Đề kiểm tra chất lượng đội tuyển HSG môn Toán lớp 11 năm 2018 - 2019

Chia sẻ: Ha Van Quyen | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

58
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo "Đề kiểm tra chất lượng đội tuyển HSG năm 2018 - 2019" để có tài liệu chất lượng rèn luyện làm bài kiểm tra đạt điểm cao. Thực hành cùng các bài tập tổng hợp kiến thức môn học giúp bạn tiện theo dõi và ôn tập làm bài hiệu quả. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề kiểm tra chất lượng đội tuyển HSG môn Toán lớp 11 năm 2018 - 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HSG (Lần 1) THANH HÓA NĂM HỌC 20182019 Môn: TOÁN Lớp 11 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày kiểm tra: 12 tháng 01 năm 2019 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I: 1) Cho hàm số y = x 2 + 4(m + 1) x + 4m2 + 3 (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 sao cho x1.x2 − 2( x1 + x2 ) đạt giá trị nhỏ nhất. 2) Giải phương trình: 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1 � π � � π � 4 cos 2 2 x Câu II: 1) Giải phương trình: tan �2 x − �.tan �2 x + �= 4 � 4 tan x − cot x � � � x − 1 + 2 x + 1 = y + y + xy + 3 x 2 2 2) Giải hệ phương trình: x 4 + 3x − 6 x − 2 + 60 = 18( y 2 + 2 y ) Câu III: 1) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c 3abc . Tìm giá trị nhỏ bc ca ab nhất của biểu thức: P = + 3 + 3 a (b + 2c) b (c + 2a ) c ( a + 2b) 3 1 u1 = 2020un 2) Cho dãy số ( un ) như sau: 2 , (∀n �Ν, n �2) . Tính: L = lim . n4 un = un −1 + n 3 1 2 2018 2018 2 2019 2019 2 ( ) ( ) ( C2019 ) + 1 ( C2019 ) 2 2 Câu IV: 1) Tính tổng S = 1 C2019 + 2 C2019 + ... + 2019 2018 2 2) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2 AB . Trên đoạn thẳng BD lấy điểm M sao cho DM = 4 MB và gọi E , F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DM và BC . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C , D , biết E ( 1;6 ) , F ( 2;3) , D có hoành độ lớn hơn 1 và A có hoành độ âm. Câu V: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Xét hai điểm M trên AD ' và N trên DB sao cho AM = DN = k (0
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HSG THANH HÓA NĂM HỌC 20182019 Môn: TOÁN Lớp 11 THPT Câu Ý Nội dung Điể m I 1 Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 + 4(m + 1) x + 4m 2 + 3 = 0(*) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 khi PT (*) có 1 ∆ �۳ ' 0− m 8 x1 + x2 = −4(m + 1) Theo Định lý Viet: x1.x2 = 4m 2 + 3 Ta có: x1.x2 − 2( x1 + x2 ) = 4m + 8m + 11 2 0.5 x1.x2 − 2( x1 + x2 ) nhỏ nhất khi 4m + 8m + 11 nhỏ nhất. 2 1 Xét hàm số y = 4m 2 + 8m + 11 , m �[ ; +�) 8 Bảng biên thiên: m 1 − + 8 y + 161 16 1 Đáp số: x1.x2 − 2( x1 + x2 ) đạt giá trị nhỏ nhất khi m = − 8 0.5 2 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1 Điều kiện xác định: x 5 PT � 5 x 2 + 14 x + 9 = x 2 − x − 20 + 5 x + 1 � 2 x 2 − 5 x + 2 = 5 ( x 2 − 4 x − 5)( x + 4) 0.5 � 2( x 2 − 4 x − 5) + 3( x + 4) = 5 ( x 2 − 4 x − 5)( x + 4) 5 + 61 x= 2 x2 − 4 x − 5 = x + 4 5 − 61 � � x= 2 (l ) 2 x − 4x − 5 = 3 x + 4 2 x=8 7 x = − (l ) 4 0.5
II 1 � π� � π� cos �2 x − � 0;cos � 2x + � 0 � 4� � 4 � (*) sin 2 x 0; tan x − cot x 0 � π� � π� 4 cos 2 2 x tan � 2x − � 2 x + �= −1 � .tan � = −1 � 4� � 4� tan x − cot x Ta có: 1 − tan 2 x 1 0.5 � cot x − tan x = 4 cos 2 2 x � =4 tan x 1 + tan 2 2 x 2 4 π π � = � (tan 2 x − 1) 2 = 0 � tan 2 x = 1 � x = + k tan 2 x 1 + tan 2 x 2 8 2 Kết hợp điều kiện (*) suy ra phương trình vô nghiệm. 0.5 2 y 0 ̀ ̣ Điêu kiên x 2 Từ phương trình (1) � ( ) x − 1 − y + ( x − 1) − y 2 = − x 2 + xy + x 2 x − y −1 � + ( x − y − 1) ( x + y − 1) = − x. ( x − y − 1) x −1 + y � 1 � � ( x − y − 1) � + 2 x + y − 1�= 0 (3) � x −1 + y � � � y 0 1 0.5 Do � + 2 x + y − 1 > 0 nên (3) � x = y + 1 x 2 x −1 + y Thay vao (2) ta đ ̀ ược phương trinh ̀ x − 18 x + 3 x − 6 x − 2 + 78 = 0 4 2 ( � ( x 4 − 18 x 2 + 81) + 3 x − 2 − 2 x − 2 + 1 = 0 ) � ( x − 9) + 3 ( ) 2 2 2 x − 2 −1 = 0 x2 − 9 = 0 ̉ ̣ (thoa man điêu kiên) ̃ ̀ � � x=3 x − 2 −1 = 0 ́ x = 3 � y = 2 thoa man điêu kiên vơi ̉ ̃ ̀ ̣ x=3 ̣ ̣ ương trinh co nghiêm Vây hê ph ̀ ́ ̣ y=2 0.5 III 1 1 1 1 Từ giả thiết, ta có: + + 3 ab bc ca 1 1 1 x2 y2 z2 Đặt x = ; y = ; z = � xy + yz + zx �3; P = + + 0.5 a b c 2 y + z 2z + x 2x + y ( x2 )2 ( y 2 )2 ( z 2 )2 ( x 2 + y 2 + z 2 )2 P= + + 2 yx + zx 2 yz + xy 2 zx + yz 3( xy + yz + zx) Mà x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx nên P 1 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 � Pmin = 1 � a = b = c = 1 0.5
2 n 2 ( n + 1) 2 1 0.5 Dự đoán un = − . Chứng minh bằng phương pháp quy nạp. 4 2 2020un Khi đó: L = lim = 505 n4 0.5 IV 1 n − k + 1 k −1 Ta có Cnk = .Cn với ∀k ﾥ , n ﾥ , n k nên: k 1 2019 0 2 2018 1 S= 1 C2019 . C2019 + 2 C2019 . C2019 + ... 2019 1 2018 2 2018 2018 2 2019 2019 1 + C2019 . 2017 C2019 + C2019 . 2018 C2019 2 2018 1 2019 = C2019 1 0 .C2019 + C2019 2 1 .C2019 + ... + C2019 2018 2017 .C2019 + C2019 2019 2018 .C2019 . 2019 − k k Mà C2019 = C2019 suy ra S = C2019 1 2019 .C2019 + C2019 2 2018 .C2019 + ... + C2019 2018 2 .C2019 + C2019 2019 1 .C2019 . 0.5 Mặt khác ta có: 2019 2019 2019 ( 1+ x) = �C2019 xk � ( 1 + x ) .( 1 + x ) = �C2019 x k .�C2019 2019 k 2019 2019 k l xl k =0 k =0 l =0 2019 . k +l = C k 2019 .C l 2019 .x (1) k ,l = 0 Suy ra hệ số của số hạng chứa x 2020 trong khai triển của ( 1) là S = C2019 1 2019 .C2019 + C2019 2 2018 .C2019 + ... + C2019 2018 2 .C2019 + C2019 2019 1 .C2019 . Lại do ( 1 + x ) .( 1 + x ) = ( 1+ x) 2019 2019 4038 ; 4038 ( 1+ x) x n ( 2 ) suy ra hệ số của số hạng chứa x 2020 trong khai triển 4038 = n C4038 n =0 của ( 2 ) là C4038 2020 . 2019 2019 Vậy S = C2019 1 2019 .C2019 + C2019 2 2018 .C2019 + ... + C2019 2018 2 .C2019 + C2019 2019 1 .C2019 = C4038 2020 = C4038 2020 0.5 2 A D E M B F C BM BA2 1 2 Đặt AB = a � AD = 2a . Ta có = 2 = � EM = ED = BD BD BD 5 5 uuur 3 uuur 2 uuur uuur 1 uuu r 3 uuu r 3 uuu r 1 r uuu Khi đó: AE = AD + AB; FE = − AD + BD = − AB + AD 5 5 2 5 5 10
uuur uuur 6 3 � AE.FE = − AB 2 + AD 2 = 0 � AE ⊥ FE 25 50 0.5 uuur Mà EF ( 1; −3) � AE : x − 3 y + 17 = 0 � A ( 3a − 17; a ) . 9 1 2 Lại có: FE 2 = AB 2 + AD 2 = a 2 � a = 5 25 100 5 9 4 a =8 AB 2 = 40 � ( 3a − 18 ) + ( a − 6 ) = 40 � 2 2 Suy ra: AE = AD 2 + 2 25 25 a=4 Mà x A < 0 � A ( −5; 4 ) . Từ AD = 10 và FA = FD nên tọa độ điểm D là nghiệm của hệ phương trình: ( x + 5) + ( y − 4 ) = 100 2 2 x=3 � �� D ( 3;10 ) ( xD > 1) . ( x − 2 ) + ( y − 3) = 50 2 2 y = 10 uuur 5 uuur Vì BD = ED � B ( −2;0 ) � C ( 6;6 ) . 0.5 2 V 1 Từ giả thiết, ta có: uuuur k uuuur k uuur uuur uuur k uuur k uuur uuur AM = AD ' = ( AA ' + AD); DN = DB = ( AB − AD ) a 2 a 2 a 2 a 2 0.5 uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur � 2k �uuur k uuur k uuur MN = AN − AM = AD + DN − AM = � 1 − � 2a � �AD + AB − AA ' � � a 2 a 2 uuuur � 2k �uuuuur k uuuur uuuur uuuuur uuuur � MN = � 1 − � a � � A ' D ' + A' B MN , A ' D ', A ' B đồng phẳng. Từ đó suy � � a 2 0.5 ra MN / /( A ' BCD ') 2 Theo trên: uuuur � 2k �uuur k uuur k uuur uuuur2 MN = �1 − �AD + AB − AA ' � MN = 3k 2 − 2 2ka + a 2 0.5 � 2a � a 2 a 2 � � a 3 MN 3 6a 6a 0.5 Dấu “=” xảy ra khi k = . Vậy MN ngắn nhất khi k = . 3 3 Ghi chú: Các cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa.