TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN TIN
*********
Chuyªn ®Ò
QUI NẠP TOÁN HỌC
Giáo viên h ng d nướ ẫ : Đng Đình Hanhặ
Sinh viên th c hi nự ệ : Nguy n Ng c ễ ọ
Thư
L pớ: HK53Toán
Chuyên đ : Qui n p toán h cề ạ ọ
HÀ N I,THÁNG 11-2006Ộ
N I DUNG CHÍNHỘ
1. Ph ng pháp gi iươ ả
2. Các d ng toán đi n hìnhạ ể
3. Ví d minh hoụ ạ
4. L i gi i chi ti tờ ả ế
5. Chú ý
6. Bình lu n phân tíchậ
7. Bài t pậ
2
Chuyên đ : Qui n p toán h cề ạ ọ
Lời mở đầu
Trong khuôn kh gi i h n c a m t chuyên đ nhóm biên so n chúng tôiổ ớ ạ ủ ộ ề ạ
xin không đa ra các khái ni m đnh nghĩa,m nh đ, đnh lí và các tính ch t đãư ệ ị ệ ề ị ấ
có trong SGH ph thông mà ch đa ra các d ng toán kèm theo ph ng pháp gi iổ ỉ ư ạ ươ ả
, ti p đó là các ví d minh h a cùng l i gi i chi ti t. K t thúc ví d là nh ng chúế ụ ọ ờ ả ế ế ụ ữ
ý c n thi t nh m tăng ch t l ng s ph m cho chuyên đ. Sau m i d ng toánầ ế ằ ấ ượ ư ạ ề ỗ ạ
chúng tôi có đa ra m t lo t các bài t p đ ngh đ các b n tham kh o và thư ộ ạ ậ ề ị ể ạ ả ử
s c.ứ
Khi c n dùng đn ki n th c nào chúng tôi s v n trình bày l i tr c khi sầ ế ế ứ ẽ ẫ ạ ướ ử
d ng trong bài gi i c a mình. M c dù đã tham kh o m t l ng r t l n các tàiụ ả ủ ặ ả ộ ượ ấ ớ
li u hi n nay cùng v i s n l c c a b n thân nh ng do trình đ hi u bi t cóệ ệ ớ ự ỗ ự ủ ả ư ộ ể ế
h n nên ch c ch n không tránh kh i thi u sót r t mong đc s góp ý c a th yạ ắ ắ ỏ ế ấ ượ ự ủ ầ
giáo Đng Đình Hanh và t p th l p K 53H. Xin chân thành c m n. ặ ậ ể ớ ả ơ
M t l n n a nhóm biên so n chúng tôi xin bày t lòng c m n t i th yộ ầ ữ ạ ỏ ả ơ ớ ầ
giáo Đng Đình Hanh đã c vũ, đng viên, g i ý, trong quá trình chúng tôi th cặ ổ ộ ợ ự
hi n chuyên đ này, đ chuyên đ s m đc hoàn thành. Xin chân thành c m nệ ề ể ề ớ ượ ả ơ
Th y.ầ
Chúng tôi cũng xin chân thành c m n b n Ph m Trà My đã cung c p choả ơ ạ ạ ấ
chúng tôi nhi u tài li u hay và quý trong quá trình th c hi n chuyên đ.ề ệ ự ệ ề
Th góp ý c a các b n xin g i v đa ch email : ư ủ ạ ử ề ị ỉ tnngocthu@gmail.com
Ng i th c hi nườ ự ệ
Nguy n Ng c Th .ễ ọ ư
3
Chuyên đ : Qui n p toán h cề ạ ọ
QUI N PẠ
Ph ng pháp qui n p th c s có hi u l c v i l p các bài toán ch ng minh m tươ ạ ự ự ệ ự ớ ớ ứ ộ
m nh đ ph thu c vào s t nhiên nệ ề ụ ộ ố ự
N.
Ph ng pháp gi iươ ả
Đ ch ng minh m t m nh đ Q(n) đúng v i m i ể ứ ộ ệ ề ớ ọ
n p
, ta th c hi n 2 b cự ệ ướ
theo th t :ứ ự
B c 1ướ : Ki m tra m nh đ là đúng v i ể ệ ề ớ
n p=
B c 2ướ : Gi s m nh đ đúng v i ả ử ệ ề ớ
n k p=
, ta ph i ch ng minh r ngả ứ ằ
m nh đ đúng v i ệ ề ớ
1n k= +
.
Các dạng toán minh hoạ.
Dạng 1 : Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh một đẳng
thức .
VD1 : Ch ng minh r ngứ ằ : v i m i s t nhiên nớ ọ ố ự
2 ,ta có :
an – bn = (a – b)(a n – 1 + a n – 2.b +… +a.b n -2 +b n– 1 ) (1)
Ta ch ng minh đng th c (1) b ng ph ng pháp qui n p.ứ ẳ ứ ằ ươ ạ
Gi iả
4
Chuyên đ : Qui n p toán h cề ạ ọ
Khi n=2 thì VT(1) = a 2 – b 2 , VP(1) = (a –b)(a+ b)= a2 – b2 .
V y đng th c (1) đúng v i n=2.ậ ẳ ứ ớ
Gi s (1) đúng v i m i n = k ả ử ớ ọ
2 , t c là :ứ
a k – b k = (a – b )(a k-1 + a k-2.b + … + a.b k-2 + b k-1 )
Ta CM (1) cũng đúng v i n=k + 1 , t c là :ớ ứ
a k+1 – b k+1 = (a-b)(ak + a k-1.b +…+ a.b k-1 + bk)
Th t v y : áp d ng gi thi t qui n p , ta có :ậ ậ ụ ả ế ạ
a k+1 - b k+1 = a k+1 – ak.b+ak.b – b k+1
= ak(a-b) + b(ak-bk)
= ak(a-b) +b(a-b)(a k-1 + a k-2.b + …+ a.b k-2 + b k-1 )
= (a-b) [ak + b(a k-1 +a k-2 .b +…+a.b k-2 +b k-1) ]
= (a-b)(ak +a k-1.b +…+a.b k-1 +bk )
V y (1) đúng v i m i s t nhiên nậ ớ ọ ố ự
2.
Bình lu nậ : Trong l i gi i trên ta dùng kĩ thu t thêm b t s h ng b c ch ng minhờ ả ậ ớ ố ạ ở ứơ ứ
(1) đúng vói n = k+1 ,làm nh v y ta đã s d ng đc gi thi t qui n p c a bài toán.ư ậ ử ụ ượ ả ế ạ ủ
Đây là m t kĩ thu t hay có hi u l c m nh m trong vi c đn gi n hoá l i gi i, đc ápộ ậ ệ ự ạ ẽ ệ ơ ả ờ ả ượ
d ng r ng rãi trong quá trình gi i nhi u d ng toán khác nhau ng v i nhi u chuyên đụ ộ ả ề ạ ứ ớ ề ề
khác nhau c a toán ph thông . Ví d sau cho th y rõ đi u này.ủ ổ ụ ấ ề
(ĐTTS_kh i A2002câuố
1
)
5