Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Khai thác bài toán về góc giữa hai mặt phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài "Khai thác bài toán về góc giữa hai mặt phẳng" là thông qua những nghiên cứu từ cơ sở lý luận và thực tiễn khi gặp các bài toán về hình học không gian trong đó có bài toán về góc giữa hai mặt phẳng, học sinh thường gặp khó khăn trong định hướng phân tích, phối hợp sử dụng những kiến thức đã học để giải quyết bài toán; bên cạnh đó sách giáo khoa, tài liệu tham khảo chỉ trình bày những lời giải cụ thể thiếu sự tổng hợp, bao quát nên giáo viên và học sinh càng khó khăn trong dạy và học...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Khai thác bài toán về góc giữa hai mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH SÁNG KIẾN Tên đề tài: KHAI THÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Môn/Lĩnh vực: TOÁN Mã số: 01 Hà Tĩnh, tháng 12 năm 2022 0
PHẦN MỞ ĐẦU I. BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Hội nghị TW8 khóa XI đã thông qua Nghị quyết số 29/NQ-TW ngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng XHCN và hội nhập quốc tế. Quốc hội ban hành Nghị quyết số 88/2014/QH13 ngày 28/11/2014 về đổi mới chương trình, sách giáo khoa GDPT góp phần đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Mục tiêu đổi mới được Nghị quyết số 88/2014/QH13 quy định: “Đổi mới chương trình, sách giáo khoa GDPT nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển biến nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của học sinh. Từ năm học 2022-2023 và năm học kế tiếp mỗi trường THPT thực hiện song song chương trình GDPT 2018 cho học sinh lớp 10 và chương trình 2006 cho học sinh lớp 11, 12. Để thực hiện có hiệu quả điều đó mỗi nhà trường, mỗi người quản lý giáo dục hay từng giáo viên cần chú trọng phát triển chương trình 2006, đổi mới phương pháp dạy học để vừa đáp ứng ôn tập, ôn thi cho đối tượng học sinh lớp 12 vừa phát triển toàn diện năng lực, phẩm chất cho người học. II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình môn Toán cấp phổ thông có thể nói vấn đề Hình học không gian là kiến thức được giảng dạy khá đầy đủ. Các kiến thức này được học bắt đầu từ dạng hình rất cơ bản, quen thuộc ở các lớp 9 cấp THCS và đi sâu nghiên cứu ở lớp 11, lớp 12 ở cả hai chương trình 2006 và 2018. Phần kiến thức về “Góc” là một trong những nội dung rất quan trọng trong khối kiến thức Hình học không gian. Góc giữa hai mặt phẳng là nội dung kiến thức tương đối khó nhưng lại xuất hiện rất nhiều trong các kỳ thi và các hình ảnh trong cuộc sống hằng ngày. Hiện nay thi tốt nghiệp THPT môn Toán với hình thức trắc nghiệm khách quan dẫn đến cách dạy và cách học có nhiều thay đổi. Đánh giá đề thi tốt nghiệp THPT các 1
năm gần đây đều sử dụng kiến thức này để ra những câu vận dụng, vận dụng cao, đòi hỏi giáo viên và học sinh cần phát huy việc tìm tòi, sáng tạo và tập trung tư duy, liên hệ, mở rộng kiến thức. Trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán các cấp Tỉnh thường xuất hiện nhiều bài toán có liên quan đến “Góc giữa hai mặt phẳng”. Và chắc chắn một điều nội dung ra các kỳ thi đối với những năm tới cho chương trình 2018 cũng sẽ sử dụng kiến thức này rất nhiều. Đây thường là các bài toán cần có nhiều suy luận, vận dụng và huy động đa số kiến thức hình học không gian đòi hỏi học sinh phải có niềm yêu thích bộ môn Hình học và các thầy cô có những cách thức để giảng dạy học sinh dễ hiểu nhất, kích thích tự học của học sinh. Hiểu được sự khó khăn và yêu cầu, mong muốn của Giáo viên và Học sinh trong quá trình day-học. Yêu cầu giáo viên cần tích cực học tập nâng cao trình độ; đổi mới phương pháp và hình thức dạy học; nghiên cứu, khai thác, phát triển kiến thức, xây dựng cho mình phương pháp, tổ chức trong dạy học phù hợp với đối tượng học sinh nhằm đáp ứng tốt đổi mới giáo dục, hình thành cho các em học sinh tư duy tích cực, đam mê, sáng tạo và tính tự học cao. Từ những lí do nêu trên tôi thực hiện đề tài Sáng kiến kinh nghiệm có tên: “KHAI THÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG” III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU 1. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức về hình học không gian được trình bày trong sách giáo khoa chương trình 2006, đề thi tốt nghiệp THPT các năm gần đây, các đề thi thử tốt nghiệp THPT các trường và Sở GD&ĐT các tỉnh và một số tài liệu tham khảo. 2. Đối tƣợng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu các kiến thức về khái niệm góc giữa hai mặt phẳng, phương pháp xác định và tính toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng. IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu của đề tài là thông qua những nghiên cứu từ cơ sở lý luận và thực tiễn khi gặp các bài toán về hình học không gian trong đó có bài toán về góc giữa hai 2
mặt phẳng, học sinh thường gặp khó khăn trong định hướng phân tích, phối hợp sử dụng những kiến thức đã học để giải quyết bài toán; bên cạnh đó sách giáo khoa, tài liệu tham khảo chỉ trình bày những lời giải cụ thể thiếu sự tổng hợp, bao quát nên giáo viên và học sinh càng khó khăn trong dạy và học. Đề tài sáng kiến này góp phần khắc phục những khó khăn nói trên nhằm tạo ra cho học sinh có hệ thống kiến thức, biết vận dụng một cách có hệ thống, tạo ra niềm say mê, sáng tạo trong học tập. Nhằm đưa lại hiệu quả cao hơn trong giảng dạy, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh xét tuyển đại học; tăng khả năng xây dựng hệ thống bài tập, ngân hàng đề thi. V. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Hệ thống lại kiến thức cơ bản và các phương pháp giải giúp người dạy và người học có tính bao quát khi đứng trước bài toán về góc giữa hai mặt phẳng. Phát triển một phương pháp của riêng cá nhân về cách xác định góc giữa hai mặt phẳng. Phân tích, rút ra một số nhận xét quan trọng của các dạng toán. Phân dạng và xây dựng được một hệ thống bài toán có tính hợp lý, khoa học và tính kết nối hệ thống kiến thức. Có thể sử dụng đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trong dạy học, đặc biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và thi Đại học. PHẦN NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. Một số cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1. Cơ sở lý luận Hình học không gian là kiến thức quen thuộc, quan trọng trong nghiên cứu về Toán học cấp trung học phổ thông nói chung và phân môn hình học nói riêng. Trong phát triển tư duy, thực tiễn cuộc sống, định hướng nghề nghiệp bộ môn Hình học ứng dụng rất nhiều đặc biệt Hình học không gian, trong đó Góc giữa hai mặt phẳng chiếm một phần quan trọng. Như vậy nghiên cứu Góc giữa hai mặt phẳng hoàn toàn có tính tự nhiên, thiết thực, không hàn lâm. 3
Trong chương trình, sách giáo khoa bậc phổ thông hiện nay, kiến thức hình học không gian, bài toán về góc được trình bày với những nội dung chính sau:  Hình học lớp 9: Trình bày một số hình cơ bản, có hình ảnh quen thuộc trong cuộc sống như hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hình tròn xoay...  Hình học lớp 11: Trình bày các loại hình trong không gian, các quan hệ, tính chất. Trình bày góc, khoảng cách.  Hình học lớp 12: Trình bày các loại khối trong không gian và cách tính thể tích của một số khối. Trình bày phương pháp tọa độ trong không gian. 1.2. Cơ sở thực tiễn Dựa trên yêu cầu cao của học sinh trong việc định hướng, phương pháp giải toán và hệ thống các vấn đề về Góc giữa hai mặt phẳng phục vụ cho học tập và thi cử. Mặt khác là gợi ý, xây dựng nguồn tài liệu cho đồng nghiệp giáo viên để tạo ra sự giao lưu, học hỏi và cùng nhau dạy tốt. II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 1. Về phía Giáo viên - Qua dự giờ, kiểm tra nhiệm vụ dạy học của giáo viên dạy Toán lớp 12 cùng trường ở năm học 2018-2019 đến năm học 2021-2022 nhận thấy chỉ trình bày các bài toán về Góc giữa hai mặt phẳng ở những dạng đơn giản hoặc giải quyết những bài toán cụ thể chưa có sự tổng hợp để tạo thành phương pháp giải để giải quyết được đa dạng bài toán về góc này. Hệ thống tài liệu còn hạn chế chưa đáp ứng cho học sinh học tập. - Khảo sát 10 giáo viên dạy lớp 12 ngoài trường trên địa bàn tỉnh Hà Tĩnh với hệ thống các câu hỏi như sau: Câu 1: Thầy cô thường dạy bài toán Góc giữa hai mặt phẳng mức độ nào? *) Kết quả: Mức độ Nhận biết &Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao Số lượng 7 2 1 % 70% 20% 10% 4
Câu 2: Trước bài toán Góc giữa hai mặt phẳng. Thầy cô thường hướng dẫn học sinh giải quyết theo cách nào? *) Kết quả: 8/10 Giáo viên trả lời: Sử dụng cách xác định góc 2 mặt phẳng cắt nhau. 2/10 Giáo viên trả lời: Thường có 2 cách (Cách thứ 1-xác định góc 2 mặt phẳng cắt nhau; cách 2 đối với những bài tọa độ hóa). Câu 3: Thầy cô đã từng được học sinh đề nghị hay đã chủ động dạy những bài toán phức tạp về Góc giữa hai mặt phẳng? *) Kết quả: Trả lời Rất ít: 3/10; Trả lời Không: 7/10. Câu 4: Khi dạy phần kiến thức Góc giữa hai mặt phẳng, thầy cô có hệ thống các phương pháp để giải quyết loại toán này? *) Kết quả: Trả lời Không: 9/10. 2. Về phía học sinh Năm học 2019-2020, khảo sát 300 học sinh lớp 11, lớp 12 khá giỏi các trường THPT trên địa bàn huyện X, tỉnh Hà Tĩnh với bài kiểm tra 60 phút như sau: Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tâm O; cạnh bên SA vuông góc với đáy. Em hãy điền vào bảng sau: NHẬN XÉT TT PHÁT BIỂU GIẢI THÍCH ĐÚNG/SAI Góc giữa hai mặt phẳng 1 SBD ;(ABCD)   SOA Góc giữa hai mặt phẳng 2 SAC ;(SAD)   SC;SD Góc giữa hai mặt phẳng 3 SAC ;(SAD)    BD;CD Góc giữa hai mặt phẳng 4 SAB ;(SAC)    SSAO thì cos   SSAB 5
Bài toán 2: (Giải bài toán trên bằng 03 đến 04 cách) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  . *) KẾT QUẢ KHẢO SÁT Bài toán 1 Số học sinh trả lời Số học sinh giải Câu Tỷ lệ đúng Nhận xét thích đƣợc Tỷ lệ 1 300 100% 300 100% 2 280 99.33% 243 81% 3 122 40.67% 97 32.33% 4 24 8% 11 3.67% Bài toán 2 Số học sinh giải Số học sinh giải Số học sinh giải Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ đƣợc 1 cách đƣợc 2 cách đƣợc 3 đên 4 cách 273 91.00% 85 28.33% 5 1.67% Qua một số thăm dò nêu trên nhận thấy khi giải bài toán về Góc giữa hai mặt phẳng chủ yếu học sinh chỉ tập trung vào phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau mà ít sử dụng đến những cách thức khác như dùng định nghĩa hay khoảng cách hoặc công thức diện tích hình chiếu. Điều này phản ảnh việc dạy và học phần này của giáo viên và học sinh đang còn đơn điệu, ít sáng tạo, ngại khai thác những kiến thức. Do đó việc tổng hợp các phương pháp giúp học sinh định hướng về tư duy, làm nhẹ nhàng cách tiếp cận và đặc biệt học sinh có liên hệ, kết nối các mạch kiến thức liên quan tạo hiệu quả trong học tập; tạo niềm hứng khởi, đam mê trong dạy và học Toán của đồng nghiệp và học sinh là điều rất cần thiết đối với mỗi người giáo viên. III. CÁC BIỆN PHÁP TRIỂN KHAI 1. Kiến thức cần nắm vững 1.1. Định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng 6
Xét hai mặt phẳng  P  và  Q  bất kỳ. Đường thẳng a vuông góc mặt phẳng P ; a b đường thẳng b vuông góc mặt phẳng  Q  . P Q Khi đó  ( P);(Q)    a; b  1.2. Phƣơng pháp xác định Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau Xét hai mặt phẳng  P  và  Q  cắt nhau theo giao tuyến d . Một mặt phẳng  R  vuông a góc giao tuyến d . b Mặt phẳng  R  cắt mặt phẳng  P  theo giao m P tuyến là đường thẳng m , cắt mặt phẳng  Q  Q O theo giao tuyến là đường thẳng n . Khi đó n d  ( P);(Q)    m; n  2. Kiến thức đƣợc khai thác Từ kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng được sách giáo khoa trình bày, bản thân có những ứng dụng, khai thác thêm, mở rộng bài toán và tổng hợp lại những phương pháp giải bài toán về góc giữa hai mặt phẳng như sau: 2.1. Khai thác, mở rộng, phát triển, tổng hợp các phƣơng pháp tìm góc giữa hai mặt phẳng. Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng Hai mặt phẳng  P  và  Q  nếu có đường thẳng a vuông góc mặt phẳng  P  và đường thẳng b vuông góc mặt phẳng  Q  . Khi đó  ( P);(Q)    a; b  Phương pháp 2: “Tìm điểm xuất phát để xác định góc giữa hai mặt phẳng” 7
Khi gặp bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng “Phƣơng pháp xác P O Q định Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau” như sau: b a Bước 1: Xác định giao tuyến   (P)  (Q) . Bước 2: Trong mặt phẳng (P) xác định đường thẳng a vuông góc giao tuyến  tại điểm O. Trong mặt phẳng (Q) xác định đường thẳng b vuông góc giao tuyến  tại điểm O. Bước 3: Khi đó  ( P);(Q)    a; b  Sự khó khăn của Học sinh đó là: “làm thế nào xác định đƣờng thẳng a và đƣờng thẳng b ” Giáo viên sẽ nêu câu hỏi “Có cách hƣớng dẫn nào đơn giản không?” Để giải quyết những băn khoăn trên, tôi nêu ra một cách thức xác định Góc giữa hai mặt phẳng và đặt tên “Tìm điểm xuất phát trong việc xác định Góc giữa hai mặt phẳng” Phân tích: Nếu ta lấy điểm A; B lần lượt trên đường thẳng a và đường thẳng b thì ta có   (OAB)    AB . Phƣơng pháp Tìm điểm xuất phát trong việc xác định Góc giữa hai mặt phẳng”: Bước 1: Xác định giao tuyến   (P)  (Q) . Bước 2: Tìm trong mặt phẳng (P) một điểm A, tìm P Q O trong mặt phẳng (Q) một điểm B sao cho AB   b .Bước 3: Từ A (hoặc B) kẻ đường thẳng vuông góc a B A đường thẳng  tại điểm O. Khi đó  (P);(Q)   OA; OB   AOB nếu 00  AOB  900 hoặc  ( P);(Q)    OA; OB   180  AOB nếu 90  AOB  180 0 0 0 8
Phương pháp 3: Sử dụng khoảng cách trong tính góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng  P    Q   d . Q Từ A   P  , dựng AK  d ; AH   Q  . Khi đó d   AKH  nên  P  ; Q   AKH   . H AH d  A;  Q   α Khi đó sin   , hay sin   A K d  A; d  P AK d Phương pháp 4: Sử dụng diện tích trong tính góc giữa hai mặt phẳng Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng   và    . Lấy trong mặt phẳng   một đa giác    có diện tích là S , hình chiếu vuông góc của đa giác    là đa giác    có diện S tích là S . Khi đó ta có công thức cos   . S 2.2. Một số ví dụ về bài toán Góc giữa hai mặt phẳng. Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD  2AB  2BC  2a ; cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA  a . Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  . Phân tích 1 Khi nghiên cứu bài toán ta nhận thấy đây là dạng hình rất quen thuộc, hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là một đa giác quen thuộc. Nhưng khi bắt tay vào giải quyết bài toán bằng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Điều đó cần suy nghĩ, phân tích để sử dụng các phương pháp. Nếu sử dụng phương pháp “Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau” thì cần phải chuyển đổi sang hai mặt phẳng khác. Từ đó đề xuất một số cách tiếp cận như sau: LỜI GIẢI 9
► CÁCH GIẢI 1 S Gọi    (SBC);(SCD)  . Do  SAC    SCD  nên   900   (SAC);(SBC)  J Ta có BI  SC với I trung điểm AC. O D Sử dụng Phương pháp 2: “Điểm xuất phát để A xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và I (SBC) là điểm B hoặc điểm I” Ta kẻ BJ  SC   BIJ   SC  IJ  SC B C Suy ra  (SAC);(SBC)    BI;IJ   BJI nên   900   (SAC);(SBC)   900  BJI  JBI CI IJ SA.CI a a 2 Ta có CJI đồng dạng CAS nên   IJ   và BI  CS SA SC 6 2 IJ 1 nên tan   tan JBI      300 . Vậy góc giữa  SBC  và  SCD  bằng 300 . BI 3 ► CÁCH GIẢI 2 S Ta kẻ AH  SB  AH  SBC   AH  SC Sử dụng Phương pháp 2: “Điểm xuất phát để xác K định góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là điểm A hoặc điểm H” H O D A Ta kẻ AK  SC   AHK   SC  HK  SC Suy ra  (SAC);(SBC)    AK;AH   AKH B C nên   90   (SAC);(SBC)   90  AKH  HAK 0 0 SA.AB a.a a SA.AC a.a 2 a 6 Ta có AH    ; AK    SA  AB 2 2 a 2 2 SA  AC 2 2 a 3 3 a AH 3 cos   cos HAK   2     300 .Vậy góc giữa  SBC  và  SCD  bằng 300 . AK a 6 2 3 10
Phân tích 2 Bài toán đã cho nhận thấy việc tìm các đường thẳng lần lượt vuông góc với các mặt phẳng (SBC) và (SCD) khá đơn giản. Vận dụng những quan hệ vuông góc đó vào tính toán khá thuận lợi, do vậy ta suy nghĩ đến Phương pháp sử dụng định nghĩa . ► CÁCH GIẢI 3 (Sử dụng Phương pháp 1: Sử S dụng định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng) Ta kẻ AH  SB  AH   SBC  K Lại kẻ AK  SC  AK   SCD  H O D Suy ra  (SBC);(SCD)    AK;AH   HAK A Sử dụng hai tam giác vuông SAB và SAC để tính AH, AK (tương tự cách 2). B C Phân tích 3 Nhận thấy xét tam giác SBC vuông tại B, biết độ dài cạnh SB, BC nên dễ dàng tính khoảng cách từ B đến đường thẳng SC. Mặt khác việc tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) khá đơn giản bằng cách chuyển về khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). Do đó ta hoàn toàn có thể sử dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng. ► CÁCH GIẢI 4 (Phương pháp 3: Sử dụng S khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng) Ta kẻ AK  SB  AK   SCD   d  A; SCD    AK K J SA.AC a.a 2 a 6 AK    A D SA  AC 2 2 a 3 3 I d  B;  SCD    BI  d  A; SCD    1 a 6 2 6 B C SB.BC a 2.a a 6 Ta kẻ BI  SC  d  B;SC   BI    SB  BC 2 2 a 3 3 11
d  B;  SCD   1 Gọi  là góc giữa  SBC  và  SCD  khi đó sin       300 d  B; SC  2 Kết luận: Qua bài toán tưởng chừng là rất quen thuộc nhưng người thầy không bao quát kiến thức, có sự tổng hợp các phương pháp giải thì rất khó định hướng, hướng dẫn, hỗ trợ Học sinh trong học tập. Ví dụ 2 Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA  a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB và SD ,  là góc giữa hai mặt phẳng  AMN  và  SBD  . Tính giá trị sin  . Phân tích 1 Nhận thấy hai mặt phẳng  AMN  và  SBD  có giao tuyến là đường thẳng MN. Để sử dụng bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau ta phải phân tích tìm “điểm xuất phát” dựa trên quan hệ vuông góc với giao tuyến MN.  BD / / MN Lại có   AO  MN . Từ đó Sử dụng phương pháp 2 “Điểm xuất  BD  AO phát để xác định góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (SBD) là điểm A hoặc điểm H” Từ đó ta có lời giải như sau: CÁCH GIẢI 1: Gọi O là tâm của tâm của hình vuông ABCD. Gọi K  SO  MN . Theo bài ra ta có KO  MN .  BD  AC S Mặt khác ta có   BD   SAC  mà  BD  SA MN //BD nên MN   SAC  , suy ra MN  AK . N K M Khi đó:    (AMN);(SBD)    AK;KO  AKO A H D hay sin   sin AKO .Gọi H là hình chiếu của A O B C lên SO . 12
Xét tam giác SAO vuông tại A có AH là đường cao 2 SA. AO a.a nên AH   2  a . Xét tam giác SAO vuông tại A có AK là SA2  AO 2 a2 3 a2  2 a2 a  2 SO 2 a 6. đường trung tuyến nên AK   2 2 4 AH 2 2 Xét tam giác AHK vuông tại H ta có sin   sin AKO   . AK 3 2 2 Vậy sin   . 3 Phân tích 2 Nhận thấy bài tập này có những quan hệ vuông, đặc biệt hai mặt phẳng  AMN  và  SBD  có điểm chung M và N. Điều này gợi ý cho chúng ta suy nghĩ đến tính góc giữa hai mặt phẳng bằng Phương pháp 4: Sử dụng diện tích trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng Vấn đề đặt ra là chiếu tam giác AMN lên mặt phẳng (SBD) hay ngược lại thuận lợi hơn? Với những phân tích như vậy, ta bắt tay vào giải bài toán bằng “công thức diện tích” như sau: CÁCH GIẢI 2 Gọi O là tâm của tâm của hình vuông ABCD; Gọi H là hình chiếu của A lên SO . Suy ra hình chiếu vuông góc của AMN trên mặt phẳng (SBD) là HMN Vì  là góc giữa hai mặt phẳng  AMN  và  SBD  nên 1 SHMN HK .MN HK AH cos    2  (với K  SO  MN )  sin   S AMN 1 AK AK .MN AK 2 13
Kết luận: Mỗi bài toán có thể có nhiều hướng tiếp cận, nếu ta để ý phân tích thì tìm ra nhiều lời giải đẹp, góp phần kích thích học sinh say mê tìm tòi, phát triển kiến thức. Ví dụ 3 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a với a  0 . Gọi M là trung điểm BC. Hình chiếu vuông góc của A1 trên mặt phẳng  ABC  trùng với H là trung điểm của đoạn thẳng AM . Cho 3a A1H  . Tính góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  BCC1B1  . 4 Phân tích 1 Hai mặt phẳng  ABC  và  BCC1B1  cắt nhau theo giao tuyến BC. Đường thẳng A1H  (ABC)  A1H  BC . Để áp dụng “Điểm xuất phát để xác định góc giữa hai mặt phẳng” ta xác định giao điểm K của đường thẳng A1H với mặt phẳng  BCC1B1  . Khi đó Sử dụng phương pháp 2 “Điểm xuất phát để xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCC1B1) là điểm H hoặc điểm K”, Từ đó ta có: CÁCH GIẢI 1 Gọi M1 trung điểm cạnh B1C1 . A1 C1 M1 Kéo dài MM1 cắt A1H tại K B1 Ta có HM  BC  KM  BC do A1H  (ABC) . E A Suy ra  (ABC);(BCC1B1 )    HM;KM   HMK C H M Ta có ABC là tam giác đều cạnh bằng a nên B 1 1 a 3 a 3 3a MH  AM  .  ; KH  A1M  K 2 2 2 4 4 Xét HKM vuông tại H, ta có: 14
3a HK tan HMK   4  3  HMK  600 HM a 3 4 Vậy góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  BCC1B1  bằng 600 . Phân tích 2 Hai mặt phẳng  ABC  và  BCC1B1  cắt nhau theo giao tuyến BC. Đường thẳng A1H  (ABC)  A1H  BC . Điều này gợi ý cho ta chuyển đổi góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  BCC1B1  về góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và   trong đó   chứa điểm A1 . Từ đó ta có: CÁCH GIẢI 2 Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Do AD / /BC và A1A / /B1B suy ra  A1AD  / /  B1C1CB  suy ra  (ABC);(BCC1B1 )    (ABCD);(A1AD)  . Ta có HA  AD  A1A  AD C1 1 1 a 3 a 3 A1 Ta có AH  AM  .  2 2 2 4 B1 D 3a A1H tan A1AH   4  3  A1AH  600 A H C AH a 3 M 4 B Phân tích 3 Ta đã có A1H  (ABC) . Điều này gợi ý cho ta xác định đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  BCC1B1  để sử dụng định nghĩa Góc giữa hai mặt phẳng Để dễ cho việc tính toán góc theo cách giải này, từ điểm A1 hoặc từ điểm H ta kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  BCC1B1  . CÁCH GIẢI 3 (Sử dụng phương pháp 1: Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng) 15
Gọi M1 trung điểm cạnh B1C1 . A1 C1 Kẻ A1E  MM1  A1E   BCC1B1  M1 B1 Lại có A1H  (ABC) . Theo định nghĩa ta có E A  (ABC);(BCC1B1 )    A1H;A1E   HA1E H C M Kéo dài MM1 cắt A1H tại K ta có: B 3a a 3 A1K  2A1H  và A1M1  . 2 2 K A1M1.A1K 3a Áp dụng trong tam giác A1M1K vuông tại A1 ta có A1E   A1M12  A1K 2 4 3a A1E 1 Áp dụng tam giác A1EK vuông tại E ta có cos HA1E   4   HA1E  600 A1K 3a 2 2 Vậy góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  BCC1B1  bằng 600 . Ví dụ 4 Cho hình lăng trụ đều ABC. A1B1C1 . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC1  bằng a , góc giữa hai mặt phẳng  ABC1  và  BCC1B1  bằng  với 1 cos  . Thể tích khối lăng trụ ABC. A1B1C1 . 2 3 Phân tích 1 Bài toán cần phải xác định góc giữa hai mặt phẳng  ABC1  và  BCC1B1  cắt nhau theo giao tuyến BC1 . Gọi M; N lần lượt là trung điểm BC; AB ta dễ nhận thấy AM  BC và CN  AB . Từ AM  BC  AM   BCC1B1   AM  BC1 . 16
Khi đó ta sử dụng Phương pháp 2 “Điểm xuất phát để xác định góc giữa hai mặt phẳng  ABC1  và  BCC1B1  là điểm A hoặc điểm M”, Từ đó ta có lời giải: CÁCH GIẢI 1 Gọi M là trung điểm BC suy ra AM  BC  AM   BCC1B1   AM  BC1 . Ta kẻ ME  BC1  BC1   AME   AE  BC1   (ABC1 );(BCC1B1 )    AE;ME   AEM 1 AM Từ cos   tan   11  tan AEM  11   11  AM  EM 11 (1). 2 3 EM x 3 1 1 x.h Đặt x  AB và h  CC1 ta có AM  CN  và EM  CF  2 2 2 x2  h2 thay vào (1) được: A1 C1 x 3 1 x.h 11h 2  11  3  2  3x 2  8h 2 (*) 2 2 x h 2 2 x h 2 B1 F Mặt khác d  C;  ABC1    CH  a H Ta có E A C 2 1 1 1 1 4 1 1 4 1 3a 2  2  2  2  2  2  2  2  2  h2  N M C1C CN a h 3x a h 8h a 2 B 8.3a 2 3x 2 Từ (*) có 3x 2  8h 2  3x 2   x 2  4a 2  SABC   3a 2 2 4 a 6 2 3 2a 3 Khối lăng trụ ABC. A1B1C1 có thể tích V  h.S ABC  .a 3  2 2 Phân tích 2 Dễ dàng nhận thấy AM   BCC1B1  . Khi xác định khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC1  cho ta suy nghĩ điều gì? Có xác định được hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng  ABC1  và  BCC1B1  để có thể sử dụng Phương pháp 1 “Sử dụng định nghĩa” 17
CÁCH GIẢI 2 A1 C1 Ta có AM  BC  AM   BCC1B1  Lại có CN  AB  AB   CC1N  nên kẻ B1 F H GK  C1N  GK   ABC1  . Từ đó    (ABC1 );(BCC1B1 )    AM;GK   AGK K E A C 2 x 3 Đặt x  AB ta có AG  AM  G M N 3 3 B 1 1 a Có GK  CH  d  C;(ABC1   . Xét tam giác AKG vuông tại K có 3 3 3 1 KG 1 a x 3 cos  cos AGK     2 3KG  AG  2 3.   x  2a . 2 3 AG 2 3 3 3 3x 2 Từ đó có SABC   3a 2 4 1 1 1 1 1 2 3a 2 a 6 và 2  2 2  2  2  2  C1C2   C1C  C1C a CN a 3a 3a 2 2 a 6 2 3 2a 3 Vậy thể tích V  h.S ABC  .a 3  2 2 Ví dụ 5 Cho lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng 1 , cạnh bên bằng 3 . Gọi M là trung điểm của CC  . Tính sin góc giữa hai mặt phẳng  ACB  và  BMA  . Phân tích Nhận thấy đây là một bài toán khá phức tạp trong việc xác định phương pháp giải. Nếu theo thói quen sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau thì chắc chắn có sự bế tắc. Nếu không có tính bao quát về phương pháp giải thì việc lựa chọn cách tiếp cận sẽ gặp khó khăn. 18
Nhận thấy việc tính khoảng cách từ điểm A đến  BMA  (khoảng cách từ chân đường vuông góc đến mặt phẳng xiên). Mặt khác việc tính khoảng cách từ A đến giao tuyến hai mặt phẳng  ACB  và  BMA  sử dụng diện tích tam giác ta có thể giải quyết được. Do đó ta hoàn toàn có thể sử dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng. CÁCH GIẢI (Phương pháp 3: Sử dụng khoảng cách trong bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng) Gọi I là tâm hình chữ nhật ABBA và J là giao điểm của BM và BC . suy ra IJ   ACB    BMA  . d A; BMA Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng  ACB  và  BMA  . Khi đó: sin   . d A;IJ  Gọi D  AM  AC , suy ra C là trung điểm của A' C' 1 AD  BC  AD  ABD vuông tại B 2 B'  BD   ABBA    BDA    ABBA  1 . M I Dựng AK  AB  2  . K J Từ 1 và  2 suy ra AK   BDA  A C D 3  AK  d A; BDA  d A; BDA  . 2 B 15 7 Tam giác BAC có BA  BC  2 , AC  1  S BAC  và cos ABC  4 8 SBIJ BI BJ 1 15  .   SBIJ  . SBAC BA BC 3 12 1 2 4 2 Ta có: BI  BA  1 ; BJ  BC   IJ  BI 2  BJ 2  2 BI .BJ .cos IBJ  . 2 3 3 3 2SBIJ 15 3 15 2 2  d A;IJ   d B;IJ     sin   :  . Vậy sin   IJ 4 2 4 5 5 19