zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Đại số 10 - Mệnh đề & tập hợp

Chia sẻ: Pham Dung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Báo xấu

253
lượt xem 63
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Đại số 10 - Mệnh đề & tập hợp ôn tập lại kiến thức lý thuyết của chuyên đề Mệnh đề & tập hợp, các ví dụ minh họa, bài tập và hướng dẫn giải chi tiết. Chúc các bạn học tập tập tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đại số 10 - Mệnh đề & tập hợp

DANAMATH www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang ĐẠI SỐ 10 MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP GV:Phan Nhật Nam
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP MỆNH ĐỀ I.Cơ sở lý thuyết : 1. Mệnh đề •Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. •Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai. Các ví dụ minh họa: a. “ 2 là một số hữu tỷ ” là một mệnh đề sai. b. “ n 2 + 1 > 0 “ là một mệnh đề đúng. c. “ π là số vô tỷ “ là mệnh đề đúng d. “ hôm nay trời đệp quá “ Không phải là mệnh đề. e. “ Môn toán thật là dễ “ không phải là mệnh đề. 2. Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P. • Mệnh đề "Không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P kí hiệu là P •Nếu P đúng thì P sai và ngược lại nếu P sai thì P đúng. Các ví dụ minh họa: a. P = “ 2 là một số hữu tỷ ” và P = “ 2 Không phải là một số hữu tỷ ” Ta có P là mệnh đề phủ định của P (và ngược lại P là mệnh đề phủ định của P ) Khi đó P là mệnh đề sai và P là mệnh đề đúng. b. “ n 2 + 1 > 0 “ có mệnh đề phủ định là “ n 2 + 1 ≤ 0 “ c. Mênh đề “Một năm có tối đa 53 ngay chủ nhật” có mệnh đề phủ định là “Một năm có tối thiểu 54 ngay chủ nhật” 3.Mệnh đề kéo theo Cho hai mệnh đề P và Q. • Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q. •Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q. Khi đó: + P là giả thiết, Q là kết luận; + P là điều kiện đủ để có Q; + Q là điều kiện cần để có P. Nếu P ⇒ Q là một mệnh đề đúng thì nó được xem như là một định lý, Khi đó nếu mệnh đề Q ⇒ P cũng đúng thì Q ⇒ P là định lý đảo của nó của định lý P ⇒ Q Ví dụ: “Nếu ∆ABC là tam giác vuông tại A thì AB 2 + AC 2 =BC 2 ” là định lý Pitago ”Nếu ∆ABC có AB 2 + AC 2 =BC 2 thì ∆ABC vuông tại A”là định lý PItago đảo Các ví dụ minh họa: a. “ Nếu hôm nay trời không mưa thì tôi đi học” Hoặc có thể phát biểu : “Trời không mưa là điều kiện đủ để tôi đi học” Cũng có thể phát biểu : “Tôi đi học là điều kiện cần để trời không mưa” b. “Nếu x chia hết cho 4 thì x là số chẵn” Hoặc có thể phát biểu :“ x chia hết cho 4 là điều kiện đủ đê x là số chẵn” Cũng có thể phát biểu :“ x là số chẵn là điều kiện cần để x chia hết cho 4” c. “Nếu tam giác có 2 đường phân giác trong bằng nhau thìnó là tam giác cân” Hoặc có thể phát biểu : “Tam giác có hai đường phân giác trong bằng nhau làđiều kiện đủ để tam giác đó là một tam giác cân” Cũng có thể phát biểu : “ Tam giác cân là để nó có hai đường phân giác trong bằng nhau” d. “Nếu 1 = 3 thì 1 > 2 “ Hoặc “Điều kiện đủ để 1 > 2 là 1 = 3” Hoặc “Điều kiện cần để 1 = 3 là 1 > 2” e. ”Nếu n là số tự nhiên lẻ thì n 2 − 1 chia hết cho 8” Hoặc “Điều kiện đủ để n 2 − 1 chia hết cho 8 là n là số tự nhiên lẻ” Hoặc “Điều kiện cần để n là số tự nhiên lẻ là n 2 − 1 chia hết cho 8” a ≠ 0 f. “Nếu ax 2 + bx + c =0 có  thì phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt” b − 4ac > 0 2 a ≠ 0 “Điều kiện đủ để ax 2 + bx + c =0 có 2 nghiệm phân biệt là  ” b − 4ac > 0 2 a ≠ 0 ”Điều kiện cần để ax 2 + bx + c =0 có  là PT đó có 2 nghiêm phân biêt” b − 4ac > 0 2 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP 4. Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q. Các ví dụ minh họa: a. “Nếu x > 5 thì x 2 ≥ 25 ” có mệnh đề đảo là “Nếu x 2 ≥ 25 thì x > 5 ” a ≠ 0 b. “Nếu ax 2 + bx + c =0 có  thì phương trình đó có hai nghiệm phân biệt” b − 4ac > 0 2 Có mệnh đề đảo là: a ≠ 0 “Nếu a x 2 + bx + c =0 có hai nghiệm phân biệt thì  ” b − 4ac > 0 2 c. “Nếuhai tam giác bằng nhauthì diện tích của chúng bằng nhau “ Có mệnh đề đảo là : “Nếuhai tam giác có diện tích bằng nhauthìhai tam giác đó bằng nhau “ 5. Mệnh đề tương đương Cho hai mệnh đề P và Q. • Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" được gọi là mệnh đề tương đương kí hiệu : P ⇔ Q. •Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả 2 mệnh để P ⇒Q và Q ⇒ P đều đúng. (tức là P và Q cùng đúng hoặc cùng sai) Chú ý: Nếu mệnh đề P ⇔ Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q. Các ví dụ minh họa: a. “ 1 = 3 ⇔ 1 > 2 “ là một mệnh đề tương đương đúng Cách phát biểu khác: “ 1 = 3 khi và chỉ khi 1 > 2 “ hoặc: “ 1 = 3 nếu và chỉ nếu 1 > 2 ” b. “hai tam giác bằng nhau nếu và chỉ nếudiện tích của chúng bằng nhau” là mộ mệnh đề tương đương sai : A D Vì có những cặp tam giác có diện tích bằng nhau nhưng hai tam giác đó lại không bằng nhau. Như ở hình bên ta thấy: C S ABC = S DBC nhưng hai tam giác ∆ABC và ∆DBC không B bằng nhau. Nếu phát biểu lại mệnh đề trên bằng hai mệnh đề kéo theo ta sẽ thấy rỏ hơn: “Nếuhai tam giác bằng nhauthì diện tích của chúng bằng nhau “ (đúng) “Nếuhai tam giác có diện tích bằng nhauthìchúng bằng nhau “ (sai) c. “Tam giác có 2 đường phân giác trong bằng nhau khi và chỉ khi tam giác đó là tam giác cân”là một mệnh đề tương đương đúng Hoặc “Tam giác có 2 đường phân giác trong bằng nhau nếu và chỉ nếu tam giác đó là tam giác cân” GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Hoặc “Tam giác có 2 đường phân giác trong bằng nhau là điều kiện cần và đủ để tam giác đó là tam giác cân” 6. Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề. (tức là mệnh đề chứa biến bản thân nó chưa phải là mệnh đề) Các ví dụ minh họa: a. P( x) : " x 2 + 1 là số chẵn " là mệnh đề chứa biến P (1) : "12 + 1 là số chẵn " là mênh đề (và nó là mệnh đề đùng) P (2) : " 22 + 1 là số chẵn " là mênh đề (và nó là mệnh đề sai) b. P( x) : " x 2 ≥ x " là một mệnh để chứa biến P (2) : "22 ≥ 2" là một mệnh đề đúng P (1) : "12 ≥ 1" là một mệnh đề đúng 2 1 1 1 P : "   ≥ " là một mệnh đề sai 2 2 2 0" là mệnh đề chứa biến c. P( x) : " x3 − 2 x = P (1) : "13 − 2.1 =0" là một mệnh đề sai 0" là một mệnh đề đúng. 3 P ( x) : " 2 − 2. 2 = 7. Lượng hóa mệnh đề chứa biến: sử dụng các kí hiệu ∀ và ∃ để biến mệnh đề chứa biến thành mênh đề Trong đó: ∀ : với mọi và ∃ : tồn tại (có) • "∀x∈ X, P(x)" : với mọi x ∈ X thì P(x) • "∃x∈ X, P(x)" : tồn tại x ∈ X sao cho P(x) {hoặc có giá trị x ∈ X sao cho P(x)} • Mệnh đề phủ định của mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" là "∃x ∈ X, P(x) ". • Mệnh đề phủ định của mệnh đề "∃x ∈ X, P(x)" là "∀x ∈ X, P(x) ". Chú ý : + Để chứng minh mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" sai ta chỉ cần chỉ ra một giá trị x0 ∈ X để P( x0 ) là mệnh đề sai + Để chứng minh mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" đúng ta cần chúng minh mệnh đề chứa biến P(x) đúng với bất kỳ giá trị nào của tập X (thông thường ta dùng phương pháp chứng minh phản chứng) + Để chứng minh mệnh đề "∃x ∈ X, P(x)" đúng ta chỉ cần chỉ ra một giá trị x0 ∈ X để P( x0 ) là mệnh đề đúng + Để chứng minh mệnh đề "∃x ∈ X, P(x)" sai ta cần chúng minh mệnh đề chứa biến P(x) Sai với bất kỳ giá trị nào của tập X GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Các ví dụ minh họa: 1 a. P : “ ∀x ∈ R , x 2 > x “ . P là một mệnh đề sai (dễ thấy x = thì x 2 > x sai) 2 P có mệnh đề phủ định là P : " ∃x ∈ R, x 2 ≤ x " .khi đó P là mệnh đề đúng b. P :" ∀x, y ∈ R, x 2 + y 2 ≥ 2 xy " . P là một mệnh đề đúng (vì ( x − y ) ≥ 0 luôn đúng) 2 P có mệnh đề phủ định là P :" ∃x, y ∈ R, x 2 + y 2 < 2 xy " . Khi đó P là mệnh đề sai c. P : " ∃n ∈ N , n 2 + n + 1 7" . P là một mệnh đề đúng (vì n = 2 thì 22 + 2 + 1 =7  7 ) P có mệnh đề phủ định là P : " ∃n ∈ N , n 2 + n + 1 không chia hết cho 7 " . P là mệnh đề sai d. P :" ∀n ∈ N *, (1 + 2 + 3 + ... + n) không chia hết cho 11 " P có mệnh đề phủ định là P :" ∀n ∈ N *, (1 + 2 + 3 + ... + n)11" Dễ thấy P là mệnh đề sai vì khi xét n = 11 ta có: (1 + 11)11 1 + 2 + 3 + ... + n = 1 + 2 + 3 + ... + 11 = = 66 11 2 8. Phép chứng minh phản chứng Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B. Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng. Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng. Các ví dụ minh họa: a. Chứng minh định lý : “ Nếu n là số tự nhiên thì n3 − n chia hết cho 3” Giải: Giả sử n là số tự nhiên khi đó ta có thể biểu diển n như sau: n = 3k ( n chia hết cho 3) hoặc = n 3k ± 1 ( n chia 3 dư 1 , thiếu 1) trong đó k ∈ N TH1: Xét n = 3k khi đó ta có: n3 −= ( 3k ) − 3= k 3(9k 3 − k ) 3 đúng vì k ∈ N ⇒ 9k 3 + k ∈ N 3 n TH2: Xét = n 3k ± 1 khi đó ta có: n3 − n= ( 3k ± 1) − ( 3k ± 1=) 27k 3 ± 27k 2 + 9k ± 1 − (3k ± 1)= 3(9k 3 ± 9k 2 + 3k ) 3 đúng 3 Từ đó ta có: “ Nếu n là số tự nhiên thì n3 − n chia hết cho 3” là mệnh đề đúng. GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP b. Chứng minh mệnh đề : “ 5 là số vô tỷ” Giải: m 5 Trước tiên ta chứng minh bổ đề: với ∀m, n ∈ Z ta đều có m = 2 5n 2 ⇒  n 5 Xét mệnh đề m = 2 5n 2 ⇒ m 5 . Ta chứng minh nó bằng phản chứng: Giả sử m không chia hết cho 5 khi đó m = 5k ± 1 hoặc m = 5k ± 2 (với k ∈ Z ) Với m= 5k ± 1 ⇒ m 2 = 5 ( 5k 2 ± 2k ) + 1 ≠ 5n 2 , ∀n ∈ Z (mâu thuẩn) Với m= 5k ± 2 ⇒ m 2 = 5 ( 5k 2 ± 4k ) + 4 ≠ 5n 2 , ∀n ∈ Z (mâu thuẩn) Do đó ta có mệnh đề “ m = 2 5n 2 ⇒ m 5 ” đúng Khi đó ta có m 5 ⇒ m = 5k (với k ∈ Z ) m 2 = 5n 2 ⇒ ( 5k ) = 5n 2 ⇒ n 2 = 5k 2 chứng minh tương tự như trên ta có n 5 2 Giả sử 5 không phải là số vô tỷ ⇒ 5 là số hữu tỷ m ⇒ ∃m, n ∈ Z + : 5 = là phân số tối giãn. n m m 5 m Ta lại có: 5 = ⇔ m 2 =5n 2 ⇒  ⇒ không phải là số tối giản (mẫu thuẩn) n n 5 n Vậy 5 là số vô tỷ c. Cho ba số a, b, c thỏa mãn : 0 < a, b, c < 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức trên là sai. 4a (1 − b) − 1 > 0 , 4b(1 − c) − 1 > 0 , 4c(1 − a ) − 1 > 0 Giải: Giả sử 3 bất đẳng thức đã cho đều đúng ,tức là ta có các BĐT đúng sau: 4a (1 − b) > 1 (1) , 4b(1 − c) > 1 (2) , 4c(1 − a ) > 1 (3) Từ (1), (2) , (3) ta có: 4a(1 − b)4b(1 − c)4c(1 − a) > 1 ⇔ ( 4b − 4b 2 )( 4c − 4c 2 )( 4a − 4a 2 ) > 1 ⇔ 1 − (1 − 4b + 4b 2 )  1 − (1 − 4c + 4c 2 )  1 − (1 − 4a + 4a 2 )  > 1 ⇔ 1 − (1 − 2b) 2  1 − (1 − 2c) 2  1 − (1 − 2a ) 2  > 1 (mâu thuẩn vì 1 − x 2 ≤ 1 , ∀x ∈ R ) Vậy Có ít nhất một trong các BĐT trên sai. GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP d. P = " ∃n ∈ N , n 2 + 1 chia hết cho 4 " chứng minh rằng P là mệnh đề sai Giải: Xét mệnh đề phủ định của mệnh đề P là P = " ∀n ∈ N , n 2 + 1 không chia hết cho 4 " Với mọi số tự nhiên n ta đều có thể viết nó theo một trong các dạng sau: n = 4k , = n 4k + 2 và = n 4k ± 1 (với k là số tự nhiên ) Xét n = 4k khi đó n 2 = + 1 4 ( 4k 2 ) + 1 không chia hết cho 4 + 1 (4k ) 2 = n 4k + 2 khi đó n 2 + 1= (4k + 2) 2 + 1= 4(2k + 1) 2 + 1 không chia hết cho 4 Xét = n 4k ± 1 khi đó n 2 + 1= (4k ± 1) 2 + 1= 4(4k 2 ± 2k ) + 2 không chia hết cho 4 Xét = Do đó P là một mệnh đề đúng Vậy P = " ∃n ∈ N , n 2 + 1 chia hết cho 4 " là một mệnh đề sai e. Chứng minh rằng có ít nhất một trong 2 phương trình sau có nghiệm: x 2 − 2ax − 2b − 1 =0 (1) và x 2 − 2bx − 2a − 1 =0 (2) Giải: Giả sử cả hai phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm ,khi đó ta có: ∆1 ' = a 2 + 2b + 1 < 0  ⇒ ( a 2 + 2b + 1) + ( b 2 + 2a + 1) < 0 ∆1 ' = b + 2a + 1 < 0 2 ⇔ a 2 + 2a + 1 + b 2 + 2b + 1 < 0 ⇔ ( a + 1) + ( b + 1) < 0 (mâu thuẩn) 2 2 Vậy có ít nhất môt trong hai phương trình trên phải có nghiệm II.Các dạng toán: Dạng 1:Xác định mệnh đề và xét tính đúng sai của mệnh đề đó. Căn cứ vào định nghĩa mệnh đề và tính đúng sai của chúng. Lưu ý rằng: • Nếu P đúng thì P sai (và ngược lại P đúng thì P sai) • P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng , Q sai (tức là chỉ sai khi “đúng ⇒ sai”) • P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi P và Q cùng đúng hoặc cùng sai • " ∀x ∈ X , P( x)" đúng khi chỉ ra được tất cả các x0 ∈ X đều làm cho P( x0 ) đúng • " ∃x ∈ X , P( x)" đúng khi chỉ ra được một giá trị x0 ∈ X làm cho P( x0 ) đúng GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Các ví dụ: Ví dụ 1: Xét xem các ví dụ sau có phải là mệnh đề hay không ? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mênh đề đúng hay là mệnh đề sai ? a. “ 2 là số hữu tỉ” b. “Iran là nước ở châu Âu phải không ?” c. “Phương trình x 2 + 5 x + 6 =0 vô nghiệm” d. “Chứng minh bằng phản chứng thật khó !” e. “ x + 4 là một số âm” f. “Nếu n là số chẵn thì n chia hết cho 4” g. “Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn” h. “ n là số chẵn nếu và chỉ nếu n 2 chia hết cho 4” i. “ ∃n ∈ N , n3 − n không phải là bội số của 3” j. " ∀x ∈ R , x 2 − x + 1 > 0" k. “ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 2 và cho 4 thì số đó chia hết cho 8” l. “Nếu 22013 − 1 là số nguyên tố thì 16 là số chình phương “ Ví dụ 2: Tìm mệnh đề trong các câu sau và cho biết chúng đúng hay sai? a. “5 là số chẵn” b. “Nếu AB 2 + AC 2 = BC 2 thì tam giác ABC vuông” c. “2 có phải là số nguyên tố không ? “ d. “Hôm nay trời không mưa, chúng ta đi xem phim nhé” e. “Nếu phương trình bậc hai có ∆ ≥ 0 thì nó có nghiệm” f. “cấm hút thuốc nơi công cộng” g. " ∃x ∈ N , x  ( x + 1)" Dạng 2:Xác định mệnh đề đảo , mệnh đề phủ định: • Mệnh đề phủ định của P là “không phải P” • Mệnh đề phủ định của “ ∀x ∈ X , P( x) ” là “ ∃x ∈ X , P( x) “ • Mệnh đề phủ định của “ ∃x ∈ X , P( x) ” là “ ∀x ∈ X , P( x) “ • Mệnh đề “ P ⇒ Q ” có mệnh đề đảo là “ Q ⇒ P ” Các ví dụ: Ví dụ 1: Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q bằng ba cách , phát biểu mệnh đề đảo của nó và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó a. P: “ABCD là hình chữ nhật” và Q: “AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ” b. P: “ 3 > 5” và Q: ” 7 > 10” c. P: “ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q: “góc  ABC = 450 ” GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Ví dụ 2:Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau đây và phát biểu mệnh đề đảo của chúng a. P: “Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau” b. Q: “Tam giác cân có một góc 600 là tam giác đều” c. R: “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10” Ví dụ 3: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng. 1 a. P :" ∀x ∈ R, < x + 1" x x2 − 4 b. P :" ∀x ∈ R, = x + 2" x−2 c. P :" ∀x ∈ R, x − 3x + 3 > 0" d. P :" ∀x ∈ R, ( x − 1) 2 ≤ 0" e. P: “Có tam giác không có góc nào lớn hơn 600” f. P: ”có vô số số nguyên tố” g. P:”Các số nguyên tố đều là số chẵn” h. P:” Giải thưởng lớn nhất của môn toán là giải nobel” Dạng 3:Phương pháp chứng minh phản chứng: Cơ sở phương pháp : Giải sử yêu cầu đề toán là sai. Từ giả sử đó bằng các kiến thức và suy luận toán học ta dẫn đến muân thuẩn với giả thuyết hoặc mâu thuẩn với thực tế Loại 1: Cần chứng minh Q là mệnh đề đúng. • Giả sử Q(x) sai • Từ Q(x) sai ta sử dụng kiến thức và suy luận toán học để dẩn đến mâu thuẩn với chân lý. • Khi đó kết luận được Q(x) là mệnh đề đúng. Loại 2: Cần chứng minh mệnh đề P(x) ⇒ Q(x) đúng. • Giả sử P(x) đung mà có Q(x) sai (tức là giả sử mệnh đề P(x) ⇒ Q(x) sai) • Từ Q(x) sai ta sử dụng kiến thức và suy luận toán học để dẩn đến mâu thuẩn với P(x) đung hoặc mâu thuẩn với chân lý. • Khi đó kết luận được P(x) ⇒ Q(x) là mệnh đề đúng. GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu n 2 là số chẵn thì n là số chẵn. Giải: Giả sử n 2 là số chẵn mà n không phải là số chẵn. Ta có n không phải là số chẳn nên ∃k ∈ N sao cho =n 2k + 1 Khi đó n 2= ( 2k + 1) = 2 ( 2k 2 + 2k ) + 1 ⇒ n 2 không phải là số chẵn (mâu thuẩn) 2 Vậy “nếu n 2 là số chẵn thì n là số chẵn” là mệnh đề đúng. Ví dụ 2: Chứng minh rằng 2 là số vô tỉ Giải: Giả sử 2 không phải là số vô tỉ ⇒ 2 ∈ Q m ⇒ ∃m, n ∈ Z + : 2 = là phân số tối giãn. n m Khi đó 2= ⇔ m 2 =2n 2 (1) n Lại có 2n 2 là số chẵn nên m 2 là số chẵn ⇒ m là số chẵn (theo ví dụ 1) Khi đó ∃k ∈ Z + sao cho m = 2k Thay m = 2k vào (1) ta có (2k )2 = 2n 2 ⇔ n 2 = 2k 2 ⇒ n là số chẵn m 2 Do đó ta có:  (mâu thuẩn) n 2 Vậy 2 là số vô tỉ Ví dụ 3: Chúng minh rằng “Nếu 2a − 1 là số nguyên tố thì a là số nguyên tố” Giải: Giả sử 2a − 1 là số nguyên tố mà a không phải là số nguyên tố. ∃m, n ∈ N a không phải là số nguyên tố nên  sao cho a = m.n m ≠ 1, n ≠ 1 Khi đó : 2a − 1= 2m.n − 1= (2m ) n − 1n= (2m − 1) (2m ) n −1 + (2m ) n − 2 + ... + 1 ⇒ 2a − 1 là hợp số ⇒ 2a − 1 không phải là số nguyên tố (mâu thuẩn) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Ví dụ 4: Cho định lý “ Nếu các số nguyên m, n đều chia hết cho 3 thì m 2 + n 2 cũng chia hết cho 3”. Phát biểu định lý đảo của định lý trên và chứng minh định lý đảo đó Giải: Định lý trên có định lý đảo là: “Nếu m, n là các số nguyên và m 2 + n 2 chia hết cho 3 thì m, n cùng chia hết cho 3” Chứng minh định lý đảo: Giả sử m, n ∈ Z và m 2 + n 2 chia hết cho 3 mà m, n không đồng thời chia hết cho 3 TH1: có đúng một số chia hết cho 3 . m = 3k Khi đó với k , h ∈ Z ,  ⇒ m 2 + n 2= (3k ) 2 + (3h ± 1) 2= 3(3k 2 + 3h 2 ± 2h) + 1 = n 3h ± 1 ⇒ m 2 + n 2 không chia hết cho 3 (mâu thuẩn) TH2:Cả hai số không chia hết cho 3 = 3k ± 1 m Khi đó với k , h ∈ Z ,  ⇒ m 2 + n 2 = (3k ± 1) 2 + (3h ± 1) 2 = 3(3k 2 + 3h 2 ± 2k ± 2h) + 2 = n 3h ± 1 ⇒ m 2 + n 2 không chia hết cho 3 (mâu thuẩn) Do đó ta có:“Nếu m, n ∈ Z và m 2 + n 2 chia hết cho 3 thì m, n cùng chia hết cho 3” Dạng 3:Phát biểu định lý đảo dưới điều kiện cần , điều kiện đủ: Phương pháp chung: • Một định lý thường có dạng “ ∀x ∈ X , P( x) ⇒ Q( x) ” (1) với P(x) là giả thuyết và Q(x) là kết luận • Chứng minh (1) bằng phản chứng hoặc chứng minh trực tiếp như sau: Lấy x ∈ X sao cho P(x) đúng, chứng minh Q(x) đúng. • Định lý (1) nếu phát biểu lài bằng thuật ngữ ‘điều kiện cần’ , ‘điều kiện đủ’ P(x) là điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) là điều kiện cần để có P(x) • Mệnh đề đảo của (1) là “ ∀x ∈ X , Q( x) ⇒ P( x) ” (2). Nếu (2) là một mệnh đề đúng thì (2) được gọi là định lý đảo của định lý (1). GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Viết mệnh đề đảo của các mệnh đề sau bằng thuật ngử “điều kiện cần “ hoặc “điều kiện đủ” . Cho biết mệnh đề đảo đó đúng hay sai ?vì sao? a. Nếu a, b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. b. Nếu tam giác có hai góc bằng 600 thì tam giác đó đều c. Nếu n là số nguyên lẻ thì 3n + 1 là số nguyên chẵn. d. Phương trình ax 2 + bx + c =0 có a, c trái dấu thì nó có 2 nghiệm phân biệt e. Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng nhau. f. Tứ giác nội tiếp khi chúng có hai góc bù nhau. g. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AI là trung tuyến. Xét các mệnh đề sau: P: ”Tam giác ABC vuông tại A” Q: “AI bằng một nữa BC” a. Viết lại mệnh đề P ⇒ Q bằng 3 cách, Chứng minh đây là mệnh đề đúng. b. Viết lại mệnh đề P ⇔ Q bằng 3 cách, Chứng minh đây là mệnh đề đúng. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Baøi 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến: a) Số 11 là số chẵn. b) Bạn có chăm học không ? c) Huế là một thành phố của Việt Nam. d) 2x + 3 là một số nguyên dương. e) 2 − 5 < 0 . f) 4 + x = 3. g) Hãy trả lời câu hỏi này!. h) Paris là thủ đô nước Ý. i) Phương trình x 2 − x + 1 =0 có nghiệm. k) 13 là một số nguyên tố. Baøi 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? a) Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3. b) Nếu a ≥ b thì a2 ≥ b2 . c) Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6. d) Số π lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4. e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau. f) 81 là một số chính phương. g) 5 > 3 hoặc 5 < 3. h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5. GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Baøi 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau. b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau. c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng 600 . d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại. e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng. f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng. g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông. Baøi 4. Cho một mệnh đề chứa biến P(x): “ x 2 = x ”. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau: P(0) , P(−1) , P(1) , " ∃x ∈ R, P( x)" , " ∀x ∈ R, P( x)" Baøi 5. Cho một mệnh đề chứa biến P(x): “ x3 − 2 x = 0 ”. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau: P(0) , P(2) , P(− 2) , " ∃x ∈ R, P( x)" , " ∀x ∈ R, P( x)" Baøi 6. Cho mệnh đề chứa biến P(x): “ x 4 − 4 x + 3 ≤ 0 ” a. Tìm giá trị x0 ∈ R để P( x0 ) là mệnh đề đúng b. Dùng ký hiều ∀ hoặc ∃ để lượng hóa P(x) thành một mệnh đề đúng. Baøi 7. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời: a) ∀x ∈ R, x 2 > 0 . b) ∃x ∈ R, x > x 2 c) ∃x ∈ Q, 4x2 − 1 =0 . 2 d) ∀n ∈ N , n2 > n . e) ∀x ∈ R, x 2 − x = 1 > 0 f) ∀x ∈ R, x > 9 ⇒ x > 3 g) ∀x ∈ R, x > 3 ⇒ x 2 > 9 . h) ∀x ∈ R, x 2 < 5 ⇒ x < 5 i) ∃x ∈ R,5 x − 3 x 2 ≤ 1 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP k) ∃x ∈ N , x 2 + 2 x + 5 là hợp số. l) ∀n ∈ N , n2 + 1 không chia hết cho 3. m) ∀n ∈ N * , n(n + 1) là số lẻ. n) ∀n ∈ N * , n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 6. Baøi 8. Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để được mệnh đề đúng: a) π < 4....π > 5 . ab 0 khi b)= = a 0.... = b 0. c) ab ≠ 0 khi a ≠ 0.... b ≠ 0 d) ab > 0 khi a > 0.... b > 0.... a < 0.... b < 0 e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 …. cho 3. f) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 …. bằng 5. Baøi 9. Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x∈ R. Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng: 2 2 2 a) P( x ) : " x − 5x + 4 =0" b) P( x ) : " x − 5x + 6 =0" c) P( x ) : " x − 3 x > 0" 2 d) P( x ) : " x ≥ x " e) P( x ) : "2 x + 3 ≤ 7" f) P( x ) : " x + x + 1 > 0" Baøi 10. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3. b) Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5. c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. d) Số tự nhiên n có ước số bằng 1 và bằng n. Bài 11. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau: a) ∀x ∈ R : x 2 > 0 . b) ∃x ∈ R : x > x 2 . c) ∃x ∈ Q : 4 x 2 − 1 =0 . d) ∀x ∈ R : x 2 − x + 7 > 0 . e) ∀x ∈ R : x 2 − x − 2 < 0 . f) ∃x ∈ R : x 2 =3 . g) ∀n ∈ N , n2 + 1 không chia hết cho 3. h) ∀n ∈ N , n2 + 2n + 5 là số nguyên tố. i) ∀n ∈ N , n2 + n chia hết cho 2. k) ∀n ∈ N , n2 − 1 là số lẻ. GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Bài 12. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5. b) Nếu a + b > 0 thì một trong hai số a và b phải dương. c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. d) Nếu a = b thì a2 = b2 . e) Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c Bài 13. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau. b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. c) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau. d) Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông. e) Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau. Bài 14. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ": a) Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông. c) Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau. d) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3. e) Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi n2 là số lẻ. GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Bài 15. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng: a) Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1. b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 600 . c) Nếu x ≠ −1 và y ≠ −1 thì x + y + xy ≠ −1 . d) Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn. e) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn. f) Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. g) Nếu x 2 + y 2 = 0 thì x = 0 và y = 0 h) Cho hai số tự nhiên a và b , nếu a 2 + b 2 chia hết cho 8 thì a và b không thể đồng thời là số lẻ i) Nếu nhốt 26 con thỏ vào trong 6 chuồng thì có ít nhất một chuồng có nhiều hơn 4 con thỏ TẬP HỢP GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Cơ sở lý thuyết : 1. Tập hợp •Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. •Cách xác định tập hợp: + Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }. + Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp. •Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅. 2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau • A ⊂ B ⇔ ( ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B ) + A ⊂ A, ∀A + ∅ ⊂ A, ∀A + A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C • A =B ⇔ ( A ⊂ B vaø B ⊂ A ) 3. Một số tập con của tập hợp số thực • N* ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R •Khoảng: (a; b) = { x ∈ R a < x < b} ; ) { x ∈ R a < x} ; (−∞; b= (a; +∞= ) { x ∈ R x < b} •Đoạn: [a; b] = { x ∈ R a ≤ x ≤ b} •Nửa khoảng: [a; b) = { x ∈ R a ≤ x < b} ; (a; b] = { x ∈ R a < x ≤ b} ; ) { x ∈ R a ≤ x} ; [a; +∞= (−∞; b= ] { x ∈ R x ≤ b} 4. Các phép toán tập hợp •Giao của hai tập hợp: A ∩ B = C ⇔ C = { x x ∈ A vaø x ∈ B} •Hợp của hai tập hợp: A ∪ B = C ⇔ C = { x x ∈ A hoaëc x ∈ B} •Hiệu của hai tập hợp: A \ B = C ⇔ C = { x x ∈ A vaø x ∉ B} • Phần bù: Cho B ⊂ A thì C A B = A \ B . Các dạng toán thường gặp: Dạng 1: Xác định tập hợp và phép toán trên tập hợp Phương pháp chung : • Liệt kê các phần tử của tập hợp (giải phương trình nếu cần) • Sử dụng định nghĩa của các phép toán để xác định phần tử của tập hợp Các ví dụ minh họa : GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Ví dụ 1: Biểu diển tập hợp sau về dạng liệt kê: a. A = { n ∈ N * | 5 < n3 < 125 } b. B = { x | x là số nguyên tố và 8 x 2 + 1 là số nguyên tố} c. C = { x | x 6 + x 2 + x = x 4 + x3 + 1 } d. D = { x ∈ Z | 7 x 3 − 3x 2 + 3x − 1 =0 } x− x e. E = { x ∈ R | ≥0 } 1 − 2( x 2 − x + 1) Ví dụ 2:Biểu diển các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặt trưng a. A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29} b. B = {- 4; -3; -2 ; -1; 0; 1; 2; 3; 4} c. C = {-5; 0; 5; 10; 15} d. D = {1; 3; 7; 15; 31; 63; 127} Ví dụ 3: Cho các tập hợp: A= {1; 2;3; 4;5;6} , B= { x ∈ Z | −3 ≤ x ≤ 2} , C= {x ∈ R | 2 x 2 − 3 x = 0} a. Biểu diển B, C dưới dạng liệt kê. b. Xác định các tập hợp: A ∩ B , B ∩ C , A ∩ C c. Xác định các tập hợp: A ∪ B , B ∪ C , A ∪ C d. Xác định các tập hợp: A \ B , B \ C , A \ C Ví dụ 4:Trong các tập hợp sau, tập nào là con của tập nào? A: tập hợp các tứ giác B: tập hợp các hình thang C: tập hợp các hình thoi D: tập hợp các hình chữ nhật E: tập các hình vuông. Ví dụ 5:Cho các tập hợp : A = {0; 2; 4; 6; 8; 10} , B ={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, C = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Hãy xác định các tập hợp sau: a. A ∩ (B ∩ C) b. A ∪ (B ∪ C) c. A ∩ (B ∪ C) d. A ∪ (B ∩ C) e. A \ (B ∩ C) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 www.toanhocdanang.com
MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP Ví dụ 6:Cho tập E = {1; 2; 3; 4}. Tìm X và Y là hai tập con của E sao cho Mọi tập con A của E ta đều có: A ∪ Y = A ∩ X Ví dụ 7: Cho hai tập hợp A, B, C khác rổng .chứng minh rằng: a. ( A \ B) ∪ ( B ∩ A) = A b. ( A \ B) ∪ ( B \ A) =∪( A B) \ ( A ∩ B) c. ( A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C) d. ( A \ B= ) \ C A \ (B ∪ C) e. A \ (B \ C= ) ( A \ B) ∪ ( A ∩ C ) Dạng 2: Xác định tập hợp và các phép toán trên tập hợp các số thực Phương pháp chung: • Biểu diển các tập hợp trên trục số, lưu ý vị trí các phần tử trên trục số(phần tử nào nhỏ hơn đứng trước) • Dùng định nghĩa các phép toán để xác định các phần tử trong tập hợp Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau và biểu diển chúng trên trục số a. A = [ −3 , 1) ∪ ( 0 , 4] B = ( −2 , 15 ) ∪ (3 , + ∞) b.= C ( 0 , 2 ) ∪ [ −1 , 1) D = ( −∞ , 1) ∪ (−1 , + ∞) c. E = [ −12 , 3) ∩ ( −1 , 4] = F ( 4 , 7 ) ∩ ( −7, − 4 ) = d. G ( 2 , 3) ∩ [3, 5 ) H = (−∞ , 1) ∩ (−1 , + ∞) Ví dụ 2: Cho các tập hợp A = [ −2 , 4] , =B ( 2 , + ∞ ) , C = ( −∞ , − 1) Xác định các tập hợp sau và biểu diển chúng lên trục số: a. ( A \ C ) ∩ B b. ( C \ A) ∪ ( B \ A) Ví dụ 3: Tìm m sao cho ( m − 7 , m ) ⊂ ( −4 , 3) Ví dụ 4: Tùy theo m , hãy biện luận kết quả của tạp A Với A = ( −∞ , m] ∩ ( 5 , + ∞ ) Dạng 2:Sử dụng sơ đồ Ven để giải bài toán định lương trong tổ hợp Phương pháp chung: GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 www.toanhocdanang.com

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.