Các bài toán về Tích phân

Chia sẻ: Cdf Nam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

1.881
lượt xem 429
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo các bài toán về tích phân, sử dụng các phép biến đổi sơ cấp , phép biến đổi vi phân, phương pháp đổi biến số, phuongq pháp tích phân từng phần , phương pháp tích phân phụ, .....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài toán về Tích phân

CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 13 PHẦN TÍCH PHÂN I-SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI VI PHÂN Tính các tích phân sau : π 4 2 4 4 1 x 3 dx 5 xdx 1) ∫  3 x + 1  dx     ; 2) ∫ dx ; 3) ∫ ; 4) ∫ 1 x π sin 2 2 x 0 x2 +1 2 x −1 6 π 2 2 1 x 2 dx 1 e 3 x dx 3 dx 5) ∫ 2 sin x (sin x − 1)dx ; 6) ∫ ; 7) ∫ x ; 8) ∫ 2 0 1 + cos x 0 ( x + 1) 3 0 e +1 2 x ( x − 1)  4  2 x 2 x − 1 + 1dx 1 (3 x 2 − 3)dx e x 3 + 2 + ln x 9)   ; 10) ∫ 2 ; 11) ∫ dx ∫ 0 ( x + 1)( x 2 + 3 x + 1) x 1 2 +1 1 x ln e (e 3 x + e x ) dx π 2 x3 + x 2 − x + 1 ∫ 3 2 12) ∫ 4 − 2x 2 + 1 dx ; 13) 1 (e 2 x − 1) 2 ; 14) ∫ ( tan x + cot x ) dx 2 x π 2 4 3 2 x x − 2 x + ln(1 + x ) 4 x + 4 x x + ln x 15) ∫ dx ; 16) ∫ dx 1 2 x (1 + x ) 1 2x π  2  2 1 x + ln x + x + 1  17) ∫ cot x[1 + ln(sin x)] dx ; 18)   dx π ∫ 4 0 x2 +1 2 x2 −1 1 e 2 x + e x . ln(e x + 1) − 1 e2 ln 3 x + 1 19) ∫ dx ; 20) ∫ dx ; 21) ∫ dx 1 2 x ( x 2 + 1) 0 ex +1 e x ln 3 x π 3 dx π π 4 3 sin 2 xdx 22) ∫ ; 23) ∫ dx ; 24) ∫ π sin 4 x 0 ( 2 sin x + cos x ) 0 2 sin 2 x + 3 cos 2 x 2 4 π π 1 1 2+ x 3 4 4 + sin 3 2 x 25) ∫ ln dx ; 26) ∫ sin 3x cos xdx ; 27) ∫ dx −1 4 − x 2 2 − x 0 π sin 2 2 x 6 π π π 4 4 4 28) ∫ sin 2 x 1 + sin 2 x dx ; 29) ∫ sin x + 1 + tan x dx ; 30) ∫ sin 2 x(cos 4 x + sin x)dx 2 0 0 cos x 0 π π π 6 2 dx 4 1 + cos 2 x 31) ∫ dx ; 32) ∫ ; 33) ∫ dx π sin 2 x 0 1 − sin 2 x 0 1 + sin x 6 (13) Nguyeãn Coâng Maäu
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 14 π 1 11 dx 2 3 1 (4 x 2 − x + 1)dx 34) ∫ 2 x (1 − x ) ; 35) ∫ 2 sin xdx ; 36) ∫ 0 0 1 + cos x 0 x3 + 1 37) ∫ 1 ( x 4 + 1) dx 6 +1 1 x ; 38) ∫ 2 0 x +1 [ ] 1 + ln(1 + x 2 ) dx ; 39) ∫ 1 (e x − e − x ) ln(e x + e − x ) 0 e x + e−x dx 0 x π π π ( ) 4 ln(tan x) 2 6 40) ∫ dx ; 41) ∫ sin 6 x + cos 6 x dx ; 42) ∫ cos 4 xdx π sin 2 x 6 0 0 π π π ( ) 6 4 x 43) ∫ cos 3 xdx ; 44) ∫ sin 4 x − cos 4 x dx ; 45) ∫ cos 3 x cos x. sin dx 0 2 0 0 π π π ( ) 3 4 46) ∫ ( tan x − 2 cot x ) dx 2 4 2 1 ; 47) ∫ tg x + tg 4 x dx ; 48) ∫ dx π 4 0 0 cos 2 x tan x + 3 π π ( ) 1 6 7 )dx 2 5 6 2 49) ∫ x (1 − x ; 50) ∫ sin 2 x 3 − cos 2 x dx ; 51) ∫ ( 2 cos x − 1)dx 0 0 0 1 − sin 2 x π π 6 ( 4 cos 2 x − 3) cos xdx 2 1 8x − 4 52) ∫ ; 53) ∫ sin x e cos x + sin x  dx   ; 54) ∫ dx −1 ( x + 2)( x + 1) 2 0 (1 + sin 3 x) 2 0   π π π 2 sin xdx 3 1 2 55) ∫ ; 56) ∫ dx ; 57) ∫ sin xdx π sin x. cos x 2 2 0 1 + sin x 4 0 cos x + sin x π π π 4 dx 2 3 2 58) ∫ ; 59) ∫ sin x(1 + cos x ) dx ; 60) ∫ cos 4 x(1 + sin x ) dx π sin 2 x 6 0 0 II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : Tính các tích phân sau : 3 dx 2 x3 + x 2 + 1 1 e 3 x dx 3 dx 1) ∫ ; 2) ∫ dx ; 3) ∫ ; 4) ∫ 2 x x2 −1 1 x4 +1 0 e2x + 1 1 x x2 + 1 π 2 x3 + x 2 − 2 13 x − 2 3 5) ∫ dx ; 6) ∫ 3 dx ; 7) ∫ sin xdx 4 +4 0 2x + 1 1 x 0 cos 2 x − cos x − 6 2 ( 2 x + 1) dx 3 ( x − 1)dx 2 x +1 2 ( x + 1) dx 8) ∫ ; 9) ∫ ; 10) ∫ dx ; 11) ∫ 2 0 x2 + 4 1 4 − x2 2 x2 −1 0 x +4 π π e 2 2 3 ( 12) ∫ cos x.e sin x dx ; 13) ∫ e cos x + 4 + 3 cos x sin xdx ) ; 14) ∫ ln x 1 + ln x dx x 0 0 1 (14) Nguyeãn Coâng Maäu
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 15 π π e ln x 1 + ln x 4 4 2 sin x  15) ∫ dx ; 16) ∫  sin 3 x − tan x  cos 2 xdx   ; 17) ∫  cot x + dx x π 1 + 3 cos x  1 0  6 π 3 1 1  1 5 4 3 4 x3 + x 2 + 2 x + 1 18) ∫  4 +  ; 19) ∫ (3 x + x + 1)dx ; 20) ∫ dx π  sin x cos 4 x    0 x6 + 1 1 x 4 + x2 + 1 4 1+ 5 2 5 1 ( x 4 + x)dx 3 2 dx 21) 2 4 x + x − 2 x + 1 dx ; 22) ∫ ; 23) ∫ ∫ 3 x x 2 + 16 −1 x 2 + 1 1 x4 − x2 + 1 π π 1 ( x 4 + tan x) dx 2 sin 3 xdx 1 xdx 4 sin 3 xdx 24) ∫ ; 25) ∫ ; 26) ∫ 10 ; 27) ∫ −1 x2 +1 −π 1 + cos 2 x −1 x + 1 −π 1 + cos x 2 4 7 3 1 (2 x + 2)dx 3 dx 4 2 10 28) ∫ x 3 1 + x 2 dx ; 29) ∫ 2 ; 30) ∫ 4 2 ; 31) ∫ x ( x − 3) dx 0 0 x + 3x + 2 1 x ( x + 1) 3 π π 1 x 3 dx ln 3 dx 2 dx 4 32) ∫ 4 ; 33) ∫ x +1 ; 34) ∫ ; 35) ∫ dx 0 ( x + 1) 0 e π sin x 3 0 cos 6 x π  2  2  36) ∫ sin 2 x 1 + sin 2 x  2 + (1 + cos x ) 2  dx ; 37) e ln x1 + 4 + ln x dx    ∫ 0       1 x π π x sin x π x sin x π 2 x. sin xdx 6 2 38) ∫ x cos ; 39) ∫ 2x dx ; 40) ∫ 2x dx ; 41) ∫ tan xdx 0 01 + sin 01 + cos 0 cos 2 x π π π 2 2 2 sin 4 x 42) ∫ cos 2 2 x. sin xdx ; 43) ∫ (1 − sin x) n cos xdx(n ∈ N ) ; 44) ∫ dx 0 sin x + cos x 4 4 0 0 π 2π π x 3 π 2 dx 2 45) ∫ ; 46) ∫ cos x.e sin x dx ; 47) ∫ x sin xdx ; 48) ∫ x cos xdx 01 + sin x 0 π 0 3 π π π 2 2 sin 2 x + cos x 2 3 cos x(1 − sin x ) 49) ∫ ( sin 2 x + cos x ) 2 + sin x dx ; 50) ∫ dx ; 51) ∫ dx 0 0 4 − 3 sin x 0 2 + 1 + 3 sin x 2 2x3 + 5x 2 + 8x + 4 ( ; 53) ∫ e 0 cos x ) + sin 2 x − 2 sin x sin xdx 52) ∫ ( )( −1 x 2 + 4 x 2 + 2 x + 4 ) dx −π 2 54) ∫ 3 e 1 + ln x . ln x dx ; 55) e 1 + ln x . ln 2 x ∫ ( 2 2 dx ; 56) ∫ x + 3 dx ) 1 x 1 x 3 3 x x3 + 1 e e (15) Nguyeãn Coâng Maäu
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 16 2 x3 4 3 2 x dx 2 x +1 57) ∫ dx ; 58) ∫ ; 59) ∫ 2 dx 1 1+ x2 −1 0 1 + 3 2x 2 ( ) 0x +4 1 7 4 1 2n − 1 60) ∫ x (1 − x )dx Tổng quát : ∫ x (1 − x n ) m dx với m,n ∈ N 0 0 π π 2 dx 2 cos xdx 2 61) ∫ m + 1) ; 62) ∫ ; 63) ∫ sin xdx 1 x( x 0 2 + cos 2 x 0 sin x + cos x III-PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN : Tính các tích phân sau : π 2 π  2 x cos x     π2 4 1) ∫ 2x dx ; 2)  3  3 ; 3) ∫ sin x dx ; 4) ∫ x ln xdx π sin ∫ cos x dx 0 1 4 0 π 1 2x 2 2 π 2 1 x 5) ∫ x.e dx ; 6) ∫ x sin xdx ; 7) ∫ x cos xdx ; 8) ∫ x.2 dx 0 −π 0 0 2 π π e 2 3 4 x 4 9) ∫ ( 2 x + 1). sin 2 xdx ; 10) ∫ x ln xdx ; 11) ∫ x log 3 xdx ; 12) ∫ dx 0 1 1 0 cos 2 x π π 1 4 x sin x 1 x 4 ln(cos x) 1 x ∫ dx 13) ∫ dx ; 14) ∫ .e ln(e + 1) dx ; 15) ∫ dx ; 16) 0 x 2 + 1 2 π cos 2 x 0 π sin 2 x   6 6   eπ e ln x e 2 1 x 17) ∫ sin(ln x )dx ; 18) ∫ 2 dx ; 19) ∫ ln xdx ; 20) ∫ x.4 dx 1 1x 1 0 π π 3 x 2 e2 ln x 1 2 21) ∫ dx ; 22) ∫ x cos 2 xdx ; 23) ∫ dx ; 24) ∫ x ln( x + 1)dx π sin 2 x e x3 0 6 0 π π 4 2 2 + x + 2)dx 2 25) 2 ∫ x tan xdx ; 26) ∫ (2 x + 1) ln( x ; 27) ∫ cos x ln(1 + sin x )dx 0 1 0 π 2 3 1 2 x 28) ∫ sin x ln(1 + cos x )dx ; 29) ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx ; 30) ∫ x .e dx 0 0 0 π 1 2 x 2 1 3 x2 31) ∫ e sin xdx ; 32) 2 x. ln 1 + x dx ; 33) ∫ x .e dx ∫ 0 0 0 1− x2 π 1 x e2 1 1 4 34) ∫ x .e dx ; 35) ∫ ( − ) dx ; 36) ∫ cos x. ln(tan x)dx 0 e ln 2 x ln x π 6 (16) Nguyeãn Coâng Maäu
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 17 π 3 ln(cos x) 1 x.e x 1 x2 37) ∫ dx ; 38) ∫ dx ; 39) ∫ dx 0 cos 2x 0 ( x + 1) 2 0 x2 +1 1 e4x π 4 4 40) ∫ dx ; 41) ∫ ( 2 x + 1) ln xdx ; 42) ∫ x + sin 2 x dx 0 e2x + 1 1 0 1 + cos 2 x π π π 2 sin x 4 tgx 2 43) ∫ e sin 2 xdx ; 44) ∫ e . sin x dx ; 45) ∫ x cos xdx 0 0 cos 3 x 0 2π 3 π 2 −x e−1 46) ∫ x sin xdx ; 47) ∫ x (e + cos 2 x)dx ; 48) 1 2 ∫ x. ln(` + x )dx π 0 β 0 PHƯƠNG PHÁP: Giả sử phải tính tích phân I = ∫ f ( x)dx ,trong đó : 3 α ln 4 49) ∫ P 2e ( f(x) = 0  = m x  a m −1 m  3 3 dx  x ) 2 x a+ e x  xdx x m; 1 50) +∫a xx a + − + ... 1 + 0 0 1 2 (a m , bn ≠ 0) ; 2 2 1 ( x ; 51) ∫ x − 1 .e dx ) Q( x) bn x n + bn −1 x n −1 + ... + b1 x + +0x b *Khi m ≥ n thì chia P(x) cho Q(x) để được tổng của một đa thức với một phân thức IV)PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHỤ: thực sự (phân thức đúng). *Khi m < n thì f(x) là m: + phân sthức phải tính tích phân I. PHƯƠNG PHÁP ột Giả ử ta đúng. Vì mỗi đa thức bậc n với Ta đố a vào Q(x)phân phụ J tích đượvithành tích những thừa + hệ s ư thực tích luôn phân sao cho c ệc tính I + J số là nhị thức bậc nhất hoặc tam ện được dễ dàng. ệm trong đó có thể có những thực hi thức bậc hai vô nghi thừa số trùng nhau .Do v+ y trong các I-J thức đúng ta chú ý đến bốn dạng phân thức ậ Tính I+J v phân cơ bản sau : Nếu I+J=a và I-J=b thì I= ½(a+b) A A Ax + B Dạng I: ; Dạng II : ( x − a) k ; Dạng III : x 2 + px + q ; Dạng IV: Tính các tích − a sau : x phân Ax + Bπ π π 2 k sin n xdx 2 cos n xdx 6 2 ( x1)+I px + q ) n 2 = ∫ và J = ∫ . ; 2) ∫ cos xdx n n n 0 cos x + sin x 0 cos x + sin x Trong đó k ∈ N ; k ≥ 2và A,B,a,p,q ∈ R ; p2- 4q < 0 (tức là x2+px+q vô nghiệm). 0 cos 2 x 3π π *Mộ4 phân 2 ức đúng có thể phân tích thành tổng của những phân thức cơ bản nêu t th π 2 2 cos xdx trên (Dùng phương pháp đồng4) 2 t hai xdx thức). 3) ∫ ; nhấ sin đa ; 5) ∫ x sin xdx π sin x + cos x ∫ 0 2 Tổng quát cho cách phân tích : cos x 0 sin x + P ( x )π P( x) A1 A2 π Aα + = α β δ 1 e x dx γ = + + ... + Q6) )4 ( xdx a ) ( x − b) ( x + px + q ) 7) x + lx + s ) (x − 2 ; ( ∫ x 2 x − a ( x − a ) ; 8) 2( x − a) α 2 ∫ −x x 2 0 1 + tan x 0e + e ∫ e sin xdx 0 B1π B2 Bβ M 1 x + N1 M δ x + N δ π P1 x + Q1 Pγ x + Qγ + + + ... + π + 2 + ... + 2 + 2 + ... + 2 . x − 6 ( x − b) b 2 β + x +q δ n+ x cos ( x − b) 2 xsin 4px cos xdx ( x + px + q ) 2 x + lx1+ s xdx ( x + lx + s) γ 9) sin 2 x ; 10) ∫ tổng quát ∫ sin . ∫ tính dx *Cáchcos 2 xtích phân của các phân x +ức dạng cơ bản : n n ; (n ∈ Z ) 0 0 cos 3 th sin 3 x 0 cos x + sin x A Dạng ∫ dx = A ln x − a + c . V)TÍCH PHÂN− a x HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ : A A Dạng ∫ ( x − a) k dx = A∫ ( x − a) d ( x − a) = − k + 1 ( x − a) + c −k − k +1 Ax + B du dt Dạng ∫ x 2 + px + q dx = b1 ∫ u + b2 ∫ t 2 + a 2 với b1,b2,a là hằng số. (17) Nguyeãn Coâng Maäu Ax + B du dt Dạng ∫ ( x 2 + px + q) k = b1 ∫ u k + b2 ∫ (t 2 + a 2 ) k
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 18 Tính các tích phân sau: 2 2 2 2 dx (2 x − 1)dx dx dx 1) ∫ 2 ; 2) ∫ 2 ; 3) ∫ 2 ; 4) ∫ x(x + 1) 0 (x + 4) 2 1 x − 2x + 2 1 x − 2x + 2 4 1 1 1 2 3 +1 ( x + 2)dx (4 x − 2)dx ( 2 x 2 − 3x − 3)dx 5) ∫ ; 6) ∫ ; 7) ∫ 0 x2 +1 0 ( x + 2)( x + 1) 2 3 ( x − 1)( x 2 − 2 x + 5) (18) Nguyeãn Coâng Maäu
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 19 dt dt 1 (t 2 + a 2 ) − t 2 1 dt Để tính Ik = ∫ (t 2 + a 2 ) k ta có : Ik = ∫ (t 2 + a 2 ) k = a 2 ∫ (t 2 + a 2 ) k dt = a 2 ∫ (t − 2 + a 2 ) k −1 1 2tdt 1 1  t  2 ∫ − t. 2 2 k = I + 2 2 k −1  2 − I k −1  2a (t + a ) a 2 k −1 2a (k − 1)  (t + a )  ⇒ I k = A0 + A1 .I k −1 (1) dt Dựa vào (1) ta tính được Ik qua Ik-1 , Ik-1 qua Ik-2 ,…,I2 qua I1.Trong đó I1= ∫ t + a2 2 1 2tdt 1  t  Chú y : − 2a 2 ∫ t. (t 2 + a 2 ) k = 2  2 − I k −1  tính nhờ phương pháp tích 2a (k − 1)  (t + a 2 ) k −1  phân từng phần 1 1 dx (3 x + 4)dx 3 3x 2 + 3 x + 3 3 x2 + x +1 8) ∫ 2 ; 9) ∫ 2 ; 10) ∫ 3 dx ; 11) ∫ ( x − 1) 3 dx 0 (x + 1) 0 ( x + 1) 2 2 2 x − 3x + 2 2 6+ 2 1 1 x 3 dx ( x 2 + 1)dx & 14) 3 ( x 2 + 1)dx ( x 2 − 2)dx 12) ∫ 8 ∫ x 4 + 3x 2 + 4 & 2 0 x −2 ;13) ∫ ∫ x 4 + x 2 + 1 & 15) 1 x4 +1 1 0 2 ( x − 1)dx 2 16) ∫ 1 x4 +1 Dạng tổng quát : β x2 ± a ∫ dx α x 4 ± bx 2 + a 2 VI)TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC : A)Tích phân dạng: ∫ F (sin x; cos x)dx Trong đó F(sinx;cosx) là một phân thức hữu tỉ đối với sinx và cosx. 1)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số chẵn đối với sinx và cosx tức là : F(sinx;cosx) = F(-sinx;-cosx) thì đặt t = tanx (hay t = cotx) 2)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với sinx tức là: F(-sinx;cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = cosx. 3)Nếu F(sinx;cosx)là một hàm số lẻ đối với cosx tức là: F(sinx;-cosx) = -F(sinx;cosx) thì đặt t = sinx. (19) Nguyeãn Coâng Maäu
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 20 4)Nếu F(sinx;cosx) không thoả mãn ba dạng trên thì đặt t = tanx/2 và biểu diễn 2t 1− t2 Sinx ;cosx theo t bỡi công thức : sin x = và cos x = 1+ t2 1+ t2 B)Tích phân dạng : ∫ sin m x. cos n xdx với m, n ∈ Z 1)Nếu có ít nhất một trong hai số m,n lẻ,chẳng hạn : + Nếu m lẻ (có thể xem là hàm số lẻ theo sinx) thì đặt t = cosx + Nếu n lẻ (Có thể cem là hàm số lẻ theo cosx) thì đặt t = sinx 2)Nếu cả hai số m,n đều chẵn và dương thì dùng công thức hạ bậc sau để biến đổi hàm số dưới dấu tích phân: 1 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sin x cos x = sin 2 x ; sin 2 x = ; cos 2 x = 2 2 2 3)Nếu m,n đều chẵn và có ít nhất một số âm (có thể xem là hàm số chẵn theo sinx và cosx )thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) C)Tích phân dạng : ∫ cos ax. cos bxdx ; ∫ sin ax. cos bxdx ; ∫ sin ax. sin bxdx Dùng công thức lượng giác để biến đổi tích thành tổng.Dựa vào các công thức: 1 cos ax. cos bx = [ cos(a + b) x − cos(a − b) x] 2 1 sin ax. sin bx = − [ cos(a + b) x − cos(a − b) x ] 2 1 sin ax. sin bx = [ sin( a + b) + sin(a − b) x ] 2 D)Một số phương pháp giải quyết những tích phân đặc biệt: a 1)Nếu f(x) là hàm số lẻ thì ∫ f ( x)dx = 0 .Cách tính loại tích phân này bằng cách −a đổi biến x = -t. b a+bb 2)Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a+b-x) = f(x) thì ∫ xf ( x)dx = ∫ f ( x)dx a 2 a π ππ ( thường gặp : ∫ xf (sin x )dx = ∫ (sin x)dx ) 0 20 Cách tính loại tích phân này là: đổi biến t = a+b-x (dạng thừơng gặp t = π − x ) 3)Cho a > 0 ,f là hàm số chẵn liên tục và xác định trên R thì : b f ( x)dx 1 b  b  ∫ x = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx  .Cách tính loại tích phân này là: đổi biến x = -t −b a + 1 2 −b    0  b b • Chú ý: vì f là hàm số chẵn nên ∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .Cách chứng minh điều này −b 0 b 0 b 0 như sau: ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx rồi tính ∫ f ( x)dx bằng cách đặt x=-t −b −b 0 −b (20) Nguyeãn Coâng Maäu
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 21 Bài tập : Tính các tích phân sau : π π π 2 dx π 2 cos 3 dx 4 dx 4 4 1) ∫ ; 2) ∫ ; 3) ∫ tg xdx ; 4) ∫ 6x π sin 4 x π sin 4 x 0 cos 0 6 3 π π π 2 4 2 5) ∫ (sin 4 x + sin 5 x )dx ; 6) ∫ (tan 4 x + tan 3 x) dx ; 7) ∫ (sin 3 x + sin 2 x ) cos 2 xdx ; 0 0 0 π π π 4 3 8) ∫ ( cos 2 x + sin 3 x )dx ; 9) ∫ sin 3 x(cos x + sin 5 x )dx ; 10) ∫ 1 + sin x dx 0 1 + sin x cos x cos x 0 0 1 − sin x π π π 2 (1 + cos x )dx π 3 dx 3 4 sin 2 x dx 11) ∫ ; 12) ∫ ; 13) ∫ ; 14) ∫ π sin x dx π sin 4 x cos 4 x π sin 3 x cos 3 x 0 cos 4 x 6 6 4 π π 2π ( 2 15) ∫ sin x + 1 + sin x dx 0 ) ; 16) ∫ 2 dx 2 3 ; 17) ∫ 4 sin xdx 0 1 + sin x + cos x 0 1 + cos x π π x sin 3 x π x sin x 2 x 2 + cos x 18) ∫ dx ; 19) ∫ dx ; 20) ∫ x dx 01 + cos 2 x 01 + sin 2 x −π 2 + 1 2 π π 1 x 6 + sin 3 x 4 sin 4 x + cos 4 x 21) ∫ dx ; 22) ∫ x +1 dx ; 23) 4 dx x +1 2 π 3 ∫ −1 − 0 1 + tan x 4 π π π 3 tan x 4 2 dx 24) ∫ dx ; 25) ∫ tan 6 xdx ; 26) ∫ 0 cos 2 x 0 0 2 + cos x π π π 3 dx 4 4 sin x 27) ∫ sin 2 x dx ; 28) ∫ 3x ; 29) ∫ dx 4 x + sin 4 x π sin x cos 0 cos x 1 + sin 2 x 0 cos 4 π 3 dx π π 2 2 30) ∫ 4 ; 31) ∫ cos 3 x cos 3 xdx ; 32) ∫ sin 2 x cos 4 xdx π tg x 0 0 6 π π π 2 dx 2 4 cos 3 xdx 2 33) ∫ ; 34) ∫ ; 35) ∫ cos x cos 2 x sin 4 xdx 0 3 + 2 cos x 0 1 + sin x 0 π x sin x π 2 π 2 36) ∫ dx ; 37) 4 x sin x ;38) ∫ (sin x − cos x + 1) dx 0 7 + cos 2 x ∫ 0 0 sin x + 2 cos x + 3 (21) Nguyeãn Coâng Maäu
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 22 VII)TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ : Gọi F là một hàm hữu tỉ theo biến x. n p m q 1)VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = ∫ F  x, x , x ,..., x dx r s     *Cách giải : Ở đây chỉ số các căn thức là n,m,…r .Gọi k = BCNN(n,m,…,r). Đổi biến số x = tk . ax + b   2) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = ∫ F  x, n  dx cx + d    ax + b *Cách giải : Đổi biến số t = n . cx + d  2  3) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG : I = ∫ F  x, ax + bx + c dx   *Cách giải thứ nhất : Đổi biến số t = ax + bx + c . 2 *Cách giải thứ hai : Biến đổi ax 2 + bx + c theo một trong ba kết quả sau : ax 2 + bx + c = A2 − u 2(1) Bài tập : Tính các tích phân sau : + bx + c = A + u ax 2 (2) 2 2 81 4 x − 8 x ax 2 + bx + 15 = u 2dx A 2 c − (3) 3 dx 1) ∫ 4 dx ; 2) ∫ ; 3) ∫ (Trong đó)A là hằng số dương0; u xlà 1 + 3 x + 1 số của x ) 1 x( x + 1 + một hàm 1 x x2 + 1 −π π -Với (1) thì đổi biến u = Acost. 17ới 0 ≤ t ≤ π (hoặc u = Asint , với 11 ≤ x ≤ 2dx 3 dx V dx t− ) 4) ∫ ; 5) ∫ ; 6) 2∫ 2 1 x 2x 2 + 2x + 1 − π ) x 2 + 4x + 5 π 6 x − 2 −1 -Với (2) thì đổi biến u = Atant. Vớ(ix + 2 < t < 10 2 2 1 π 1 1 1− x -Với (3) thì đổi biến u = A/cost. Với 0 ≤ t ≤ π và t ≠ dx 3 ; 9) ∫ x 1 + x dx dx 7) ∫ ; 8) ∫ 2 0 x + 1− x2 1 x + 1 + x − (αx + β ) 1 1 ∫ dx . 2 4) VỚI TÍCH PHÂN CÓ DẠNG15I = dx : 2 + bx + c 1 (xdx + n) ax 10) ∫ 3 mx ; 12) ∫ ( x + 1) x + 2 x + 2dx 2 ; 11) ∫ 3 x +1 ( x − 1)( x + 1) 2 0 x +1 + 1 0 *Cách giải : Đổi biến số t = 1 dx mx0 + n dx 1 xdx 13) ∫x 2x − x 2 ; 14) ∫ − 2 ( x + 1) 3 + 2 x − x 2 ;15) ∫ & 16) 1 0 4 − x4 5 3 1 x 2 dx na 16) ∫ Tổng quát : 2 x n − 1dx với n ∈ N ; n ≥ 2 0 4 − x6 ∫ 0 a 2 − x 2n 2 2 1 dx e ln xdx dx 17) ∫ 2 ; 18) ∫ ; 19) ∫ 0 ( x + 1) 1 + x 2 1 x 1 + ln x 2 6 3 x (x 2 −2 ) 3 (22) Nguyeãn Coâng Maäu
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 23 1 2 3 1 − x 2 dx 5 x 2 − 1dx 20) ∫ ; 21) 3 x 2 − 1dx ; 22) ∫ 1 2 x6 ∫1 x 1 x3 3 1 + x 2 dx 1 1 3 ; 24) ∫ (1 − x ) dx ; 25) ∫ x 1 − x dx 2 5 2 23) ∫ 1 x2 0 0 2 dx 1 5 3 26) ∫ 5 2 ; 27) ∫ x 1 + x dx ; 28) ∫ x 2 3 − x 2 dx 2 2 x x −1 0 0 0 3 2 1+ x x 3 dx 2 xdx 29) ∫ dx ; 30) ∫ ; 31) ∫ −1 1− x 0 x2 +1 1 x+ x2 −1 3 2 1 xdx 5 dx 32) ∫ x − 1dx ; 35) ∫ 2 ; 33) ∫ x 2 − 1dx ; 34) ∫ 2 1 0 2 + 4x 2 5 + 4x − x 2 *chú ý: Đối với tích phân câu 32 &33 có thể dùng công thức sau để giải quyết : dx 1 ∫ x 2 + k = ln x + x + k + c ; riêng câu 33 có thể giải bằng cách đặt x = cos t 2 BÀI TẬP ( DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI ) Tính các tích phân sau: π π e ln 2 x 2 3 1) ∫ dx ; 2) ∫ (cos x ln x + sin x )dx ; 3) ∫ sin 2 x. ln(cos x) dx 1 x3 1 x 0 π π π 2 2 x sin xdx 2 4) ∫ x cos x sin 2 xdx ; 5) ∫ x cos ; 6) ∫  e 1 + 3 sin x + x  cos xdx   0 0 0  e 1 + 3 ln x dx e  2 ln x 1  e x 1  7) ∫ e ; 8) ∫  e +  ln xdx ; 9) ∫ e  + ln x dx 1 x 1 x 1 x  π π e−1 ln( x + 1) 2 2 10) ∫ dx ; 11) ∫ sin x 3 + sin 2 x.dx ; 12) ∫ 2 cos x + sin 2 x dx 0 x +1 0 0 1 + sin 2 x π 1 x +1 2 3 sin 2 x 3 x 3 .e x + 1 dx 13) ∫ dx ; 14) ∫ ln( tgx ) dx ; 15) ∫ 0 x2 +1 π cos 4 x 4 0 1+ x2 (23) Nguyeãn Coâng Maäu
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 24 π 4 2 3 3  x2 +1 1  16) ∫ x . sin x dx ; 17) ∫ x 2  e − x + x x 2 + 1 dx ; 18) ∫ x e    + dx 19) 0 cos 3 x 0   0  x +1   π x sin x 2 2 π  ∫ dx 2 + 1dx 2 2  2x ; 20) ∫ x. ln x ; 21) ∫ x 1 + x + sin x dx 22) 0 1 + cos 0 −π   π 4  x2 1  1 2 dx ∫ x e + dx ; 23) ∫ x 2 + 1dx ; 24) ∫   −π  cos 2 x  0 1 x5 + x3 4 1 x7 1 x 2m + 1 25) ∫ dx Tổng quát : ∫ dx 0 (1 + x 2 ) 5 0 (1 + x 2 ) m + 2  2  2 1 1 − x    dx b a − x    dx; a, b > 0 26) ∫ Tổng quát : ∫ 0 (1 + x 2 ) 2 0 (a + x 2 ) 2 0 1+ x 0 a+x 27) ∫ dx Tổng quát : ∫ dx ; với a > 0 −1 1 − x −a a − x 1 7 4 1 2n − 1 28) ∫ x (1 − x )dx Tổng quát : ∫ x (1 − x n ) m dx với m,n ∈ N 0 0 e x ln x π π dx 2 cos 2 x 4 29) ∫ 2 2 ; 30) ∫ e cos x sin 5 xdx ; 31) ∫ ln (1 + tgx ) dx 1 ( x + 1) 0 0 3 π π 2  (1 + sin x )1 + cos x  2 9 + 2x 2 dx 2 dx 32) ∫ ln   dx ; 33) ∫ 2 ; 34) ∫ 0  1 + cos x  3 x 0 sin x + cos x + 3   2 π 1 2 xdx 1 x + ln(1 + x) 2 35) ∫ e x (cos x + sin xdx ; 36) ∫ ; 37) ∫ dx 0 0 x4 + x2 +1 0 1+ x2 π π 1  2 dx 2 2 38) ∫ ln x + 1 + x  ; 39) ∫ cos x ln(1 + sin x )dx ; 40) ∫ sin x ln(1 + sin x )dx 0   0 0 π 4 π 3 x +1 dx 2 1 41) ∫ x.e ; 42) ∫ cos x ln(cot gx)dx ; 43) ∫ ln(cos x )dx 0 π 0 cos 2 x 6 π 1 x.e x 1 4 − x3 2 44) ∫ dx ; 45) ∫ x .e dx ; 46) ∫ x + sin x dx 0 ( x + 1) 2 0 0 1 + cos x (24) Nguyeãn Coâng Maäu
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 25 π sin x − cos x + 1 π 2 x 3dx 4 47) ∫ ; 48) ∫ dx ; 49) ∫ sin 2 x dx 3 0 4 + x2 0 sin x + 2 cos x + 3 0 sin 4 x + cos 4 x π π π 2 cos 4 x sin x 2 1  2 dx 50) ∫ dx ; 51) ∫  − tg 2 (cos x)  dx ; 52) ∫ 3 x + cos 3 x 2 (sin x) 0 sin 0  cos    0 2 + cos x π π 2 2 53) 3 ∫ cos x sin 5 xdx tổng quát : ∫ cos n x sin( n + 2) xdx = 1 0 0 n +1 π 3 π n π 54) ∫ cos x sin 5 xdx tổng quát : ∫ cos x cos nxdx = n 0 0 2 x 3 3 x2 − x−6 dx 2 2n+1.e ax2 +bx+c dx = 0 55) ∫ (2 x − 1) .e tổng quát : ∫ (2ax + b) ; với : −2 x 1 x1,x2 là 2 nghiệm phân biệt của ax2+bx+c ;a ≠ 0 & n ∈ N 3 2 x ln( x + 1 + x 2 ) 1 dx 2 dx 56) ∫ −2 (5 x + 1) 1 + x 2 dx & 57) ∫ (e x + 1)( x 2 + 1) & 58) ∫ (3 + 1) 1 − x 2 x −1 3 − 2 b f ( x)dx b Tổng quát : ∫ x = ∫ f ( x)dx ; với f(x) là hàm số chẵn (a,b > 0). −b a +1 0 π π 2 sin 6 x + cos 6 x 4 x sin x 59) ∫ dx ; 60) ∫ dx −π 3x + 1 −π cos 2 x 2 4 PHẦN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN PHƯƠNG PHÁP :1)Dùng các tính chất sau : b a)Nếu hàm số f(x) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a; b] thì ∫ f ( x)dx ≥ 0 . a b b b)Nếu hàm số f(x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [ a; b] thì ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)dx a a b c)Nếu m ≤ f(x) ≤ M , ∀x ∈ [ a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) a b BÀI TẬP: Chứng m ≤ f(x) ≤ấM ẳngxthức sau :[ a; b] ⊂ D thì *Chú y: Nếu minh các b t đ , ∀ ∈ D và m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) . a π π π 4 3π 3 5π 2 3π 1) ≤ ∫ (5 cos x − cos 5 x)dx ≤ ; 2) 8 4 ≤ ∫ ( 2 sin x + cos 2 x ) dx ≤ 2 −π 2 4 0 2 4 π 2 3) ≤ ∫ ( x − cos 2 x)dx ≤ π (π + 2) π 4 ; 4) -4 ≤ ∫ (x + 2 − x 2 )dx ≤ 4 2 4 0 8 − 2 (25) Nguyeãn Coâng Maäu
CHUYEÂN ÑEÀ :TÍCH PHAÂN 26 π 1 π 2 1 π x 2 dx 1 5) ≤ ∫ dx ≤ ; 6) 0 ≤ ∫ ≤ 0 1+ x 4 16 0 5 + 3 cos 2 x 10 2 π 7) ( ) 2 −1 ≤ ∫ 2 2 1 x 2 − 2x + 2 dx ≤ ( ) 2 +1 2 ( ; 8) − 5 + 19 ≤ ) 2 + cos x 2 ( ) − 5 + 19 π 0 x + 2x + 2 4 ∫ sin x + cos x − 2 dx ≤ 0 4 π 4π 16 x + 9 + 16 − x 2 1 + sin x 9) 1 ≤ ∫ −9 125 dx ≤ 2 ; 10) 0 ≤ ∫π 2 + cos x dx ≤ 3 − 2 π 3 − 2 3 1 x +1 11) − π ≤ 2 sin x + 2 cos x + 1 dx ≤ π ∫ ; 12) ≤∫ dx ≤ 3+2 3 3 2 − x +1 3 0 cos x + sin x + 2 2 0x 1 1 2 π x 2 dx 1 13) 1 ≤ dx ; 14) 0 ≤ ∫ ≤ 2 0 ∫ 1 − x 2n ≤ 6 (n=1;2;3…) 0 (1 + x ) 2 2 4 (26) Nguyeãn Coâng Maäu