intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập Xác suất thống kê có lời giải - Diệp Hoàng Ân

Chia sẻ: Trần Ngọc Lâm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:125

Thêm vào BST
Báo xấu
1.557
lượt xem 551
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là bài tập Xác suất thống kê có lời giải do Diệp Hoàng Ân biên soạn sẽ giúp các bạn sinh viên hiểu hơn về cách giải các bài tập Toán về tương quan và hồi quy, các kiểm định giả thiết, ước lượng tham số, lý thuyết mẫu,...Mời các bạn tham khảo để có kỳ thi kết thúc môn đạt kết quả cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Xác suất thống kê có lời giải - Diệp Hoàng Ân

  1. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân BÀI T P XÁC SU T TH NG KÊ 1
  2. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân CHƯƠNG 1: XÁC SU T 1.1. M t h p có 100 t m th như nhau ư c ghi các s t 1 n 100, Rút ng u nhiên hai th r i t theo th t t trái qua ph i. Tính xác su t n a/ Rút ư c hai th l p nên m t s có hai ch s . b/ Rút ư c hai th l p nên m t s chia h t cho 5. Gi i a/ A :“Hai th rút ư c l p nên m t s có hai ch s ” A92 9.8 P ( A) = 2 = ≈ 0, 0073 A100 100.99 b/ B : “Hai th rút ư c l p nên m t s chia h t cho 5” S chia h t cho 5 t n cùng ph i là 0 ho c 5. có bi n c B thích h p v i ta rút th th hai m t cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1 trong 99 th còn l i t vào v trí âu. Do ó s trư ng h p thu n l i cho là 99.20 99.20 P ( B) = 2 = 0, 20 A100 1.2. M t h p có ch a 7 qu c u tr ng và 3 qu c u en cùng kích thư c. Rút ng u nhiên cùng m t lúc 4 qu c u. Tính xác su t trong 4 qu c u rút ư c có a/ Hai qu c u en. b/ Ít nh t 2 c u en c/ Toàn c u tr ng Gi i Rút ng u nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu c u nên s trư ng h p ng kh 4 năng là C10 a/ A :”trong 4 qu c u rút có 2 qu c u en” C32 .C72 P ( A) = 4 = 0,30 C10 b/ B :”trong 4 qu c u ư c rút có ít nh t 2 qu c u en” C32 .C7 + C3 .C7 1 2 3 1 P ( B) = 4 = C10 3 c/ C :”trong 4 qu c u ư c ch n có toàn c u tr ng” 2
  3. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 4 C7 1 P (C ) = 4 = C10 6 1.3. M t h p thu c có 5 ng thu c t t và 3 ng kém ch t lư ng. Ch n ng u nhiên l n lư t không tr l i 2 ng. Tính xác su t : a/ C hai ng ư c ch n u t t. b/ Ch ng ư c ch n ra u tiên là t t. c/ trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t. Gi i Ch n ng u nhiên l n lư t không tr l i 2 trong 8 ng nên các trư ng h p ng kh năng là A82 . A52 a/ A :” C hai ng ư c ch n u t t” P ( A ) = ≈ 0,357 A82 1 1 C3 .C5 b/ B :” Ch ng ư c ch n ra u tiên là t t” P ( B ) = 2 ≈ 0, 268 A8 A32 c/ C :” trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t” P ( C ) = 1 − ≈ 0,893 A82 1.4. M t h p ng 15 qu bóng bàn trong ó có 9 qu m i. L n u ngư i ta l y ng u nhiên 3 qu thi u, sau ó l i tr vào h p. L n th hai l y ng u nhiên 3 qu . Tính xác su t c 3 qu l y ra l n sau u m i. Gi i t A :” c 3 qu l y ra l n sau u m i” Bi :” Trong 3 qu l y ra thi u có i qu m i” i ∈ {0;1; 2;3} Ta th y các { B0 ; B1 ; B2 ; B3 } l p thành nhóm y các bi n c , theo công th c xác su t toàn ph n P (A) = P (B0 )P (A | B0 ) + P (B1 )P (A | B1 ) + P (B2 )P (A | B2 ) + P (B3 )P (A | B3 ) 1 = (20.84 + 135.56 + 216.35 + 84.20) ≈ 0, 089 207025 1.5. T m t l p có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ngư i ta ch n ng u nhiên 5 sinh viên l p Ban cán b l p (BCB). Tính xác su t 3
  4. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân a/ BCB g m 3 n và 2 nam, b/ BCB có ít nh t m t n , c/ BCB có ít nh t hai nam và hai n . Gi i t Ak : “BCB có k nam sinh viên” ( k ∈ {0,1, 2,3, 4,5} ), chúng ta có: k 5− k C12. C8 P ( Ak ) = C5 20 a/ BCB g m 3 n và 2 nam. Xác su t ph i tính: 2 3 C12. C 8 P( A2 ) = = 77 C5 323 20 b/ t N: “BCB có ít nh t m t n ”, thì N = A5 . Do ó, P( N ) = P( A5 ) = 1 − P( A5 ) 5 0 C12. C 8 =− = 1 − 33 = 613 C5 646 646 20 c/ t H: “BCB có ít nh t hai nam và hai n ”. Do ó, P ( H ) = P ( A2 ) + P ( A3 ) 3 2 = 77 + C 12. C 8 = 616 323 C5 969 20 1.6. T m t h p ch a 8 viên bi và 5 viên bi tr ng ngư i ta l y ng u nhiên 2 l n, m i l n 1 viên bi, không hoàn l i. Tính xác su t l y ư c a/ 2 viên bi ; b/ hai viên bi khác màu; c/ viên bi th hai là bi tr ng. Gi i V i i ∈ {1, 2} , ăt: Ti : “viên bi l y ra l n th i là bi tr ng”, Di : “viên bi l y ra l n th i là bi ”. a/ t A :“l y ư c 2 viên bi ”, chúng ta có: P ( A) = P ( D1D2 ) = P ( D1 ) .P ( D2 / D1 ) = 8 . 7 = 14 13 12 39 b/ t B : “l y ư c hai viên bi khác màu”, chúng ta có: 4
  5. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân P ( B ) = P (T1 D2 + D1T2 ) = P (T1 D2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ) .P ( D2 / T1 ) + P ( D1 ) .P (T2 / D1 ) Suy ra: P ( B) = 5 8 + 8 5 = 20 13 12 13 12 39 c/ T2 = T1T2 + D1T2 , nên xác su t ph i tính là: P (T2 ) = P (T1T2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ) .P (T2 / T1 ) + P ( D1 ) .P ( D2 / T1 ) suy ra P (T2 ) = 5 4 + 8 5 = 5 13 12 13 12 13 1.7. M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ngư i, g m 5 nam và 3 n n p ơn xin d tuy n, và m i ngư i u có cơ h i ư c tuy n như nhau. Tính xác su t trong 4 ngư i ư c tuy n, a) có duy nh t m t nam; b) có ít nh t m t n . Gi i t Ak : “Có k nam ư c tuy n trong 4 nhân viên” k ∈ {1,2, 3, 4} 1 3 C 5 .C 3 5 G i A : “có duy nh t 1 nam” P ( A) = P ( A1 ) = 4 = C8 70 a) G i B : “có ít nh t 1 n ” C 54 13 P ( B ) = 1 − P (A4 ) = 1 − = C 84 14 1.8. M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ngư i, g m 5 nam và 3 n n p ơn xin d tuy n, và m i ngư i u có cơ h i ư c tuy n như nhau. Tính xác su t trong 4 ngư i ư c tuy n, a/ có không quá hai nam; b/ có ba n , bi t r ng có ít nh t m t n ã ư c tuy n. Gi i t Ak : “Có k nam ư c tuy n trong 4 nhân viên” k ∈ {1,2, 3, 4} a/ G i C : “có không quá 2 nam” C 5 .C 3 + C 52 .C 32 1 1 3 P (C ) = P (A1 ) + P (A2 ) = = C 84 2 b/ G i D : “ch n ra 3 n , bi t r ng có ít nh t 1 n ư c tuy n”. G i B : “Có ít nh t m t n ư c ch n”. 5
  6. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân C 54 13 Ta có P ( B ) = 1 − P (A4 ) = 1 − = C 84 14 P (A1 ) 1 P ( D ) = P (A1 | B ) = = P (B ) 13 1.9. M t c a hàng sách ư c lư ng r ng: Trong t ng s các khách hàng n c a hàng, có 30% khách c n h i nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách th c hi n c hai i u trên. G p ng u nhiên m t khách trong nhà sách. Tính xác su t ngư i này a/ không th c hi n c hai i u trên; b/ không mua sách, bi t r ng ngư i này ã h i nhân viên bán hàng. Gi i t A : “khách hàng c n tư v n” B : “khách hàng c n mua sách” Theo ta có: P ( A) = 0,3; P (B ) = 0, 2; P (AB ) = 0,15 a/ Xác su t khách hàng không c n mua sách cũng không c n tư v n là: 3 2  15  13 ( ) ( ) ( ) ( ) P A.B = P A + P B − P AB = 1 − 10 + 1 − − 1 − = 10  100  20 b/ không mua sách, bi t r ng ngư i này ã h i nhân viên bán hàng. 3 15 ( ) = P (A) − P (AB ) = 10 − 100 = 1 P AB ( P B /A = ) P (A) P ( A) 3 2 10 1.10. M t cu c i u tra cho th y, m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i s n ph m X , 50% dùng lo i s n ph m Y và trong s nh ng ngư i dùng Y , có 36,5% dùng X . Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân trong thành ph ó, tính xác su t ngư i y a/ Dùng c X và Y ; b/ Không dùng X , cũng không dùng Y . Gi i t A : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph m X ” B : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph m Y ” Theo bài ta có: P (A ) = 0, 207; P ( B ) = 0,5; P ( A | B ) = 0,365 a) Xác su t ngư i dân ó dùng c X và Y là P ( AB ) = P ( B ) .P ( A / B ) = 0,5.0,365 = 0,1825 b) Xác su t ngư i dân ó không dùng c X và Y là ( ) ( ) ( ) ( ) P A.B = P A. + P B − P AB = 0, 4755 1.11. 6
  7. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân M t cu c i u tra cho th y, m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i s n ph m X , 50% dùng lo i s n ph m Y và trong s nh ng ngư i dùng Y , có 36,5% dùng X . Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân trong thành ph ó, tính xác su t ngư i y a/ Dùng c X và Y ; b/ Dùng Y , bi t r ng ngư i y không dùng X . Gi i t A : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph m X ” B : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph m Y ” Theo bài ta có: P ( A) = 0,207; P (B ) = 0,5; P (A / B ) = 0,365 a/ Xác su t ngư i dân ó dùng c X và Y là P ( AB ) = P ( B ) .P ( A / B ) = 0,5.0,365 = 0,1825 b/ Xác su t ngư i dân ó dùng Y , bi t r ng không dùng X là ( ) = P (B ) − P (AB ) = 0,5 − 0,1852 = 0, 404 . P AB ( P B /A = ) P (A) P ( A) 1 − 0, 207 1.12. Theo m t cu c i u tra thì xác su t m t h gia ình có máy vi tính n u thu nh p hàng năm trên 20 tri u (VN ) là 0,75. Trong s các h ư c i u tra thì 60% có thu nh p trên 20 tri u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t m t h gia ình ư c ch n ng u nhiên a/ có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri u; b/ có máy vi tính, nhưng không có thu nh p trên 20 tri u. Gi i t A : “H gia ình ư c ch n ng u nhiên có máy vi tính” B : “H gia ình ư c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm trên 20 tri u” Theo bài ta có: P (A) = 0,52; P ( B ) = 0, 6; P ( A / B ) = 0, 75 a/ Xác su t h gia ình ư c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri u là: P ( AB ) = P ( B ) .P ( A / B ) = 0, 6.0, 75 = 0, 45 b/ Xác su t h gia ình ư c ch n có máy vi tính nhưng thu nh p ít hơn 20 tri u là: ( ) P AB = P ( A) − P ( AB ) = 0,52 − 0, 45 = 0, 07 1.13. Theo m t cu c i u tra thì xác su t m t h gia ình có máy vi tính n u thu nh p hàng năm trên 20 tri u (VN ) là 0,75. Trong s các h ư c i u tra thì 60% có thu nh p trên 20 tri u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t m t h gia ình ư c ch n ng u nhiên a/ Có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri u; b/ Có thu nh p hàng năm trên 20 tri u, bi t r ng h ó không có máy vi tính. 7
  8. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi i t A : “H gia ình ư c ch n ng u nhiên có máy vi tính” B : “H gia ình ư c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm trên 20 tri u” Theo bài ta có: P (A) = 0,52; P ( B ) = 0, 6; P ( A / B ) = 0, 75 a/ Xác su t h gia ình ư c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri u là: P ( AB ) = P ( B ) .P ( A / B ) = 0, 6.0, 75 = 0, 45 b/ Xác su t h gia ình ư c ch n có thu nh p hàng năm trên 20 tri u nhưng không có máy vi tính là: ( ) = P (B ) − P (AB ) = 0, 6 − 0, 45 = 0,3125 P AB ( P B /A = ) P (A ) P (A) 1 − 0,52 1.14. Trong m t i tuy n có hai v n ng viên A và B thi u. A thi u trư c và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh hư ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có 60% kh năng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh năng này c a B ch còn 30%. Tính xác su t c a các bi n c sau: a/ i tuy n th ng hai tr n; b/ i tuy n th ng ít nh t m t tr n. Gi i t M i : “v n ng viên i th ng” v i i ∈ {A, B} Theo ( ) bài ta có: P (M A ) = 0,8; P ( M B / M A ) = 0, 6; P M B / M A = 0, 3 a/ Xác su t i tuy n th ng 2 tr n là P ( M AM B ) = P ( M A ) .P ( M B / M A ) = 0,8.0, 6 = 0, 48 b/ i tuy n th ng ít nh t m t tr n nghĩa là có ít nh t m t trong hai v n ng viên A, ho c B th ng. Xác su t c n tính là: P ( M A ∪ M B ) = P ( M B ) + P ( M A ) − P ( M A .M B ) = 0,54 + 0,8 − 0, 48 = 0,86 1.15. Trong m t i tuy n có hai v n ng viên A và B thi u. A thi u trư c và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh hư ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có 60% kh năng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh năng này c a B ch còn 30%. Tính xác su t c a các bi n c sau: a/ B th ng tr n; b/ i tuy n ch th ng có m t tr n. Gi i t M i : “v n ng viên i th ng” v i i ∈ {A, B} Theo ( ) bài ta có: P (M A ) = 0,8; P ( M B / M A ) = 0, 6; P M B / M A = 0, 3 a/ Xác su t B th ng tr n là: ( ) ( ) P ( M B ) = P ( M A ) P ( M B | M A .) + P M A .P M B | M A = 0,54 8
  9. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ t D : “ i tuy n ch th ng 1 tr n” Xác su t i tuy n ch th ng 1 tr n là: ( ) ( ) P ( D ) = P M A .M B + P M A .M B = P ( M A ) − P ( M A .M B ) + P ( M B ) − P ( M A .M B ) = P ( M A ) + P ( M B ) − 2.P ( M A .M B ) = 0,8 + 0,54 − 2.0, 48 = 0,38 ` 1.16. thành l p i tuy n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t ch c m t cu c thi tuy n g m 3 vòng. Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vòng th hai l y 70% thí sinh ã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ã qua vòng th hai. vào ư c i tuy n, thí sinh ph i vư t qua ư c c 3 vòng thi. Tính xác su t m t thí sinh b t kỳ a/ ư c vào i tuy n; b/ B lo i vòng th ba. Gi i t Ai : “thí sinh ư c ch n vòng i ” v i i ∈ {1, 2,3} Theo bài ta có: P ( A1 ) = 0,8; P ( A2 | A1 ) = 0, 7; P ( A3 | AA2 ) = 0, 45 1 a/ Xác su t thí sinh ó ư c vào i tuy n là P ( AA2A3 ) = P ( A1 ) .P ( A2 | A1 ) .P ( A3 | AA2 ) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252 1 1 b/ Xác su t thí sinh ó b lo i vòng th III là ( ) ( P A1A2 A3 = P ( A1 ) .P ( A2 / A1 ) .P A3 / A1A2 ) = P ( A1 ) .P ( A2 | A1 ) . (1 − P ( A3 | AA2 ) ) = 0,8.0, 7.0,55 = 0, 308 1 1.17. thành l p i tuy n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t ch c m t cu c thi tuy n g m 3 vòng. Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vòng th hai l y 70% thí sinh ã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ã qua vòng th hai. vào ư c i tuy n, thí sinh ph i vư t qua ư c c 3 vòng thi Tính xác su t m t thí sinh b t kỳ a/ ư c vào i tuy n; b/ B lo i vòng th hai, bi t r ng thí sinh này b lo i. Gi i t Ai : “thí sinh ư c ch n vòng i ” v i i ∈ {1, 2,3} Theo bài ta có: P ( A1 ) = 0,8; P ( A2 | A1 ) = 0, 7; P ( A3 | AA2 ) = 0, 45 1 a/ Xác su t thí sinh ó ư c vào i tuy n là P ( AA2A3 ) = P ( A1 ) .P ( A2 | A1 ) .P ( A3 | AA2 ) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252 1 1 b/ t K: “Thí sinh ó b lo i” ( ) ( ) ( ) P ( K ) = P A1 + P A1 A2 + P AA2 A3 = 1 − P ( A1 ) + P ( A1 ) − P ( AA2 ) + P AA2 A3 1 1 1 ( ) 9
  10. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân ( ) = 1 − P ( A1 ) .P ( A2 / A1 ) + P AA2 A3 = 1 − 0,8.0, 7 + 0,308 = 0, 748 1 V y, xác su t thí sinh ó b lo i vòng II, bi t r ng thí sinh ó b lo i là: ( P A2 .K ) = P (A .A ) = P (A ) .P (A 1 2 1 2 | A1 ) = 0,8 (1 − 0, 7 ) = 0, 3209 ( P A2 | K = ) P (K ) P (K ) P (K ) 0, 748 1.18. M t lô hàng có 9 s n ph m gi ng nhau. M i l n ki m tra, ngư i ta ch n ng u nhiên 3 s n ph m; ki m tra xong tr s n ph m l i lô hàng. Tính xác su t sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph m u ư c ki m tra. Gi i Chia 9 s n ph m thành 3 nhóm. G i Ai : “Ki m tra nhóm i ” i ∈ {1, 2,3} t A :”Sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph m u ư c ki m tra” C 63 C 33 5 P (A1A2A3 ) = P (A1 )P (A2 | A1 )P (A3 | A1A2 ) = 1. 3 . 3 = C9 C9 1764 1.19. M t l p h c c a Trư ng i h c AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n sinh viên. S sinh viên quê An Giang chi m t l 40% trong n sinh viên, và chi m t l 60% trong nam sinh viên. a) Ch n ng u nhiên m t sinh viên c a l p. Tính xác su t ch n ư c m t sinh viên quê An Giang. N u bi t r ng sinh viên v a ch n quê An Giang thì xác su t sinh viên ó là nam b ng bao nhiêu? b) Ch n ng u nhiên không hoàn l i hai sinh viên c a l p. Tính xác su t có ít nh t m t sinh viên quê An Giang, bi t r ng l p h c có 60 sinh viên. Gi i a) t: 2 A : “Ch n ư c sinh viên nam” P ( A) = 3 1 B : “Ch n ư c sinh viên n ” P ( B ) = 3 C : “Ch n ư c sinh viên quê An Giang” 8 P (C ) = P ( AC ) + P ( BC ) = P ( A) P (C | A) + P ( B ) P (C | B ) = 15 P (AC ) P (A)P (C | A) 3 Do ó, P (A | C ) = = = P (C ) P (C ) 4 b) L p có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n S sinh viên Nam quê An Giang: 24 S sinh viên N quê An Giang: 8 Nên t ng s sinh viên quê An Giang là 32 sinh viên F : “ít nh t m t sinh viên quê An Giang” 2 C 28 232 P (F ) = 1 − P (F ) = 1 − 2 = C 60 295 1.20. 10
  11. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Có ba h p A, B và C ng các l thu c. H p A có 10 l t t và 5 l h ng, h p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C có 5 l t t và 5 l h ng a/ L y ng u nhiên t m i h p ra m t l thu c, tính xác su t ư c3l cùng lo i. b/ L y ng u nhiên m t h p r i t h p ó l y ra 3 l thu c thì ư c 1 l t t và 2 l h ng. Tính xác su t h p A ã ư c ch n. Gi i a/ và Ai :“l l y ra t h p th i là t t” i ∈ {1, 2, 3} Nên, xác su t ư c 3 l cùng lo i P (A1.A2 .A3 + A1.A2 .A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A1 )P (A2 )P (A3 ) 10 6 5 5 4 5 4 = . . + . . = 15 10 10 15 10 10 15 b/ t H i :“L y ư c h p th i ” i ∈ {A, B,C } ; X :“L y ư c 2 l h ng và 1 l t t” P (X ) = P (H A ) P (X | H A ) + P (H B ) P (X | H B ) + P (HC ) P (X | HC ) 2 1 2 1 2 1 1 C 5C 10 1 C 4C 6 1 C 5C 5 5113 = 3 + 3 + 3 = 3 C 15 3 C 10 3 C 10 16380 Khi ó xác su t h p A ư c ch n P (XH A ) P (H A ) P (X | H A ) 1200 P (H A | X ) = = = = 0, 2347 P (X ) P (X ) 5113 1.21. Có hai h p B và C ng các l thu c. H p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C có 5 l t t và 5 l h ng. L y ng u nhiên hai l thu c t h p B b vào h p C, r i ti p theo l y ng u nhiên m t l thu c t h p C thì ư c l h ng. Tính xác su t a/ L h ng ó là c a h p B b sang; b/ Hai l thu c b t h p B vào h p C u là l h ng. Gi i G i C k : “Hai l thu c l y t h p B b vào h p C có k l h ng” k ∈ {0,1, 2} và t D : “l thu c l y t h p C (sau khi ã b 2 l t B b sang) b h ng” 29 P (D ) = P (C 0 ) P (D | C 0 ) + P (C 1 ) P (D | C 1 ) + P (C 2 ) P (D | C 2 ) = 60 a/ l h ng ó là c a h p B b sang P (H 2D ) P (C 1 ) P (D | C 1 ) + P (C 2 ) P (D | C 2 ) P (H 2 | D ) = = P (D ) P (D ) C 1C 1 1 C 4 2  60 2 4 =  6 2 4 . + 2 .  =  C 10 12 C 10 12  29 29 11
  12. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ hai l thu c b t h p B vào h p C u là l h ng P (C 2D ) P (C 2 ) P (D | C 2 )  C 2 C 1  60 42 P (C 2 | D ) = = =  2 . 1  4 7 = P (D ) P (D ) C 10 C 12  29 261 1.22. Trong m t i tuy n có 3 v n ng viên A, B và C thi u v i xác su t chi n th ng l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s m i ngư i thi u m t tr n c l p nhau.Tính xác su t : a/ i tuy n th ng ít nh t m t tr n, b/ i tuy n th ng 2 tr n. Gi i t: A : “v n ng viên A chi n th ng” P ( A) = 0, 6 B : “v n ng viên B chi n th ng” P ( A) = 0, 7 C : “v n ng viên C chi n th ng” P ( A) = 0,8 a/ G i K : “ i tuy n th ng ít nh t 1 tr n” ( ) P (K ) = 1 − P A.B.C = 1 − P (A)P (B )P (C ) = 0, 976 b/ G i E : “ i tuy n th ng 2 tr n” ( ) ( ) P (E ) = P A.B.C + P A.B.C + P A.B.C = 0, 452 ( ) 1.23. Trong m t i tuy n có 3 v n ng viên A, B và C thi u v i xác su t chi n th ng l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s m i ngư i thi u m t tr n c l p nhau.Tính xác su t : a/ i tuy n th ng ít nh t m t tr n, b/ A thua trong trư ng h p i tuy n th ng 2 tr n. Gi i t: A : “v n ng viên A chi n th ng” P ( A) = 0, 6 B : “v n ng viên B chi n th ng” P ( A) = 0, 7 C : “v n ng viên C chi n th ng” P ( A) = 0,8 a/ G i K : “ i tuy n th ng ít nh t 1 tr n” ( ) P (K ) = 1 − P A.B.C = 1 − P (A)P (B )P (C ) = 0, 976 b/ A thua trong trư ng h p i tuy n th ng 2 tr n G i E : “ i tuy n th ng 2 tr n” ( ) ( ) P (E ) = P A.B.C + P A.B.C + P A.B.C = 0, 452 ( ) 12
  13. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân P (A.E ) P ( ABC ) 56 ( P A|E = ) P (E ) = P (E ) = 113 ≈ 0, 4956 1.24. Trong năm h c v a qua, trư ng i h c XYZ, t l sinh viên thi trư t môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. G p ng u nhiên m t sinh viên c a trư ng XYZ. a/ Tính xác su t anh ta trư t c hai môn Toán và Tâm lý; u c hai môn Toán và Tâm lý. b/ N u bi t r ng sinh viên này trư t môn Tâm lý thì xác su t anh ta u môn Toán là bao nhiêu? Gi i T : “sinh viên thi trư t môn Toán” P (T ) = 0,34 và L : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” P (L ) = 0, 205 khi ó P (L | T ) = 0, 5 a/ Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý P (T .L) = P (T ) P (L | T ) = 0, 34.0, 5 = 0,17 Xác su t sinh viên u c môn Toán và Tâm Lý ( ) P T .L = 1 − P (T ∪ L) = 1 − P (T ) − P (L ) + P (T .L ) = 0, 625 b/ Xác su t sinh viên u môn Toán, bi t r ng trư t môn Tâm Lý: ( ) = P (L) − P (TL) = P TL 7 ( P T |L = ) P (L ) P (L ) 41 . 1.25. Trong năm h c v a qua, trư ng i h c XYZ, t l sinh viên thi trư t môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. Ch n ng u nhiên 12 sinh viên c a trư ng XYZ. Nhi u kh năng nh t là s có bao nhiêu sinh viên thi trư t c hai môn Toán và Tâm lý. Tính xác su t tương ng. áp s G i T : “sinh viên thi trư t môn Toán” P (T ) = 0,34 và L : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” P (L ) = 0, 205 khi ó P (L | T ) = 0, 5 Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý P (T .L) = P (T ) P (L | T ) = 0, 34.0, 5 = 0,17 Nên, Sinh viên trư t c Toán và Tâm lý v i xác su t không i p = 0,17 . 13
  14. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Do ó, ch n 12 sinh viên nghĩa là th c hi n 12 phép th Bernoulli v i xác su t thành công (trư t c Toán và Tâm lý) không i p = 0,17 .s sinh viên nhi u kh năng trư t c hai môn (n + 1) p  = 13.0,17 = 2 .   2 2 10 Xác su t tương ng là P12 ( 2 ) = C 12 ( 0,17 ) . (1 − 0,17 ) = 0, 296 . 1.26. Trong năm h c v a qua, trư ng i h c XYZ, t l sinh viên thi trư t môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. Ph i ch n bao nhiêu sinh viên c a trư ng XYZ sao cho, v i xác su t không bé hơn 99%, trong s ó có ít nh t m t sinh viên u c hai môn Toán và Tâm lý. Gi i T : “sinh viên thi trư t môn Toán” P (T ) = 0,34 và L : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” P (L ) = 0, 205 khi ó P (L | T ) = 0, 5 Xác su t sinh viên u c môn Toán và Tâm Lý ( ) P T .L = 1 − P (T ∪ L) = 1 − P (T ) − P (L ) + P (T .L ) = 0, 625 G i n là s sinh viên c n ch n. Xác su t sinh viên u c hai môn Toán và Tâm Lý không i p = 0, 625 nên ta có quá trình Bernoulli B ( n, p ) . t E : “ ít nh t m t sinh viên u c hai môn Toán và Tâm Lý ”. Theo yêu c u bài toán ta ư c n P (E ) = 1 − Pn (0) = 1 − (1 − 0,625) ≥ 0, 99 n n ⇔ 0, 01 ≥ (0, 375) ⇔ ln 0, 01 ≥ ln (0, 375) ⇔ n ≥ 4, 69 V y, ch n ít nh t 5 sinh viên. 1.27. Ba máy 1, 2 và 3 c a m t xí nghi p s n xu t, theo th t , 60%, 30% và 10% t ng s s n ph m c a m t xí nghi p. T l s n xu t ra ph ph m c a các máy trên, theo th t , là 2%, 3% và 4%. L y ng u nhiên m t s n ph m t lô hàng c a xí nghi p, trong ó l n l n các s n ph m do 3 máy s n xu t. a/ Tính xác su t s n ph m l y ra là s n ph m t t. Ý nghĩa c a xác su t ó i v i lô hàng là gì? b/ N u s n ph m l y ư c là ph ph m, thì nhi u kh năng nh t là do máy nào s n xu t? Gi i t M i : “s n ph m l y ra do máy i s n xu t” v i i ∈ {1, 2,3} P ( M1 ) = 0, 6; P ( M 2 ) = 0,3; P ( M 3 ) = 0,1 Và T :“s n ph m l y ra là ph ph m” P (T | M 1 ) = 0, 98; P (T | M 2 ) = 0, 97; P (T | M 3 ) = 0, 96 14
  15. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân a/ T :”s n ph m l y ra là s n ph m t t” P (T ) = P (M 1 ) P (T | M 1 ) + P (M 2 ) P (T | M 2 ) + P (M 3 ) P (T | M 3 ) = 0, 975 Ý nghĩa, xác su t th hi n t l s n ph m t t c a lô hàng. b/ Xác su t l y ra s n ph m là ph ph m () P T = 1 − P (T ) = 0, 025 Theo công th c Bayes ( ) = P (M )P (T | M ) = 0, 6.0, 02 = 0, 48 P M 1.T ( ) PT P M1 | T = 1 1 () P (T ) 0, 025 P (M .T ) P (M ) P (T | M ) 0, 3.0, 03 P (M | T ) = 2 2 2 = = = 0, 36 P (T ) P (T ) 2 0, 025 P (M .T ) P (M ) P (T | M ) 0,1.0, 04 P (M | T ) = 3 3 3 = = = 0,16 P (T ) P (T ) 3 0, 025 Do ó, s n ph m do máy 1 s n xu t ra ph ph m nhi u nh t. 1.28. Chia ng u nhiên 9 t m vé s , trong ó có 3 vé trúng thư ng, u cho 3 ngư i (m i ngư i 3 t m). Tính xác su t c 3 ngư i u ư c trúng thư ng. Gi i t Ai : “Ngư i mua vé th i ư c vé trúng thư ng” v i i ∈ {1, 2,3} C 3C 6 C 2C 4 C 1C 22 1 2 1 2 1 9 P (A1A2A3 ) = P (A1 ) P (A2 | A1 ) P (A3 | A1A2 ) = 3 . 3 . 3 = C9 C6 C3 28 1.29. Trong s các b nh nhân ang ư c i u tr t i m t b nh vi n, có 50% i u tr b nh A, 30% i u tr b nh B và 20% i u tr b nh C. T i b nh vi n này, xác su t ch a kh i các b nh A, B và C, theo th t , là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính t l b nh nhân ư c ch a kh i b nh A trong t ng s b nh nhân ã ư c ch a kh i b nh trong b nh vi n. Gi i t Ti : “b nh nhân i u tr b nh i ” v i i ∈ {A, B ,C } K : “b nh nhân ư c kh i b nh” Theo bài ta có: P (TA ) = 0,5; P (TB ) = 0,3; P (TC ) = 0, 2 và P (K / TA ) = 0, 7; P (K / TB ) = 0,8; P ( K / TC ) = 0,9 Xác su t b nh nhân kh i b nh là 15
  16. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân C P ( K ) = ∑ P (Ti ).P ( K / Ti ) = 0,5.0, 7 + 0,3.0,8 + 0, 2.0,9 = 0, 77 i =A Xác su t b nh nhân tr kh i b nh A là P (TA ) .P ( K | TA ) 0,5.0, 7 P (TA | K ) = = = 45, 45% P (K ) 0, 77 1.30. Có hai bình như sau: Bình A ch a 5 bi , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ch a 3 bi và 5 bi tr ng. Gieo m t con xúc x c vô tư: N u m t 3 ho c m t 5 xu t hi n thì ch n ng u nhiên m t bi t bình B; các trư ng h p khác thì ch n ng u nhiên m t bi t bình A. Tính xác su t ch n ư c viên bi . N u viên bi tr ng ư c ch n, tính xác su t m t 5 c a con xúc x c xu t hi n. Gi i 1 t X : “Gieo con xúc x c ư c m t 3 hoăc m t 5”, P (X ) = 3 D : “L y t bình ra m t bi là bi ”. Ta có 1 1 1 C3 2 C5 1 P (D ) = P (X )P (D | X ) + P (X )P (D | X ) = . 1 + . 1 = 3 C8 3 C 16 3 G i T : “m t viên bi ư c ch n là bi tr ng” 1 1 1 C5 2 C3 1 P (T ) = P (X )P (T | X ) + P (X )P (T | X ) = . 1 + . 1 = 3 C8 3 C 16 3 t E : “gieo con xúc x c ư c m t 5”. Xác su t m t 5 xu t hi n, bi t r ng bi ư c ch n là bi tr ng là 1 P (XT ) 1 P (X )P (T | X ) 1 1 5 5 P (E | T ) = = = .3. . = 2 P (T ) 2 P (T ) 2 3 8 16 1.31. Có hai bình như sau: Bình A ch a 5 bi , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ch a 3 bi và 5 bi tr ng. L y ng u nhiên 3 viên bi t bình A b vào bình B, r i t bình B l y ng u nhiên 1 viên bi thì ư c bi . Theo ý b n, viên bi ó v n thu c bình nào? Gi i G i Ak : “ có k bi trong 3 viên bi l y t bình A b vào bình B” v i k ∈ {0,1, 2,3} t F : “L y m t bi t bình B ra là bi ”. 3 3 1 2 C 11 3 C 5C 11 4 P (F ) = ∑ P (Ak )P (F | Ak ) = 3 . + 3 . + k =0 C 16 11 C 16 11 C 2C 1 5 C3 6 63 + 5 3 11 . + 5 . = 3 C 16 11 C 16 11 176 t G : “bi sau cùng l y t bình B”. 16
  17. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 1 C3 3 P (G ) = 1 = C 11 11 P (GF ) P (G ) 3 176 16 1 Do ó P (G | F ) = = = . = > . P (F ) P (F ) 11 63 21 2 V y, bi sau cùng nhi u kh năng nh t là c a bình B. 1.32. Có hai chu ng nuôi th . Chu ng th nh t có 1 con th tr ng và 5 con th nâu; chu ng th hai có 9 con th tr ng và 1 con th nâu. T m i chu ng b t ng u nhiên ra m t con nghiên c u. Các con th còn l i ư c d n vào m t chu ng th ba. T chu ng th ba này l i b t ng u nhiên ra m t con th . Tính xác su t con th b t ra sau cùng là m t con th nâu. Gi i 5 t A : “Th b t chu ng 1 ra nghiên c u là th nâu ” P (A) = 6 1 B : “Th b t chu ng 2 ra nghiên c u là th nâu” P (B ) = 10 G i N : “Th b t chu ng 3 ra nghiên c u là th nâu ” ( ) ( ) ( ) P (N ) = P (A.B.N ) + P A.B.N + P A.B.N + P A.B.N = P (A.B ) P (N | A.B ) + P (A.B ) P (N | A.B ) + + P (A.B ) P (N | A.B ) + P (A.B ) P (N | A.B ) = P (A) P (B ) P (N | A.B ) + P (A) P (B ) P (N | A.B ) + + P (A) P (B ) P (N | A.B ) + P (A) P (B ) P (N | A.B ) 4 6 5 5 38 = P (A) P (B ) 14 +P A P B 14 () ( ) 14 () + P A P (B ) + P (A) P B = 14 105 () 1.33. Ban giám c m t công ty liên doanh v i nư c ngoài ang xem xét kh năng ình công c a công nhân òi tăng lương hai nhà máy A và B. Kinh nghi m cho h bi t cu c ình công nhà máy A và B x y ra l n lư t v i xác su t 0,75 và 0,65. Ngoài ra, h cũng bi t r ng n u công nhân nhà máy B ình công thì có 90% kh năng công nhân nhà máy A ình công ng h . a/ Tính xác su t công nhân c hai nhà máy ình công. b/ N u công nhân nhà máy A ình công thì xác su t công nhân nhà máy B ình công ng h b ng bao nhiêu? Gi i t : A : “ Công nhân ình công nhà máy A” P (A) = 0, 75 17
  18. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân B : “Công nhân ình công nhà máy B” P (B ) = 0, 69; P (A | B ) = 0, 9 a/ Xác su t công nhân ình công 2 nhà máy là P ( AB ) = P ( A) .P ( A | B ) = 0, 65.0, 9 = 0, 585 b/ N u công nhân nhà máy A ình công thì xác su t công nhân nhà máy B ình công là P ( AB ) 0, 585 P ( B | A) = = = 0, 78 P ( A) 0, 75 1.34. M t nhân viên ki m toán nh n th y 15% các b n cân i thu chi ch a các sai l m. Trong các b n ch a sai l m, 60% ư c xem là các giá tr b t thư ng so v i các s xu t phát t g c. Trong t t c các b n cân i thu chi thì 20% là nh ng giá tr b t thư ng. N u m t con s m t b ng cân i t ra b t thư ng thì xác su t s y là m t sai l m là bao nhiêu? Gi i t A : “b n cân i thu chi ch a sai l m” P (A) = 0,15 B : “b n cân i thu chi ch a giá tr b t thư ng” P (B ) = 0, 2; P (B | A) = 0, 6 Xác su t 1 con s 1 b ng cân i t ra b t thư ng là 1 sai l m: P ( AB ) P ( A) .P ( B | A) 0, 15.0, 6 P (A | B ) = = = = 0, 45 P (B ) P (B ) 0, 2 1.35. M t hãng s n xu t m t lo i t l nh X ư c tính r ng kho ng 80% s ngư i dùng t l nh có c qu ng cáo t l nh do hãng y s n xu t. Trong s nh ng ngư i c qu ng cáo, có 30% mua lo i t l nh X; 10% không c qu ng cáo cũng mua lo i t l nh X. Tính xác su t m t ngư i tiêu dùng ã mua lo i t l nh X mà có c qu ng cáo. Gi i t A : “ngư i ó c qu ng cáo” P (A) = 0, 8 B : “ngư i ó mua t l nh X” P ( B / A) = 0, 3; P B / A = 0, 1 ( ) Trư c tiên tính xác su t ngư i mua t l nh X ( ) ( ) ( P ( B ) = P ( AB ) + P AB = P ( A ) .P ( B / A ) + P A .P B / A = 0, 26 ) Xác su t 1 ngư i tiêu dùng ã mua lo i t l nh X mà có c qu ng cáo: P ( AB ) P ( A ) .P ( B | A ) 0, 8.0, 3 12 P (A | B ) = = = = P (B ) P (B ) 0, 26 13 1.36. Trên m t b ng qu ng cáo, ngư i ta m c hai h th ng bóng èn c l p. H th ng I g m 4 bóng m c n i ti p, h th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t c là 0,1. Vi c h ng c a m i bóng c a m i h th ng ư c xem như c l p. Tính xác su t a/ H th ng I b h ng; 18
  19. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ H th ng II không b h ng. Gi i a/ t Ai :”bóng èn th i trong h th ng I bi h ng” i ∈ {1, 2, 3, 4} . Xác su t h th ng I b h ng P (A) = P (A1 + A2 + A3 + A4 ) = 1 − P (A1.A2 .A3 .A4 ) = 1 − 0, 94 = 0, 3439 b/ t B j :”bóng èn th j trong h th ng II bi h ng” j ∈ {1,2, 3} . Xác su t h th ng II không b h ng P (B1 + B2 + B3 ) = 1 − P (B1.B2 .B3 ) = 1 − 0,1.0,1.0,1 = 0, 999 1.37. Trên m t b ng qu ng cáo, ngư i ta m c hai h th ng bóng èn c l p. H th ng I g m 4 bóng m c n i ti p, h th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t c là 0,1. Vi c h ng c a m i bóng c a m i h th ng ư c xem như c l p. Tính xác su t a/ C hai h th ng b h ng; b/ Ch có m t h th ng b h ng. Gi i a/ t Ai : “bóng èn th i trong h th ng I bi h ng” i ∈ {1, 2, 3, 4} . và B j :”bóng èn th j trong h th ng II bi h ng” j ∈ {1,2, 3} . Xác su t h th ng I b h ng ( ) P (A) = P (A1 + A2 + A3 + A4 ) = 1 − P A1.A2 .A3 .A4 = 1 − 4.0, 9 = 0, 3439 Xác su t h th ng II b h ng là: P (B ) = P (B1.B2 .B3 ) = 0, 001 Nên, xác su t c hai h th ng b h ng là P (AB ) = P (A)P (B ) = 0, 3439.0, 001 = 0, 0003439 b/ Xác su t ch có m t h th ng b h ng P (AB + AB ) = P (A)P (B ) + P (A)P (B ) = 0, 34212 1.38. M t lô hàng g m r t nhi u bóng èn, trong ó có 8% bóng èn x u. M t ngư i n mua hàng v i qui nh: Ch n ng u nhiên 10 bóng èn em ki m tra và n u có nhi u hơn m t bóng èn x u thì không nh n lô hàng. Tính xác su t lô hàng ư c ch p nh n. Gi i Vi c ki m tra 10 bóng èn, nghĩa là th c hi n 10 phép th Bernoulli, v i xác su t “thành công” g p bóng x u p = 0, 08 (không i). Khi ó P10 (k ; 0, 08 ) = C n 0, 08k .0, 9210 −k , k = 0, 1, 2,..., 10 k ( k :s l n thành công trong 10 phép th ) t A : “nh n lô hàng” 19
  20. Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 10 9 P (A) = P10 (0; 0, 08) + P10 (1; 0, 08) = (0, 92) − C 10 0, 88. (0, 92) = 0, 812 1 1.39. M t nhóm nghiên c u ang nghiên c u v nguy cơ m t s c t i m t nhà máy i n nguyên t s gây ra s rò r phóng x . Nhóm nghiên c u nh n th y các lo i s c ch có th là: ho ho n, s gãy c a v t li u ho c sai l m c a con ngư i, và 2 hay nhi u hơn 2 s c không bao gi cùng x y ra. N u có h a ho n thì s rò r phóng x x y ra kho ng 20% s l n. N u có s gãy c a v t li u thì s rò r phóng x x y ra kho ng 50% s l n, và n u có s sai l m c a con ngư i thì s rò r s x y ra kho ng 10% s l n. Nhóm nghiên c u cũng tìm ư c xác su t : Ho ho n và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0010, gãy v t li u và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0015, sai l m c a con ngư i và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0012. Tìm xác su t a/ có ho ho n; có gãy v t li u và có sai l m c a con ngư i; b/ có m t s rò r phóng x ; c/ m t s rò r phóng x ư c gây ra b i s sai l m c a con ngư i. Gi i t A : “x y ra h a ho n” B : “x y ra gãy ” C : “x y ra sai l m c a con ngư i” D : “s rò r phóng x ” Ta có P (D | A) = 0,2; P (D | B ) = 0, 5; P (D | C ) = 0,1 P (DA) = 0, 001; P (DB ) = 0, 0015; P (DC ) = 0, 0012 a/ Xác su t có ho ho n là P ( AD ) P ( A) = = 0, 005 P ( D | A) Xác su t có gãy v t li u là P ( BD ) P (B ) = = 0, 003 P (D | B ) và xác su t sai l m c a con ngư i P (CD ) P (C ) = = 0, 0012 P (D |C ) b/ Xác su t có s rò r phóng x x y ra: P ( D ) = P ( AD ) + P ( BD ) + P (CD ) = 0, 001 + 0, 0015 + 0, 0012 = 0, 0037 c/ Xác su t m t s rò r phóng x ư c gây ra b i s sai l m c a con ngư i là P (CD ) 0, 0012 12 P (C | D ) = = = P (D ) 0, 0037 37 1.40. 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2