Dùng các biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm và tính tích phân (GV Lê Thị Xuân)

Chia sẻ: Lê Thị Xuân | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

1.729
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán tìm nguyên hàm và tích phân là một bài toán cơ bản và quan trọng nhưng lại gây khó khăn cho không ít bộ phận học sinh lớp 12. Để tìm hiểu nguyên nhân vì sao lại có khó khăn đó và các giải bài toán dễ dàng mời bạn tham khảo chuyên đề: Dùng các biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm và tính tích phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dùng các biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm và tính tích phân (GV Lê Thị Xuân)

Chuyên đề Toán học: Dùng các biến đổi vi phân để tìm nguyên hàm và tính tích phân Giáo viên: Lê Thị Xuân – Trường THPT Thăng Long A – Lời dẫn Đối với học sinh lớp 12, bài toán tìm nguyên hàm và tích phân là một bài toán cơ bản và quan trọng nhưng lại gây khó khăn cho không ít bộ phận học sinh. Nguyên nhân của khó khăn trên có thể được giải thích như sau: - Do phần tìm nguyên hàm – tích phân có nhiều công thức cần nhớ - Do có nhiều dạng bài “chồng chéo” - Do học sinh mới tiếp xúc khái niệm Nguyên hàm – tích phân - … Là một giáo viên dạy khối 12, tôi đã băn khoăn, trăn trở tìm phương pháp giúp các em tiếp cận được vấn đề một cách dễ dàng hơn. Qua thực tế giảng dạy, tôi đã đúc rút một số kinh nghiệm trong sử dụng các biến đổi vi phân để giảng dạy nội dung Nguyên hàm – Tích phân. Tôi rất mong chuyên đề nhận được sự quan tâm, chỉ bảo của các đồng nghiệp để tôi có thêm nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy hơn. B – Nội dung chuyên đề 1. Cơ sở lý thuyết Cơ sở quan trọng của phương pháp này là việc sử dụng công thức tính vi phân d[f(x)] = f’(x).dx Chuyển sang khái niệm nguyên hàm, ta hiểu rằng: “Nếu có một công thức trong bảng nguyên hàm là dx = x + C thì sẽ có công thức tương ứng là d [ f ( x )] = f ( x) + C .”
Tổng quát: Nếu f (x).dx = F(x) + C thì f [ u(x) ] .u '(x)dx = F [ u(x) ] + C Một số biến đổi vi phân cần nhớ: 1) cosx.dx = d(sinx) 2) sinx.dx = - d(cosx) 1 dx = d ( tan x ) 3) cos 2 x 1 5) ex.dx = d(ex) 1 4) sin 2 x dx = −d ( cot x ) 6) a x dx = ln a ( ) d ax 7) 1 x dx = d ( ln x ) 8) xα dx = 1 α +1 ( d xα +1 ) 9) 1 x ( dx = d 2 x ) Ngoài ra, cần ghi nhớ công thức mở rộng: f’(x).dx = d[f(x) + C] 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm các nguyên hàm: 1. cos ( 7 x + 5 ) dx sin x 2. e .cos x.dx Bước 1: Phân tích đề bài: 1 1. cos ( 7 x + 5 ) dx = cos ( 7 x + 5 ) . d ( 7 x + 5 ) 7 2. esin x .cos x.dx = esin x .d (sin x) Bước 2: Trình bày lời giải: 1 1 1. � ( 7 x + 5 ) dx = cos � ( 7 x + 5) .d ( 7 x + 5) = 7 sin ( 7 x + 5 ) + C cos 7 2. � .cos x.dx = � .d (sin x) = e + C esin x esin x sin x Ví dụ 2: Tìm các nguyên hàm: ln x.dx ( 2x + 1) ( x + x + 5 ) .dx 7 7 1. 2 2. sinx.cos x.dx 3. x Giải 1. � + 1) ( x ( 2x + x + 5 ) .dx = � 2 + x + 5 ) .d ( x 2 + x + 5 ) (x 2 7 7
1 2 ( x + x + 5) + C 8 = 8 2. 1 sinx.cos 7 x.dx = (− cos 7 x).d(cos x) = - cos8 x + C 8 3. ln x.dx 1 �x = � x.d(ln x) = ln 2 x + C ln 2 Ví dụ 3: Tìm các nguyên hàm: sin x − cos x x.dx 1. sin 3x.cos2x.dx 2. dx 3. sin x + cos x 3 x2 + 1 Giải 1. 1 � 3x.cos2x.dx = �[ sin 5x + sinx ] .dx sin 2 1 d(5x) 1 1 1 == � 5x. 5 + 2 � x.dx = − 10 cos5x - 2 cosx +C sin sin 2 2. sin x − cos x d ( sin x + cos x ) � x + cos x dx = − �sin x + cos x sin = − ln sin x + cos x + C 3. x.dx d ( x 2 + 1) 1 � 2 � 1 = � ( x + 1) .d ( x 2 + 1) � −1 �x 2 + 1 =� � 3 2 ( x 2 + 1) 3 �2 � 3 3 2 3 ( x + 1) 3 + C = 4 3 ( x 2 + 1) + C 2 2 = 4 Ví dụ 4: Tìm các nguyên hàm:
dx dx sin 2 x 1. 2. 3. dx sinx cos 4 x 4 − cos 2 x Giải: 1. ��x x �� d� � d� � dx dx ��2 2 �� = � x x = � x x =� x 2 x = = sinx 2.sin .cos sin .cos tan .cos 2 2 2 2 2 2 � �� x � d� � � tan 2 � � � � = ln tan x + C � x 2 tan 2 2. dx dx d ( tan x ) =� 2 � 4 x cos x.cos 2 x =� 2 = ( 1 + tan x ) .d(tan x) = = 2 cos cos x 1 tan x + tan 3 x + C 3 3. sin 2 x d 4 − cos 2 x ( ) �− cos 2 x dx = �4 − cos2 x = ln 4 − cos x + C 2 4 Ví dụ 5: Tính tích phân 2/3 π /2 1 ( 1 − 3x ) 3. x ( 1 − x ) dx 2014 3cos x 20 1. dx 2. e .sin x.dx 1/3 0 0 Giải: 1. 2015 2/3 2/3 1 2/3 ( 1 − 3x ) 1 − 22015 � − 3x ) (1 dx = − � − 3 x ) (1 d ( 1 − 3x ) = − 2014 2014 = 1/3 3 1/3 6045 6045 1/3 2.
π /2 π /2 π /2 1 1 3cos x 1 � .sin x.dx = − e3cos x 3 � .d ( 3cos x ) = − 3 e e3cos x =− 3 ( 1 − e3 ) 0 0 0 3. 1 1 1 1 �1 − x ) dx = �x − 1) + 1] ( x − 1) dx = � − 1) dx + � − 1) dx x( [( (x (x 20 20 21 20 0 0 0 0 1 1 1 �x − 1) 22 ( x − 1) 21 � 1 1 ( 1 = � − 1) d ( x − 1) + � − 1) (x (x 21 20 d ( x − 1) = � + �= − =− 0 0 � 22 � 21 � 22 21 � 462 0 Ví dụ 6: Tính tích phân 1 1 1 3 x.dx x 2001 1. x 2 x + 5.dx 3 2. 3. dx ( 1+ x ) 1002 2 0 0 x + x2 + 1 0 Giải: 1. 1 1 1 1 2 ( ) (x ) 2 ( ) 3 � x + 5.dx = � 3 + 5.d x 3 + 5 = +5 = 216 − 125 2 3 3 x x 0 30 9 0 9 2. ( ) 1 1 1 1 1 3 x.dx 3 ( ) 1 �+ = − �. x − x 2 + 1 dx = −3�dx +3� x 2 + 1dx = − x 3 + x2 �x + 1d x + 1 2 2 3x x 0x x2 + 1 0 0 0 0 20 1 (x ) 3 = -1 + 2 +1 = −1 + 2 2 − 1 = 2 2 − 2 0 3. 1 1 1 1 1000 x 2001 x 2000 .x x 2000 xdx � x2 � xdx �+ x dx = � dx = � . =� 2� . � ( ) ( ) ( ) ( ) (1+ x ) 1 + x � 1 + x2 ( ) 1002 1000 2 1000 2 2 0 1+ x . 1 + x2 0 1+ x 2 2 2 2 01 0� 1 1000 1001 1 1 � x2 � � x2 � 1 � x2 � 1 �1 � = � � .d � 2 � = � 2� = � 1001 − 1� 2 0 �+ x2 � 1 � + x � 2002 � + x � 1 1 2002 �2 � 0 Ví dụ 7: Tính tích phân
1 1 1 3 dx x.dx x − x3 1. 2. 3. dx 0 x + x5 3 0 x + 3x 2 + 2 4 0 x4 Giải: 1. 2 dx 2 �1 1 x � 2 −3 2 dx 1 d 1 + x 2 2 1 2 2 ( 1 ) 2 � + x5 1 � x 1 + x 2 � 1 1 x 3 = �3 − + � x � = � dx − � + � dx x 1 x 2 1 1+ x 2 = 2 − ln x 1 + ln 1 + x 2 2x 1 2 1 3 1 5 1 5 3 = − − ln 2 + ln = ln − 8 2 2 2 8 8 2. 1 x.dx 1 xdx 1 xdx 1 xdx 1 d x +1 1 d x + 2 1 2 1 2 ( ) ( ) � + 3x 2 + 2 = �2 + 1 . x 2 + 2 = � + 1 − � + 2 = 2 �x 2 + 1 − 2 �x 2 + 2 0 x4 0 x ( )( 0 x2 0 ) x2 0 0 1 �1 1 � 1 4 = � ln x 2 + 1 − ln x 2 + 2 � = ln �2 2 � 2 3 0 3. x − x3 3 1 2 2 3 2 2 4 x − x3 x 3 1 � 1 � � 3 1 � 33� 1 � 3 81 � x 4 dx = � x3 dx = − 2 � 2 − 1�d � 2 − 1� − 8 �− x 2 � = − 8 3 256 1 1 1� � x � � x � = 1 � � 1