Đề 2 toán chuyên toán KHTN

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

133
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề 2 toán chuyên toán KHTN, nhằm giúp các bạn có cách nhìn toàn diện về kiến thức và kĩ năng cần nắm vững trước khi kỳ thi sắp tơi với tâm thế vững vàng nhất. Tác giả hi vọng tài liệu này sẽ là tài liệu bổ ích cho các em, tài liệu mang tính chất tham khảo

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề 2 toán chuyên toán KHTN

Kh i chuyên Toán - Tin trư ng ĐHKHTN-ĐHQGHN Đ thi th đ i h c l n 2 năm 2008-2009 Ngày thi: 15/3/2009 • Th i gian: 180 phút. • Typeset by L TEX 2ε . A • Copyright c 2009 by Nguy n M nh Dũng. • Email: nguyendunghus@gmail.com. • Mathematical blog: http://www.mathlinks.ro/weblog.php?w=1139 1
1 Đ bài Câu I (2 đi m) 1) Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s −2x2 + 3x − 3 y= x−1 2) Tìm các đi m thu c (C) cách đ u hai ti m c n. Câu II (2 đi m) 1) Gi i phương trình lư ng giác √ √ 9 sin3 x − 3 cos x + sin x cos x(cosx − 3 sin x) − 6 sin x = 0 2) Tìm a đ v i m i b h phương trình sau có nghi m (a − 1)x5 + y 5 = 1 ebx + (a + 1)by 4 = a2 Câu III (2 đi m) 1) Tính th tích kh i tròn xoay nh n đư c do quay quanh tr c Oy hình ph ng h u h n đư c gi i h n b i các đư ng y 2 = x và 3y − x = 2. 2) Tính t ng sau theo n S = C2n − 3C2n + 9C2n − 27C2n + · · · + (−3)n C2n 0 2 4 6 2n Câu IV (3 đi m) 1) Trong không gian v i h t a đ Đ các vuông góc Oxyz, cho hai đư ng th ng (d1 ), (d2 ) có phương trình tham s    x=1−t  x = 2t d1 : y=t ; d2 : y =1−t   z = −t z=t a) Vi t phương trình các m t ph ng (P ), (Q) song song v i nhau và l n lư t đi qua (d1 ), (d2 ). b) Ch ng minh r ng hai đư ng th ng (d1 ), (d2 ) chéo nhau. Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng đó. 2) G i I là tâm đư ng tròn n i ti p tam giác ABC, R và r l n lư t là bán kính đư ng tròn ngo i ti p và n i ti p tam giác đó. Ch ng minh r ng IA.IB.IC = 4Rr2 √ Câu V (1 đi m). Cho a, b, c là ba s th c dương thay đ i th a mãn đi u ki n a + b + c = 3. Tìm giá tr nh nh t c a P = a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + c2 + ca + a2 2
2 L i gi i tóm t t Câu I. 1) Đi m c c ti u (0; 3), đi m c c đ i (2; −5). Ti m c n đ ng x = 1, ti m c n xiên y = −2x + 1. (B n đ c t v đ th ) 2) Xét đi m M (x0 ; −2x0 + 1 − x02 ) là m t đi m thu c đ th hàm s . Đi m M cách đ u hai ti m −1 c n khi và ch khi |x − 0 − 1| |2x0 − 2x0 + 1 − x02 − 1| −1 √ = √ 1 5 hay 4 4 (x0 − 1)2 = 4 ⇔ x0 = 1 ± 5 5 4 4 V y các đi m c n tìm là các đi m thu c (C) và có hoành đ x = 1 ± 5. Câu II. 1) Phương trình đã cho tương đương v i √ √ sin3 x − 3 cos x + sin x cos x(cosx − 3 sin x) = 2(3 sin x − 4 sin3 x) π ⇔ sin x − = sin 3x 3 x − π = 3x + k2π 3 π π ⇔ ⇔x= +k k, l ∈ Z. x − π = π − 3x + l2π 3 3 2 2) H đã cho có nghi m v i m i b nên khi cho b = 0 h có nghi m. Khi b = 0 h trên tương đương v i (a − 1)x5 + y 5 = 1 ⇒ a = ±1 1 = a2 1. a = 1. H trên tr thành y5 = 1 ebx + 2by 4 = 1 Cho b =1 thì h trên không có nghi m, v y lo i trư ng h p a = 1. 2. a=-1. H trên tr thành −2x5 + y 5 = 1 ebx = 1 Rõ ràng h này luôn có nghi m x = 0, y = 1. V y a = −1. Câu III. 1) Xét phương trình tương giao y 2 = 3y − 1 ⇔ y = 1, y = 2. Ta có 2 4 V =π (3y − 2)2 − y 4 dy = π(d.v.t.t) 1 5 3
2) Xét khai tri n 2n √ √ (1 + i 3)2n = C2n (i 3)k k k=0 √ 1 √ 3 √ 2n−1 = (C2n − 3C2n + · · · + (−3)n 2n ) + i( 32n − 3 3C2n + · · · + (−3)n−1 3C2n ) 0 2 2n M t khác, theo đ nh lí De Moirve, ta có √ 2nπ 2nπ (1 + i 3)2n = 22n (cos + i sin ) 3 3 Đ ng nh t ph n th c, ta thu đư c 2nπ S = 22n cos 3 Câu IV. 1) a) Các đư ng th ng (d1 ), (d2 ) l n lư t có vector ch phương − = (−1; 1; −1), − = (2; −1; 1), → u1 → u2 Vector − = [− , − ] = (0; 1; 1) vuông góc v i c hai vector trên. V y các m t ph ng (P ), (Q) có → n → → u1 u2 cùng vector pháp → = (0; 1; 1) suy ra phương trình c a chúng có d ng y + z + d = 0 − n • Đi m M (1; 0; 0) ∈ (d1 ) nên nó cũng thu c (P ) suy ra d = 0. V y mp (P ) có phương trình y + z = 0 • Tương t như trên ta có N (0; 1; 0) ∈ (Q) nên phương trình c a (Q) là y + z = 1 b) Vì − = k −1 ∀k = 0 nên (d1 ), (d2 ) không song song v i nhau. Vì −1 .−2 = 0 nên (d1 ), (d2 ) không → u1 → n →→ n n vuông góc v i nhau. Ta c n ch ng minh (d1 ) không c t (d2 ).   1 − t = 2t Ta có (d1 ), (d2 ) c t nhau khi và ch khi t n t i t, t sao cho t=1−t nhưng h này vô nghi m.  −t = t V y (d1 ), (d2 ) chéo nhau. Kho ng cách gi a (d1 ), (d2 ) chính là kho ng cách gi a (P ) và (Q) và b ng |1| 1 dN/(P ) = √ = √ 2 2 A B C A B C 2) Ta có r = IA sin = IB sin = IC sin ⇒ r3 = IA.IB.IC. sin sin sin . 2 2 2 2 2 2 abc Do pr = = S nên 4R A B C A B C abc 2R sin A sin B sin C 16R sin sin sin cos cos cos r= = = 2 2 2 2 2 2 = 4R sin A sin B sin C 4Rp sin A + sin B + sin C A B C 2 2 2 4 cos cos cos 2 2 2 4
A B C r r ⇒ sin sin sin = ⇒ r3 = IA.IB.IC. ⇒ IA.IB.IC = 4Rr2 . 2 2 2 4R 4R Câu V. V i m i x, y > 0 ta có √ 2 + xy = y 2 = 3 1 2 + (x − y)2 ≥ 3 x (x + y) (x + y) 4 4 2 D u đ ng th c x y ra ⇔ x = y. Áp d ng b t đ ng th c trên ta thu đư c √ 3 P ≥ [(a + b) + (b + c) + (c + a)] = 3 2 1 D u đ ng th c x y ra ⇔ a = b = c = √ . 3 5