Đáp án đề thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT chuyên năm 2005 môn Toán - Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên

Chia sẻ: Nguyen Duong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

212
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp cho các bạn học sinh có thêm thông tin và kỹ năng để giải các bài toán lớp 10 mà tài liệu "Đáp án đề thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT chuyên năm 2005 môn Toán" đã được Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên biên soạn. Với 5 câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đáp án đề thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT chuyên năm 2005 môn Toán - Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên

§¹i häc quèc gia hµ néi ®¸p ¸n ®Ò thi tuyÓn sinh líp 10 Trêng ®¹i häc khoa häc tù nhiªn HÖ THPT chuyªn n¨m 2005 M«n: to¸n (Cho thÝ sinh thi vµo Chuyªn To¸n hoÆc Chuyªn Tin) C©u I Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 x 2 x 4 x2 2 ®iÒu kiÖn: 2 x 2 . t2 4 §Æt t 2 x 2 x 4 x2 2 Ph¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng: t 2 2t 8 0 t1 = - 4 (lo¹i) t2 2 2 x 2 x 2 4 2 4 x2 4 x 2. C©u II Do x 3 y3 xy 2 1 nªn ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ cã d¹ng: 4x 4 y4 (4x y ) (x 3 y 3 xy 2 ) xy (3y 2 4xy x 2 ) 0 a) x = 0 y=1 hÖ cã nghiÖm (0, 1). b) y = 0 x=1 hÖ cã nghiÖm (1, 0). c) 3y2 - 4xy + x2 = 0 (*) víi x 0 chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh (*) cho x2 ta nhËn ®îc: 2 y y 3 4 1 0 x x y §Æt t 3t2 - 4t + 1 = 0 x 1 t1 = 1, t2 = . 3 y * Víi 1 x=y x=y=1. x 1
y 1 1 3 * Víi x = 3y 25y3 = 1 y 3 x 3 . x 3 25 25 VËy hÖ cã tÊt c¶ c¸c nghiÖm lµ: 3 x x 0 x 1 x 1 3 25 y 1 y 0 y 1 1 y 3 . 25 C©u III 1) Tõ (x y) 2 2(x 2 y 2 ) 2 x y 2 1 DÊu b»ng xÈy ra khi x y . 2 Ta l¹i cã: ( x y) 2 x 2 y 2 2 xy 1 2xy 1 x y 1 DÊu b»ng xÈy ra khi x = 0 hoÆc y = 0. 2) P 1 2x 1 2y P 2 2 2( x y) 2 1 2( x y) 4xy . Do x y 2 va 4 xy 2( x 2 y2 ) 2 P2 2 2 2 2 1 2 2 2 P 2 2 2 2 3 2 2 VËy P 2 2 2 2 3 2 2 max §¹t ®îc khi 1 x y . 2 MÆt kh¸c, do x + y 1 vµ 4xy 0 Ta cã P2 2 2 2 1 2 0 P 4 2 3 VËy P 4 2 3 min §¹t ®îc khi x = 0 hoÆc y = 0 . 2
C©u IV 1) LÊy ®IÓm P' kh¸c phÝa víi ®iÓm P ®èi víi ®êng th¼ng AB sao cho BPP' vu«ng c©n (vu«ng t¹i B) (xem h×nh 1) Ta cã BPC = BP'A (c.g.c) BP'A = 135o Do BP'P = 45o PP'A = 90o Theo Pitago: PA2 = AP'2 + P'P2 = PC2 + 2PB2 . 2) Tríc hÕt ta chøng minh nhËn xÐt sau (xem h×nh 2) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, I lµ ®IÓm n»m trong h×nh ch÷ nhËt. Qua I kÎ c¸c ®êng th¼ng MN, PQ t¬ng øng song song víi AB, AD. Gäi diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt IPBN lµ S1 , diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt IQDM lµ S2 . Khi ®ã S1 = S2 khi vµ chØ khi I thuéc ®êng chÐo AC. ThËt vËy: Gi¶ sö I thuéc ®êng chÐo AC, chó ý r»ng ®êng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt chia h×nh ch÷ nhËt thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau nªn dÔ dµng suy ra S1 = S2 . Ngîc l¹i, gi¶ sö S1 = S2 , khi ®ã do: S1 = S 2 IN.IP = IM.IQ IN IQ NC IM IP MA hai tam gi¸c vu«ng MAI, NIC ®ång d¹ng víi nhau MIA = NIC . Do M, I, N th¼ng hµng A, I, C th¼ng hµng. B©y giê ta chøng minh bµi to¸n (xem h×nh 3) DÔ thÊy NBMQ lµ h×nh ch÷ nhËt. Qua P vµ Q kÎ c¸c ®êng th¼ng song song víi c¸c c¹nh cña h×nh vu«ng. Do P thuéc ®êng chÐo AM cña h×nh ch÷ nhËt ABMR nªn SBLPK = SPIRS . Do P thuéc ®êng chÐo CN cña h×nh ch÷ nhËt NBCH nªn SBLKP = SPTHF Tõ ®ã suy ra: SPIRS = SPTHF Do hai h×nh ch÷ nhËt nµy cã phÇn chung lµ h×nh ch÷ nhËt PIQF nªn SFQRS = SQITH Theo nhËn xÐt ®· chøng minh, suy ra Q thuéc ®êng chÐo PD cña h×nh ch÷ nhËt SPTD, tøc PQ ®i qua ®iÓm D. C©u V: 1) C¸c ®Ønh cña (H) chia ®êng trßn ngo¹i tiÕp nã thµnh 14 cung b»ng nhau, 3
mçi cung cã sè ®o lµ = 3600/14. C¸c d©y nèi hai ®Ønh cña (H) ch¾n c¸c cung nhá cã sè ®o lµ , 2 , 3 , …..,7 , do vËy ®é dµi c¸c d©y ®ã chØ nhËn 7 gi¸ trÞ kh¸c nhau. LÊy 6 ®Ønh cña (H) th× sè d©y nèi hai ®Ønh trong 6 ®Ønh ®ã lµ (6 x5) : 2 = 15. V× 15 d©y nµy cã c¸c ®é dµi nhËn kh«ng qu¸ 7 gi¸ trÞ kh¸c nhau nªn ph¶i cã ba d©y cïng ®é dµi. Trong ba d©y ®ã lu«n cã hai d©y kh«ng chung ®Çu mót (v× nÕu hai d©y bÊt kú trong ba d©y ®ã ®Òu chung ®Çu mót th× ba d©y b»ng nhau ®ã t¹o thµnh mét tam gi¸c ®Òu, do ®ã sè ®Ønh cña (H) chia hÕt cho 3 - tr¸i víi gi¶ thiÕt). DÔ thÊy hai d©y b»ng nhau cña mét ®êng trßn kh«ng chung ®Çu mót th× 4 ®Çu mót cña chóng lµ 4 ®Ønh cña mét h×nh thang (c©n). Tõ ®ã suy ra trong 6 ®Ønh bÊt kú cña (H) lu«n cã 4 ®Ønh lµ c¸c ®Ønh cña mét h×nh thang. 2) Ph©n tÝch 13.860 thµnh nh©n tö nguyªn tè ta ®îc 13.860 = 2.2.3.3.5.7.11 v× m.n = 13.860 nªn m ph¶i lµ íc sè cña 13.860 tøc lµ tÝch cña mét sè nh©n tö trong 7 nh©n tö trªn, cßn n lµ tÝch cña c¸c nh©n tö cßn l¹i. NÕu m cã chøa nh©n tö 2 (hoÆc 3) th× nã ph¶i chøa 2 2 (hoÆc 32) v× ngîc l¹i th× m/n kh«ng tèi gi¶n. Do ®ã nÕu ta ký hiÖu a1 = 22, a2 = 32, a3 = 5, a4 = 7, a5 = 11 th× m lµ tÝch cña mét sè nh©n tö trong sè a1, a2, a3, a4, a5 cßn n lµ tÝch c¸c nh©n tö cßn l¹i. V× vËy, chØ cã c¸c trêng hîp sau: 1) Cã 1 ph©n sè cã tö sè lµ 1 (mÉu sè lµ 13.860) 2) Cã 5 ph©n sè cã tö sè lµ 1 trong 5 nh©n tö a1, a2, …… a5. 3) Cã 10 ph©n sè cã tö sè lµ tÝch cña hai nh©n tö trong sè a 1, a2, …… a5 4) Cã 10 ph©n sè cã tö sè lµ tÝch cña ba nh©n tö…..(mÉu lµ tÝch cña hai nh©n tö). 5) Cã 5 ph©n sè cã tö sè lµ tÝch cña 4 nh©n tö 6) Cã 1 ph©n sè cã tö sè lµ tÝch cña c¶ 5 nh©n tö (tøc lµ sè 13860/1) VËy sè ph©n sè tèi gi¶n m/n tho¶ m·n m.n = 13.860 lµ 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 C¸c ph©n sè trªn ®îc chia thµnh tõng cÆp nghÞch ®¶o cña nhau vµ kh¸c 1 nªn sè ph©n sè lín h¬n 1 lµ 32/2 = 16. 4