ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2003 Môn: Toán; Khôi D

Chia sẻ: Tranthi Kimuyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

80
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đáp án - thang điểm đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 môn: toán; khôi d', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2003 Môn: Toán; Khôi D

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2003 −−−−−−−−−−−−− ®¸p ¸n −thang ®iÓm ®Ò thi chÝnh thøc M«n thi : to¸n Khèi D Néi dung ®iÓm C©u 1. 2®iÓm x2 − 2 x + 4 1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = 1 ®iÓm . x−2 TËp x¸c ®Þnh : R \ { 2 }. x2 − 2 x + 4 4 Ta cã y = = x+ . x−2 x−2 x2 − 4 x x=0 4 y ' = 1− = y'= 0 ⇔  .  x = 4. 2 2 ( x − 2) ( x − 2) 0,25® 4 lim [ y − x ] = lim = 0 ⇒ tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ lµ: y = x , x →∞ x − 2 x →∞ lim y = ∞ ⇒ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ lµ: x = 2 . x→2 B¶ng biÕn thiªn: −∞ +∞ x 0 2 4 − − y’ +0 0 + −2 +∞ +∞ 0,5® y C§ CT −∞ −∞ 6 §å thÞ kh«ng c¾t trôc hoµnh. §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0; −2). y 6 2 O 2 4 0,25® x −2 2) 1 ®iÓm §−êng th¼ng d m c¾t ®å thÞ hµm sè (1) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt 4 ⇔ ph−¬ng tr×nh x + = mx + 2 − 2m cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 2 0,5® x−2 ⇔ (m − 1)( x − 2)2 = 4 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 2 ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1. 0,5® VËy gi¸ trÞ m cÇn t×m lµ m > 1. 1
C©u 2. 2®iÓm x π x 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh sin 2  −  tg 2 x − cos 2 = 0 (1) 1 ®iÓm 2 4 2 §iÒu kiÖn: cos x ≠ 0 (*). Khi ®ã π   si n 2 x 1 1  = (1 + cos x ) ⇔ (1 − sin x ) sin 2 x = (1 + cos x ) cos 2 x (1) ⇔ 1 − cos  x −    2 2 2   cos x 2  ⇔ (1 − sin x ) (1 − cos x)(1 + cos x) = (1 + cos x ) (1 − sin x)(1 + sin x) ⇔ (1 − sin x ) (1 + cos x)(sin x + cos x) = 0 0,5®  π  x = 2 + k 2π  sin x = 1  ⇔ cos x = −1 ⇔  x = π + k 2π ( k ∈ Z) . 0,25®    tgx = −1 π   x = − + kπ  4  x = π + k 2π KÕt hîp ®iÒu kiÖn (*) ta ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ:  ( k ∈ Z) . 0,25®  x = − π + kπ   4 2 2 2 x − x − 22 + x − x = 3 1 ®iÓm 2) Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1). 2 §Æt t = 2 x − x ⇒ t > 0 . 4 = 3 ⇔ t 2 − 3t − 4 = 0 ⇔ (t + 1)(t − 4) = 0 ⇔ t = 4 (v× t > 0 ) Khi ®ã (1) trë thµnh t − 0,5® t  x = −1 2 VËy 2 x − x = 4 ⇔ x 2 − x = 2 ⇔   x = 2.  x = −1 0,5® Do ®ã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ   x = 2. C©u 3. 3®iÓm 1) 1 ®iÓm Tõ (C ) : ( x − 1) 2 + ( y − 2)2 = 4 suy ra (C ) cã t©m I (1; 2) vµ b¸n kÝnh R = 2. uu r §−êng th¼ng d cã vÐct¬ ph¸p tuyÕn lµ n = (1; −1). Do ®ã ®−êng th¼ng ∆ ®i qua x −1 y − 2 = ⇔ x+ y −3 = 0. I (1; 2) vµ vu«ng gãc víi d cã ph−¬ng tr×nh: −1 1 Täa ®é giao ®iÓm H cña d vµ ∆ lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh:  x − y −1 = 0 x = 2 ⇔ ⇒ H (2;1).  x + y − 3 = 0  y =1 Gäi J lµ ®iÓm ®èi xøng víi I (1; 2) qua d . Khi ®ã  x J = 2 xH − xI = 3 ⇒ J (3; 0) . 0,5  y J = 2 xH − x I = 0  V× (C ') ®èi xøng víi (C ) qua d nªn (C ') cã t©m lµ J (3; 0) vµ b¸n kÝnh R = 2. 0,25® Do ®ã (C ') cã ph−¬ng tr×nh lµ: ( x − 3)2 + y 2 = 4 . Täa ®é c¸c giao ®iÓm cña (C ) vµ (C ') lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh: ( x − 1)2 + ( y − 2) 2 = 4  x − y −1 = 0 y = x −1    x = 1, y = 0   ⇔ ⇔ 2 ⇔  2 2  x = 3, y = 2.  ( x − 3)2 + y 2 = 4 ( x − 3) + y = 4 2 x − 8 x + 6 = 0    0,25® VËy täa ®é giao ®iÓm cña (C ) vµ (C ') lµ A(1; 0) vµ B (3; 2). 2
2) 1 ®iÓm uu r Ta cã cÆp vect¬ ph¸p tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng x¸c ®Þnh d k lµ n1 = (1; 3k ; −1) r uu r vµ n2 = (k ; −1;1) . Vect¬ ph¸p tuyÕn cña ( P) lµ n = (1; −1; −2) . §−êng th¼ng d k cã vect¬ chØ ph−¬ng lµ: r uu uu rr r u =  n1, n2  = (3k − 1; − k − 1; −1 − 3k 2 ) ≠ 0 ∀ k . 0,5®   3k − 1 − k − 1 −1 − 3k 2 rr d k ⊥ ( P ) ⇔ u || n ⇔ = = ⇔ k = 1. 0,5 ® Nªn −1 −2 1 VËy gi¸ trÞ k cÇn t×m lµ k = 1. 3) 1 ®iÓm Ta cã (P) ⊥ (Q) vµ ∆ = (P) ∩ (Q), mµ C P AC ⊥ ∆ ⇒ AC ⊥(Q) ⇒AC ⊥ AD, hay CAD = 900 . T−¬ng tù, ta cã BD ⊥ ∆ nªn H BD ⊥(P), do ®ã CBD = 900 . VËy A vµ B ∆ B A 0,25® A, B n»m trªn mÆt cÇu ®−êng kÝnh CD. Vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu lµ: CD 1 BC 2 + BD 2 R= = D 2 2 Q 1 a3 AB 2 + AC 2 + BD 2 = 0,25® = . 2 2 Gäi H lµ trung ®iÓm cña BC⇒ AH ⊥ BC. Do BD ⊥(P) nªn BD ⊥ AH ⇒AH ⊥ (BCD). 1 a2 VËy AH lµ kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mÆt ph¼ng (BCD) vµ AH = BC = . 0,5® 2 2 C©u 4. 2®iÓm x +1 trªn ®o¹n [ −1; 2] . 1) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = 1 ®iÓm x2 + 1 1− x y'= . 2 3 ( x + 1) y ' = 0 ⇔ x = 1. 0,5® 3 Ta cã y (−1) = 0, y(1) = 2 , y (2) = . 5 VËy max y = y (1) = 2 min y = y (−1) = 0. vµ 0,5® [ −1;2] [ −1;2] 2 2) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ x 2 − x dx . 1 ®iÓm 0 2 Ta cã x − x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1 , suy ra 1 2 0,5® I = ∫ ( x − x 2 ) dx + ∫ ( x 2 − x) dx 0 1 1 2  x 2 x3   x3 x 2  = −  +  −  = 1. 0,5® 2 3  2 0  3  1 3
C©u 5. 1®iÓm C¸ch 1: Ta cã ( x + 1) = Cn x 2n + C1 x 2n − 2 + Cn x 2n − 4 + ... + Cn , 2 n 0 2 n n ( x + 2) n = Cn x n + 2C1 x n −1 + 22 Cn x n − 2 + 23 Cn x n −3 + ... + 2n Cn . 0 2 3 n n DÔ dµng kiÓm tra n = 1, n = 2 kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n. Víi n ≥ 3 th× x3n −3 = x 2n x n −3 = x 2n − 2 x n −1. Do ®ã hÖ sè cña x3n −3 trong khai triÓn thµnh ®a thøc cña ( x 2 + 1) n ( x + 2) n lµ a3n −3 = 23.Cn .Cn + 2.C1 .C1 . 03 nn 0,75®  n=5 2n(2n2 − 3n + 4) = 26n ⇔  VËy a3n −3 = 26n ⇔ n = − 7 3   2 0,25® VËy n = 5 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m (v× n nguyªn d−¬ng). C¸ch 2: hoÆc Ta cã n n 3n  1   2 2 n n ( x + 1) ( x + 2) = x  1 +  1 +   x2   x  n k in n i  n i 1  k 2 Cn   ∑ Cn    = x3n  ∑ Cn x −2i ∑ Cn 2k x − k  . ∑  x2  3n  k =x i = 0  x  i = 0    k =0 k =0   Trong khai triÓn trªn, luü thõa cña x lµ 3n − 3 khi −2i − k = −3 , hay 2i + k = 3. Ta chØ cã hai tr−êng hîp tháa ®iÒu kiÖn nµy lµ i = 0, k = 3 hoÆc i = 1, k = 1 . Nªn hÖ sè cña x3n −3 lµ a3n −3 = Cn .Cn .23 + C1 .C1 .2 . 03 0,75® nn  n=5 2n(2n2 − 3n + 4) = 26n ⇔  Do ®ã a3n −3 = 26n ⇔ n = − 7 3   2 VËy n = 5 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m (v× n nguyªn d−¬ng). 0,25® 4