Đề kiểm tra định kỳ môn Toán 10 năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT chuyên Bắc Ninh (Lần 2)

Chia sẻ: Yunmengjiangshi Yunmengjiangshi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh có cơ hội đánh giá lại lực học của bản thân cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề của giáo viên. Mời các bạn và quý thầy cô cùng tham khảo Đề kiểm tra định kỳ môn Toán 10 năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT chuyên Bắc Ninh (Lần 2). Chúc các em thi tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề kiểm tra định kỳ môn Toán 10 năm 2019-2020 có đáp án - Trường THPT chuyên Bắc Ninh (Lần 2)

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KÌ LẦN 2 TỔ TOÁN - TIN NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN 10 Chuyên (Đề thi gồm 01 trang) Dành cho các lớp 10: Toán 1, Toán 2 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (3,5 điểm). 1) Cho phương trình 3 x 2 + 6 x − 2 ( x − 3)( x + 5) − m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 46. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. ( 3 x + y )( x + 3 y ) xy = 14 2) Giải hệ phương trình  ( x + y ) ( x + 14 xy + y ) = 2 2 36 Câu 2 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của cạnh AC và D là điểm trên cạnh BC sao cho BD = DM. Giả sử rằng 2BC2 - AC2 = AB.AC. Trên tia đối của tia AC lấy điểm P P P P P sao cho AB = AP. 1. Chứng minh DM là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP. 2. Chứng minh AD là phân giác của góc BAC. 3. Tính tích BD.DC theo AB và AC. Câu 3 (1,0 điểm). Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh: (1 + ab )( a + b ) + (a 2 + b ) ( b + 1) + (b 2 + a ) ( a + 1) ≥ 3 2. a 2 + b2 a ( b 2 + 1) b ( a 2 + 1) Câu 4 (1,5 điểm). 1) Một tờ giấy được xé thành 4 mảnh, mỗi tờ giấy trong một số tờ giấy trong bốn mảnh nhỏ này lại được xé thành 4 mảnh nhỏ nữa, và một trong các mảnh nhỏ này lại được xé thành 4 mảnh,..., tiếp tục như vậy thì có khi nào ta thu được 2019 mảnh giấy hay không? Vì sao? 2) Cho n nguyên, n > 1 thỏa mãn 3n − 1 n3 . Chứng minh rằng n chẵn và n không chia hết cho 4. Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số f :  →  sao cho f ( xy + f ( x ) ) + f ( x + 2 yf ( x ) ) = 2 x, ∀x, y ∈  . ------------ Hết ------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BĂC NINH KIỂM TRA ĐỊNH KÌ LẦN 2 NĂN HỌC 2019 - 2020 ĐÁP ÁN Môn thi: TOÁN 10 Chuyên Câu Nội dung Điểm a) m = 46 , PT có hai nghiệm x1,2 = 1 ± 17 2,5 điểm b) ĐK −5 ≤ x ≤ 3 . Đặt t = ( x − 3)( x + 5) , 0 ≤ t ≤ 1. Ta có phương trình 3t − 2t − m + 45 = 2 0 (2) Pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt ⇔ PT ẩn t có 1 nghiệm t ∈ [ 0;1) Lập bảng biến thiên của hàm f (t ) = 3t 2 − 2t + 45 trên [ 0;1) . 134  Từ bảng biến thiên ta có m ∈   ∪ ( 45; 46 ) .  3  Câu 1 2) ĐK xy ≥ 0 1 (3điểm điểm )  3 ( x + y )2 + 4 xy  xy =14   HPT ⇔  Đặt x + = y u, = xy v ( x + y ) ( x + y ) + 12 xy =   2 36    ( 3u + 4v ) v =  2 2 14 Ta có hệ  (*) (hệ đẳng cấp bậc 3) u ( u + 12v ) = 2 2 36 Nhận thấy v ≠ 0 nên đặt u = kv . Hệ (*) trở thành v3 ( 3k 2 + 4 ) =14 x + y = 3  1   3 ⇒ k = 6 ⇒ u = 3, v = ⇒  1 ⇒ x, y là nghiệm  ( + ) = 2 xy = 2  v k k 12 36 4 1 3+ 2 2 3−2 2  3−2 2 3+ 2 2  PT t − 3t + 2 =0 ⇒ ( x; y ) = ; , ;  4  2 2  2 2  1. Từ 2BC2 - AC2 = AB.AC suy ra 2BC2 = AC.(AB + AC) = AC.CP = 1 P P P P P P Câu 2 2CM.CP. Từ đó, ta có CB2 = CM.CP, vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn điểm P P (3điểm ngoại tiếp tam giác MPB. 2. Do BD = DM nên DM cũng là tiếp tuyến của đường tròn (MPB). Suy ra 1 ∠ DBM = ∠ BMD = ∠ BPM. Suy ra ∠ BAM = ∠ MDC. Vậy tứ giác điểm AMDB là tứ giác nội tiếp. Suy ra AD là phân giác của góc BAC.
AB.BC AC.BC 1 3. Do tính chất phân giác ta có BD = và DC = . Suy ra AB + AC AB + AC điểm AC. AB.BC 2 AC 2 . AB = BD.DC = . ( AB + AC ) 2 2( AB + AC ) Câu 3 (1 + ab )( a + b=) a ( b 2 + 1) + b ( a 2 + 1) ; 1điể 1điểm m Nhận thấy ( a + b ) ( b + 1) = a 2 + b 2 + b ( a 2 + 1) ; 2 ( b2 + a ) ( a + 1) = a 2 + b 2 + a ( b 2 + 1) Đặt a += b x; a b += 2 2 1 ( 2 ) y; b ( a 2 += 1) z ( x, y, z > 0) Ta viết BĐT cần chứng minh lại dưới dạng: x+ y y+z z+x + + ≥ 3 2, ∀x, y, z > 0 ( *) z x y Theo BĐT Cauchy cho hai số không âm, ta có: x + y ≥ 2 xy   y + z ≥ 2 yz  ⇒ ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ 8 xyz  z + x ≥ 2 zx  ( x + y )( y + z )( z + x ) ≥ 8 ⇒ (1) xyz Mặt khác,áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm, ta lại có: x+ y y+z z+x ( x + y )( y + z )( z + x ) + + ≥ 36 ( 2) z x y xyz Từ (1) và ( 2 ) , hiển nhiên BĐT (*) được chứng minh hoàn toàn. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x= y= z . Vậy ta có điều phải chứng minh. Câu 4 1. Số các mảnh giấy tăng lên sau mỗi lần xé là 3( mảnh) (đây là đại lương 0.75 1điểm bất biến trong quá trình xé giấy) điểm Ở lần xé thứ n, số mảnh giấy là 1+3n (mảnh) với n là số tự nhiên. Vì 2019 chia hết cho 3 nên không thể thu được 2019 mảnh giấy 2. Giả sử n lẻ. Gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n. suy ra p lẻ.
Ta có 3 ≡ 1(mod p ) ⇒ p ≠ 3 . Theo định lí Fecma nhỏ ta có n 3 p −1 ≡ 1(mod p ) Gọi h là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho 3 ≡ 1(mod p ) h Khi đó h | n, h | p − 1 . Do p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n nên h = 1. Do đó 3 ≡ 1(mod p ) ⇒ p chẵn (mâu thuẫn với p lẻ). Vậy điều giả sử sai nên suy ra n chẵn +) Gọi v2 ( n) =k ∈  ⇒ v2 ( n ) =3k * 3 0.75 Ta có v2 (3 − 1) = v2 (3 − 1) + v2 (3 + 1) + v2 ( n) − 1 = k + 2 . n điểm Do 3 − 1 n ⇒ v2 (3 − 1) ≥ v2 n n 3 n ( ) ⇒ k + 2 ≥ 3k ⇒ k ≤ 1 mà 3 1 hay v2 ( n ) = 1 . k ∈ * ⇒ k = Vậy n chẵn và n không chia hết cho 4 (đpcm). Câu 5 Giả sử hàm f :  →  thỏa mãn (1): 1 1điểm điểm f ( xy + f ( x ) ) + f ( x + 2 yf ( x ) ) = 2 x, ∀x, y ∈  . Kí hiệu P ( u; v ) chỉ việc thay ( x; y ) bởi ( u; v ) vào (1). + P ( x;0 ) ⇒ f ( f ( x )) + f ( x ) = 2 x, ∀x . Điều này dẫn đến f là đơn ánh. Thật vậy, giả sử có f ( a ) = f (b) thì suy ra a f ( f ( a ) ) + f ( a=) f ( f ( b ) ) + f ( b=) 2b nên a = b . 2= + P ( x;1) ⇒ f ( x + f ( x ) ) + f ( x + 2 f ( x ) ) =2 x, ∀x ,  1 1  P  x;  ⇒ f  x + f ( x )  + f ( x + f ( x ) ) =2 x, ∀x .  2 2  1  ( Kết hợp hai điều trên suy ra f x + 2 f ( x ) = f  )x + f ( x )  , ∀x , mà f 2  1 −x là đơn ánh nên xảy ra x + 2 f ( x )= x + f ( x ) , ∀x ⇔ f ( x )= , ∀x . 2 2 2