµ :4950+2 = 4952 Bµi 23 b/ Dù kiÕn ®Ò thi häc sinh giái 2011-2012.(§Ò kh«i s¸ng t¸c) 1 5 34 Cho d·y sè : ; ; ... 1 15 65 a, H·y viÕt tiÕp ph©n sè tiÕp theo. b,NÕu viÕt ph©n sè thø 50 c¶ tö vµ mÉu d-íi d¹ng 1 tæng th× c¶ tö vµ mÉu gåm bao nhiªu sè h¹ng. c, Sè h¹ng thø nhÊt ë mÉu lµ sè nµo? Bµi gi¶i Ph©n sè thø nhÊt cã d¹ng :1=1 Tö ph©n sè thø hai cã d¹ng:5=2+3 MÉu ph©n sè thø hai cã d¹ng: 15=4+5+6 Tö ph©n sè thø ba cã d¹ng : 34=7+8+9+10 MÉu ph©n sè thø ba cã d¹ng: 65=11+12+13+14+15 ... VËy tö cña ph©n sè thø t- lµ : 16+17+18+19+20+21=111 111 MÉu cña ph©n sè thø t- lµ: 22+23+24+25+26+27+28=155 ta cã ph©n sè: 155 b, Gäi mÉu cña ph©n sè thø nhÊt lµ nhãm 1 th× sè h¹ng cuèi cïng cña mÉu PS 1 lµ :1 - Gäi tö sè cña PS thø hai lµ nhãm 2 th× sè h¹ng cuèi cïng cña tö PS thø 2 lµ :1+2=3 - Sè cuèi cïng cña mÉu PS thø 2 lµ :1+2+3 =6 ..... Ta l¹i cã mÉu PS thø 50 thuéc nhãm : 50  2-1 =99,vËy tö PS thó 50 thuéc nhãm 99-1= 98 Sè h¹ng cuèi cïng cña nhãm thø 98 hay tö PS thø 50 lµ :1++2+3+4+...98=4751 VËy sè h¹ng thø hai trong nhãm thø 99 lµ hay sè h¹ng thó nhÊt ë mÉu ph©n sè thø 50 lµ :4751+1=4752. 1 11 31 Bµi 24. Cho d·y sè : ; ;7; ;... a, TÝnh tæng cña 100 sè h¹ng ®Çu. 3 3 3 b, Trong 100 sè h¹ng ®Çu cã bao nhiªu sè tù nhiªn. c, TÝnh tæng cña c¸c sè tù nhiªn trong 100 sè h¹ng ®Çu. Bµi gi¶i 10 a,Kho¶ng c¸ch cña c¸c sè h¹ng lµ : 3 1 10 991 Sè h¹ng thø 100 lµ : +  (100-1)= 3 3 3 Tæng 100 sè h¹ng 1 991 49600 ®Çu lµ : ( + )  100 :2= 3 3 3 b,C¸c sè tù nhiªn trong d·y lµ c¸c ph©n sè mµ tö chia hÕt cho 3 theo nguyªn t¾c sè 991 thø nhÊt chia 3 d- 1 ; sè thø 2 chia 3 d- 2, sè thø ba chia 3 d- 0. XÐt ph©n sè 3 991 10 chia 3 d- 1 nªn ph©n sè tr-íc nã lµ sè tù nhiªn.Sè tù nhªn ®ã lµ : - =327 3 3 c, Ta cãd·y 7 ;17 ;27 ;... ;327 Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c sè tù nhiªn lµ : 17 -7 =27 -17 =...=10 Sè sè h¹ng lµ : (327 -7) : 10 +1 =33(sè h¹ng) Tæng c¸c sè tù nhiªn trong 100 sè h¹ng ®Çu lµ : (7 +327)  33 :2 =5511 1 2 1 Bµi tËp t-¬ng tù :Cho d·y sè ;3 ;7;10 ;... a, T×m sè h¹ng thø 100 trong d·y. 3 3 3 15
b,§Õm trong 100 SH ®Çu cã bao nhiªu sè tù nhiªn ; c,TÝnh tæng cña 100 SH ®Çu vµ tæng cña c¸c sè tù nhiªn võa t×m ®-îc ë ý b. G, C¸c bµi to¸n chän läc Bµi 1 2009  2009  20082008  2008  2008  20092009 a,TÝnh : S = 2008  20072007 2009  2009  2008  10001  2008  2008  2009  10001 Ta cã S= 2008  2007  10001 2009  2008  1001  (2009  2008) S= (Rót gän) 2008  2007  10001 2009 S= 2007 11  11  1010  10  10  1111 Bµi tËp t-¬ng tù 1a/ 10  2020 2011  2011  20102010  2010  2010  20112011 1b/ 2010  20092009 Bµi 3 TÝnh S = 1 -2 + 3- 4 +5 – 6 ... -100 +101 1 1 1 P = 5 – 5  6  6  ...  99  100 2 2 2 A = 9,8 + 8,7 + 7,6 +....+ 2,1 - 2,1 - 1,2-...- 8,9 Gîi ý (9,8 -8,9) Bµi 4 T×m x biÕt : (x+1) + (x+4) +...+ (x +28) = 155 Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c sè h¹ng lµ : (x + 4) - (x+1) = (x +7) – (x + 4) =...= 3 Sè c¸c sè h¹ng lµ : (x+28) - (x +1) :3 +1 = 10( sè h¹ng) Tæng cña nhãm lµ : (x+28+x+1)  10 : 2 =x  5+145=155 => x=1 Bµi 5 TÝnh tæng S =10,11+11,12+12,13 +... + 98,99 +99,100 S =10,10 +11,11 +12,12+...+98,98 + 99,99 Kho¶ng c¸chcña d·y sè lµ :11,11-10,10 = 12,12-11,11=...= 99,99 - 98,98 =1,01 Sè sè h¹ng lµ:(99,99 - 10,10) :1,01+1 = 90(sè h¹ng) Tæng cña d·y lµ:(10,10 + 99,99)  90 : 2 = 4954,05 39,48  17  83  39,48 Bµi 6 Cho A = T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó A cã gi¸ trÞ lín 1990  72 : (a  6) nhÊt Gi¶i : §Ó A cã gi¸ trÞ lín nhÊt th× 1990- 72 : (a- 6) lín nhÊt vµ lín h¬n 0 ( kh«ng thÓ chia cho 0) khi ®ã72 :( a-6) ph¶i lín nhÊt vµ nhá h¬n 1990) 1 1 3 1 1 3 3 B= (1 + 1  1  1  2  2  2  2  ...  4 ) : 23 ( T×m kho¶ng c¸ch) 4 2 4 4 2 4 4 Bµi 7 TÝnh gi¸ tÞ biÓu thøc (®Ò thi kh¶o s¸t HSG huyÖn S«ng L« n¨m 2011) 3 7 13 21 31 a, T =     2 6 12 20 30 1 1 1 1 1 T=1+  1   1   1   1  2 6 12 20 30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 25 T=1  5  (     ) =5  (     ) =5   2 6 12 20 30 1 2 2  3 3  4 4  5 5  6 6 6 b,T×m x , biÕt : (x -35 )  6 = 300 : 25 = 12 (x -35) = 12 : 6 21 213 16 15 c,so s¸nh vµ ; vµ 52 523 27 29 16
21 31 310 Gi¶i a, =1-  1  (1) 52 52 520 213 310 310 310 310 310 21 213 =1- (2) Tõ (1) vµ (2) =>  nªn 1   1- => < 523 523 520 523 520 523 52 523 15 16 16 15 16 b, <  nªn < 29 29 27 29 27 Bµi 8 ®Ò thi KSCL HSG VÜnh T-êng n¨m 2011 2003  14  1988  2001  2002 a, TÝnh nhanh 2002  2002  503  504  2002 b, So s¸nh 1999 10 x 2 6 vµ c,   2001 12 27 9 18 Gi¶i 1999 2 10 2 2 2 x 2 6 10 15 b, =1- ; =1- v× > c,   = = => x=15 2001 2001 12 12 12 2001 27 9 18 18 27 2 2 10 1999 nªn1- < 1- hay < 2001 12 12 2001 2046  (47  48  47  47  24  24  23) Bµi 9 a,TÝnh nhanh : 2  4  8  ...  512  1024 1 1 a 1 a b, T=    (*) Tèi gi¶n 5 4 b 20 b 1 1 1 1 1 3 c,T×m y biÕt 3  y  (      (§Ò thi c¸c huyÖn thÞ) 2 6 12 20 30 4 Gi¶i : 2046  (47  48  47  47  (24  23) 2046  (47  (48  47  1) 2046 a, =  2  4  8  ...  512  1024 2  4  8  ...  512  1024 2  4  8  ...  512  1024 §Æt S = 2+4+8+...+512+1024 ta cã S  2 =4+18+...+1024+2048 S  2 -S =(4+18+...+1024+2048)- (2+4+8+...+512+1024)=2048- 2=2046 2046 2046 vËy ta cã  1 S 2046 1 a 1 1 a 1 1 1 1 b, (  )   =>    = 5 b 4 20 b 20 4 5 10 Bµi 10TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau ; a, 0,1 +0,2 +0,3 +... + 1,9 =(0,1+1,9)  19 : 2 = 19 1 1 1 3 b, (2010  2011  2012  2013)  (1 : 1  1  ) = 0 2 2 3 4 c, 1,3 -3,2 +5,1 -7 +8,9 -10,8 +... +35,5 -37,4 +... + 41,2 – 43,1 Gi¶i : Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c sè lµ :1,9 Sè c¸c sè h¹ng lµ : (43,1 -1,3) :1,9 +1=23 (sè sè h¹ng) (3,2-1,3)+(7-5,1)+(10,8-8,9)+...+(43,1-41,2) =1,9  23 =43,7 1 1 1 1 8 1 1 Bµi 11 a, Chøng tá r»ng    ...   ( V×  ) 20 21 22 27 27 20 27 1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 8 Gi¶i    ...   8 = nªn    ...   20 21 22 27 27 27 20 21 22 27 27 1 1 Bµi 12 : a, t×m y, biÕt y+y :  y : 0,25  y :  15 2 8 17
2 1 b, Kh«ng tÝnh h·y so s¸nh :  20,09 vµ 0,75  20 ( §Ò thi KSHSG LËp Th¹ch 3 10 2010) 1 1 2 1 8 Gi¶i : y+y :  y : 0,25  y :  15 ; Hay y+y   y :  y   15 2 8 1 4 1 2 4 8 y+y   y   y   15 1 1 1 y  (1  2  4  8)  15 y 15  15 => y = 1 2 3 1 2 1 b,  0,75  MÆt kh¸c 20,09 < 20  20,1 nªn  20,09 < 0,75  20 3 4 10 3 10 25 35 13 133 Bµi 13 a, So s¸nh vµ b, vµ (§Ò thi hÕt häc phÇn §¹i häc SP Hµ Néi) 49 71 15 153 c, TÝnh tæng S = 1  3  2  4  3  5  ...  8 10 §Ò xuÊt lêi gi¶i vµ cho mét bµi to¸n t-¬ng tù (§Ò thi §¹i häc SPHN 2) 25 25 1 35 35 25 25 35 Gi¶i a,  =   => > 49 50 2 70 71 49 49 71 13 2 20 b, =1- = 1- (1) 15 15 150 133 20 20 20 20 20 133 13 =1- (2) V× > nªn 1- < 1- nªn > 153 153 150 153 150 153 153 15 HD T¸ch 3 =2+1 ; 4=3+1 ; 5= 4+1...Do vËy ta cã : S=1  (2  1)  2  (3  1)  3  (4  1)  ...  8  (9  1) =(1  2  2  3  3  4  ...  8  9) +(1 1  2 1  3 1  ...  8 1 ) =8  (8+1)  (8+2) :3 +(1+8)  8 : 2=276 Bµi to¸n t-¬ng tù cã thÓ lµ S= (1  2  2  3  3  4  ...  8  9) HoÆc 1 1  2  2  ...  8  8 Bµi 14 a, t×m x,biÕt : x : 6  7,2  1,3  x  x : 2  15  19,95 2001  2011 b, So s¸nh : víi 1 (§Ò thi KSCL HSG VÜnh Phóc 2011) 2005  2005 Gi¶i : 1 72 13 1 2001  (2005  6) a,x     x  x   15  19,95 b, 6 10 10 2 (2001  4)  2005 12 13 1 x(   ) =19,95 -15=4,95 2001  2005  2001  6 10 10 2 = >1 x  9 =4,95=> x =5 2001  2005  2005  4 2 3 4 1 4 4 4 4 µi 15 a, T×m y,biÕt : : y   b,   ...  (VÜnh 5 5 7 3 7 3  7 7  11 23  27 Phóc) Gi¶i 2 3 4 1 4 4 4 4 a, : y   b,   ...  5 5 7 3 7 3  7 7  11 23  27 2 4 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 = y    =     ...   =   3 7 3 7 3 3 4 4 5 23 24 3 24 24 1 2 1 => y = :  3 3 2 Bµi 16 So s¸nh b»ng c¸ch hîp lÝ nhÊt 18
13 27 n 1 n 1 a, vµ b, vµ (VÜnh Phóc) 60 100 n  1008 n  1009 Gi¶i 13 26 27 27 n 1 n 1 n 1 a, V× =   b, > > 60 120 120 100 n  1008 n  1008 n  1009 13 27 n 1 n 1 nªn < nªn > 60 100 n  1008 n  1009 C¸C b¸i to¸n hay trÝch dÉn tõ to¸n tuæi th¬ Bµi 1 Cho sè A biÕt: A = 4  4  4  ...  4  25  25  25  ...  25 ( 100 thõa sè 4, 100 thõa sè 25) .Hái A cã bao nhiªu ch÷ sè. Gi¶i Ta cø ghÐp ( 4  25 ) thµnh 1 nhãm ta cã 100 nh- vËy. Ta l¹i cã 4  25 =100mçi nhãm cho ta hai ch÷ sè 0.VËy 100 nhãm cho ta: 100  2  200 ( ch÷ sè 0) 1 13 33 61 97 b/T×m M, biÕt M =     (TTT sè 121 lêi gi¶i 123) 3 15 35 63 99 Gi¶i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M = (1- )  (1  )  (1  )  (1  )  (1  ) =1  5  (     ) 3 15 35 63 99 3 15 35 63 99 2 2 2 2 2 1 10 45 =5-(     ) = 5-(1  ) = 5 -  1  3 3  5 5  7 7  9 9  11 11 11 11 1 1 1 1 2009 Bµi 2 T×m x , biÕt S =    ...   (TTT sè 113) 3 6 10 x  ( x  1) : 2 2011 Gi¶i V× t¸ch 3 =1+2; 6 = 1+2+3 ; nªn ta cã: 1 1 1 2 2 2 2009 S=   ...  =   ...   (1  2)  2 (1  3)  3 x  ( x  1) 2  3 3 4 x  ( x  1) 2011 2 2 2 1 1 1 1 1 x 1 2009 S =2  (   ...  )  2(  )  2 ( )= 2  3 3 4 x  ( x  1) 2 ( x  1) 2  ( x  1) 2011 x-1 =2009 x+1 2011=> x=2010 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 Bµi 3 XÐt d·y ph©n sè: ; , ; , , ; , , , ;.... 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 a, H·y nªu quy luËt cña d·y vµ viÕt tiÕp n¨m PS tiÕp theo cña d·y. 50 b,Ph©n sè lµ PS thuéc nhãm thø bao nhiªu vµ lµ PS thø bao nhiªu trong d·y ®ã. 31 Gi¶i a,C¸c PS ®-îcviÕt thµnh tõng nhãm( ph©n c¸ch bëi dÊu chÊm ph¶y);cã tæng cña tö vµ mÉu lÇn l-ît lµ2;3;4;5.... Trong mçi nhãm th× mÉu ®-îc viÕt theo thø tù t¨ng dÇn1;2;3... 5 4 3 2 1 Dodos 5 PS tiÕp theo lµ: , , , , . 1 2 3 4 5 b, Theo c¸ch chia nhãm nh- trªn, tæng cña ntö vµ mÉu cña nhãm thø nhÊt lµ 2, cña 50 nhãm thø hai lµ 3; cña nhãm thø ba lµ 4,... do ®ã PS thuéc nhãm thø (50+31 -1 31 =)80 vµ lµ ph©n sè thø 31 cña nhãm Êy . Sè l-îng c¸c ph©n sè tr-íc nhãm thø 80 lµ :1+2+3+...+79 =3160 50 PS lµ ph©n sè thø :3160+31=3191. 31 Bµi tËp t-¬ng tù : 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 XÐt d·y ph©n sè: ; , ; , , ; , , , ;.... 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 a, H·y nªu quy luËt cña d·y vµ viÕt tiÕp n¨m PS tiÕp theo cña d·y. 19