intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Chuyên đề tự luận Toán lớp 10: Vectơ - Nguyễn Trọng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:72

31
lượt xem
4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Chuyên đề tự luận Toán lớp 10: Vectơ - Nguyễn Trọng" được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Trọng, tóm tắt lý thuyết cơ bản, phương pháp giải các dạng toán và bài tập tự luận chuyên đề vectơ (Toán 10 phần Hình học chương 1). Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo tài liệu tại đây.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề tự luận Toán lớp 10: Vectơ - Nguyễn Trọng

  1. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ CHƯƠNG 1 VECTƠ BÀI 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Để xác định một véctơ cần biết một trong hai điều kiện sau: - Điểm đầu và điểm cuối của vectơ. - Độ dài và hướng. 2. Hai vectơ a và b được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Nếu hai vectơ a và b cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 3. Độ dài của một vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. 4. a = b khi và chỉ khi a = b và a , b cùng hướng. 5. Với mỗi điểm A ta gọi vectơ AA là vectơ-không. Vectơ-không được kí hiệu là 0 và quy ước rằng 0 = 0 , vectơ 0 cùng phương cùng hướng với mọi vectơ.  DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỘT VECTƠ, SỰ CÙNG PHƯƠNG VÀ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ. PHƯƠNG PHÁP • Để xác định vectơ ta cần biết điểm đầu và điểm cuối của vectơ hoặc biết độ dài và hướng của chúng. Chẳng hạn với hai điểm A, B phân biệt, ta có hai vectơ khác vectơ-không là AB và BA . • Vectơ a là vectơ-không khi và chỉ khi a = 0 hoặc a = AA với A là điểm bất kì. Bài 1. Cho 5 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho. Lời giải Xét các điểm A, B, C, D, E phân biệt. Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên là: AB, AC, AD, AE , BA, BC, BD, BE , CA, CB, CD, CE , DA, DB, DC, DE , EA, EB, EC, ED . Vậy có 20 véctơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho. Bài 2. Cho Hãy tính số các vectơ mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho Fb: ThayTrongDgl Trang 1
  2. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ trong các trường hợp sau đây: a) Hai điểm. b) Ba điểm. c) Bốn điểm. Lời giải a) Xét hai điểm A, B phân biệt. Ta có AB, BA . Vậy có 2 vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho. b) Xét các điểm A, B, C phân biệt. Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên là: AB, AC , BA, BC , CA, CB . Vậy có 6 vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho. c) Xét các điểm A, B, C, D phân biệt. Các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm trên là: AB, AC, AD , BA, BC, BD , CA, CB, CD , DA, DB, DC . Vậy có 12 vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho. Bài 3. Cho hình bình hành. Hãy chỉ ra các vectơ khác nhau và khác vectơ – không, có điểm đầu và điểm cuối một trong bốn điểm của hình hành. Trong các vectơ trên hãy chỉ ra: a) Các cặp vectơ cùng phương. b) Các cặp vectơ cùng phương nhưng ngược hướng. Lời giải D C A B Giả sử hình bình hành là ABCD . Có 12 vectơ khác nhau và khác vectơ – không, có điểm đầu và điểm cuối một trong bốn điểm của hình hành là AB , AC , AD , BA , BC , BD , CA , CB , CD , DA , DB , DC a) Các bộ vectơ cùng phương với nhau: * AB , BA , CD , DC . * AD , DA , BC , CB . * AC , CA . * BD , DB . b) Các cặp vectơ cùng phương nhưng ngược hướng. AB và BA ; AB và CD , BA và DC , AD và DA , AD và CB , DA và BC , AC và CA . BD và DB . Fb: ThayTrongDgl Trang 2
  3. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Bài 4. Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A , B , C trong các trường hợp sau: a) AB và AC cùng hướng, AB  AC . b) AB và AC ngược hướng. c) AB và AC cùng hướng và AB  AC . Lời giải a) AB và AC cùng hướng, AB  AC . AB và AC cùng hướng  điểm A nằm ngoài đoạn BC . Do AB  AC nên điểm C là điểm giữa của hai điểm A và B . b) AB và AC ngược hướng. AB và AC ngược hướng nên điểm A là điểm giữa hai điểm B và C . c) AB và AC cùng hướng và AB  AC . AB và AC cùng hướng và AB  AC nên điểm B là điểm giữa của hai điểm A và C . Bài 5. Cho hai vectơ không cùng phương u và v . Có hay không có một vectơ cùng phương với hai vectơ đó? Lời giải Có, chọn vectơ đó là vectơ 0 , vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Bài 6. Cho ba vectơ cùng phương u , v , w . Chứng tỏ rằng có ít nhất hai vectơ trong ba vectơ đó cùng hướng. Lời giải Chú ý rằng hai vectơ cùng phương chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. Giả sử u và v không cùng hướng. Khi đó vì w cùng phương với u nên w cùng hướng hoặc ngược hướng với u . Nếu w cùng hướng với u thì bài toán được chứng minh. Nếu w ngược hướng với u thì v , w cùng ngược hướng với u nên hai vectơ v , w cùng hướng nhau. Bài 7. Các khẳng định sau đúng hay sai? a) Hai vecto cùng phương với một vecto thứ ba thì cùng phương. b) Hai vecto cùng phương với một vecto thứ ba khác 0 thì cùng phương. c) Hai vecto cùng hướng với một vecto thứ ba thì cùng hướng. d) Hai vecto cùng hướng với một vecto thứ ba khác 0 thì cùng hướng. e) Hai vecto ngược hướng với một vecto khác 0 thì cùng hướng. Fb: ThayTrongDgl Trang 3
  4. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ f) Điều kiện cần và đủ để hai vecto bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau. Lời giải Trong các khẳng định trên thì: a) Khẳng định sai trong trường hợp vecto thứ ba là vecto 0 . b) Khẳng định đúng. c) Khẳng định sai trong trường hợp vecto thứ ba là vecto 0 . d) Khẳng định đúng. e) Khẳng định đúng. f) Khẳng định sai. Vì: điều kiện cần và đủ để hai vecto bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau và cùng hướng.  DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH HAI VECTƠ BẰNG NHAU PHƯƠNG PHÁP Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta có thể dùng một trong ba cách sau: • Cách 1: a = b và a ; b cùng hướng  a = b . • Cách 2: Tứ giác ABCD là hình bình hành  AB = DC và BC = AD . • Cách 3: Nếu a = b ; b = c thì a = c . Bài 1. Cho tam giác ABC có D , E , F lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh EF = CD Lời giải Theo giả thiết, ta có: D , E , F lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . 1  EF là đường trung bình ABC và EF = BC (1) . 2 1 Lại có D là trung điểm BC  CD = CB ( 2 ) . 2 Dễ thấy EF cùng hướng CD ( 3) Từ (1) ; ( 2 ) ; ( 3)  EF = CD . Fb: ThayTrongDgl Trang 4
  5. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Bài 2. Cho hình bình hành ABCD . Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Điểm I là giao điểm của AM và BN , K là giao điểm của DM và CN . Chứng minh AM = NC , DK = NI Lời giải • Chứng minh AM = NC . Ta có: 1 M trung điểm BC → MC = BC . 2 1 N trung điểm AD → AN = AD . 2 Mà AD = BC  AN = MC  Tứ giác AMCN là hình bình hành  AM = NC . • Chứng minh DK = NI .  AN // MB  1 Ta có:  AN = MB  ABMN là hình bình hành  I là trung điểm NB  NI = NB (1) .  MN // AB 2   DN // MC  1 Ta có:  DN = MC  CDNM là hình bình hành  K là trung điểm MD  DK = DM ( 2 ) .  MN // DC 2   BN // MD Dễ thấy BNDM là hình bình hành do  nên ND = BM ( 3) .  BN = MD Từ (1) ; ( 2 ) ; ( 3)  DK = NI . Bài 3. Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B  là điểm đối xứng của B qua O . Chứng minh AH = BC . Lời giải Fb: ThayTrongDgl Trang 5
  6. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Ta có B  là điểm đối xứng của B qua O nên BB là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 1 Ta có: OC = BB nên tam giác CBB vuông tại C . 2  BC ⊥ BC Ta có:   BC // AH (1) .  AH ⊥ BC 1 Tương tự: OA = BB nên tam giác ABB vuông tại A . 2  BA ⊥ AB Ta có:   BA // CH ( 2) . CH ⊥ AB Từ (1) và ( 2 ) ta có tứ giác AHCB là hình bình hành. Suy ra AH = BC . Bài 4. Cho hình vuông ABCD tâm O . Liệt kê tất cả các véctơ bằng nhau nhận đỉnh hoặc tâm của hình vuông là điểm đầu và điểm cuối. Lời giải Ta có: AB = DC ; BA = CD ; AD = BC ; DA = CB ; AO = OC ; OA = CO ; OB = DO ; BO = OD . Bài 5. Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA . Chứng minh NP = MQ và PQ = NM . Lời giải  1  NP = 2 BD Ta có:   MP = MQ .  MQ = 1 BD  2 Fb: ThayTrongDgl Trang 6
  7. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ  1  PQ = 2 CA Ta có:   PQ = NM .  NM = 1 CA  2 Bài 6. Cho hình bình hành ABCD . Dựng AM = BA , MN = DA, NP = DC, PQ = BC . Chứng minh AQ = 0 . Lời giải  DC = AB Ta có: ABCD là hình bình hành nên  .  BC = − DA ( ) Ta có: AQ = AM + MN + NP + PQ = BA + DA + DC + BC = − AB + DC + DA + BC . = − AB + AB + DA − DA = 0 . Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC . Tia AO cắt đường tròn tâm O tại D . Chứng minh HB = CD . Lời giải Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên HB ⊥ AC Vì tia AO cắt đường tròn tâm O tại D nên AD là đường kính của đường tròn tâm O  ACD = 90  CD ⊥ AC Từ và  HB // CD Chứng minh tương tự  BD // HC Fb: ThayTrongDgl Trang 7
  8. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Do đó tứ giác BDCH là hình bình hành Khi đó ta có: HB cùng chiều với CD và HB = CD Vậy HB = CD . Bài 8. Tứ giác ABCD là hình gì nếu có AB = DC và AB = BC . Lời giải  AB = DC Vì AB = DC  AB = DC và AB cùng phương với DC    AB // DC Nên tứ giác ABCD là hình bình hành Vì AB = BC  AB = BC Nên ABCD là hình thoi. Bài 9. Cho a + b = 0 . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b . Lời giải Ta có: a + b = 0  a + b = 0  a và b là hai véc tơ đối nhau. Do đó, hai vectơ a và b cùng phương, ngược chiều và cùng độ dài. Bài 10. Cho hai véc tơ a và b là hai vectơ khác vectơ_không. Khi nào đẳng thức sau xảy ra? a) a + b = a + b . b) a + b = a − b . Lời giải a) a + b = a + b . ( ) 2 2 2 2 2 2 Ta có: a + b = a + b = a + b + 2.a.b = a + b + 2.a.b . ( ) 2 2 2 Và a + b = a + b + 2. a . b . ( ) ( ) 2 2 Do đó a + b = a + b  a + b = a + b  a.b = a . b , mà a.b = a . b .cos a , b . ( )  cos a , b = 1  a , b = 0 . ( )  a và b là hai vectơ cùng chiều. Fb: ThayTrongDgl Trang 8
  9. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ b) a + b = a − b . ( a + b = a − b  a + b + b = a  a + b + −b = a + b + −b . ) ( ) ( ) ( ) hay a + b + −b = a + b + −b . Áp dụng phần a) ta suy ra a + b và −b là hai vectơ cùng chiều. Hay a + b và b là hai vectơ ngược chiều. Bài 11. Cho tam giác ABC . Vẽ D đối xứng với A qua B , E đối xứng với B qua C và F đối xứng với C qua A . Gọi G là giao điểm của trung tuyến AM của tam giác ABC với trung tuyến DN của tam giác DEF . Gọi I và K lần lượt là trung điểm GA và GD . Chứng minh rằng: a) AB = NM . b) MK = NI . Lời giải a) AB = NM . Ta có A, N lần lượt là trung điểm của FC, FE 1 1  AN = CE = BC . 2 2 1 Mà BM = BC suy ra AN = BM  tứ giác ANMB là hình bình hành  NM = AB . 2 b) MK = NI . 1 Ta có I , K lần lượt là trung điểm của GA và GD  IK = AD = AB = NM  tứ giác INMK là 2 hình bình hành nên MK = NI . Bài 12. Cho tam giác ABC và M là một điểm không thuộc các cạnh của tam giác. Gọi D , E , F lần lượt là trung điểm của AB , BC , CA . Vẽ điểm P đối xứng với M qua D , điểm Q đối xứng với P qua E , điểm N đối xứng với Q qua F . Chứng minh rằng MA = AN . Lời giải Fb: ThayTrongDgl Trang 9
  10. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Ta có : +) D là trung điểm AB và M đối xứng P qua D  D là trung điểm MP . Nên AMBP là hình bình hành  MA = BP (1) . +) E là trung điểm BC và P đối xứng Q qua E  E là trung điểm PQ . Nên BPCQ là hình bình hành  BP = QC ( 2 ) . +) F là trung điểm AC và Q đối xứng N qua F  F là trung điểm NQ . Nên QCNA là hình bình hành  QC = AN ( 3) . Từ (1) ; ( 2 ) và ( 3)  AN = QC = BP = MA  MA = AN . Bài 13. Cho tam giác ABC và tam giác AEF có cùng trọng tâm G . Chứng minh: BE = FC . Lời giải Ta có G là trọng tâm ABC  GA + GB + GC = 0 (1) . Và G là trọng tâm AEF  GA + GE + GF = 0 ( 2 ) . Từ (1) và ( 2 ) :  GA + GB + GC = GA + GE + GF  GB + GC = GE + GF  GC − GF = GE − GB  FC = BE Fb: ThayTrongDgl Trang 10
  11. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Định nghĩa tổng và hiệu của hai véctơ và quy tắc tìm tổng • Cho hai véctơ tùy ý a ; b . Lấy điểm A tùy ý, dựng AB = a ; BC = b . Khi đó, tổng của hai vectơ a và b là a + b = AB + BC = AC . • Với ba điểm M ; N ; P tùy ý ta luôn có: MN + NP = MP (quy tắc ba điểm). • Tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC . 2. Định nghĩa véctơ đối • Vectơ b là vectơ đối của véctơ a nếu a = b và a ; b là hai vectơ ngược hướng. Kí hiệu: b = −a . • Nếu a là vectơ đối của véctơ b thì b là vectơ đối của vectơ a hay − ( − a ) = a . • Mỗi vectơ đều có vectơ đối. Vectơ đối của AB là BA . • Vectơ đối của 0 là 0 . 3. Định nghĩa hiệu của hai véctơ và quy tắc tìm hiệu ( ) a −b = a + −b . Ta có: OB − OA = AB , với ba điểm O , A , B bất kỳ (quy tắc trừ). 4. Tính chất của phép cộng các véctơ Với ba véctơ a ; b ; c bất kỳ ta có: • a + b = b + a (tính chất giao hoán). ( ) ( ) • a + b + c = a + b + c (tính chất kết hợp). • a + 0 = 0 + a (tính chất véctơ không). • a + ( −a ) = −a + a = 0 . 5. Tính chất trung đểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0 . b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0 .  DẠNG TOÁN 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ PHƯƠNG PHÁP Fb: ThayTrongDgl Trang 11
  12. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, hệ thức trung điểm, trọng tâm kết hợp với các tính chất phép cộng, phép trừ, phép nhân để biến đổi tương đương cho biểu thức cần chứng minh. Khi đó ta có hướng sau: • Cách 1: Biến đổi một vế thành một vế còn lại. Khi đó nếu xuất phát từ vế phức tạp, ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức. Còn nếu xuất phát từ vế đơn giản, ta cần thực hiện phép phân tích vectơ. • Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng. Hoặc ngược lại, biến đổi một đẳng thức vectơ là luôn đúng thành đẳng thức vectơ cần chứng minh. Bài 1. Cho 5 điểm A , B , C , D , E . Chứng minh rằng: a) AB + CD + EA = CB + ED . b) CD + EA = CA + ED . Lời giải a) AB + CD + EA = CB + ED . ( ) (  AB − CB + CD + EA − ED = 0 )  AB + BC + CD + DA = 0  AA = 0 . b) CD + EA = CA + ED .  CD − CA = ED − EA  AD = AD . Bài 2. Cho cho tứ giác lồi ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB , CD và G là trung điểm EF . Chứng minh rằng: a) AC + BD = AD + BC = 2EF . b) GA + GB + GC + GD = 0 . Lời giải a) AC + BD = AD + BC = 2EF . • AC + BD = 2EF (1) . Do E là trung điểm AB nên 2OE = OA + OB với O là một điểm tùy ý. Do F là trung điểm CD nên 2OF = OC + OD với O là một điểm tùy ý. (1)  OC − OA + OD − OB = 2OF − 2OE Fb: ThayTrongDgl Trang 12
  13. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ ( ) (  OC − OA + OD − OB = OC + OD − OA + OB )           OC − OC  +  OD − OD  −  OB − OB  +  OA − OA  = 0  ĐPCM.          0   0   0   0  • AD + BC = 2EF ( 2 ) . Do E là trung điểm AB nên 2OE = OA + OB với O là một điểm tùy ý. Do F là trung điểm CD nên 2OF = OC + OD với O là một điểm tùy ý. ( 2)  OD − OA + OC − OB = 2OF − 2OE ( ) (  OD − OA + OC − OB = OC + OD − OA + OB )           OC − OC  +  OD − OD  −  OB − OB  +  OA − OA  = 0  ĐPCM.          0   0   0   0  b) GA + GB + GC + GD = 0 ( 3) . Do E là trung điểm AB nên 2OE = OA + OB với O là một điểm tùy ý. Do F là trung điểm CD nên 2OF = OC + OD với O là một điểm tùy ý. (3)  ( 2GE − GB ) + GB + GC + ( 2GF − GC ) = 0    2GE + 2GF = 0  2  GE + GF  = 0  ĐPCM.    0  Bài 3. Cho hình bình hành ABCD . Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Tìm tổng của hai vectơ NC và MC ; AM và CD ; AD và NC . Lời giải Vì MC = AN , nên: NC + MC = AN + NC = AC . Vì AM = NC , nên: AM + CD = NC + CD = ND . Gọi I là trung điểm NC . Vì NC = AM , AD = 2 AN , nên AD + NC = AN + AN + AM = AN + AC = 2 AI . Bài 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi hai điểm M và N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn AD , BC . Fb: ThayTrongDgl Trang 13
  14. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ a) Chứng minh rằng MN = 1 2 ( 1 ) ( AB + DC = AC + DB . 2 ) b) Gọi I là trung điểm của MN . Chứng minh rằng: IA + IB + IC + ID = 0 . Lời giải a) Chứng minh rằng MN = 1 2 ( 1 ) ( AB + DC = AC + DB . 2 ) • Chứng minh MN = 1 2 ( AB + DC . ) Vì M là trung điểm của AD nên MA + MD = 0 Vì N là trung điểm của BC nên BN + CN = 0 Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:  MN = MA + AB + BN  MN = MD + DC + CN  ( ) ( )  2MN = MA + MD + AB + CD + BN + CN = 0 + AB + CD + 0 = AB + CD .  MN = 1 2 ( AB + DC . ) • Chứng minh 1 2 ( 1 ) ( AB + DC = AC + DB . 2 )   AB = AC + CB   AB + CD = AC + DB + CB + BC = AC + DB  .   DC = DB + BC Vậy: MN = 1 2 ( 1 ) ( AB + DC = AC + DB  . 2 ) b) Gọi I là trung điểm của MN . Chứng minh rằng: IA + IB + IC + ID = 0 . Áp dụng hệ thức trung điểm, ta có:   IA + ID = 2 IM   + = ( )  IA + ID + IB + ID = 2 IM + IN = 2.0 = 0 .  IB ID 2 IN Bài 5. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Chứng minh: OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 . Lời giải Fb: ThayTrongDgl Trang 14
  15. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Vì O là tâm của hình lục giác đều ABCDEF nên ta có: OA và OD ; OB và OE ; OC và OF là các cặp vectơ đối nhau nên ta có: OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 ( ) ( ) (  OA + OD + OB + OE + OC + OF = 0 )  0 = 0. Bài 6. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O . a) Chứng minh rằng: hai vectơ OA + OB và OC + OE đều cùng phương với OD . b) Chứng minh hai vectơ AB và EC cùng phương. c) Chứng minh: OA + OB + OC + OD + OE = 0 . Lời giải a) Chứng minh rằng: hai vectơ OA + OB và OC + OE đều cùng phương với OD . Gọi d là đường thẳng chứa OD thì d là một trục đối xứng của ngũ giác đều. Ta có: OA + OB = OM , trong đó M là đỉnh của hình thoi OAMB và M  d . Tương tự: OC + OE = ON , trong đó N là đỉnh của hình thoi OENC và N  d . Do đó: hai vectơ OA + OB và OC + OE đều có giá là đường thẳng d nên cùng phương với nhau và cùng phương với OD . b) Chứng minh hai vectơ AB và EC cùng phương.  EC ⊥ d Ta có: OAMB và OENC là các hình thoi nên ta có:   AB // EC .  AB ⊥ d Fb: ThayTrongDgl Trang 15
  16. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Do đó: hai vectơ AB và EC cùng phương. c) Chứng minh: OA + OB + OC + OD + OE = 0 . Theo câu a) ta có: ( ) ( ) v = OA + OB + OC + OD + OE = OA + OB + OC + OE + OD = OM + ON + OD Nên v có giá là đường thẳng d . ( ) ( ) Mặt khác: v = OB + OC + OD + OA + OE thì v có giá là đường thẳng OE . Vì v có 2 giá khác nhau nên v = 0 . Vậy OA + OB + OC + OD + OE = 0 . Bài 7. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm BC và I là trung điểm của AM . a) Chứng minh rằng: 2IA + IB + IC = 0 . b) Với O là điểm bất kì, chứng minh rằng: 2OA + OB + OC = 4OI . Lời giải a) Chứng minh rằng: 2IA + IB + IC = 0 . Ta có: 2IA + IB + IC = 2 IA + 2 IM ( IB + IC = 2IM do M là trung điểm BC ) ( = 2 IA + IM ) = 0 ( IA + IM = 0 do I là trung điểm của AM ). b) Với O là điểm bất kì, chứng minh rằng: 2OA + OB + OC = 4OI . Ta có: 2IA + IB + IC = 0  2IO + 2OA + IO + OB + IO + OC = 0  4IO + 2OA + OB + OC = 0  2OA + OB + OC = −4IO  2OA + OB + OC = 4OI . Bài 8. Cho tứ giác ABCD . Gọi E, F , G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng: a) AF + BG + CH + DE = 0 . b) MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH . Fb: ThayTrongDgl Trang 16
  17. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ c) AB + AC + AD = 4 AI với I là trung điểm FH . Lời giải a) AF + BG + CH + DE = 0 . Ta có: AF + BG + CH + DE = 1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 AB + AC + BC + BD + CD + CA + DA + DB 2 ) ( ) = 1 2 (AB + AC + BC + BD + CD + CA + DA + DB ) = 1 2 ( ) AB + BC + CD + DA + AC + CA + BD + DB = 0 . b) MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH . Ta có: MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH  ME + MF + MG + MH − MA − MB − MC − MD = 0  MF − MA + MG − MB + MH − MC + ME − MD = 0  AF + BG + CH + DE = 0 . c) AB + AC + AD = 4 AI với I là trung điểm FH . Ta có: AB + AC + AD = 2 AF + AD ( AB + AC = 2 AF do F là trung điểm BC ) = 2 AF + 2 AH ( ) = 2 AF + AH = 4 AI ( AF + AH = 2 AI do I là trung điểm FH ). Bài 9. Cho hình bình hành ABCD tâm O , M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng: a) OA + OB + OC + OD = 0. b) DA − DB + DC = 0. c) DO + AO = AB. d) MA + MC = MB + MD = 2MO. Lời giải Fb: ThayTrongDgl Trang 17
  18. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ B C O A D a) OA + OB + OC + OD = 0. Ta có: O là trung điểm của AC và BD nên OA + OC = 0 và OB + OD = 0. Vậy: OA + OB + OC + OD = 0. b) DA − DB + DC = 0. Ta có: DA − DB + DC = BA + DC = 0 Vậy: DA − DB + DC = 0. c) DO + AO = AB. Ta có: O là trung điểm của BD nên DO = OB. Do đó: DO + AO = OB + AO = AO + OB = AB. Vậy: DO + AO = AB. d) MA + MC = MB + MD = 2MO. Ta có: O là trung điểm của AC và BD nên OA + OC = 0 và OB + OD = 0. Do đó: MA + MC = MO + OA + MO + OC = 2MO. MB + MD = MO + OB + MO + OD = 2MO. Vậy: MA + MC = MB + MD = 2MO. Bài 10. Cho hình bình hành ABCD tâm O và E là trung điểm của AD . Chứng minh rằng: a) OA + OB + OC + OD = 0. b) EA + EB + 2EC = 3AB. c) EB + 2EA + 4ED = EC. Lời giải B C O A E D a) OA + OB + OC + OD = 0. Ta có: O là trung điểm của AC và BD nên OA + OC = 0 và OB + OD = 0. Fb: ThayTrongDgl Trang 18
  19. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ Vậy: OA + OB + OC + OD = 0. b) EA + EB + 2EC = 3AB. ( Ta có: EA + EB + 2EC = EA + EA + AB + 2 EA + AB + BC ) = 4EA + 2BC + 3AB = 2DA + 2BC + 3AB ( ) = 2 DA + BC + 3 AB = 3 AB Vậy: EA + EB + 2EC = 3AB. c) EB + 2EA + 4ED = EC. Vì E là trung điểm của AD nên EA + ED = 0 ( Ta có: EB + 2EA + 4ED = EC + CB + 2 EA + ED + 2ED ) = EC + CB + 2ED = EC + CB + AD = EC . Vậy: EB + 2EA + 4ED = EC. Bài 11. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là trung điểm của CD . Lấy N trên đoạn BM sao cho BN = 2MN . Chứng minh rằng: a) 3AB + 4CD = CM + ND + MN. b) AC = 2.AB + BD . 4 2 c) AN = AB + BD. 3 3 Lời giải A B N D M C a) 3AB + 4CD = CM + ND + MN. ( ) Ta có 3. AB + 4.CD = 3. AB + 3.CD + CD = 3. AB + CD + CD = CD CM + ND + MN = CM + MN + ND = CD . Vậy 3. AB + 4.CD = CM + ND + MN. b) AC = 2.AB + BD . ( ) Ta có 2. AB + BD = AB + BD + AB = AD + AB = AC . 4 2 c) AN = AB + BD. 3 3 Ta có AN = AB + BN Fb: ThayTrongDgl Trang 19
  20. CĐ TỰ LUẬN TOÁN 10 HÌNH HỌC_C1_VECTƠ 2 2 1 3 2 1 3 1 = AB + BM = AB + . BD + BC = AB + BD + BC 3 3 ( ) 1 1 3 1 3 1 = AB + BD + AD = AB + BD + AB + BD 3 3 ( ) 4 2 = AB + BD . 3 3 Bài 12. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ACD . Chứng minh rằng: 1 2 1 a) AM = AB + AD. b) MG = − AB + AD. 2 3 6 Lời giải A D G I B M C 1 a) AM = AB + AD. 2 Ta có AM = 1 2 ( 1 ) AB + AC = AB + AB + AD 2 ( ) 1 = AB + AD. 2 2 1 b) MG = − AB + AD. 3 6 Ta có MG = MA + AG 2 = − AM + AI 3 =− 1 2 ( 2 1 ) AB + AC + . AD + AC 3 2 ( ) =− 1 2 ( 2 1 ) AB + AB + AD + . AD + AB + AD 3 2 ( ) 2 1 = − AB + AD. 3 6 Bài 13. Cho tam giác ABC có D, M lần lượt là trung điểm của BC và AB , điểm N thuộc cạnh AC sao cho NC = 2 NA. Gọi K là trung điểm của MN . Chứng ming rằng: 1 1 1 1 a) AK = AB + AC. b) KD = AB + AC. 4 6 4 3 Fb: ThayTrongDgl Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2