Chuyên đề VI: Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng của tích phân

Chia sẻ: Paradise2 Paradise2 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

131
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề vi: nguyên hàm-tích phân, ứng dụng của tích phân', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề VI: Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng của tích phân

Chuyên đề VI: Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng của tích phân . 1. Tích phân Lý huyết - F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  . Khi đó b b  f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  . a - Ghi nhớ các tính chất cộng, trừ tích phân và công thức tính các nguyên hàm của hàm số thường gặp.   k . f  x  dx  k  f  x  dx , (k là hằng số) dx 1 dx   dx  x  C ;  x2   x  C ;   2 x C x - Cách tính vi phân của hàm số y  g  x  là: d  g  x    g   x  dx Ví dụ 1: Với u  3x  5 , ta có du  d  3x  5    3 x  5  .dx  3dx Với t  x 2  1 , ta có t 2  x 2  1 . Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng), ta được    d t 2  d x2 1       t 2 dt  x 2  1 dx  2t.dt  2 x.dx  tdt  xdx Ví d ụ 2 : 2 2 2 2   2 2 a) I   3 x  x  2 dx   3x dx   xdx   2dx 1 1 1 1 2 2 2 2 2 x3 x2 2 2  3 x dx   xdx  2  dx  3.   2 x1 31 21 1 1 1
2 x2  2 2 12  15 32 2    2 x 1  23  13       2.2  2.1  x  21  2 2 2 1 3 2 x2     2   x3  Có thể tính gộp: I    2x  3 x  x  2 dx 2  1 1 22 12    5 15   23   2.2   13   2.1  10   2 2 22    4 4 4 1 1 1 2 x  1dx    2 x  1 2 dx    2 x  1 2 d  2 x  1 b) J   20 0 0 4  1 1  4 34   2 x  1 2  1 1 1 3    2 x  1 2   2 x  1  1 2 3 3 0 1  0 2  0 1 1 26   2.4  13   2.0  13    27  1    3 3 3  Nhận xét: Với đa số học sinh trung bình thì nên tính tích phân trên bằng phương pháp đổi biến t  2 x  1  t 2  2 x  1 Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng) ta được  d t 2  d  2 x  1  2tdt  2dx  tdt  dx Đổi cận: Với x  1 ta có t  2.0  1  1 ; với x  4 ta có t  3 3 3 3 t3 33 13 26 2 Vậy J   t.tdt   t dt    31 33 3 1 1 Bài tập: 1 Câu 1 (Đề TN 2008, L2, KPB): Tính I   3 x  1dx . 0 Câu 2 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH):
2   Tính tích phân I   6 x 2  4 x  1 dx 1 Đáp số: Câu 1: I  14 9 ; Câu 2: I  9 2. PP đổi biến số. Lý huyết Một số dạng thường gặp: b  I1   f  sin x  cos xdx . Đặt t  sin x , ta có dt  cos xdx a b I1   f  cos x  sin xdx . Đặt t  cos x , ta có dt   sin xdx a sin b cos b  f t  dt  f  t  dt Khi đó I1  hoặc I1   sin a cos a b 1 dx  I 2   f  tan x  . . Đặt t  tan x , ta có dt  dx cos 2 x cos 2 x a tan b  f t  dt Khi đó I 2  tan a b   I 3   f e x e x dx . Đặt t  e x , ta có dt  e x dx a eb  f  t  dt Khi đó I 3  ea  Tổng quát: b I 3   f u  x   .u   x  dx . Đặt t  u  x  , dt  u  x  dx   a
 6   cos x  1 sin xdx Ví dụ 1: Tính I   3  Đặt t  cos x , ta có dt  d  cos x    sin xdx .   3  Đổi cận: Với x  , ta có t  cos  6 2 6  1 Với x  , ta có t  cos  . 3 32 3 3 1 2  t2  2 2  t  1  dt   1 t  1 dt    t   Khi đó I  2 1 3 2 2 2   3 2  2 1    2  3  2 1 3 3 1 1 31            2  2  2 2 8 2 8 2 2 4       Ghi chú: các em cũng có thể đặt t  cos x  1  2 cos x Ví dụ 2: Tính J   3  sin x dx 0  2 1 Ta viết lại J  (có dạng I1 )  3  sin x .cos xdx 0  Đặt t  sin x , ta có dt  d  sin x    sin x  .dx  cos xdx  Đổi cận: Với x  0 , ta có t  sin 0  0 .   Với x  ta có t  sin  1 . 2 2 1 1 d  t  3 1 1  ln  t  3 0   Vậy J   dt   t 3 t 3 0 0
4  ln 1  3   ln  0  3  ln 4  ln 3  ln 3 Ghi chú: Với bài này có thể đặt t  3  sin x . Ta có dt  d  3  sin x    3  sin x  dx  cos xdx  Đổi cận: x  0  t  3  sin 0  3   x  t  3  sin  3  1  4 2 2 4 4 dt 4  Khi đó J    ln t 3  ln 4  ln 3  ln 3 t 3 Cách đặt này giúp lời giải gọn và phép tính tích phân dễ thực hiện hơn rất nhiều so với cách 1. Các em lưu ý nhé ! b du b Ghi nhớ: Trong quá trình tính tích phân dạng  u  ln u a cần vận dụng vi a phân để tính nhanh. Chẳng hạn dx  d  x  m  với mọi m là hằng số. 1 d  mx  n  với mọi m, n là hằng số. dx  m dx Ví như, trong mẫu có dạng u  x  1 , nhưng tử chưa phải du do đó cần  x 1 biến đổi để tử thành du: thay dx  d  x  1 . d  x  1 dx Vậy  x 1    ln x  1  C x 1 ln 3 ex Ví dụ 3: Tính L   dx x e 1 0 Giải:    Đặt t  e x  1  dt  e x  1 dx  e x dx
 Đổi cận: x  0  t  e0  1  1 x  ln 3  t  eln 3  1  3  1  4 4 dt 4  Khi đó L   2 t 2 4 2 12 t 1 1 dt Chú ý: Ở đây đã sử dụng công thức  2 t C  t Cách khác: Đặt t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e x dx Đổi cận: x  0  t  e0  1  1 ; x  ln 3  t  eln 3  1  3  1  2 2 2 2tdt 2  2  dt  2t 1  2  2  1  2 . Khi đó L   t 1 1
Bài tập: Câu 1 (Đề TN BTTH 2006):  2   2sin x  3 cos xdx . Tính tích phân I  0 Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHTN):  e  1 e x x ln 5 Tính tích phân I  dx .  x e 1 ln 2 Gợi ý: Đặt t  e x  1  t 2  e x  1 Suy ra e x  t 2  1 và 2tdt  e x dx  2 sin 2 x Câu 3 (Đề TN 2006, KPB): Tính I  dx .  4  cos 2 x 0  2 cos x Câu 4 (Đề TN 2007, Bổ túc): Tính I   1  sin x dx . 0 Câu 5 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): 1 4 1  x  2 3 Tính tích phân I  x dx 1 26 4 Đáp số: Câu 1: I  4 ; Câu 2: I  ; Câu 3: I  ln 3 3 32 Câu 4: I  ln 2 ; Câu 5: I  15 3. PP tích phân từng phần Lý huyết b b b  udv    vdu uv a a a Dấu hiệu: Tích phân có dạng
b b b I1   f  x  .sin xdx ; I 2   f  x  .cos xdx ; I 3   f  x  .e x dx a a a Cách giải: Đặt u  f  x   du  f   x  dx Còn dv  sin xdx , ta có v   cos x dv  cos xdx , ta có v  sin x dv  e x dx , ta có v  e x  4   2 x  3 sin xdx Ví dụ 1: Tính I1  0 Giải:  Đặt u  2 x  3  du   2 x  3 dx  2dx Với dv  sin xdx , ta có v   cos x .  4   Khi đó: I1   2 x  3   cos x  0     cos x   2 xdx  4 0  4    I1   2  3   cos    2.0  3   cos 0  2  cos xdx 4 4  0  2     3  1  2sin x 0 4 I1    3    2  2  2     3   3   2  sin  sin 0  2 2 4   2  2  2 2   3   3  2   0  3   2 2 2 2 4      4 4 Nhận xét: Các em có thể tách I  2 x sin xdx    3sin xdx 0 0
  4 4 Sau đó tính 2 x sin xdx  2  x sin xdx bằng PP tích phân từng phần với cách  0 0 đặt u  x .   4 4  Và tính 3sin xdx  3  sin xdx  3cos x 0 4 .  0 0 Tính xong, cộng hai kết quả trên lại. 2 Ví dụ 2: Tính I 2    5  2 x  e x dx 0 Giải:  Đặt u  5  2 x  du   5  2 x  dx  2dx Với dv  e x dx , ta có v  e x 2 x2   e x  2dx   Khi đó I 2   5  2 x  e 0 0 2 I 2   5  4  e   5  0  e  2  e x dx 2 0 0 2      1.e2  5.1  2 e x  e 2  5  2 e 2  e0  e2  5  2 e 2  1 0  Vậy I 2  3e 2  7 Ghi nhớ: Trong tích phân từng phần, mặc dù có đổi biến nhưng chúng ta không đổi cận. Bài tập: 1 Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Tính I    2 x  1 e x dx . 0 Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH):
 2   2 x  1 cos xdx . Tính tích phân I  0 1 Câu 3 (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tính I    4 x  1 e x dx . 0 Đáp số: Câu 1: I  1  e ; Câu 2: I    3 ; Câu 3: I  3  e 4. Tính diện tích hình phẳng Lý huyết Dạng 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a; x  b  a  b  . b S   f  x  dx a b Cách tính S   f  x  dx : a  Giải ph/trình : f  x   0 tìm các nghiệm x1; x2 ;...; xn thuộc đoạn  a; b  . (Nghiệm không thuộc, ta loại bỏ)  Phân tích x1 x2 b b  f  x  dx   f  x  dx  ...   f  x  dx S   f  x  dx  a x1 xn a Trên mỗi khoảng  a; x1  ,  x1; x2  ,...,  xn ; b  thì f  x  có dấu xác định không thay đổi. x1 x2 b  f  x  dx   f  x  dx  ...   f  x  dx Nên S  a x1 xn {Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân}
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  x , trục hoành và các đường thẳng x  0; x  2 Lời giải: 2  Diện tích hình phẳng cần tìm bằng S   x3  x dx 0    Ta có x3  x  0  x x 2  1  0  x  0; x  1 Trên đoạn  0;2  , ta loại bỏ x  1 1 2  Suy ra S   x  x dx   x 3  x dx 3 0 1 1 2 1 2  x 4 x2   x4 x 2  x    3 3 x  x dx           x dx  4 2 4 2 0 1 0 1 1 1  16 4   1 1  1 15           2  4 2  4 2 4 2 4 42 Nhận xét: Các em nên dùng máy tính cầm tay để tính và kiểm tra đáp án nhé ! Nếu em nào có kỹ năng xét dấu, có thể lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị tuyết đối của x3  x trên đoạn  0;2  . Dạng 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f  x  và y  g  x . Cách giải:  Giải ph/trình f  x   g  x  tìm được các nghiệm x1; x2 ;..., xn (Giả sử x1  x2  ...  xn )
xn  f  x   g  x  dx  Diện tích hình phẳng cần tìm S  x1 Chia S thành tổng các tích phân trên các khoảng  x1; x2  ,  x2 ; x3  ,…,  xn 1; xn  để tính bằng cách đưa dấu giá trị truyệt đối ra ngoài dấu tích phân. x2 xn  f  x   g  x  dx  ...   f  x   g  x  dx S x1 xn 1 x2 xn   f  x   g  x  dx  ...    f  x   g  x   dx S     x1 xn 1 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  x 2 và y  0 Giải:  Ph/trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho : x3  x 2  0  x 2  x  1  0  x  0; x  1 1    Vậy diện tích hình phẳng cần tìm S   x 3  x 2  0 dx 0 1 1  x4 x3  1 11   3 2 S x  x dx        4 3 4 3 12 0 0 Bài tập: Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3  3x 2 , trục hoành và các đường thẳng x  2, x  1. Câu 2 (Đề TN 2006, KPB): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  e x , y  2 và đường thẳng x  1 . Gợi ý: Đề đã cho một cận là x  1 .
Để tìm cận còn lại ta giải ph/trình e x  2  x  log e 2  ln 2 Chú ý: ln 2  1 1 e x  2 dx . Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng S   ln 2 Các em tự tính tiếp nhé ! Câu 3 (Đề TN 2007, L2, Ban KHXH): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y   x 2  6 x , y  0 . 5.Tính thể tích khối tròn xoay (khi quay quanh trục Ox) Lý huyết Dạng 1: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng  H  giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a; x  b a  b quay quanh trục hoành. b 2 V     f  x   dx   a Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng  H  giới hạn   bởi đồ thị hàm số y  cos x , trục hoành và hai đư ờng thẳng x  quay ;x  6 2 quanh trục hoành. Giải:  2 2   cos x   Thể tích cần tìm bằng V   dx  6   2 2 1 2  2 1  cos 2 x  dx V  xdx    cos   6 6
  2   1   1 2  1   x  sin 2 x     sin     sin  2 2 22 2 6 2 3   6   1   1 3     .0    .   22 2   6 2 2   Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các  đường y  sin x , y  0 , x  0, x  . 2 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành.