Bài tập xác suất và lời giải

Chia sẻ: Tuan Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

232
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tham khảo Bài tập xác suất và lời giải sau đây để củng cố các kiến thức được học của môn Xác suất thống kê. Từ đó, giúp các bạn có kế hoạch học tập và ôn thi hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập xác suất và lời giải

Bài tập xác suất Ví dụ 5: Một vé sổ xố có 4 chữ số.Khi quay số,nếu vé bạn mua có số trùng hoàn toàn với kết quả thì bạn trúng giải nhất.Nếu vé bạn mua có đúng 3 chữ số trùng với 3 chữ số của két quả (kể cả vị trí) thì bạn trúng giải nhì.Bạn An mua một vé xổ số. a)Tính xác suất để An trúng giải nhất. b)Tính xác suất để An trúng giải nhì. Giải. a)Số kết quả có thể là và chỉ có một kết quả trùng với số vé của An.Do đó xác suất trúng giải nhất của An là . b)Giải sử số vé của An là .Các kết quả trùng với đúng 3 chữ số của An là hoặc hoặc hoặc .Vì mỗi trường hợp trên đều có 9 khả năng nên có kết quả ở đó vé của An trúng giải nhì.Do đó xác xuất trúng giải nhì của AN là . Ví dụ 6: Một cỗ bài tú lơ khơ gìm 52 quân bài chia thành bỗn chất : rơ,cơ ( màu đỏ) ,pích và nhép (màu đen).Mỗi chất có 13 quân bài là 2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A (đọc là át).Bốn quân 2 (gồm 2 rơ,2 cơ,2 pích và 2 nhép) làm thành một bộ 2 ; bốn quân 3 (gồm 3 rơ,3 cơ,3 pích và 3 nhép)làm thành một bộ 3; ... ; bỗn quân át (gồm át rô,át cơ,át pích và át nhép) làm thành một bộ át. Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài.Tính xác suất để trong 5 quân bài đó ta có một bộ. Giải Số kết quả có thể là .Số kết quả trong đó có một bộ 2 bằng số cách chọn một quân bài trong số quân còn lại (không phải là quân 2).Vậy có 48 kết quả trong đó có một bộ 2. Tương tự có 48 kết quả trong đó có một bộ 3; ... ; có 48 kết quả trong đó có một bộ át.Vì có tất cả 13 bộ,nên số kết quả trong đó có xuất hiện một bộ là . Do đó ,xác suất cần tìm là Ví dụ 8: Một công ti bảo hiểm nhân thọ đã thống kê được trong 100 000 đàn ông 50 tuổi có 568 người chết trước khi bước sang tuổi 51 và trong 100 000 phụ nữ tuổi có 284 người chết trước khi bước sang tuổi 51. Khi đó xác suất thực nghiệm để một người đàn ông 50 tuổi chết trước khi bước sang tuổi 51 là và xác suất thực nghiệm để một người phụ nữ 50 tuổi chết trước khi bước sang tuổi 51 là Bài tập Trong mặt phẳng cho 9 đường thẳng song song và 10 đường thẳng song song khác cắt 9 đường thẳng song song trên . Hỏi chúng tạo được bao nhiêu hình bình hành? Bài giải của bạn: tu_uyen1991 | 09:39:18 Ngày 01-06-2008 +tạo hình bình hành từ 9 đường thẳng song song : +tạo hình bình hành từ 10 đường thẳng song song : =>số hình bình hành tạo được : . =1620 Bài giải của bạn: ltduy001 | 00:41:22 Ngày 13-06-2008 1
Hình bình hành được hình thành từ 2 cặp cạnh song song Theo đề : 9 đường thẳng song song có thể chọn ra cặp cạnh ( không có hoán vị 10 đường thẳng song song kia có thể chọn ra cặp cạnh => số hình bình hành tạo ra theo đề bài là : x Baì 70218 6 người gặp nhau, ai cũng bắt tay nhau 1 lần. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay? Có 6 người , ai cũng bắt tay nhau 1 lần . Mỗi lần có 2 người bắt tay nhau. Vậy, số cái bắt tay là : . Baì 69067 Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó số 1 xuất hiện 3 lần, các số khác xuất hiện đúng 1 lần ? Baì 68254 Số 1638 có bao nhiêu ước số? Bài giải của bạn: tu_uyen1991 | 14:43:48 Ngày 01-06-2008 Ta phân tích số số Mỗi ước của 1638 có dạng Lại có điều kiện của a,b,c,d : a,b,c,d thuộc N Vậy a : có 2 cách chọn b: 2 cách chọn ,c : 2 cách chọn ,d : có 2 cách chọn => có:2.2.2.2 =16 Vậy có 16 ước số thoả mãn Bài giải của bạn: tu_uyen1991 | 15:08:34 Ngày 01-06-2008 Ta phân tích + ước số có 1 phần tử : + ước số có 2 phần tử : + ước số có 3 phần tử : + ước số có 4 phần tử : Và 1 ước số là số 1 vậy có: :4 + 6+ 4+1 +1 =16 số Baì 68252 Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết 9? Bài giải của bạn: emlahaiga | 01:49:21 Ngày 03-06-2008 Số nhỏ nhất và lớn nhất có 6 chữ số là số lẻ và chia hết cho 9 là 100017 và 999999 Nhận thấy rằng trong đoạn từ 100017 đến 999999 cứ cách nhau 18 đơn vị thì có 1 số chia hết cho 9 là số lẻ . Vậy số các số thỏa mãn là : Đáp số là 50.000 chứ không phải là 49.999 Baì 68251 Có thể lập được bao nhiêu số gồm n chữ số phân biệt sao cho chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau? Bài giải của bạn: tu_uyen1991 | 15:04:27 Ngày 11-06-2008 2
+Xếp số 1 vào bên trái thì có : n-1 cách xếp số 2 +Xếp số 2 vào bên phải có n-1 xếp số 1 => Cách xếp số 1 và 2 đứng cạnh nhau : 2.(n-1) vậy còn các số còn lại :(n-2 ) số +xếp n-2 số :(n-2)! Theo qui tắc nhân : 2.(n-1)(n-2)! +xếp tất cả các số tự nhiên : n! cách Vậy : Xếp n chữ số phân biệt sao cho chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau : n! - 2.(n-1)(n-2)! = (n- 2)(n-1)! cách Baì 68249 Có bao nhiêu số nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho 7 hoặc 11? Bài giải của bạn: emlahaiga | 20:38:05 Ngày 30-05-2008 Gọi x là số số nguyên không lớn hơn 1000 và chia hết cho 7 thì Gọi y là số số nguyên không lớn hơn 1000 và chia hết cho 11 thì Gọi z là số số nguyên không lớn hơn 1000 và cùng chia hết cho cả 7 và 11 ( Suy ra chia hết cho 77 vì 7 và 11 nguyên tố cùng nhau ) , thì ( là phần nguyên của x ) Vậy số các số cần tìm là ( x+y-z) = 142+90-12 = 220 Đáp án là A Bài giải của bạn: tu_uyen1991 | 09:05:47 Ngày 01-06-2008 + số nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho 7 : +số nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho 11 : +số nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho 7 và 11 : số nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho 7 hoặc 11 : + - = 220,7 số vậy có 220 số Baì 68170 Cho đa giác đều A1.....A2n nội tiếp đường tròn .Số tam giác lập được gấp 20 lần số hình chữ nhật lập được bởi 2n điểm .Tính n? Bài giải của bạn: pin970 | 14:39:11 Ngày 26-05-2008 Ta có số cách chọn ra 3 điểm khác nhau từ đa giác đều có 2n cạnh là . Vì đây là đa giác đều nên bất kì điểm nào cũng có 2 điểm đối xứng nhau qua tâm 0 của đa giác vì vậy đa giác 2n cạnh sẽ có n cặp đối xứng nhau qua tâm O . Chọn ra 2 cặp trong n cặp đối xứng trên ta sẽ có 1 hình chữ nhật và số hình chữ nhật đó là . theo đề bài ta có được phương trình Baì 68169 Một tập hợp có 100 phần tử. Hỏi nó có bao nhiêu tập hợp con có nhiều hơn 2 phần tử? Bài giải của bạn: emlahaiga | 20:43:24 Ngày 30-05-2008 Số tập hợp con có nhiều hơn 2 phần tử là : Đáp án là D 3
Bài giải của bạn: tu_uyen1991 | 14:56:18 Ngày 01-06-2008 số tập hợp con đã cho : số tập hợp con có nhiều nhất 2 phần tử: 100+ +1 =5051 => số tập hợp con nhiều hơn 2 phần tử là : -5051 = Baì 66348 Một dãy 5 ghế dành cho 3 nam sinh và 2 nữ sinh.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu chỉ có nữ sinh ngồi gần nhau 1. Quy tắc cộng xác suấ a.Biến cố h Cho habiến cối A và BBiến cố. "A hoặc B xảy ra", khí hiệ ul à . Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em.Gọi A lbiến cốà "bạn đó là học sinh giỏi Toán" và B biến cốlà "Bạn đó là học sinh giỏi Văn".Khi đó biến cốlà "Bạn đó là học sinh giỏi Văn hoặc giỏi Toá ". Một cách tổng quá : Chobiến cố kBiến cố . "Có ít nhất một trobiến cốn g xảy ra" ,kí hiệu là được gọi là hợp củabiến cố k ó. Biến cố xung c Cho biến cốhai A và B.biến cốHai A và B được gọi là xung khắc biến cốnếu này xảy ra biến cốthì kia không xảy ra. Hai biến cố A và B là biến cố xung khắchai nếu và chỉ nếu Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em.Gọi Abiến cố là "Bạn đó là học sinh khối 10",Bbiến cố là "Bạn đó là học sinh khối 11".Khi đó A và B là biến cố xung khắch i . Hỏi biến cốhai A và B trong ví dụ 1 có phải là biến cố xung khắchai hay kh ng?Quy tắc cộng xác suất c. Để txác suấtính biến cố hợpcủa ,ta cần quy tắc cộng xác suấtđến sau đ y : Nếu biến cốhai A và B xung khắc xác suấtthì để A hoặc B xảy ra là (1) Ví dụ 3: Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số từ 1 đến 9.Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi hai số ghi trên hai thẻ với nhau.Txác suấtính đkế t quả nhận được là một số c ẵn. iải Kết quả nhận được là số ckhi và chỉ khihẵn trong hai thẻ có ít nhất một thẻ đánh số chẵn (gọi tắt là thẻ chẵn).Gọi Abiến cố là "Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ",Bbiến cố là "Cả hai thẻ được rút ngắn là thẻ chẵn".Khibiến cố đó "Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẵn" à . Do biến cốhai A và B xung khắc, nên .Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên ta có Do Quy tắc cộng xác suất đó cho nhbiến cốiều được phát biểu như s u : Chbiến cốo k đôi một xung khắc.Khi ó Biến cố Cho A là mbiến cốột .Khi biến cốđó "Không xảy ra A", kí hiệu là ,được gọi biến cố đốilà của A. N ếu tập hợplà ckết quả thuận lợiác cho A ttập hợphì ckết quả thuận lợiác c ho 4
là \ .Ta nói A và là hbiến cố đốiai nh u. CH Ý Hbiến cố đốiai nhau là hbiến cố xung khắcai .Tuy nhiên hbiến cố xung khắcai chưa chắc là hbiến cố đốiai nhau.Chẳng hạn trong ví dụ 2,A và B là hbiến cố xung khắcai nhưng không phải là hbiến cố đốiai nh u. ĐỊNH LÍ Cbiến cốho Xác suất A. cBiến cố đốiủ a là 3) Chứng mi nh Kí hi ệu . Do và A là hbiến cố xung khắcai nên theo công thức (1) ta có .Rõ ràbiến cống S luôn xảy ra nên S biến cố chắc chắnlà .V ậy .Suy r . Ví dụ 4: Một hộp đựng 4 viên bi xanh,3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng.Chọn ngẫu nhiên 2 viên i. a)Tíxác suấtnh để chọn được 2 viên bi cùng m u. b)Tíxác suấtnh để chọn được 2 viên bi khác m u. G ải a) Gọi A biến cốlà "Chọn được 2 viên bi xanh",B biến cốlà "Chọn được 2 viên bi đỏ",C biến cốlà "Chọn được 2 viên bi vàng" và H biến cốlà "Chọn được 2 viên bi cùng màu".Ta có và cbiến cốác A,B,C đôi một xung kh . Vậy theo công thức (2) ,ta c . Ta c .V ậy Biến cốb) "Chọn được 2 viên bi khác màu" chính biến cốl à .Vậy theo công thức (3), ta có Quy tắc nhân xác aBiến cố gia Cho haibiến cố A và BBiến cố. "Cả A và B cùng xảy ra",kí hiệu là AB,được gọi là giao của haibiến cố A và B Nếu và lần lượt là tập hơp cáckết quả thuận lợi cho A và B thìtập hợp cáckết quả thuận lợi cho AB là Ví dụ 5: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em.Gọi A làbiến cố "Bạn đó là học sinh giỏi toán", B biến cốlà "Bạn đó là học sinh giỏi Văn".Khi đó AB biến cốlà "Bạn đó là học sinh giỏi cả Văn và Toán". Một cách t ng quábiến cốt :Biến cố Cho k . "biến cốT ất cả k đều xảy ra ", kí hiệu là ,được gọi là gibiến cốao c a k. b. Biến ộc lbiến cốập Hai A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xbiến cốảy ra của này không làm ảnh hưởng tới xác xuất xbiến cốảy ra của kia. Ví dụ 6: Xét phép thử T là "Gieo một đồng xu liên tiếp hai lần"biến cố.Gọi A là "Lần gieo thứ nhất đồng xu hiện mặt xbiến cốấp", B là "Lần gieo thứ hai đồng xu xuất hiện mặt ngửa".Khi đó A vàbiến cố độc lập B là hai với nhau. Nhận xébiến cốt.Nếu hai A,B độc lập với nhau thì A và và B ; và cũng độc lập với nhau. Một cách t 5
ng quábiến cốt : Cbiến cốho k ; k này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy rbiến cốa của mỗi không làm ảnh xác suấthưởng tới xảy rbiến cốa của cá cQuy tắc nhân xác suất òn lại cxác suất. Để biến cố giaotính của , tquy tắc nhân xác suấta cần đến sau đâybiến cố. Nếu hai A và B độc lập với nh thì (4) Nhquy tắc nhân xác suấtận xét Từ ta t hấy : Nếbiến cốu thì hai A,B không độc lập với nhaubiến cố. Cho hai A và B ung khắc. a)Chứn g tỏ r ằng b)Nếu thbiến cốì thì hai A và B có độc lập với n au không?Ví dụ 7: Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lậpXác suất với nhau. để động cơ I và động cơ II chạy tốt lầ n l ượt là và xác suất.Hãy ính đẻ : a)Cả hai động cơ đều hạy tốt ; b)Cả hai động cơ đều không chạy tốt; c)Có ít nhất một động cơ chạy tốt. Giải a.biến cố Gọi A là "Động cơ I chạy biến cốtốt",B là "Động cơ II chạy biến cốtốt" C là "Cả hai động cơ đều chạy tốt".Ta thấy Abiến cố độc lập,B là hai vớ i hau và . Theo công thức (4),ta có b.biến cố Gọi D là "Cả hai động cơ đều chạy không tốt ".Ta biến cốt hấy .Hai và độc lập với nhau nên c.biến cố Gọi K là "Có ít nhất một động cơ chạy tốbiến cố đốit",khi đó biến cố củ k là Quy tắc nhân xác suất D. Do đó biến cốcho nhiều được phát biểu như biến cốs au : Nếu độc lập với hau thì 1. biến ngẫu nhiên rời rạc Khái niệm Ví dụ 1. Gieo đồng xu 5 lần liên tiếp.Khí hiệu X là số lần xuất hiện mt ngửa.Đạ i lượng X có các đặc iểm sau : - Giá trị của X là một số thuộc tập {0,1, ,3,4,5} ; - Giá trị của X là ngẫu nhiên, không đoán tr ớc được . Ta nóibiến ngẫu nhiên rời rạc X là một Một cách hái quát : Đại lượng X được biến ngẫu nhiên rời rạcgọi là một nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên,không dự đoán rướPhân bố xác xuất của biến ngẫu nhiên rời rạc được. 2. Giả sbiến ngẫu nhiên rời rạcử X là một nhận cá giá trị { } . Để hiểu rõ hơn về X,ta thường quxác suấtan tâm đến để X nh ận giá trị tức là c c số với . Các thông tin về X như vậy được trình bày dưới dạng bảng Bảng này được gphân bố xác xuất của biến ngẫu nhiên rời rạcọi là bảng X.Người ta chứng minh được rằng trong bảng tổng các số ở dòng ứ 2 bằng Ví dụ 2. Một số vụ vi phạm luật giao thông trên đoạn đường A vào tối thứ bảy hàng tbiến ngẫu nhiên rời rạcuần là một X.Giả sử X có bảxác suấtng phân bố . Nhờ vậy ta biết đượcxác suất chẳng hạn tối thứ bảy trên đoạn đường A không có vụ vi phạm luật giao thông nàoxác suất là 0,1 và để xảy ra nhiều nhất một vụ vi phạm luật gia o thôngxác suất là . Tính để tối thứ bảy trên đoạ đường A : a)Có hai vụ vi phạm luật g 6
ao thông ; b)Có nhiều hơn ba vụ vi phạm luật iao thông. Ví dụ 3. Một túi đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh.Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi.Gọi X là số viên bi xanh trong 3 viên bi được chọn ra.Rõbiến ngẫu nhiên rời rạc ràng X là nhận giá trị trong tập {0,1,2,3}. Để lập bảxác suấtng phân bố của X ta phảxác suấti tính các Số trường hợp ó thể là xác suất. Ta có là chọn được cả 3 viên bi đỏ.Số cách chọn 3 viê n bi đ là .V ậy xác suất. Ta có là chọn được 1 viên bi xanh và 2 viên b i đỏ.Ta có cách chọn 1 viên bi xanh và cách chọn 2 viên quy tắc nhânbi đỏ.T heo ,ta có cách chọn 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ.Vậy H 2.H ãy tính và rồi lập bảxác suấtng phân bố X. 3. Kì vọng ỊNH NGHĨAbiến ngẫu nhiên rời rạc Cho X là với tập gi trKì vọngị là { }. của X kí hiệu là E(X) , là một sĩ được tính theo c ng th ức , ở đó Ý nghĩa : E(X) là một số cho ta một ý niệm về độ lớn trung bình của kì vọngX. Vì thế E(X) còn được gọi là gá trị trung b nh của X. Kì vọngNhận xét: của X không nhất thiết thuộc tập các giá rị của X. Ví dụ 4. Gọi X là số vụ vi phạm luật giao thông trong đêm thứ bảy ở đoạng đường A nói trong ví dụ 2 Tính E(X) G i i Ta có . (Như vậy ở đoạn đường A mỗi tối thứ bảy có trung bình 2,3 vụ vi phạm luật gi o tPhương saihôngđộ lệch chuẩn ). và a) ương sai ĐỊNH NGHĨbiến ngẫu nhiên rời rạcA Cho X là với tập g á Phương sai trị là { } của X,kí hiệu là V(X) , là một số được tính the ông t hức , ở đó vàPhương sai Ý nghĩa : là một số không âm.Nó cho ta một ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị Phương saitrung bình. càng lớn thì độ phân tán nà càớn. b) Đ ệch chuẩn ĐỊNH NGHĨA Căn phương saibậc hai của , kí hiệu là Ví dụ 5. Gọi X là số vụ vi phạm luật giao thông vào tối thứ bảy nói trong vphương saií dụđộ lệch chuẩn 2.Tính 7
và của X. Giải Từ ví dụ 4 ta có .Từ cônphương saig thức t nh ,ta. Do đó lệc h chu n là CHÚ Ý Có thể chứng mi nh ược rằng (1) Trong thực hành,ta thường dùng công thứcphương sai 1) để tính . Ví dụ 6: Dựng công thứcphương sai (1) để tính của số vụ vi phạm luật giao thông trong v 8