Đạo hàm, vi phân và ứng dụng của đạo hàm

Chia sẻ: Thanh Tuấn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

1.623
lượt xem 106
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo đại số 12 - Đạo hàm, vi phân và ứng dụng của đạo hàm

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đạo hàm, vi phân và ứng dụng của đạo hàm

Lecture Lecture 4 Nguyen Van Thuy ĐẠO HÀM, VI PHÂN Ứng dụng của đạo hàm
Review Định nghĩa. Đạo hàm của hàm số f tại a, ký hiệu ngh f’(a), được xác định bởi f ( a + h) − f ( a ) f '(a ) = lim h →0 h nếu giới hạn đó tồn tại Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y=f(x) tại điểm P(a,f(a)) y = f’(a)(x-a) + f(a) 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-2
Review Cá công th Các công thức đạo hàm cơ bản hà u' α α −1 (u ) ' = α u u ', (e ) ' = e u ', (ln u ) ' = u u u (sin u ) ' = u 'cos u, (cos u ) ' = −u 'sin u (tan u ) ' = u '(1 + tan 2 u ), (cot u ) ' = −u '(1 + cot 2 u ) u' u' (arcsin u ) ' = , (arccos u ) ' = − 1− u2 1− u2 u' u' (arctan u ) ' = , (arc cot u ) ' = − 1+ u 1+ u2 2 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-3
Review ( n −1) y '' = ( y ') ', y ''' = ( y '') ', ..., y = (y (n) )' Công thức (−1) n n ! (n) ⎛1⎞ (e ax )( n ) = a n e ax = ⎜ ⎟ ( x + a ) n +1 x+a⎠ ⎝ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ (sin ax) = a sin ⎜ ax + n ⎟ (n) n (cos ax)( n ) = a n cos ⎜ ax + n ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ Công thức Leibniz n n! = ∑C f ( n−k ) = f ,C = (n) k (k ) (0) k ( fg ) g ,f k !(n − k ) ! n n k =0 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-4
Ứng dụng khảo sát hàm số sá Tì ti Tìm tiệm cận Tìm khoảng tăng, giảm Tìm cực trị Tính lồi lõm, điểm uốn lõ Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-5
Quy Quy tắc L’Hospital 0∞ f ( x) có dạng , khi x→a và tồn tại Định lý. Nếu lý có 0∞ g ( x) f '( x) f ( x) f '( x) thì lim = lim lim x → a g '( x ) x →a g ( x) x → a g '( x ) Chú ý. Quá trình x→a có thể thay bởi x→a+, x→a-, x→∞, x→-∞ Ví dụ. x − sin x ⎛ 0 ⎞ 1 − cos x ⎛ 0 ⎞ sin x ⎛ 0 ⎞ cos x 1 ⎜ ⎟ = lim ⎜ ⎟ = lim ⎜ ⎟ = lim = lim ⎝0⎠ 3x ⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠ 3 2 x →0 x →0 x →0 6 x x →0 x 6 6 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-6
Quy Quy tắc L’Hospital Ví Ví dụ. ln x ⎛ ∞ ⎞ x − arctan x ⎛ 0 ⎞ b) L = lim 2 ⎜ ⎟ a ) L = lim ⎜⎟ ⎝∞⎠ ⎝0⎠ x →∞ x 3 x →0 x ⎛x 1⎞ ⎟ (∞ − ∞) d ) L = lim xe x (∞.0) c) L = lim ⎜ − x →1 x − 1 ⎝ ln x ⎠ x →−∞ f ) L = lim x x (00 ) 1/(2 x − 2) ∞ e) L = lim x (1 ) + x →0 x →1 g ) L = lim( x + e x )1/ x (∞ 0 ) x →∞ 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-7
Đa thức Taylo or Bài toán. Tìm đa thức P(x) bậc ≤n sao cho toá Tì th sao cho f’(0)=P’(0) f’’(0)=P’’(0) … f(n)(0)=P(n)(0) Kết quả f ( n ) (0) n f '(0) f ''(0) 2 P ( x) = f (0) + x+ x+ + x 1! 2! n! f ( k ) ( 0) k n =∑ x k! k =0 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-8
Đa thức Taylo or Bài toán. Tìm đa thức P(x) bậc ≤n sao cho toá Tì th sao cho f’(a)=P’(a) f’’(a)=P’’(a) … f(n)(a)=P(n)(a) Kết quả qu f ( n ) (a) f '(a ) f ''(a ) P( x) = f (a) + ( x − a) + ( x − a)2 + + ( x − a)n 1! 2! n! f ( k ) (a) n =∑ ( x − a)k k! k =0 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-9
Đa thức Taylo or Ví dụ. Viết đa thức sau dưới dạng đa thức Vi th sau th theo x-1 f ( x) = x − 3x + x + 7 4 3 2 Ví dụ. Tìm đa thức Taylor cấp 3 của hàm Tì th Taylor hà sau tại x=1 f ( x) = arctan x 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-10
Khai triển Taylo or Xấp xỉ hàm f(x) bởi 1 đa thức theo (x-a) hà th theo (x f ( n ) (a) f '(a ) f ''(a) f ( x) = f (a) + ( x − a) + ( x − a)2 + + ( x − a ) n + Rn ( x) 1! 2! n! f ( k ) (a) n =∑ ( x − a) k + Rn ( x) k! k =0 f ( n +1) (c) ( x − a) n +1 ( Lagrange), c ∈ ( x, a ) Rn ( x) = (n + 1)! Rn ( x) Rn ( x) = O(( x − a) ) ( Peano), i.e lim =0 n x→a ( x − a) n 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-11
Khai triển Maclaurin Xấp xỉ hàm f(x) bởi 1 đa thức theo x hà th theo f ( n ) (0) n f '(0) f ''(0) 2 f ( x) = f (0) + x+ x+ + x + Rn ( x) 1! 2! n! f ( k ) ( 0) k n =∑ x + Rn ( x) k! k =0 f ( n +1) (c) n +1 Rn ( x) = ( Lagrange), c ∈ ( x, 0) x (n + 1)! Rn ( x) Rn ( x) = O( x ) ( Peano), i.e lim n = 0 n x →0 x 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-12
Cá Các khai triển Maclaurin cơ bản x 2 n −1 x3 x5 + (−1) n +1 sin x = x − + − + O( x 2 n ) (2n − 1)! 3! 5! x2 x4 x2n + O( x 2 n +1 ) cos x = 1 − + − + (−1) n 2! 4! (2n)! 1 = 1 + x + x 2 + x3 + + x n + O( x n ) 1− x x 2 x3 xn ln(1 + x) = x − + − + (−1) n +1 + O( x n ) 23 n x x 2 x3 xn e x = 1 + + + + + + O( x n ) 1! 2! 3! n! x 2 n −1 x3 x5 x 7 arctan x = x − + − + + (−1) n +1 + O( x n ) 2n − 1 357 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-13
Áp dụng khai triển cơ bản Ví Ví dụ. Viết khai triển Maclaurin của hàm số sau Vi khai tri Maclaurin hà sau đến cấp 3 sin x f ( x) = 1− x f ( x) = e arctan x x 12/14/2009 Giai tich-Nguyen Van Thuy 3-14