Đáp án - thang điểm đề thi truyển sinh đại học năm 2010 môn Toán khối A

Chia sẻ: Trần Văn Thành | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

436
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là đáp án - thang điểm đề thi truyển sinh đại học năm 2010 môn Toán khối A gửi đến các bạn học sinh tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đáp án - thang điểm đề thi truyển sinh đại học năm 2010 môn Toán khối A

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: TOÁN; Khối A ĐỀ CHÍNH THỨC (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm I 1. (1,0 điểm) (2,0 điểm) Khi m = 1, ta có hàm số y = x3 − 2x2 + 1. • Tập xác định: R. 0,25 • Sự biến thiên: 4 - Chiều biến thiên: y ' = 3x2 − 4x; y '( x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = . 3 ⎛4 ⎞ ⎛ 4⎞ Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và ⎜ ; + ∞ ⎟ ; nghịch biến trên khoảng ⎜ 0; ⎟ . 3 ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ 4 5 0,25 - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1, đạt cực tiểu tại x = ; yCT = − . 3 27 - Giới hạn: lim y = − ∞ ; lim y = + ∞. x→ − ∞ x→ + ∞ - Bảng biến thiên: 4 x −∞ +∞ 0 3 + − + y' 0 0 0,25 +∞ 1 y 5 − 27 −∞ • Đồ thị: y 1 0,25 4 O 3 x 5 2 − 27 2. (1,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm: x3 − 2x2 + (1 − m)x + m = 0 0,25 ⇔ (x − 1)(x2 − x − m) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x2 − x − m = 0 (*) Đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm 0,25 phân biệt, khác 1. Ký hiệu g(x) = x2 − x − m; x1 = 1; x2 và x3 là các nghiệm của (*). ⎧∆ > 0 ⎪ 0,25 Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi: ⎨ g (1) ≠ 0 ⎪2 2 ⎩ x2 + x3 < 3 ⎧1 + 4m > 0 ⎪ 1 ⇔ ⎨−m ≠ 0 ⇔ − < m < 1 và m ≠ 0. 0,25 4 ⎪1 + 2m < 3 ⎩ Trang 1/4
Câu Đáp án Điểm II 1. (1,0 điểm) (2,0 điểm) Điều kiện: cosx ≠ 0 và 1 + tanx ≠ 0. π⎞ 0,25 ⎛ 2 sin ⎜ x + ⎟ (1 + sinx + cos2x) = (1 + tanx)cosx Khi đó, phương trình đã cho tương đương: 4⎠ ⎝ sin x + cos x ⇔ (sinx + cosx)(1 + sinx + cos2x) = cos x ⇔ sinx + cos2x = 0 0,25 cos x 1 ⇔ 2sin2x − sinx − 1 = 0 ⇔ sinx = 1 (loại) hoặc sinx = − 0,25 2 π 7π ⇔ x=− + k2π hoặc x = + k2π (k ∈ Z). 0,25 6 6 2. (1,0 điểm) Điều kiện: x ≥ 0. 2( x 2 − x + 1) = x 2 + ( x − 1) 2 + 1 > 1, suy ra 1 − 2( x 2 − x + 1) < 0. Ta có: 0,25 2( x 2 − x + 1) ≤ 1 − x + Do đó, bất phương trình đã cho tương đương với: x (1) 2( x 2 − x + 1) = 2(1 − x) 2 + 2( x ) 2 ≥ 1 − x + 0,25 Mặt khác x (2), do đó: 2( x 2 − x + 1) = 1 − x + (1) ⇔ x (3) Để ý rằng: + Dấu bằng ở (2) xảy ra chỉ khi: 1 − x = x đồng thời 1 − x + x ≥ 0. 0,25 + 1−x = x kéo theo 1 − x + x ≥ 0, do đó: (3) ⇔ 1 − x = x ⎧1 − x ≥ 0 ⎧x ≤ 1 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨2 2 ⎪(1 − x) = x ⎪ x − 3x + 1 = 0 ⎩ ⎩ 0,25 3− 5 ⇔x= , thỏa mãn điều kiện x ≥ 0. 2 1 1 1 ⎛ ex ⎞ ex III I = ∫ ⎜ x2 + dx = ∫ x 2 dx + ∫ dx . ⎟ 0,25 ⎜ 1 + 2e x ⎟ x 0 1 + 2e (1,0 điểm) 0⎝ ⎠ 0 1 1 13 1 ∫ x 2 dx = = Ta có: x 0,25 3 3 0 0 1 1 ex d(1 + 2e x ) 1 ∫ 1 + 2e x dx = 2 ∫ và , suy ra: 0,25 1 + 2e x 0 0 1 1 1 1 + 2e 1 1 1 + 2e 1 1 + ln(1 + 2e x ) = + ln I= = + ln . 0,25 3 2 32 3 32 3 0 • Thể tích khối chóp S.CDNM. S IV SCDNM = SABCD − SAMN − SBCM (1,0 điểm) 1 1 = AB2 − AM.AN − BC.BM 0,25 2 2 2 2 5a 2 a a K = a2 − − = . 8 4 8 N D A H 5 3 a3 1 M VS.CDNM = SCDNM.SH = 0,25 . C B 3 24 • Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC. ∆ADM = ∆DCN ⇒ ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN, kết hợp với DM ⊥ SH, suy ra DM ⊥ (SHC). 0,25 Hạ HK ⊥ SC (K ∈ SC), suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC, do đó: d(DM, SC) = HK. Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm CD 2 2a SH .HC 2 3a 2 3a Ta có: HC = = v à HK = = , do đó: d(DM, SC) = . 0,25 CN 5 19 19 2 2 SH + HC 3 5 V Điều kiện: x ≤ ; y≤ . (1,0 điểm) 4 2 0,25 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: (4x2 + 1).2x = (5 − 2y + 1) 5 − 2 y (1) Nhận xét: (1) có dạng f(2x) = f( 5 − 2 y ), với f(t) = (t2 + 1)t. Ta có f ' (t) = 3t2 + 1 > 0, suy ra f đồng biến trên R. 0,25 ⎧x ≥ 0 ⎪ Do đó: (1) ⇔ 2x = 5 − 2y ⇔ ⎨ 5 − 4 x2 ⎪y = . ⎩ 2 2 ⎛5 ⎞ Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 4x + ⎜ − 2 x 2 ⎟ + 2 3 − 4 x −7 = 0 (3). 2 ⎝2 ⎠ 3 Nhận thấy x = 0 và x = không phải là nghiệm của (3). 0,25 4 2 ⎛5 ⎞ ⎛ 3⎞ Xét hàm g(x) = 4x + ⎜ − 2 x 2 ⎟ + 2 3 − 4 x − 7, trên khoảng ⎜ 0; ⎟ . 2 ⎝2 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎛5 ⎞ 4 4 g '( x) = 8x − 8x ⎜ − 2 x 2 ⎟ − = 4x (4x2 − 3) − < 0, suy ra hàm g(x) nghịch biến. 3 − 4x 3 − 4x 2 ⎝ ⎠ ⎛1⎞ 1 Mặt khác g ⎜ ⎟ = 0, do đó (3) có nghiệm duy nhất x = ; suy ra y = 2. 0,25 ⎝2⎠ 2 ⎛1 ⎞ Vậy, hệ đã cho có nghiệm: (x; y) = ⎜ ; 2 ⎟ . ⎝2 ⎠ VI.a 1. (1,0 điểm) (2,0 điểm) | 3. 3 − 1.1| 1 y d1 và d2 cắt nhau tại O, cos(d1, d2) = = và tam giác 3 + 1. 3 + 1 2 0,25 d2 d1 OAB vuông tại B, do đó AOB = 60 ⇒ BAC = 60 . O 1 3 x Ta có: SABC =AB.AC.sin 60 = (OA.sin 60 ).(OA.tan 60 ) B 2 4 A 33 OA2. = 0,25 8 I C 4 3 , suy ra OA2 = . Do đó: SABC = 2 3 ⎧ 3x + y = 0 ⎛1 ⎞ ⎪ Tọa độ A(x; y) với x > 0, thỏa mãn hệ: ⎨ 2 4 ⇒ A⎜ ; − 1⎟ . 2 ⎪x + y = ⎝3 ⎠ ⎩ 3 0,25 Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với d2, suy ra AC có phương trình: 3 x − 3y − 4 = 0. ⎧ 3x − y = 0 ⎛ −2 ⎞ ⎪ ⇒ C⎜ ; − 2⎟ . Tọa độ C(x; y) thỏa mãn hệ: ⎨ ⎝3 ⎠ ⎪ 3 x −3y − 4 = 0 ⎩ ⎛ −1 3⎞ ; − ⎟ và bán kính IA = 1. Đường tròn (T) có đường kính AC, suy ra tâm của (T) là I ⎜ 2⎠ ⎝2 3 0,25 2 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ Phương trình (T): ⎜ x + ⎟ + ⎜ y + 2 ⎟ =1. 2 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm 2. (1,0 điểm) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương v = (2; 1; −1) và mặt phẳng (P) có 0,25 M vectơ pháp tuyến n = (1; −2; 1). () Gọi H là hình chiếu của M trên (P), ta có cos HMC = cos v, n . 0,25 () d(M, (P)) = MH = MC.cos HMC = MC. cos v, n 0,25 C H P | 2 − 2 − 1| 1 = = 6. . 0,25 ∆ 6. 6 6 Ta có: z = (1 + 2 2 i) (1 − VII.a 2 i) 0,25 (1,0 điểm) = 5+ 0,25 2 i, suy ra: z = 5− 0,25 2 i. Phần ảo của số phức z bằng: − 2 . 0,25 VI.b 1. (1,0 điểm) (2,0 điểm) Gọi H là trung điểm của BC, D là trung điểm AH, ta có AH ⊥ BC. A Do đó tọa độ D(x; y) thỏa mãn hệ: 0,25 ⎧x + y − 4 = 0 ⇒ D(2; 2) ⇒ H(− 2; − 2). D d ⎨ ⎩x − y = 0 •E B C Đường thẳng BC đi qua H và song song d, suy ra BC có phương 0,25 H trình: x + y + 4 = 0. Điểm B, C thuộc đường thẳng BC: x + y + 4 = 0 và B, C đối xứng nhau qua H(− 2; − 2), do đó tọa độ B, C có dạng: B(t; − 4 − t), C(− 4 − t; t). 0,25 Điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác ABC, suy ra: AB . CE = 0 ⇔ (t − 6)(5 + t) + (− 10 − t)(− 3 − t) = 0 ⇔ 2t2 + 12t = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = − 6. 0,25 Ta được: B(0; − 4), C(− 4; 0) hoặc B(− 6; 2), C(2; − 6). 2. (1,0 điểm) Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(−2; 2; −3), nhận v = (2; 3; 2) làm vectơ chỉ phương. 0,25 Ta có: MA = (2; −2; 1), ⎡v, MA⎤ = (7; 2; −10). A ⎣ ⎦ • C ∆ ⎡v, MA⎤ B 49 + 4 + 100 • ⎣ ⎦ Suy ra: d(A, ∆) = = = 3. 0,25 M 4+9+4 v Gọi (S) là mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại B và C sao cho BC = 8. Suy ra bán kính của (S) là: R = 5. 0,25 Phương trình (S): x2 + y2 + (z + 2)2 = 25. 0,25 Ta có: (1 − 3i )3 = − 8. VII.b 0,25 (1,0 điểm) −8 Do đó z = = − 4 − 4i, suy ra z = − 4 + 4i. 0,25 1− i 0,25 ⇒ z + i z = − 4 − 4i + (− 4 + 4i)i = − 8 − 8i. Vậy: z + iz = 8 2 . 0,25 ------------- Hết ------------- Trang 4/4