intTypePromotion=3
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_id] => 140
            [banner_name] => KM1 - nhân đôi thời gian
            [banner_picture] => 964_1568020473.jpg
            [banner_picture2] => 839_1568020473.jpg
            [banner_picture3] => 620_1568020473.jpg
            [banner_picture4] => 994_1568779877.jpg
            [banner_picture5] => 
            [banner_type] => 8
            [banner_link] => https://tailieu.vn/nang-cap-tai-khoan-vip.html
            [banner_status] => 1
            [banner_priority] => 0
            [banner_lastmodify] => 2019-09-18 11:11:47
            [banner_startdate] => 2019-09-11 00:00:00
            [banner_enddate] => 2019-09-11 23:59:59
            [banner_isauto_active] => 0
            [banner_timeautoactive] => 
            [user_username] => sonpham
        )

)

Đề bài và lời giải đề thi toán cấp quốc gia 2010 - 2011 part 2

Chia sẻ: Pham Xuan Duong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

0
176
lượt xem
41
download

Đề bài và lời giải đề thi toán cấp quốc gia 2010 - 2011 part 2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề bài và lời giải đề thi toán cấp quốc gia 2010 - 2011 part 2', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề bài và lời giải đề thi toán cấp quốc gia 2010 - 2011 part 2

  1. BÀI S 4: TOÁN R I R C Bài 4. Cho ngũ giác l i ABCDE có các c nh và hai đư ng chéo AC , AD có đ dài không vư t quá 3. Trong ngũ giác l i l y 2011 đi m phân bi t b t kì. Ch ng minh r ng t n t i m t hình tròn đơn v có tâm n m trên c nh c a ngũ giác l i ABCDE và ch a ít nh t 403 đi m trong s 2011 đi m đã cho. L i gi i. Trư c h t ta ch ng minh b đ sau B đ . Cho đi m I n m trong tam giác X Y Z có đ dài các c nh nh hơn 3. Khi đó, min{ I X , IY , I Z } < 1. Ch ng minh. Th t v y, vì ∠ X IY + ∠Y I Z + ∠ Z I X = 360◦ nên trong ba góc ∠ X IY , ∠Y I Z , ∠ Z I X ph i có m t góc không nh hơn 120◦ . Gi s ∠ X IY 120◦ thì trong tam giác I X Y , theo đ nh lý cosin ta có X Y 2 = I X 2 + IY 2 − 2 I X · IY cos ∠ X IY 3 I X 2 + IY 2 + I X · IY 3 min{ I X 2 , IY 2 }. T đây đưa đ n min{ I X , IY } 1. B đ đư c ch ng minh. Quay tr l i bài toán. Theo gi thi t thì các tam giác A BC , A CD , A DE đ u có c ba c nh nh hơn 3, mà m i đi m trong 2011 đi m gieo trong ngũ giác ABCDE đ u thu c mi n trong c a m t trong ba tam giác này nên theo b đ , m i đi m ph i cách m t đ nh nào đó c a ngũ giác m t kho ng không l n hơn 1. Theo nguyên lý Dirichlet, có m t đ nh c a ngũ giác có kho ng cách không l n hơn 1 đ n ít nh t 2011 = 403 đi m. T đó ta có đi u ph i ch ng minh. 5
  2. 20 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VN d
  3. BÀI S 5: DÃY S CÓ TÍNH CH T S HC Bài 5. Cho dãy s nguyên {a n } xác đ nh b i a 0 = 1, a 1 = −1 và a n = 6a n−1 + 5a n−2 v i m i n 2. Ch ng minh r ng a 2012 − 2010 chia h t cho 2011. L i gi i 1. Xét dãy {b n } đư c xác đ nh như sau b 0 = 1, b 1 = −1 và b n = 6 b n−1 + 2016 b n−2 v i m i n 2. Dãy này có phương trình đ c trưng x2 − 6 x − 2016 = 0 có hai nghi m là x = −42 và x = 48. T đây, s d ng ki n th c v phương trình sai phân, ta tìm đư c công th c t ng quát c a dãy là 41 · 48n + 49 · (−42)n ∀ n ∈ N. bn = , 90 Ngoài ra, ta cũng d dàng ch ng minh b ng quy n p r ng ∀ n ∈ N. a n ≡ b n (mod 2011), Theo đó, ta ch c n ch ng minh b2012 + 1 ≡ 0 (mod 2011) n a là xong. Ta có 41 · 482012 + 49 · (−42)2012 + 90 b 2012 + 1 = . 90 Do 2011 là s nguyên t , và 2011, 90 là hai s nguyên t cùng nhau nên ta ch c n ch ng minh 41 · 482012 + 49 · (−42)2012 + 90 ≡ 0 (mod 2011). (1) Mà theo đ nh lý Fermat nh , ta có 41 · 482012 + 49 · (−42)2012 + 90 ≡ 41 · 482 + 49 · 422 + 90 (mod 2011) = 90 b 2 + 90 = 90 6 · (−1) + 2016 · 1 + 90 = 90 · 2010 + 90 = 90 · 2011 ≡ 0 (mod 2011). Vì v y, (1) đúng. Bài toán đư c ch ng minh xong.
  4. 22 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VN L i gi i 2. Phương trình đ c trưng c a dãy đã cho là x2 − 6 x − 5 = 0 có hai nghi m là 3 − 14 và 3 + 14, do đó ta d dàng tìm đư c công th c s h ng t ng quát c a dãy là n n 7 − 2 14 3 + 14 + 7 + 2 14 3 − 14 an = 14 n−1 n−1 −7 + 14 3 + 14 − 7 + 14 3 − 14 = 14 = − u n + 2vn , trong đó n−1 n−1 n−1 n−1 3 + 14 + 3 − 14 3 + 14 − 3 − 14 un = vn = , . 2 2 14 S d ng công th c khai tri n nh th c Newton, ta có 1005 1005 C 2011 32011−2k 14k = 32011 + 2k C 2011 32011−2k 14k . 2k u 2012 = k=0 k=1 Do 1 < 2k < 2011 v i 1 1005 và 2011 là s nguyên t nên k 2 k−1 C 2010 .. 2011. 2k . C 2011 = 2011 2k M t khác, theo đ nh lý Fermat nh thì 32011 ≡ 3 (mod 2011). Do v y, k t h p các l p lu n l i v i nhau, ta đư c u 2012 ≡ 3 (mod 2011). (2) Tương t v i vn , ta cũng s d ng khai tri n Newton và thu đư c 1006 1005 C 2011 32012−2k 14k−1 = 141005 + 2 k−1 C 2011 32012−2k 14k−1 . 2 k−1 v2012 = k=1 k=1 Đ n đây, cũng b ng cách s d ng tính nguyên t c a 2011, ta th y 2 k−2 C 2010 .. 2011 2 k−1 . C 2011 = 2011 2k − 1
  5. 23 L I GI I VMO 2011 v i k ∈ {1, 2, . . . , 1005}. Vì v y v2012 ≡ 141005 (mod 2011). Do 14 = 2025 − 2011 = 452 − 2011 ≡ 452 (mod 2011) nên áp d ng đ nh lý Fermat nh , ta có 141005 ≡ 452010 ≡ 1 (mod 2011). Suy ra v2012 ≡ 1 (mod 2011). (3) T (2) và (3), ta có a 2012 − 2010 ≡ −3 + 2 · 1 − 2010 ≡ 0 (mod 2011). Bài toán đư c ch ng minh xong.
  6. 24 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VN d
  7. BÀI S 6: HÌNH H C PH NG Bài 6. Cho tam giác ABC không cân t i A và có các góc ABC , ACB là các góc nh n. Xét m t đi m D di đ ng trên c nh BC sao cho D không trùng v i B, C và hình chi u vuông góc c a A trên BC . Đư ng th ng d vuông góc v i BC t i D c t đư ng th ng AB, AC tương ng t i E và F . G i M , N và P l n lư t là tâm đư ng tròn n i ti p các tam giác AEF , BDE và CDF . Ch ng minh r ng b n đi m A , M , N , P cùng n m trên m t đư ng tròn khi và ch khi đư ng th ng d đi qua tâm đư ng tròn n i ti p tam giác ABC . L i gi i. Ta th y bài toán đã cho chính là s k t h p cơ h c c a hai k t qu sau B đ 1. Cho tam giác ABC không cân t i A và có các góc ABC , ACB là các góc nh n. Xét m t đi m D di đ ng trên c nh BC sao cho D không trùng v i B, C và hình chi u vuông góc c a A trên BC . Đư ng th ng d vuông góc v i BC t i D c t đư ng th ng AB, AC tương ng t i E , F . ( N ), (P ) l n lư t là đư ng tròn n i ti p tam giác BDE , CDF . Khi đó, d đi qua tâm n i ti p tam giác ABC khi và ch khi ti p tuy n chung khác d c a ( N ) và (P ) đi qua A . B đ 2. Cho tam giác ABC không cân t i A và có các góc ABC , ACB là các góc nh n. Xét đi m D di đ ng trên c nh BC sao cho D không trùng v i B, C và hình chi u vuông góc c a A trên BC . Đư ng th ng d vuông góc v i BC t i D c t đư ng th ng AB, AC tương ng t i E , F . G i M , N và P l n lư t là tâm đư ng tròn n i ti p các tam giác AEF , BDE và CDF . Khi đó, b n đi m A , M , N , P cùng n m trên m t đư ng tròn khi và ch khi ti p tuy n chung khác d c a ( N ) và (P ) đi qua A . Như v y, ta ch c n ch ng minh đư c hai b đ này thì bài toán cũng đư c gi i quy t xong. Ch ng minh b đ 1. Ta ch ng minh hai chi u. • Gi s ti p tuy n khác d c a ( N ) và (P ) đi qua A . G i giao đi m c a ti p tuy n đó và d là T . D th y các t giác T ABD và T ACD ngo i ti p, do đó theo tính ch t cơ b n c a t giác ngo i ti p, ta có AB + TD = AT + BD và AC + TD = AT + DC . T hai đ ng th c này, ta d th y DB − DC = AB − AC .
  8. 26 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VN L i có DB + DC = BC nên BA + BC − AC C A + CB − AB DB = DC = , . 2 2 V y D chính là ti p đi m c a đư ng tròn n i ti p tam giác ABC v i BC , hay d đi qua tâm n i ti p tam giác ABC . E A F I P T N B C D d • Gi s d đi qua tâm n i ti p c a tam giác ABC , khi đó ta có ngay đ ng th c BA + BC − AC C A + CB − AB DB − DC = = AB − AC . − 2 2 G i giao đi m c a ti p tuy n qua A (khác AB) c a ( N ) và d là T . T giác T ABD ngo i ti p nên ta có AB + TD = AT + BD . K t h p đ ng th c trên, ta suy ra AC + TD = AT + DC . Đi u này ch ng t t giác T ADC ngo i ti p. V y AT ti p xúc (P ), hay nói cách khác, AT là ti p tuy n chung khác d c a ( N ) và (P ) đi qua A .
  9. 27 L I GI I VMO 2011 Ch ng minh b đ 2. Ta ch ng minh hai chi u. • Gi s ti p tuy n chung c a ( N ) và (P ) đi qua A , ta ph i ch ng minh b n đi m A , M , N , P cùng n m trên m t đư ng tròn. Đ ý r ng E , M , N th ng hàng và F , M , P th ng hàng, do v y ∠E AF ∠ N MP = 180◦ − ∠EMF = 180◦ − 90◦ + 2 ◦ 180 − ∠BAC ∠BAC = 90◦ − . = 2 2 M t khác, vì ti p tuy n chung khác d c a ( N ) và (P ) cũng đi qua A nên ∠BAC ∠ N AP = . 2 K t h p hai đ ng th c trên, ta suy ra t giác AMNP n i ti p. E AM F I T P N B C D x d • Gi s A , M , N , P cùng n m trên m t đư ng tròn, ta ph i ch ng minh ti p tuy n chung khác d c a ( N ) và (P ) đi qua A . Cũng t l p lu n trên, ta có ∠BAC ∠ N MP = . 2
  10. 28 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VN Do A , M , N , P cùng n m trên m t đư ng tròn nên ∠ N AP = ∠ N MP . K t h p v i trên, ta suy ra ∠BAC ∠ N AP = . 2 Qua A v ti p tuy n Ax c a ( N ), ta có ∠BAx ∠ N Ax = . 2 Do đó ∠BAC ∠BAx ∠C Ax ∠P Ax = ∠ N AP − ∠ N Ax = = ∠P AC . − = 2 2 2 T đây suy ra Ax đ i x ng AC qua AP mà AC ti p xúc (P ). V y Ax ti p xúc (P ). Nh n xét. Ph n thu n c a b đ 1 là bài thi vô đ ch Nga năm 2009 (ph n dành cho l p 10).
  11. BÀI S 7: ĐA TH C B T KH QUY TRÊN R Bài 7. Cho n là s nguyên dương. Ch ng minh r ng đa th c P ( x, y) = x n + x y + yn không th vi t dư i d ng P ( x, y) = G ( x, y) · H ( x, y), trong đó G ( x, y) và H ( x, y) là các đa th c v i h s th c, khác đa th c h ng. L i gi i. Gi s t n t i các đa th c G ( x, y) và H ( x, y) th a mãn 1 sao cho deg G 1, deg H P ( x, y) = G ( x, y) · H ( x, y). Khi đó d th y deg H + deg G = n. T gi thi t ta có G ( x, 0) · H ( x, 0) = x n , suy ra t n t i k ∈ N, a 1 a 2 = 1 sao cho H ( x, 0) = a 1 x k , G ( x, 0) = a 2 x n−k . Do H ( x, y) và G ( x, y) là các đa th c nên ta có th vi t đư c chúng dư i d ng H ( x, y) = a 1 x k + yH1 ( x, y), G ( x, y) = a 2 x n−k + yG 1 ( x, y), trong đó G 1 ( x, y), H1 ( x, y) là các đa th c. Thay vào P ( x, y) và rút g n, ta đư c a 1 x k yG 1 ( x, y) + a 2 x n−k yH1 ( x, y) + y2 G 1 ( x, y) · H1 ( x, y) = x y + yn , hay a 1 x k G 1 ( x, y) + a 2 x n−k H1 ( x, y) − x = yn−1 − yG 1 ( x, y) · H1 ( x, y). Cho y = 0, ta có x = a 1 x k G 1 ( x, 0) + a 2 x n−k H1 ( x, 0). Gi s k và n − k đ u l n hơn 1. Khi đó ta có hai kh năng x y ra. • C hai đa th c G 1 ( x, 0) và H1 ( x, 0) đ u đ ng nh t 0, suy ra x đ ng nh t 0 (vô lí). • Có m t trong hai đa th c trên có b c 1, gi s là G 1 ( x, 0). Khi đó b c c a h ng t cao nh t c a đa th c v ph i là k +deg G 1 > 1.
  12. 30 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VN Do v y, trong hai s k, n − k ph i có m t s bé hơn 2. Không m t tính t ng quát, ta có th gi s k 1. • N u k = 0 thì H1 ≡ 0. Khi đó H ( x, y) ≡ a 1 (lo i). • N u k = 1 thì H1 ≡ b = 0. Khi đó H ( x, y) = a 1 x + b y hay by x n + x y + yn = 0, ∀x = − . a1 Mà đi u này cũng không th k c khi n = 2. V y bài toán đư c ch ng minh.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

AMBIENT
Đồng bộ tài khoản