Chuyên đề So sánh học sinh giỏi Toán lớp 6

Chia sẻ: Tabicani09 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:105

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề So sánh trong bồi dưỡng học sinh giỏi giới thiệu đến các bạn cách nhận diện phương pháp so sánh lũy thừa và các dạng toán so sánh lũy thừa. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề So sánh học sinh giỏi Toán lớp 6

HSG TOÁN 6 CHUYÊN ĐỀ .SO SÁNH A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH 2 LŨY THỪA. I. Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. - Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn 1 ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.   a m  a n a  1  m  n - Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0 ) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.   an  bn n  0  a  b II. Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân a  b và b  c thì a  c   a.c  b.c c  0  a  b II. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa. Dạng 1. III. BÀI TẬP Bài 1: So sánh các số sau đây: a) 1619 và 8 25 c) 2711 và 818 e) 7.213 và 216 b) 523 và 6.5 22 d) 625 5 và 125 7 f) 19920 và 200315 Phân tích: Đưa cả hai lũy thừa về cùng cơ số, so sánh hai số mũ, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn. Lời giải a) 1619 và 8 25 1
TOÁN 6 Ta có: 1619  (24 )19  276 và 825  (23 )25  275 nên 1619  825 (vì 276  275 ) b) 523 và 6.5 22 Ta có: 523  5.522  6.522 nên 6.522  523 c) 2711 và 818 Ta có: 2711  (33 )11  333 và 81  (34 )8  332 nên 2711  818 (vì 333  332 ) d) 625 5 và 125 7 Ta có: 6255  (54 )5  520 và 125  (53 )7  521 nên 6255  1257 (vì 520  521 ) e) 7.213 và 216 Ta có: 216  23.213  8.213  7.213 nên 7.213  216 f) 19920 và 200315 Ta có: 19920  20020  (8.25)20  (23.52 )20  260.540 và 200315  200015  (16.125)15  (24.53 )15  (24.53 )15  260.545 nên 19920  200315 ( vì 260.540  260.545 ) Bài 2: So sánh các số sau đây: 1 1 a) 5100 và 3 500 c) 21 và 35 e) 230  330  430 và 3.2410 2 5 b) 3 39 và 1121   d) 3 2n và 2 3n n  * f) 111979 và 371320 Phân tích: Đưa cả hai lũy thừa về cùng số mũ, so sánh hai cơ số, lũy thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn. Lời giải a) 5100 và 3 500 2
HSG TOÁN 6 Ta có: 5300  (53 )100  125100 và 3500  (35 )100  243100 nên 5300  3500 (vì 125  243  125100  243100 ) b) 3 39 và 1121 Ta có: 3 39  340  (34 )10  8110 và 1121  1120  (112 )10  12110 nên 339 1121 (vì 8120 12110 ) 1 1 c) 21 và 35 2 5 Ta có: 221  (23 )7  87 và 535  (55 )7  31257 nên: 221  535 ( do 87  31257 ) 1 1 Suy ra: 21  35 2 5  d) 3 2n và 2 3n n *  Ta có: 32n  32   9n và 23n  23   8n nên: 32n  23n (vì 9n  8n ) n n e) 230  330  430 và 3.2410 Ta có: 430  230.230  (23 )10 .(22 )15  810.415  810.315  810.310.3  (8.3)10 .3  2410.3 nên: 230  330  430  3.2410 f) 111979 và 371320 Ta có:     660 660 111979  111980  113  1331660 và 371320  372  1369660 nên 111979  371320 (vì 1331660 1369660 ) 3
TOÁN 6 Bài 3: So sánh các số sau: a) A 7245  7244 và B  7244  7243 c) 1010 và 48.50 5 e) 291 và 5 35 b) 9920 và 999910 d) 10750 và 7375 f) 199010  19909 và 199110 Lời giải a) A 7245  7244 và B  7244  7243 Ta có: A 7244 72  1  7244.71 B  7243 72  1  7243.71 nên A  B b) 9920 và 999910     10 10 Ta có: 992  99.101  9999  992  9999 nên: 9920  999910 c) 1010 và 48.50 5 Ta có: 1010  210.510  2.29.510    và 48.505  3.24 . 25.510  3.29.510 suy ra: 1010  48.505 (vì 2.29.510  3.29.510 ) nên: 1010  48.505 d) 10750 và 7375 Ta có: 107 50  10850  4.27  2100.3150 50 và 7375  72  8.9  2225.3150 75 75 4
HSG TOÁN 6 nên: 10750  7375 ( vì 2100.3150  2225.3150 ) e) 291 và 5 35 Ta thấy: 291  290  25   3218 18 và 535  536  52   2518 18 nên: 291  535 (do 291  3218  2518  535 ) f) 199010  19909 và 199110   Ta có: 199010  19909  19909 1990  1  1991.19909 và: 199110  1991.19919 nên 199009  199010 199110 (do 19909 19919 ) Bài 4: So sánh các số sau a) 11022009 11022008 và 11022008 11022007 b) A 20072007  20072008 và B  20082009 Lời giải a) 11022009 11022008 và 11022008 11022007   Ta có: 11022009 11022008  11022008 1102 1  11022008.1101   và 11022008 11022007  11022007 1102 1  11022007.1101 suy ra: 11022008.1101 11022007.1101 5
TOÁN 6 nên: 11022009  11022008  11022008  11022007 b) A 20072007  20072008 và B  20082009   Ta có: A 2007 2007  2007 2008  2007 2007 1  2007  2008.20072007 và B  20082009  2008.20082008  suy ra: 2008.20072007  2008.20082008 20072007  20082008  nên A  B Bài 5: Chứng tỏ rằng : 527  263  528 Lời giải Ta có: 263  27   1289 và 527  53   1259 nên 263  527 (vì 1259  1259 ) 9 9 mà 263  29   5127 và 528  54   6257 nên 263  528 (vì 5127  6257 ) 7 7 Nên: 527  263  528 Bài 6: Chứng minh rằng: a) 21993  7714 b) 21995  5863 Lời giải a) 21993  7714 Ta có: 214  16384  75  16807 1993 714 1993 9965 714 9996 và: 14  90  5 = 90 nên 21993  214   14    7 5 5  7114 Vậy: 21993  7714 6
HSG TOÁN 6 b) 21995  5863 Ta có: 215  32468  57  78125 1995 863 1993 13951 863 12945 và: 15  105  7 = 105 nên 21995  215   15    57 7  5863 Vậy: 21995  5863 Bài tập 7: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100 ; 375 và 5 50 Lời giải Ta có: 2100  (24 )25  1625        25 75 3 75  3  3  27   2100  550  375  550  (52 )25  2525     Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với 1 số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) 1315  1 1316  1 Bài 1: So sánh biểu thức A  và B  1316  1 1317  1 Lời giải 13.(1315  1) 1316  13 1316  1  12 12 Ta có: 13A  16  16  16  1  16 13  1 13  1 13  1 13  1 1316  1 13.(1316  1) 1317  13 1317  1  12 12 và 13B  17  17  17  17  1  17 13  1 13  1 13  1 13  1 13  1 12 12 12 12 Vì 17  16  1  17  1  16 nên 13A  13B 13  1 13  1 13  1 13  1 Vậy A  B 10100  1 1098  1 Bài 2: So sánh biểu thức A  và B  1099  1 1097  1 Lời giải 7
TOÁN 6 1 10100  1 10100  10  9 9 Ta có: A 99  100  1  100 10 10.(10  1) 10  10 10  10 1 1098  1 1098  1 1098  10  9 9 B 97  98  98  1  98 10 10.(10  1) 10  10 10  10 10  10 9 9 9 9 Vì 100  98 nên 1  100  1  98 10  10 10  10 10  10 10  10 Vậy A  B 1920  5 1921  6 Bài 3: So sánh biểu thức A  và B  1020  8 1021  7 Lời giải Ta có: 1920  5 1920  8  13 13 A 20  20  1  20 19  8 19  8 19  8 1921  6 1921  7  13 13 B 21  21  1  21 19  7 19  7 19  7 13 13 13 13 Vì 20  21 nên 1  20  1  21 19  8 19  7 19  8 19  7 Vậy A  B 33.103 3774 Bài 4: So sánh biểu thức A  3 3 và B  2 .5.10  7000 5217 Lời giải 33.10 3 33.103 103.33 33 Ta có: A  3 3  3 3  3  2 .5.10  7000 8.5.10  7.10 10 .(40  7) 47 3774 33 và: B   5217 47 Vậy A  B 8
HSG TOÁN 6 1 1 1 1 Bài 5: So sánh biểu thức A  2  2  2  ....  và B  1 2 3 4 1002 Lời giải 1 1 1 1 Ta có: 2    2 2.1 1 2 1 1 1 1 2    3 2.3 2 3 1 1 1 1 2    4 3.4 3 4 ……………….. 1 1 1 1 2    100 99.100 99 100 Lấy vế cộng vế ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 A 2  2  2  ....  2        ...    1  1 2 3 4 100 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100 Vậy: A  B Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừ tìm cơ số (số mũ) chưa biết Bài 1. Tìm x   biết 25  5x  125 . Lời giải Ta có: 25  5x  3125  52  5x  55  2  x  5 . Do x   nên x  3; 4 . Bài 2. Tìm x   biết 27  9x  81 . Lời giải Ta có: 27  9x  243  33  32x  35  3  2x  5 . 9
TOÁN 6 Do x    2x   nên 2x  4  x  2 . Vậy x  2 . Bài 3. Tìm x   biết 16x  1284 . Lời giải Ta có: 16x  24   2 4 x ; 128 4  27   228 . x 4 Do 16x  1284 nên 24x  228  4x  28  x  7 . mà x    x  0;1;2; 3; 4; 5; 6 . Bài 4. Tìm x   biết 364  x 48  572 . Lời giải Ta giải 364  x 48 và x 48  572 . Ta có x 48  364  x 3   34   x 3  81  x  4 (1) 16 16     24 24 x 48  572  x 2  53  x 2  125  11  x  11 (2) Từ (1) và (2) suy ra 4  x  11 . Vì x    x  5, 6, 7, 8, 9,10 . Bài 5. Tìm x   biết 5x  5x 1  5x 2  100   18 0 : 2 18 so 0 Lời giải Ta có: 5x  5x 1  5x 2  100  0 : 2 18 18 so 0 3 x+3 18 18 5  10 : 2 10
HSG TOÁN 6  53 x 3  518  3x  3  18 . x 5 Vậy x  0;1;2; 3; 4;5 DẠNG 4: Một số bài toán khác. Bài 1: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1 ; 2 ; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần ? Lời giải 1. TH không dùng luỹ thừa : Số lớn nhất viết đựơc là 321 2. TH có dùng luỹ thừa : (Bỏ qua TH cơ số hoặc số mũ bằng 1 và các luỹ thừa tầng vì các giá trị này quá nhỏ so với 321) * Xét các luỹ thừa có số mũ một chữ số đươc 4 số : 13 2 ,312 ,12 3 ,213  213  312 * Xét các luỹ thừa mà số mũ có hai chữ số được 4 số : 213 ,2 31 ,312 ,3 21 21 => 321  3.320  3.(3 2 )10  3.910 & 2 31  2.2 30  2(2 3 )10  2.810  2 313 So sánh 321 và 213  321  39  (33 ) 3  273  213 Vậy số lớn nhất là 321 . Bài 2: a. Số 58 có bao nhiêu chữ số ? b. Hai số 2 2003 và 5 2003 viết liền nhau được số có bao nhiêu chữ số? Lời giải Bài 1. Phương pháp: So sánh lũy thừa với một số luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của số đó. a. 11
TOÁN 6 58  (5 4 )2  6252  6002  360000 108 100000000 100000000 58     400000 28 256 250  360000  58  400000. Do đó 58 có 6 chữ số. b. Giả sử 2 2003 có a chữ số và 5 2003 có b chữ số thì khi viết 2 chữ số liền nhau ta được 1 số có (a + b) chữ số. Vì 10 a 1  2 2003  10 a & 10 b 1  5 2003  10 b Nên 10 a 1 .10 b 1  2 2003 .5 2003  10 a .10 b  10 a  b  2  10 2003  10 a  b Do đó: 2003  a  b  1 Vậy a  b  2004 suy ra số đó có 2004 chữ số. Bài 3: Tìm các chữ số của các số n và m trong các trường hợp sau: a. n  83.155 b. m  416.5 25 Lời giải Phương pháp: Nhóm các luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất hiện luỹ thừa của 10, từ đó lập luận tìm số chữ số của số đó. 3 5 5 Bài 2. a. Ta có n  83.155   23  .  3.5   29.35.55  24.35.  2.5   16.243.10 5  3888.10 5 Số 3888.10 5 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số. Vậy n có 9 chữ số. 16 25 Bài 3. b. Ta có: m  416.525   22  .525  232.525  27.  2.5   128.1025 Bài 4. Số 128.10 25 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số. Vậy m có 28 chữ số. Bài 4: Tìm các số nguyên dương m và n sao cho: 2 m  2 n  256 . 12
HSG TOÁN 6 Lời giải Ta có: 2 m  2 n  256  2 8  2 n (2 m n  1)  2 8  1 Dễ thấy m  n , ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: Nếu m  n  1 thì từ  1 ta có: 2 n.(2  1)  2 8  2n  2 8  n  8 và m  9 . Trường hợp 2: Nếu m  n  2   2 m  n  1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên vế trái của 1 chứa thừa số nguyên tố lẻ khi phân tích ra thừa số nguyên tố, còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2, do đó hai vế của (1) mâu thuẫn nhau. Vậy n  8 và m  9 là đáp số duy nhất. CHỦ ĐỀ 2: SO SÁNH PHÂN SỐ I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT - Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn - Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu dương rồi so sánh các tử lại với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn Từ lý thyết cơ bản ta rút ra nhận xét sau: - Phân số có tử và mẫu là 2 số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0. - Phân số có tử và mẫu là 2 số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0. - Hai phân số có cùng mẫu âm, phân số nào có tử lớn hơn thì nhỏ hơn và ngược lại II. CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP 1: Quy đồng mẫu dương Ví dụ 1: So sánh các phân số sau 13
TOÁN 6 42 180 136 306 a. và b. và 63 216 476 816 Lời giải 42 2 4 180 5 a.   và  63 3 6 216 6 42 180  Mà 6  0 và 4  5 nên 63 216 136 2 16 306 3 21 b.   và   476 7 56 816 8 56 136 306 Mà 56  0 và 16  21 nên  476 816 Ví dụ 2: So sánh các phân số sau 69 2019 287 2476 a. và b. và 665 2020 9111 3007 Lời giải 69 2019 287 2476 a. 0 0 665 2020 b. 9111 3007 7 7 40 4 3 7 Ví dụ 3: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần ; ; ; ; ; 6 8 32 15 10 24 Lời giải 7 140 7 105 40 150    6 120 8 120 32 120 4 32 3 36 7 35    15 120 10 120 24 120 Mà 120  0 và 150  36  32  35  105  140 40 3 4 7 7 7 Nên      32 10 15 24 8 6 5 19 1 1 7 1 Ví dụ 4: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần ; ; ; ; ; 12 27 2 3 18 33 Lời giải 5 495 19 836 1 594    12 1188 27 1188 2 1188 14
HSG TOÁN 6 1 396 7 462 1 36    3 1188 18 1188 33 1188 Mà 1188  0 và 495  462  396  36  594  836 19 1 1 1 7 5 Nên      27 2 33 3 18 12 2 a b 1 Ví dụ 5: Tìm hai số nguyên a, b sao cho    21 9 7 3 Lời giải 2 a b 1 6 7a 9b 21       6  7a  9b  21 21 9 7 3 hay 63 63 63 63 suy ra Vậy: a = 1, b = 1 hoặc a = 1, b = 2 hoặc a = 2, b = 2 PHƯƠNG PHÁP 2: Quy đồng tử dương Ví dụ 1: So sánh các phân số: 17 51 ; 4 3 ; a)  21 và 31  b) 9 và 13 Lời giải 51 51 51 17 51 a) 17  ;    21 63 63 31 21 31 4 12 3 12 12 12 4 3 b)  ;  ;    9 27 13 52 27 52 9 13 Ví dụ 2: So sánh các phân số: 7 5 a) và b ) 4 và 3 421 531 93 134 Lời giải 15
TOÁN 6 7 35 5 35 35 35 7 5 a)  ;  ;    421 2105 531 3717 2105 3717 421 531 4 12 3 12 12 12 4 3 b)  ;  ;    93 279 134 536 273 536 93 134 PHƯƠNG PHÁP 3: Tích chéo với các mẫu dương A. Lý thuyết: a c + Nếu a.d > b.c thì  b d a c + Nếu a.d < b.c thì  b d a c + Nếu a.d = b.c thì  b d B. Ví dụ 5 7 Ví dụ 1: So sánh và 6 8 Lời giải 5 7  vì 5.8
HSG TOÁN 6 Lời giải 3 3 4 4 3 4 Ta viết  và  ; Vì tích chéo –3.5 > -4.4 nên  4 4 5 5 4 5 3 4 Chú ý : Phải viết các mẫu của các phân số là các mẫu dương chẳng hạn  do 3.5 < -4.(-4) 4 5 là sai 12 13 Ví dụ 4: So sánh và 13 14 Lời giải 12 13 Ta có:  vì 12.14  13.13 13 14 7 10 Ví dụ 5: So sánh và 4 3 Lời giải 7 7 10 Ta viết  và 4 4 3 7 10 Vì  7  .3   10  .4 nên  4 3 PHƯƠNG PHÁP 4: DÙNG SỐ HOẶC PHÂN SỐ LÀM TRUNG GIAN 4.1. DÙNG SỐ 1 LÀM TRUNG GIAN ( Chuyên đề so sánh số, phân số). Bài 1. So sánh các cặp phân số 7 19 a) và . 9 17 8 2019 b) và . 7 2020 Lời giải 7 19 7 19 a) Ta có:  1 và  1 nên  . 9 17 9 7 8 2019 8 2019 b) Ta có:  1 và  1 nên  . 7 2020 7 2020 17
TOÁN 6 Bình luận: Một trong các phương pháp so sánh hai phân số là ta so sánh các phân số đó với số 1, nếu một phân số nhỏ hơn 1 và một phân số lớn hơn 1 thì chúng ta có đánh giá được ngay về hai phân số đó. Bài toán tổng quát a bn Cho a, b, m, n là các số tự nhiên khác 0 . So sánh hai phân số và . Khi đó ta rất dễ am b a bn dàng đánh giá 1 . am b Bài 2. So sánh các cặp phân số 19 2005 a) và . 18 2004 1011 2023 b) và . 1010 2021 1930  5 1931  5 c) A và B  . 1931  5 1932  5 Lời giải 19 1 2005 1 1 1 19 2005 a) Ta có:  1  và  1 . Vì  nên  . 18 18 2004 2004 18 2004 18 2004 1011 1 2023 2 1 2 2 1011 2023 b) Ta có  1 và  1 . Vì   nên  . 1010 1010 2021 2021 1010 2020 2021 1010 2021 c) 1930  5 Theo giả thiết A  31 1931  95 suy ra 19 A  31   1931  5  90  90  1  31 . 31 19  5 19  5 19  5 19  5 1932  95 Ta lại có 19 B  32    1932  5  90  1  32 90 . 32 19  5 19  5 19  5 90 90 Vì 19 31  5  1932  5 nên 31  32 . Suy ra 19 A  19 B  A  B . 19  5 19  5 Bình luận: a c a c Một số bài toán so sánh hai phân số và mà ta chỉ ra được  1  M ;  1  N trong đó b d b d M  N thì ta có ngay kết quả so sánh. Tuy nhiên đó là các bài toán dễ ( dạng câu a, b bài 2). Trong thực tế chúng ta thường gặp những bài toán khó hơn ( dạng câu c bài 2), một trong các cách làm là ta phải nhân hoặc chia cả 2 phân số với một số hợp lí để so sánh, từ đó mới có kết luận về hai phân số ban đầu. 18
HSG TOÁN 6 Bài toán tương tự 107  5 108  6 Bài tập 1: Cho hai phân số A  và B  107  8 108  7 So sánh A và B . 108  2 108 Bài tập 2: Cho hai phân số A  và B  . 108  1 108  3 So sánh A và B . 1920  5 1921  6 Bài tập 3: Cho hai phân số A  và B  . 1920  8 1921  7 So sánh A và B . 1010  1 1010  1 Bài tập 4: Cho hai phân số A  và B  . 1010  1 1010  3 So sánh A và B . Bài 3. So sánh các cặp phân số 72 98 a) và . 73 99 2017 1009 b) và . 2019 1010 22008  3 22007  3 c) A và B  . 22007  1 22006  1 Lời giải 72 1 98 1 1 1 72 98 a) Ta có  1  và  1  . Vì  nên  73 73 99 99 73 99 73 99 2017 2 1009 1 1 2 2 2017 1009 b) Ta có  1 và  1 . Vì   nên  . 2019 2019 1010 1010 1010 2020 2019 2019 1010 22008  3 1 22008  3 1 c) Theo giả thiết A  2007 suy ra A  2008  1  2008 . 2 1 2 2 2 2 2 22007  3 1 22007  3 1 Ta lại có B  2006 nên B  2007  1  2007 . 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Vì 22008  2  22007  2 nên 2008  2007 suy ra A  B  A  B 2 2 2 2 2 2 Bình luận: 19
TOÁN 6 a c a c Một số bài toán so sánh hai phân số và mà ta chỉ ra được  1  M ;  1  N trong đó b d b d M  N thì ta có ngay kết quả so sánh. Tuy nhiên đó là các bài toán dễ ( dạng câu a, b bài 2). Trong thực tế chúng ta thường gặp những bài toán khó hơn ( dạng câu c bài 2), một trong các cách làm là ta phải nhân hoặc chia cả 2 phân số với một số hợp lí để so sánh, từ đó mới có kết luận về hai phân số ban đầu. Bài toán tương tự. 218  3 220  3 Bài tập: Cho hai phân số A  và B  . So sánh A và B . 220  3 222  3 20082008  1 20082007  1 Bài 4. Cho hai phân số: A  và B  . So sánh A và B . 20082009  1 20082008  1 Lời giải Cách 1: Với bài toán này chúng ta có thể làm theo phương pháp so sánh với số 1, cách làm tương tự bài số 2 như sau : 20082009  2008 20082009  1  2007 2007 Ta có 2008 A  2009  2009  1 . 2008  1 2008  1 20082009  1 20082008  2018 20082008  1  2017 2017 Ta lại có 2018B  2008  2008  1 . 2008  1 2008  1 20082008  1 2017 2017 Vì 22009  1  22008  1 nên 2009  2008 suy ra 2018 A  2018B  A  B . 2 1 2 1 Ngoài ra bài toán này có thể giải bằng các cách sau: Cách 2: Với mọi số tự nhiên a, b, c ≠ 0, ta chứng minh được: a a ac +) Nếu > 1 thì  . b b bc a a ac +) Nếu