intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Cơ học đại cương - Phần 2 Dao động và sóng cơ - Chương 1

Chia sẻ: Nguyễn Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST
Báo xấu
156
lượt xem 33
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các dao động Tử Điều hòa liên kết hiện t-ợng lan truyền dao dộng Đ1. Dao động tự do của các dao động tử liên kết : 1) Dao động tự do của hệ một bậc tự do : a) Dao động tử điều hoà: Xét một hệ chỉ có một bậc tự do. Biến thiên của hệ đ-ợc đặc tr-ng bằng một đại l-ợng vật lý ? (? có thể là dịch chuyển, góc lệch, c-ờng độ, điện áp....).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cơ học đại cương - Phần 2 Dao động và sóng cơ - Chương 1

  1. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông PHÁÖN II : DAO ÂÄÜNG VAÌ SOÏNG CÅ 32
  2. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Ch−¬ng 1 : C¸c dao ®éng Tö §iÒu hßa liªn kÕt hiÖn t−îng lan truyÒn dao déng §1. Dao ®éng tù do cña c¸c dao ®éng tö liªn kÕt : 1) Dao ®éng tù do cña hÖ mét bËc tù do : a) Dao ®éng tö ®iÒu hoµ: XÐt mét hÖ chØ cã mét bËc tù do. BiÕn thiªn cña hÖ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng mét ®¹i l−îng vËt lý ψ (ψ cã thÓ lµ dÞch chuyÓn, gãc lÖch, c−êng ®é, ®iÖn ¸p....). VÝ dô, mét con l¾c chuyÓn ®éng quay xung quanh mét trôc n»m ngang, chuyÓn ®éng cña hÖ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng gãc lÖch θ cña con l¾c so víi vÞ trÝ c©n b»ng. NÕu hÖ cã mét vÞ trÝ c©n b»ng bÒn øng víi ψ = ψ 0 vµ ë l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng ®ã, ph−¬ng tr×nh biÕn thiªn cña ψ cã d¹ng: dψ 2 = −ω 0 (ψ −ψ 0 ) 2 (1) 2 dt th× khi ®ã hÖ sÏ thùc hiÖn mét dao ®éng ®iÒu hßa, cã tÇn sè gãc ω 0 . ψ (t ) = ψ 0 + ψ m cos(ω 0t + ϕ ) Ph−¬ng tr×nh dao ®éng cã d¹ng: HÖ nãi trªn ®−îc gäi lµ mét dao ®éng tö ®iÒu hoµ. b) Dao ®éng tö c¬ häc cã phôc håi tuyÕn tÝnh : XÐt mét vËt cã khèi l−îng M, g¾n vµo mét lß xo cã ®é cøng K (bá qua khèi l−îng cña lß xo), tr−ît kh«ng ma s¸t däc theo mét thanh n»m ngang. VÞ trÝ c©n b»ng øng víi ®é dµi cña lß xo lµ a0, ®−îc chän lµm gèc cña trôc Ox. §Çu kia cña lß xo g¾n vµo mét ®iÓm cè ®Þnh (H×nh 1). Gäi ψ (t ) lµ dÞch chuyÓn cña vËt so víi vÞ trÝ c©n b»ng. dψ 2 = − Kψ Trong hÖ quy chiÕu gi¶ thiÕt lµ GalilÐe, ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng lµ: M dt 2 K Dao ®éng cña vËt lµ dao déng ®iÒu hßa, cã tÇn sè gãc : ω 0 = M i H×nh 1 L a0 x q C -q H×nh 2 x ψ c) Dao ®éng tö ®iÖn häc: H·y xÐt sù t−¬ng ®ång gi÷a mét con l¾c lß xo vµ mét m¹ch ®iÖn LC nèi tiÕp. Cho m¹ch ®iÖn nh− h×nh vÏ, gåm tô ®iÖn cã ®iÖn dung C, cuén d©y cã hÖ sè tù c¶m L, q lµ ®iÖn tÝch trªn hai b¶n tô ®iÖn (H×nh 2). ¸p dông ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng ®Ó viÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ sù biÕn thiªn cña q: WC + WL = W = h»ng sè 33
  3. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông 1 q2 Trong ®ã: WC = : n¨ng l−îng ®iÖn tr−êng gi÷a hai b¶n tô ®iÖn. 2C 1 WL = Li 2 : n¨ng l−îng tõ tr−êng trong èng d©y. 2 1 q2 1 2 q di q + Li = const ⇒ q +L i = 0 ⇒ q +L q q = 0 Suy ra: 2C 2 C dt C dq i= =q víi: dt 1 q +Ω 0 q = 0 víi: Ω0 = 2 VËy: LC 1 Nh− vËy, q biÕn thiªn ®iÒu hßa víi tÇn sè gãc: Ω0 = LC Chóng ta thÊy ®−îc sù t−¬ng ®ång cña hai hÖ : C¬ hÖ vµ m¹ch ®iÖn LC nèi tiÕp: Khèi l−îng M vµ ®é cøng K cña c¬ hÖ ®−îc thay thÕ b»ng hÖ sè tù c¶m L vµ nghÞch ®¶o cña ®iÖn 1 K dung C. TÇn så gãc trong dao ®éng c¬: ω 0 = t−¬ng tù nh− tÇn sè gãc: Ω0 = trong dao M LC ®éng ®iÖn cña m¹ch LC. 2) Dao ®éng tù do cña hÖ cã 2 bËc tù do: a) Sù liªn kÕt hai dao ®éng tö: XÐt hÖ gåm hai vËt cã cïng khèi l−îng M, tr−ît kh«ng ma s¸t trªn thanh n»m ngang Ox. Mçi vËt ®−îc g¾n trªn mét lß xo cã ®é cøng K, chiÒu dµ khi c©n b»ng lµ a0. §Çu kia cña mçi lß xo ®−îc g¾n cè ®Þnh víi gi¸ (H×nh 3). Khi ch−a cã lß xo gi÷a, hai vËt sÏ thùc hiÖn hai dao ®éng tù do ®éc K lËp nhau, víi cïng tÇn sè gãc ω 0 = . H×nh 4 M H×nh 3 a0 b0 a0 Dao tö 1 Dao tö 2 K K x x (1) (3) (2) x Liªn kÕt K K O x O F1 F2 x f1 ψ1 f2 ψ 2 G¾n thªm vµo gi÷a hai vËt mét lß xo ®é cøng k, chiÒu dµi khi c©n b»ng lµ b0. Chän gèc O cña trôc Ox n»m trªn gi¸ bªn tr¸i (H×nh 4). Ký hiÖu ψ 1 vµ ψ 2 lµ dÞch chuyÓn cña vËt (1) vµ (2) so víi vÞ trÝ c©n b»ng cña chóng. VËt (1) chÞu t¸c ®éng cña c¸c lùc: F1 = − Kψ 1ex (Do lß xo (1) t¸c ®éng) f1 = k [ψ 2 −ψ 1 ] ex vµ: (Do lß xo (3) t¸c ®éng) VËt (2) chÞu t¸c ®éng cña c¸c lùc: 34
  4. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông F2 = − Kψ 2ex (Do lß xo (1) t¸c ®éng) vµ: f 2 = − f1 (Do lß xo (3) t¸c ®éng) Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hÖ hai vËt: ⎧ Mψ 1 = − Kψ 1 − k (ψ 1 − ψ 2 ) ⎨ (2) ⎩ Mψ 2 = k (ψ 1 −ψ 2 ) − Kψ 2 Nh− vËy, lß lo gi÷a ®· liªn kÕt hai vËt : ChuyÓn ®éng cña hai vËt kh«ng cßn ®éc lËp víi nhau n÷a. b) NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng: Dïng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè: u = ψ 1 + ψ 2 vµ v = ψ 1 −ψ 2 u+v u−v Suy ra: ψ 1 = vµ ψ 2 = 2 2 Thay vµo (2), ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng trë thµnh: ⎧ Mu = − Ku ⎨ (3) ⎩ Mv = −( K + 2k ) v §©y lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai thuÇn nhÊt, hÖ sè h»ng. NghiÖm cña hÖ (3) cã d¹ng: ⎧u (t ) = um cos(ω1t + φ1 ) ⎨ ⎩v(t ) = vm cos(ω 2t + φ2 ) K + 2k K TÇn sè gãc ω1 vµ ω 2 b»ng : ω1 = ; ω2 = H×nh 5 M M ψ 2 = ψ1 Suy ra: ψ1 ⎧ um vm ⎪ψ 1 = 2 cos(ω1t + φ1 ) + 2 cos(ω 2t + φ2 ) ( 5a) ⎪ ⎨ ⎪ψ = um cos(ω t + φ ) − vm cos(ω t + φ ) ψ 2 = −ψ 1 ψ1 ⎪2 2 1 1 2 2 ⎩ 2 Khi biÕt vÞ trÝ vµ vËn tèc ban ®Çu cña hai vËt:ψ 1 (0) ; ψ 2 (0) ; (5b) dψ 1 dψ 2 (0) cã thÓ x¸c ®Þnh hoµn toµn ψ 1 (t ) vµ ψ 2 (t ) . (0) ; dt dt c) TÇn sè gãc riªng vµ c¸c d¹ng dao ®éng riªng: C¸c tÇn sè gãc ω1 vµ ω 2 ®−îc gäi lµ tÇn sè gãc riªng cña hÖ hai dao ®éng tö liªn kÕt. u Khi : v(t) = 0, tøc lµ khi: ψ 1 (t ) = ψ 2 (t ) = m cos(ω1t + φ1 ) ⇒ hÖ sÏ dao ®éng víi tÇn sè gãc 2 ω1 . Khi ®ã, ta nhËn ®−îc d¹ng dao ®éng riªng øng víi tÇn sè gãc ω1 . DÞch chuyÓn cña hai vËt nh− nhau. §©y lµ d¹ng dao ®éng riªng ®èi xøng (H×nh 5a). Khi: u(t) = 0, tøc lµ khi: ψ 1 (t ) = −ψ 2 (t ) hÖ sÏ dao ®éng víi tÇn sè gãc ω 2 . Khi ®ã, ta nhËn ®−îc d¹ng dao ®éng riªng øng víi tÇn sè gãc ω 2 . §©y lµ d¹ng dao ®éng riªng ph¶n ®èi xøng (H×nh 5b). §Ó quan s¸t ®−îc mét trong hai d¹ng dao ®éng riªng, vÝ dô d¹ng dao ®éng riªng ®èi xøng, dv (0) = 0 , tøc cÇn cã v(t) = 0. §iÒu nµy cã ®−îc nhê c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu cã d¹ng: v(0) = 0 ; dt lµ t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu hÖ ®−îc kÝch thÝch ë d¹ng dao ®éng riªng ®èi xøng. 35
  5. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Ghi chó: NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh (2) cña chuyÓn ®éng lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña hai d¹ng dao ®éng riªng: ⎡ψ 1 ⎤ um ⎡1⎤ vm ⎡1 ⎤ ⎢ψ ⎥ = 2 ⎢1⎥ cos(ω1t +φ1 ) + 2 ⎢ −1⎥ cos(ω 2t +φ2 ) ⎣⎦ ⎣⎦ ⎣ 2⎦ 3) Dao ®éng tù do cña N dao ®éng tö liªn kÕt (Dao ®éng tù do cña hÖ N bËc tù do): XÐt tr−êng hîp tæng qu¸t: HÖ gåm N dao ®éng tö liªn kÕt gièng hÖt nhau. Khi ®ã sÏ xuÊt hiÖn N d¹ng dao ®éng riªng cã tÇn sè gãc kh¸c nhau. ChuyÓn ®éng quan s¸t ®−îc lµ sù chång chÊt cña N d¹ng dao ®éng cña chuçi c¸c dao ®éng tö (H×nh 6). a 2a 3a Na x O ψn ψ3 ψ1 ψ2 H×nh 6: N dao ®éng tö liªn kÕt BiÓu diÔn c¸c dao ®éng riªng trªn ®å thÞ : Trªn trôc hoµnh Ox, biÓu diÔn vÞ trÝ c©n b»ng x0n = na cña khèi l−îng thø n. Trªn trôc tung Oy, biÓu diÔn dÞch chuyÓn ψ n (mÆc dï dÞch chuyÓn nµy n»m theo trôc Ox). 2K • Víi N = 1 (H×nh7a), mét vËt duy nhÊt thùc hiÖn dao ®éng ®iÒu hßa víi tÇn sè gãc : ω1 = M (cã thõa sè 2 v× cã hai lß xo g¾n vµo vËt) • Víi N = 2 (H×nh 7b), vµ víi ba lß xo cïng ®é cøng K, tÇn sè gãc cña hai d¹ng dao ®éng riªng lµ: 3K K ω1 = vµ ω 2 = M M D¹ng dao ®éng riªng thø nhÊt vµ thø hai lÇn l−ît t−¬ng øng víi d¹ng dao ®éng ®èi xøng vµ d¹ng ph¶n ®èi xøng cña hÖ hai vËt. • T−¬ng tù cho tr−êng hîp N = 3, N = 4... vµ N bÊt kú (H×nh 8). Hçnh 7a : Hçnh 7b: 36
  6. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông Hçnh 8: §2. Dao ®éng c−ìng bøc cña c¸c dao ®éng tö liªn kÕt: 1) Dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ mét bËc tù do: a) HiÖn t−îng céng h−ëng víi dao ®éng tö lý t−ëng (kh«ng cã lùc c¶n): Dao ®éng tö mét bËc tù do (H×nh 9) ®−îc kÝch thÝch bëi mét c¬ cÊu tay quay- con tr−ît, t¹o nªn mét dÞch chuyÓn cã d¹ng ξ (t ) cña mét ®Çu lß xo. Gäi a vµ K lÇn l−ît lµ chiÒu dµi øng víi vÞ trÝ c©n b»ng vµ ®é cøng cña mçi lß xo. Lùc t¸c dông lªn vËt bao gåm: Lùc tõ lß xo (1): F1 = − K (ψ − ξ )ex ; Lùc t¸c dông tõ lß xo (2): F2 = − Kψ ex H×nh 10: (Trªn h×nh vÏ gi¶ sö ψ > ξ x (1) (2) x ξ (t ) ψ (t ) F (2) x F (1) Hçnh 9: 37
  7. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông ¸p dông ®Þnh lý vÒ ®éng l−îng vµ chiÕu lªn trôc Ox ⇒ Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt : Mψ = − K (ψ − ξ ) − Kψ Mψ + 2 Kψ = K ξ Hay: Trong ®ã : F (t ) = K ξ (t ) lµ lùc t¸c dông bæ sung lªn vËt do dÞch chuyÓn cña ®Çu lß xo bªn tr¸i, g¾n víi c¬ cÊu tay quay-con tr−ît. F(t) ®−îc gäi lµ lùc kÝch thÝch. V× vËy, ph−¬ng tr×nh cña chuyÓn ®éng trë thµnh: 2K F (t ) víi: ω 0 = ψ + ω 0 .ψ = 2 (4) M M ω 0 chÝnh lµ tÇn sè gãc riªng (tÇn sè gãc cña dao ®éng tù do) cña hÖ. Ph−¬ng tr×nh (4) lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai kh«ng thuÇn nhÊt (cã vÕ ph¶i) cã hÖ sè h»ng. NghiÖm tæng qu¸t cña (4) lµ tæng cña nghiÖm tæng qu¸t ψ 0 (t ) cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt (kh«ng cã vÕ ph¶i) vµ mét nghiÖm riªng ψ 1 (t ) cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n cã vÕ ph¶i: ψ (t ) = ψ 0 (t ) + ψ 1 (t ) Thµnh phÇn ψ 0 (t ) biÓu diÔn dao déng tù do (kh«ng cã lùc c¶n) cña hÖ. Thµnh phÇn ψ 1 (t ) biÓu diÔn dao déng c−ìng bøc cña hÖ. Trªn thùc tÕ, do cã lùc c¶n (vÝ dô ma s¸t gi÷a vËt vµ thanh ngang), thµnh phÇn ψ 0 (t ) t¾t dÇn. Cuèi cïng, sau mét kho¶ng thêi gian nhÊt ®Þnh chØ cßn l¹i thµnh phÇn ψ 1 (t ) biÓu diÔn dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ. Khi ®ã : ψ (t ) = ψ 1 (t ) vµ dao ®éng cña vËt ®¹t ®−îc chÕ ®é c−ìng bøc æn ®Þnh. XÐt chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin æn ®Þnh (kh«ng cã lùc c¶n). Khi ®ã F(t) cã d¹ng h×nh sin theo thêi gian: F (t ) = F0 cos ω t F cos ω t Ph−¬ng tr×nh ( 4) trë thµnh: ψ + ω 0 .ψ = 0 2 (5) M NghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh (5) biÓu diÔn dao ®éng c−ìng bøc cã d¹ng: ψ 1 (t ) = A(ω ) cos(ω t + ϕ ) TÝnh ψ 1 (t ) vµ ψ 1 (t ) , thay vµo (5), suy ra : ϕ = 0 vµ biªn ®é A(ω ) cña dao ®éng c−ìng bøc : F0 1 F víi: ω ≠ ω0 A(ω ) = 0 2 2K M ω0 − ω 2 ω0 Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi A cña biªn ®é A phô thuéc vµo tÇn sè gãc ω cña lùc kÝch thÝch. Khi ω = ω0 (tÇn sè gãc ω cña lùc kÝch thÝch b»ng tÇn sè gãc riªng ω 0 cña hÖ), th× A → ∞ , hiÖn t−îng céng h−ëng sÏ x¶y ra (H×nh 11). Hçnh 11 b) Giíi h¹n cña biªn ®é khi céng h−ëng: Trªn thùc tÕ, biªn ®é khi céng h−ëng kh«ng tiÕn ®Õn v« cïng mµ bÞ giíi néi, bëi v× : • Trªn thùc tÕ tån t¹i c¸c lùc c¶n kh«ng thÓ bá qua ®−îc, ch¼ng h¹n lùc ma s¸t nhít, lùc ma s¸t kh«. • M« h×nh trªn ®©y lµ m« h×nh tuyÕn tÝnh, tøc lµ ®é cøng K cña lß xo xem nh− b»ng h»ng. Trªn thùc tÕ, K kh«ng ph¶i lµ h»ng sè mµ phô thuéc vµo dÞch chuyÓn (biÕn d¹ng) cña lß xo. c) Dao ®éng c−ìng bøc cã lùc c¶n nhít cña dao ®éng tö mét bËc tù do: 38
  8. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông XÐt dao ®éng tö mét bËc tù do, ®−îc kÝch thÝch bëi mét c¬ cÊu tay quay con tr−ît, t¹o nªn mét dÞch chuyÓn cã d¹ng: ξ (t ) cña mét ®Çu lß xo. Gi¶ sö lùc ma s¸t nhít (lùc c¶n nhít) t¸c ®éng lªn vËt cã d¹ng: FC = − hψ , trong ®ã h lµ hÖ sè c¶n cña m«i tr−êng (H×nh 12a). Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cã d¹ng : Mψ = − K (ψ − ξ ) − hψ (K) M F (t ) x ψ + 2αψ + ω 0ψ = ⇒ 2 (1) M K h víi: ω 0 = ; 2α = ; F (t ) = K ξ (t ) ξ (t ) M M ψ (t ) ω h = 2α = 0 NÕu ®−a vµo hÖ sè Q víi: H×nh 12a M Q Q ®−îc gäi lµ hÖ sè phÈm chÊt cña dao ®éng tö (khi Q cµng A lín th× hÖ sè c¶n h cµng nhá, nghÜa lµ lùc c¶n nhít cña m«i tr−êng cµng bÐ). Ph−ong tr×nh dao ®éng trë thµnh: ω F (t ) ψ + 0 ψ + ω 0ψ = 2 (2) 1 Q M Q> 2 Chóng ta chØ nghiªn cøu chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin æn F0 ®Þnh. Trong chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin F (t ) = F0 cos ω t , M ω0 2 nghiÖm riªng ψ (t ) cña ph−¬ng tr×nh (2), biÓu diÔn dao ®éng c−ìng bøc cã d¹ng : ψ (t ) = A(ω ) cos(ω t + ϕ ) ω0 ω0 , 1 D−íi d¹ng phøc, ta cã : Q< H×nh 12b F (t ) = F0 e ; ψ (t ) = A(ω )e ; A(ω ) = A(ω )e iω t iϕ iω t 2 ψ (t ) = iω A(ω )e iω t ⇒ vµ ψ (t ) = ( iω ) A(ω ).eiω t = −ω 2 A(ω ).eiω t hay: ψ (t ) = −ω 2 .ψ (t ) 2 Thay ψ (t ) vµ ψ (t ) vµo (2), suy ®−îc ph−¬ng tr×nh theo ψ (t ) : ωω 0 ⎞ ⎛2 F0 iω t ⎜ ω0 − ω + i ⎟ψ (t ) = 2 e ⎝ Q⎠ M eiωt F ψ (t ) = 0 ⇒ M ω 2 − ω 2 + i ωω 0 (0 ) Q 1 F A(ω ) = 0 ⇒ M ω 2 − ω 2 + i ωω 0 (0 ) Q Biªn ®é dao ®éng cña dÞch chuyÓn ψ (t ) chÝnh lµ mo®un A(ω ) cña A(ω ) vµ cã d¹ng: 1 F0 A(ω ) = 2 M ⎛ω ω ⎞ (ω − ω ) + ⎜ 0 ⎟ 2 22 0 ⎝Q⎠ Nghiªn cøu sù biÕn thiªn cña biªn ®é dao ®éng A(ω ) theo ω : 39
  9. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông ⎡ ⎛ ω0 ⎞ ⎤ 2 ⎢ 2 (ω0 − ω ) − ⎜ ⎟ ⎥ .ω 2 2 ⎝Q⎠ ⎥ dA(ω ) F0 ⎢⎣ ⎦ = Ta cã: dω 2 3/ 2 M⎡ ⎛ω ω ⎞ ⎤ ⎢(ω0 − ω 2 ) 2 + ⎜ 0 ⎟ ⎥ 2 ⎝ Q ⎠⎥ ⎢ ⎣ ⎦ dA(ω ) 2⎡ 1⎤ 1 1 = 0 ⇔ ω 2 = ω 0 ⎢1 − ⇔ ω = ω0 = ω0 1 − • Víi ®iÒu kiÖn Q > , 2⎥ th× dω 2Q 2 ⎣ 2Q ⎦ 2 B¶ng biÕn thiªn : 1 ω0 = ω0 1 − , ∞ ω 2Q 2 0 A(ω ) Amax F0 0 M ω02 1 §å thÞ biÓu diÔn A(ω ) theo ω cho trªn h×nh 12b. Ta thÊy, khi hÖ sè phÈm chÊt ®ñ lín: Q > , 2 1 biªn ®é A(ω ) sÏ cùc ®¹i (nh−ng kh«ng tiÕn ®Õn v« cïng) khi : ω = ω 0 = ω 0 1 − ≠ ω0 . ' 2Q 2 1 , ®å thÞ biÕn thiªn cña A theo ω cho trªn h×nh 12b : kh«ng thÊy xuÊt • Trong tr−êng hîp Q < 2 hiÖn hiÖn t−îng céng h−ëng. 2) Dao ®éng c−ìng bøc cña hÖ nhiÒu bËc tù do: a) HÖ hai bËc tù do: Dao ®éng c−ìng bøc kh«ng cã lùc c¶n cña hÖ hai bËc tù do : XÐt hai dao ®éng tö liªn kÕt, gièng nhau, liªn kÕt nhau b»ng ba lß xo gièng nhau, cïng ®é cøng K (H×nh 13). H×nh 13: Gi¶ sö bá qua mäi ma s¸t t¸c dông lªn hai vËt. §Çu lß xo bªn tr¸i thùc hiÖn mét dao ®éng : K K K x ξ (t ) = ξ 0 cos ω t Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña hai vËt nµy : ψ1 ψ2 ⎧ ξ (t ) F0 ⎪ψ 1 + 2ω 0ψ 1 − ω 0ψ 2 = cos ω t 2 2 ⎨ (1) M ⎪ψ + 2ω 2ψ − ω 2ψ = 0 ⎩2 02 01 K víi: ω 0 = vµ F0 = K .ξ 0 M u+v u −v Sö dông phÐp ®æi biÕn sè : u = ψ 1 + ψ 2 vµ v = ψ 1 − ψ 2 , hay ψ 1 = vµ ψ 2 = , suy ®−îc: 2 2 ⎧ F0 ⎪u + ω1 u = M cos ω t 2 ⎪ ⎨ (2) ⎪ v+ω2 v = F0 cos ω t ⎪ 2 ⎩ M Trong ®ã : ω1 = ω 0 vµ ω 2 = ω 0 3 lµ c¸c tÇn sè gãc riªng cña hÖ hai dao ®éng tö liªn kÕt. 40
  10. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông ChØ xÐt chÕ ®é c−ìng bøc h×nh sin æn ®Þnh. Khi ®ã u(t) vµ v(t) chÝnh lµ nghiÖm riªng cña hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (2) cÊp hai, cã vÕ ph¶i, hÖ sè h»ng vµ cã d¹ng: u (t ) = U (ω ) cos ω t ; v (t ) = V (ω ) cos ω t T−¬ng tù nh− §2.1.a, suy ®−îc: F⎡ 1 ⎤ F⎡ 1 ⎤ U= 0⎢ 2 V= 0⎢ 2 2⎥ ⎥ vµ: M ⎣ ω1 − ω ⎦ M ⎣ω2 − ω 2 ⎦ Do ®ã, dÞch chuyÓn ψ 1 (t ) vµ ψ 2 (t ) sÏ cã d¹ng: ⎧ψ 1 (t ) = A1 (ω ) cos(ω t ) ⎨ ⎩ψ 2 (t ) = A2 (ω ) cos(ω t ) F⎡ 1 1⎤ F⎡ 1 1⎤ víi: A1 (ω ) = 0 ⎢ 2 vµ: A2 (ω ) = 0 ⎢ 2 +2 −2 2⎥ ⎥ 2M ⎣ ω1 − ω ω 2 − ω ⎦ 2M ⎣ ω1 − ω ω 2 − ω 2 ⎦ 2 2 §å thÞ cña A1 (ω ) vµ A2 (ω ) theo ω cho trªn h×nh 14a vµ 14b, víi : F0 ⎡ 1 1⎤ F0 ⎡ 1 1⎤ ξ1 = ⎢ 2 + 2 ⎥ vµ ξ 2 = ⎢ 2 − 2⎥ 2M ⎣ ω1 ω 2 ⎦ 2M ⎣ ω1 ω 2 ⎦ Nh− vËy sÏ xuÊt hiÖn hai tr−êng hîp céng h−ëng ®èi víi hÖ hai bËc tù do, øng víi khi tÇn sè kÝch thÝch ω trïng víi tÇn sè gãc riªng ω1 hoÆc víi tÇn sè gãc riªng ω 2 . Trong tr−êng hîp dao ®éng thùc (cã lùc c¶n), biªn ®é dao ®éng còng bÞ giíi néi, t−¬ng tù nh− khi nghiªn cøu dao ®éng cña hÖ mét bËc tù do (H×nh 15). H×nh 14 H×nh 15 b) Tr−êng hîp chuçi c¸c dao ®éng tö liªn kÕt (HÖ N bËc tù do): XÐt mét chuçi gåm N dao ®éng tö liªn kÕt, gièng nhau. Khi tËp hîp cña N dao ®éng tö liªn kÕt (cã hÖ sè phÈm chÊt Q t−¬ng ®èi lín) chÞu mét kÝch thÝch h×nh sin, cã tÇn sè gãc ω . Biªn ®é dao ®éng sÏ lín khi tÇn sè kÝch thÝch xÊp xØ mét trong c¸c tÇn sè riªng cña hÖ. §3. HiÖn t−îng lan truyÒn dao ®éng : 41
  11. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông 1) Lan truyÒn dao ®éng trong chuçi c¸c dao ®éng tö: a 2a 3a Na x O ψN ψ3 ψ1 ψ2 H×nh 16: N dao ®éng tö liªn kÕt XÐt mét chuçi c¸c dao ®éng tö gièng nhau gåm N dao ®éng tö liªn kÕt (H×nh 16). Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña vËt thø (n) lµ : Mψ n = Kψ n −1 − 2 Kψ n + Kψ n +1 ψ n : dÞch chuyÓn cña vËt thø (n) so víi vÞ trÝ c©n b»ng cña nã x¸c ®Þnh bëi chØ sè n. T−ëng t−îng r»ng vËt (1) dÞch chuyÓn vÒ phÝa tr−íc mét chót. Th«ng qua lß xo, vËt (1) sÏ ®Èy vËt (2) chuyÓn ®éng, vËt (2) chuyÓn ®éng l¹i ®Èy vËt (3) chuyÓn ®éng... DÞch chuyÓn cña c¸c vËt sÏ lan truyÒn däc theo chuçi c¸c dao ®éng tö liªn kÕt. Nh− vËy: Trong chuçi c¸c dao ®éng tö liªn kÕt, dÞch chuyÓn cña mét vËt sinh ra mét lùc t¸c dông lªn c¸c vËt l©n cËn, lµm chóng chuyÓn ®éng. C¸c dÞch chuyÓn cña chóng sinh ra nh÷ng lùc míi lµm xuÊt hiÖn c¸c dÞch chuyÓn míi. BiÕn d¹ng cña c¸c liªn kÕt gi÷a c¸c vËt l©n cËn sÏ lan truyÒn tõ gÇn ra xa bªn trong chuçi. §¹i l−îng lan truyÒn ®i (ë ®©y lµ dÞch chuyÓn cña c¸c vËt trong chuçi) sÏ t¹o nªn mét sãng. Sù tån t¹i hai ®¹i l−îng (dÞch chuyÓn vµ lùc), ®¹i l−îng nµy t¹o ra ®¹i l−îng kia vµ ng−îc l¹i (gäi lµ hai ®¹i l−îng liªn kÕt) lµ c¬ së cña c¸c hiÖn t−îng truyÒn sãng. 2) Sãng trong chuçi c¸c dao ®éng tö : a) Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng: Sù lan truyÒn cña sãng ®−îc m« t¶ bëi ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng. Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña dao ®éng tö thø (n) cã d¹ng: M .ψ n = Kψ n −1 − 2 Kψ n + Kψ n +1 cã thÓ ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh lan truyÒn sãng biÕn d¹ng cña chuçi dao ®éng tö so víi vÞ trÝ c©n b»ng. b) NghiÖm d¹ng h×nh sin cña ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng: Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng biÕn d¹ng cña chuçi dao ®éng tö: K ψ n = ω 0 (ψ n −1 − 2.ψ n + ψ n +1 ) víi: ω 0 = 2 (1) M lµ mét ph−¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh. Chuçi nãi trªn gåm nhiÒu dao tö ®éng liªn kÕt, do ®ã t−¬ng tù nh− chuçi hai dao ®éng tö liªn kÕt, h·y xem thö cã tån t¹i c¸c nghiÖm h×nh sin, tÇn sè gãc ω biÓu diÔn dao ®éng tù do cña hÖ hay kh«ng?. Chóng ta t×m nghiÖm d−íi d¹ng phøc : ψ n (t ) = A exp [i (ωt − kxn )] víi A = A exp(iϕ0 ) , víi A lµ sè thùc d−¬ng, cßn ϕ0 lµ mét sè thùc nµo ®ã, ω lµ mét sè thùc d−¬ng. TÝnh ψ n (t ) vµ ψ n (t ) : ψ n (t ) = iω A exp [i(ωt − kxn )] ; ψ n (t ) = −ω 2 A exp [i(ωt − kxn )] Thay vµo (1), ®ång thêi l−u ý r»ng xn = n.a , suy ®−îc : −ω 2 exp i (−kna) = ω0 [ exp i (−kna + ka) − 2. exp i (−kna) + exp i (−kna − ka)] 2 42
  12. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông −ω 2 = ω0 [ exp(ika) − 2 + exp(−ika)] ⇒ 2 −ω 2 = ω0 [ cos(ka) + i sin(ka) − 2 + cos(ka) − i sin(ka)] ⇒ 2 ⎛ ka ⎞ ω 2 = 2ω02 [1 − cos(ka)] ω 2 = 4ω02 . sin 2 ⎜ ⇒ ⇒ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ ka ⎞ ω = 2ω0 . sin ⎜ ⇒ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ ka ⎞ Do 0 ≤ sin ⎜ ⎟ ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ω ≤ 2ω0 ⎝2⎠ ⇒ C¸c tÇn sè gãc ω cña c¸c dao ®éng tù do sÏ n»m trong miÒn : 0 ≤ ω ≤ 2ω0 Nh− vËy, c¸c sãng h×nh sin lan truyÒn däc theo chuçi c¸c dao ®éng tö liªn kÕt cã d¹ng : ψ n (t ) = Aei (ωt −nka +ϕ0 ) Dao ®éng cña c¸c vËt ®−îc viÕt d−íi d¹ng thùc nh− sau: ψ n (t ) = A cos(ωt − nka + ϕ0 ) ⎛ ka ⎞ ⎛ ka ⎞ K Ph−¬ng tr×nh truyÒn sãng cho ta hÖ thøc ω = 2ω0 . sin ⎜ ⎟ hay : ω = 2 sin ⎜ ⎟ víi: ω ⎝2⎠ ⎝2⎠ M chÝnh lµ tÇn sè gãc riªng (tÇn sè gãc cña dao ®éng tù do) cña vËt thø (n). HÖ thøc trªn ®©y cho ta mèi quan hÖ gi÷a tÇn sè gãc riªng ω vµ k vµ ®−îc gäi lµ hÖ thøc t¸n x¹. c) Sãng ch¹y ®¬n s¾c : XÐt mét sãng cã hµm sãng m« t¶ bëi biÓu thøc : ψ ( x, t ) = A cos(ωt − kx + ϕ0 ) DÞch chuyÓn ψn(t) cña vËt nÆng thø (n) øng víi gi¸ trÞ cña hµm sãng ψ(x,t) t¹i vÞ trÝ c©n b»ng ψ n (t ) = ψ ( x, t )( x=na ) x = na cña vËt nµy : • Sãng ®¬n s¾c: Sãng mµ hµm sãng cã d¹ng h×nh sin : ψ ( x, t ) = A cos(ωt − kx + ϕ0 ) ®−îc gäi lµ sãng ®¬n s¾c. • Sãng ch¹y : Ta cã : ψ ( x + ∆x, t + ∆t ) = A cos (ωt + ω∆t − kx − k∆x + ϕ0 ) ⇒ Hµm sãng ψ ( x, t ) nhËn cïng mét gi¸ trÞ t¹i (x,t) vµ t¹i (x + x, t + t), tøc lµ: ψ ( x, t ) = ψ ( x + ∆x, t + ∆t ) nÕu nh− k .∆x = ω∆t ⇒ Cã thÓ nãi r»ng sãng ®¬n s¾c nãi trªn (®Æc tr−ng b»ng pha cña nã) dÞch chuyÓn víi vËn tèc : ω vϕ = k vϕ ®−îc gäi lµ vËn tèc pha cña sãng. Sãng ψ ( x, t ) ch¹y däc theo trôc (Ox) cña chuçi dao ®éng tö víi vËn tèc vϕ lµ mét sãng ch¹y. H×nh 17 Ghi chó: CÇn ph©n biÖt hai kh¸i niÖm: dψ n (t ) ∂ = [ψ ( x, t ]x =na VËn tèc dÞch chuyÓn cña vËt nÆng: ∂t dt ω VËn tèc pha: vϕ = (vËn tèc lan truyÒn cña pha) k 43
  13. Baìi giaíng Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông d) B−íc sãng - VÐct¬ sãng: §¹i l−îng k cã thÓ du¬ng hay sè ©m. Hai sãng ψ + ( x, t ) = A+ ei (ωt −|k |x ) vµ ψ − ( x, t ) = A−ei (ωt +|k|x ) cã cïng tÇn sè. Hai sãng ch¹y nµy lan truyÒn däc theo chuçi c¸c dao ®éng tö, nh−ng theo hai h−íng ng−îc nhau. Víi sãng ch¹y ®¬n s¾c: ψ ( x, t ) = Aei (ωt −kx ) , ta ®−a ra vect¬ : k = kex gäi lµ vect¬ sãng cho biÕt ph−¬ng chiÒu lan truyÒn cña sãng. k cã thÓ d−¬ng hoÆc ©m. NÕu k > 0 : sãng ch¹y theo ph−¬ng chiÒu cña trôc Ox. NÕu k < 0 : sãng ch¹y theo ph−¬ng chiÒu ng−îc víi chiÒu cña trôc Ox. TÇn sè gãc ω vµ vect¬ sãng k liªn hÖ nhau b»ng hÖ ⎛ ka ⎞ thøc t¸n x¹ : ω (k ) = 2ω0 sin ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ §å thÞ cña ω ( k ) nh− trªn h×nh 18, chØ ®−îc vÏ trong 2π π π vïng : − < k < , bëi v× c¸c gi¸ trÞ k vµ k + øng a a a víi cïng mét nghiÖm vËt lý ψ ( x, t ) . Mét sãng ch¹y ®¬n s¾c cã tÝnh chÊt tuÇn hoµn theo c¶ thêi gian vµ kh«ng gian vµ cã hai chu kú : 2π Chu kú theo thêi gian : T = ; Chu kú theo kh«ng H×nh 18 ω 2π gian: λ = gäi lµ b−íc sãng. k Chóng ta thÊy r»ng, sãng biÕn d¹ng truyÒn trong chuçi v« h¹n c¸c dao ®éng tö liªn kÕt lµ sù chång chÊt cña nhiÒu sãng ch¹y ®¬n s¾c. e) PhÐp gÇn ®óng cho c¸c m«i tr−êng liªn tôc: @ Chuçi c¸c nguyªn tö liªn kÕt ®µn håi b»ng c¸c lß xo lµ mét sù m« ho¸ ®¬n gi¶n ®Ó m« t¶ sù lan truyÒn c¸c dao ®éng nhá trong vËt r¾n (sù lan truyÒn cña sãng ©m trong vËt r¾n). ThËt vËy, vËt r¾n cã thÓ xem nh− gåm mét chuçi v« h¹n c¸c dao ®éng tö liªn kÕt : C¸c vËt dao ®éng cã cïng khèi l−îng M, liªn kÕt víi nhau b»ng c¸c lß xo gièng nhau, cã cïng ®é cøng K kh«ng ®æi. Nguyªn tö trong vËt r¾n cã thÓ xem nh− lµ vËt dao ®éng. Lùc t−¬ng t¸c cã xu h−íng ®−a nguyªn tö trë vÒ vÞ trÝ c©n b»ng cã thÓ xem nh− lµ c¸c lß xo cã ®é cøng kh«ng ®æi. Khi mét nguyªn tö bÞ kÝch thÝch dao ®éng, dao ®éng cña nã sÏ lµm c¸c nguyªn tö l©n cËn dao ®éng theo, dÉn ®Õn sù lan truyÒn cña dao ®éng bªn trong vËt r¾n, nghÜa lµ sù lan truyÒn cña sãng ©m trong vËt r¾n. Trong vËt r¾n, c¸c nguyªn tö c¸ch nhau kho¶ng vµi m−¬i nanomÐt, vµ b−íc sãng λ cña c¸c sãng ©m lan truyÒn trong vËt r¾n rÊt lín so víi kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c nguyªn tö : a
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2